顧泠沅

（1. 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海 200241；2. 上海市教育科學(xué)研究院，上海 200032）

一、大面積提高質(zhì)量

（一）一份試卷引發(fā)的改革實驗

20 世紀(jì)70 年代，上海市青浦縣中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量在全市“墊底”。1977 年，我們用小學(xué)和初中低年級的數(shù)學(xué)題對即將高中畢業(yè)的4 373 名學(xué)生開展摸底考試(見圖1)。閱卷結(jié)果為：及格率2.8%，平均分11.1，零分比例高達(dá)23.5%。面對觸目驚心的落后現(xiàn)狀怎么辦？低分學(xué)生遍地與現(xiàn)代教育期望的巨大反差，孕育出緊迫的教學(xué)改革需求。

圖1 1977 年對高中畢業(yè)生的摸底考試試題

青浦的骨干教師，在當(dāng)年教育局長面前立下軍令狀，以臥薪嘗膽、“十年生聚”的決心，發(fā)誓徹底改變落后面貌。于是立即成立數(shù)學(xué)教改實驗小組，制定了三年全面調(diào)查、一年篩選經(jīng)驗、三年實驗論證和八年推廣應(yīng)用的推進(jìn)計劃。

（二）“十五年磨一劍”的改革設(shè)計

教改是變革與傳承之間的一場博弈。我們的設(shè)計思路：一是堅持開放包容，廣泛吸納自身之外的信息，包括經(jīng)驗再生、理論進(jìn)展與技術(shù)更新；二是立足實踐篩選，針對現(xiàn)狀，通過不斷改進(jìn)與效果檢測的反復(fù)循環(huán)，尋找最合適的改革路徑。

具體實施分為四個部分：

（1）教學(xué)調(diào)查（3 年）。全面調(diào)查本地區(qū)教學(xué)的突出問題及其癥結(jié)所在，針對問題與癥結(jié)，采集到160 項專題經(jīng)驗。

（2）經(jīng)驗篩選（1 年半）。將經(jīng)驗運用于課堂教學(xué)，經(jīng)過50 次反復(fù)試驗、觀察、淘汰、優(yōu)化的循環(huán)篩選，聚焦課堂改進(jìn)，得出如下四方面的關(guān)鍵行為：①讓學(xué)生在迫切需求之下學(xué)習(xí)；②組織好教學(xué)內(nèi)容的層次和順序；③指導(dǎo)學(xué)生開展嘗試探索的活動；④及時了解學(xué)習(xí)效果，隨時反饋調(diào)節(jié)。

（3）對比實驗（3 年）。選取初中10 個班組共440 名學(xué)生，根據(jù)上述四方面改進(jìn)開展嚴(yán)格控制的對比實驗以及對其中50 對同質(zhì)學(xué)生進(jìn)行對偶跟蹤比較。

（4）推廣與深化（8 年）。在全地區(qū)推廣并深化實驗結(jié)論，將傳播學(xué)的策略引入推廣流程，使推廣不停留于模仿照搬，而是內(nèi)化與創(chuàng)造；依托多級教研組進(jìn)行全覆蓋引領(lǐng)，因為我們需要的不是小打小鬧，而是大面積提高。

上述四個部分構(gòu)成了比較完整的改革實驗方法體系(如圖2)。

圖2 以循環(huán)篩選為核心的方法體系

該項實驗始終瞄準(zhǔn)全樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計與精致化個案分析的匹配與互證，特別是創(chuàng)設(shè)循環(huán)篩選的方法，它填補了調(diào)查到實驗假說、結(jié)論到推廣創(chuàng)新之間的空缺。我們肩負(fù)著解決真問題的重任，不是“秀才造反”，不能掉進(jìn)坐而論道的陷阱。

（三）及時反饋，迅速改變落后現(xiàn)狀

1977 年那次摸底測試，反映了低分學(xué)生遍布全縣、尾大不掉的狀況，據(jù)此在低分生集中的群體中抽取樣本，開展個案調(diào)查和每日作業(yè)觀察，歸納他們的形成過程（1982 年）（如圖3）。

圖3 低分學(xué)生的形成過程

從學(xué)生的作業(yè)側(cè)面揭示了此類學(xué)生的形成是學(xué)、教兩方面問題累積發(fā)展到喪失自信的過程，必須及時阻斷這種不良循環(huán)。于是基于本土經(jīng)驗，采用當(dāng)日作業(yè)反饋、面批加上鼓勵的方法，于1986 年開展分組實驗，結(jié)果表明：及時、個別的針對性反饋指導(dǎo)是改變低分學(xué)生的一劑良藥（實驗結(jié)果見圖4）。

圖4 作業(yè)反饋分組實驗結(jié)果

其實早在中國古代《禮記·學(xué)記》中就有“學(xué)—不足—自反，教—知困—自強”的雙通道反饋模型（見圖5），稱之為“教學(xué)相長”，這充分體現(xiàn)了中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的魅力。

圖5 《禮記·學(xué)記》中的教學(xué)雙通道反饋

（四）思維評估，導(dǎo)致教改的深化與創(chuàng)新

1984 年，我們采用“出聲想”多媒體視聽技術(shù)，對實驗組與控制組50 對學(xué)生的數(shù)學(xué)解題過程做思維評估（見圖6），從個案中篩選出“變式體驗”教學(xué)在提升學(xué)生思維準(zhǔn)確性、敏捷性、深刻性方面的積極影響，這在第二階段的創(chuàng)新和廣泛推進(jìn)中發(fā)揮了重要作用。

圖6 成對學(xué)生的解題過程比較

（五）從實驗方法到教學(xué)原理解讀

1992 年，青浦實踐性教育科研的方法特征有如下四點概述：

（1）導(dǎo)入契合、差異、共變以及演繹、逆推等科學(xué)發(fā)現(xiàn)模式，使教學(xué)行為改善與理性思辨同步進(jìn)行，增加了實踐研究在理論創(chuàng)新方面的可能性和期望值。

（2）確立實踐篩選方法，用以填補調(diào)查與實驗假說之間的空白，以此為核心構(gòu)建多種方法互補的完整體系，增強了實踐研究旨在解決教育真問題的能力。

（3）深入研究教學(xué)經(jīng)驗傳播的本質(zhì)與形態(tài)，探討成果推廣的條件、方式與效果，為教改實驗結(jié)論回歸到大范圍的實際環(huán)境中去提供合理依據(jù)和實效保證。

（4）建立研究者與教師的科研共同體，以此作為實驗主體，可使研究進(jìn)入實際教育過程的深層領(lǐng)域，提高教改實驗的現(xiàn)實有效性和社會化程度。

這其實是一項以教學(xué)實踐為基礎(chǔ)的綜合研究。值得注意的是，青浦實驗還通過對數(shù)學(xué)認(rèn)知與活動過程、數(shù)學(xué)思維與目標(biāo)分類等理論層面的探討，為教改實踐的關(guān)鍵教學(xué)行為提供解讀，逐步形成包括情感意志、有序推進(jìn)、嘗試活動、及時反饋等四方面的基本原理。

（六）贏回了質(zhì)量

歷經(jīng)10 年，青浦全縣9 年級初中畢業(yè)生數(shù)學(xué)成績逐年提高（見圖7），合格率則由1979 年的16%（全市低谷）上升到1986 年的85%（全市為68%）。1986 年4 月，上海市教育局召開大會在全市推廣青浦經(jīng)驗。1990 年10 月，國家教委基礎(chǔ)教育司組織18 人專家研究小組，赴青浦進(jìn)行為期9 天的經(jīng)驗、成果及實效考察。1992 年國家教委將青浦經(jīng)驗定為基礎(chǔ)教育改革的重大成果正式發(fā)文在全國推廣。

圖7 初中畢業(yè)生數(shù)學(xué)統(tǒng)考成績統(tǒng)計

青浦實驗終于找到一條在最常見的教育條件下普遍提高教學(xué)質(zhì)量的可行途徑。該階段的主要研究成果有：《學(xué)會教學(xué)》（1991）；《教學(xué)實驗論—青浦實驗的方法學(xué)與教學(xué)原理研究》（1994）。

二、突破高認(rèn)知瓶頸

（一）重視對學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知能力的考察

第二階段的實驗分兩條線展開：一是認(rèn)知能力測量，二是深挖優(yōu)秀經(jīng)驗。先說第一條線。20 世紀(jì)90 年代以來，組織專業(yè)研究人員，設(shè)計能力目標(biāo)分水平測試，完成了對該地區(qū)8 年級學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知能力的三次測量和研究（歷時28 年，積累了84 萬個標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)）。

第一次測量是在1990 年。認(rèn)知能力目標(biāo)分類參照當(dāng)年布盧姆、威爾遜的框架，列為計算、知識、領(lǐng)會、應(yīng)用、分析、綜合、評價等7 類，編制50 個測試項目、共106 個考察點的測試題。測試時長共220 分鐘（分3 段進(jìn)行），全縣3 200 名同年級學(xué)生以25 人為一組單獨書面答題。數(shù)據(jù)處理采用大樣本因子分析技術(shù)。主要結(jié)論有：

（1）確定記憶、理解兩個最基本的內(nèi)隱主因子，各類目標(biāo)可表示為兩個主因子上的不同負(fù)荷。數(shù)據(jù)顯示，類別間的連續(xù)和等距性不盡合理：計算與知識混雜，領(lǐng)會與應(yīng)用、分析與綜合似可歸并、簡化（見圖8）。

圖8 各類目標(biāo)在記憶、理解主因子上的不同負(fù)荷

（2）基本摸清全縣不同能傾類型學(xué)生的分布情況。總體上看，學(xué)生的計算與按步操作相當(dāng)熟練，對知識（概念）的了解比較清晰，但領(lǐng)會、探究等認(rèn)知水平總體不高（見圖9）。為使學(xué)生“聰明”起來，必須擺脫對概念的死記硬背和對題型的機(jī)械訓(xùn)練，由此確定領(lǐng)會優(yōu)先的主攻方向，旨在突破高認(rèn)知瓶頸。

圖9 學(xué)生領(lǐng)會、探究等認(rèn)知能力相對滯后

（二）成績上去了，學(xué)生不聰明怎么辦？

第二條線，基于主攻目標(biāo)，深挖優(yōu)秀經(jīng)驗。我們重溫原先“啟發(fā)嘗試+及時反饋”的兩因子實驗（1982—1983），當(dāng)年啟發(fā)嘗試主要采用“變式體驗”的教學(xué)策略。實驗結(jié)果如圖10 所示。

圖10 嘗試與反饋的兩因子實驗結(jié)果

（1） 及時反饋的“掌握學(xué)習(xí)”是大幅度提高成績的主因。

（2） “灌輸+反饋”不利于數(shù)學(xué)思維與閱讀能力的提高，還會影響后續(xù)學(xué)習(xí)效果。

（3） “嘗試+反饋”的實驗，可使學(xué)生聰明起來。1985 年，華東師大老校長劉佛年說：“這比通常認(rèn)為的掌握學(xué)習(xí)看得更遠(yuǎn)、更加合理”。

于是變式教學(xué)成為這一階段一線教師的熱門話題。1981 年提交給上海市數(shù)學(xué)會的論文（見圖11）明確提出，變式分為概念變式與過程性變式兩種類型，而后者正是數(shù)學(xué)問題解決的本國優(yōu)秀傳統(tǒng)經(jīng)驗。

圖11 1981 年2 月關(guān)于變式的論文油印稿

（三）在“嘗試和體驗”中加深領(lǐng)會（數(shù)學(xué)概念變式）

例如，一個簡單概念—平行線。老師告訴學(xué)生“平行線是平面上兩條不相交的直線（這是抽象概念）”，學(xué)生說“我背出來了”，這就是“灌輸”。另一位老師說“像列車兩根軌道那樣的就是平行線（這是描述定義）”，學(xué)生問“列車拐彎了還算不算？”

青浦實驗采用另一種方法—變式體驗，分為三步：第一步具體直觀的，這就是平行線；第二步抽象變化的，也是平行線；第三步似是而非的，這就不是平行線了（見圖12）。

圖12 變式體驗方法

多次試驗表明：通過材料或形式的變化，從具體到抽象，在“是”“也是”和“似是而非”的體驗中形成數(shù)學(xué)概念，可以(1)顯著減輕學(xué)生的認(rèn)知負(fù)擔(dān)；(2)加深對數(shù)學(xué)概念“關(guān)鍵屬性”的領(lǐng)會；(3)提高場景干擾中的獨立辨識能力。

（四）數(shù)學(xué)問題解決中把握“核心關(guān)聯(lián)”（過程性變式）

過程性變式是指精心設(shè)計數(shù)學(xué)問題由易到難的“鋪墊（墊腳石，立足牢固基礎(chǔ)往上走）”；或者復(fù)雜問題看簡單的“化歸（找出兩者之間的核心關(guān)聯(lián)，使復(fù)雜問題可以一眼看到底）”。引導(dǎo)學(xué)生自己解決問題，擺脫機(jī)械訓(xùn)練。

2016 年，重新審視早年“活動過程分析”的實驗資料，研究其中的關(guān)聯(lián)樣式。例如，7 年級“卡車上橋”的應(yīng)用題，通常都問兩個問題：①什么時候卡車開始上橋？②什么時候卡車開始在橋上行駛？這是兩個關(guān)節(jié)點，可以用兩線段“外接”與“內(nèi)接”的靜態(tài)線段圖來解釋。如果我們讓卡車從左向右動起來，再問三個問題：①什么時候還沒有上橋？②什么時候正在上橋的過程中？③什么時候全在橋上行駛？把握“移動線段圖”這一“核心關(guān)聯(lián)”，便可順利遷移到9 年級兩圓之間五種位置關(guān)系的探討（見圖13）。

圖13 卡車上橋與兩圓位置關(guān)系的關(guān)聯(lián)樣式

實驗數(shù)據(jù)表明：在學(xué)生運用已有知識去解決新的問題中，重要的是如何找準(zhǔn)其中最本質(zhì)、最具遷移力的成分—“核心關(guān)聯(lián)”，這樣的關(guān)聯(lián)可以(1)縮短新問題與原知識“固著點”間的認(rèn)知距離；(2)顯著提高學(xué)習(xí)過程中的遷移程度；(3)激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決的建構(gòu)性思維。

（五）“變式體驗”的中國經(jīng)驗

變式體驗的教學(xué)，注重學(xué)生對數(shù)學(xué)的概念性領(lǐng)會和解決問題的建構(gòu)性思維。早期實驗表明，它可使中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維從直觀判斷到邏輯推理的轉(zhuǎn)變期至少提前一年（見圖14）。經(jīng)廣泛使用、實驗和改善后，其成果與歐美學(xué)者聯(lián)名發(fā)表在數(shù)學(xué)教育重要刊物上，現(xiàn)已成為大家熟知的中國經(jīng)驗。

圖14 思維轉(zhuǎn)變期的比較

變式用于教學(xué)改進(jìn)，可以從推理計算、情境應(yīng)用、學(xué)習(xí)心理三個維度展開。這里需要注意的問題有兩點：第一點，變式不是變得越多越好，應(yīng)以適合不同學(xué)生的目標(biāo)、需求為度；第二點，變式教學(xué)的關(guān)鍵是“體驗”，不應(yīng)成為變相的灌輸，應(yīng)給學(xué)生親自投入、嘗試和組織表達(dá)的機(jī)會。

（六）時隔十余年的變化

第二次測量是在2007 年。隨著目標(biāo)分類的改進(jìn)（如區(qū)分知識與認(rèn)知，認(rèn)知目標(biāo)可簡化，重視創(chuàng)造與探究思維），從本地區(qū)學(xué)生的實際出發(fā)，對測試題作適量調(diào)整。測試時長不變，學(xué)生數(shù)為4 349 人。這次因子分析的準(zhǔn)確度明顯提高，各認(rèn)知目標(biāo)在兩個主因子上的負(fù)荷占總方差的85.15%，比1990 年提高了24 個百分點。主要結(jié)論有：

（1）得出了符合地區(qū)實情而且相對簡明、等距的四層次架構(gòu)，以此推進(jìn)有深度的學(xué)習(xí)與教學(xué)（見圖15）：操作—機(jī)械記憶；了解—意義記憶；領(lǐng)會—解釋性理解，常規(guī)問題；探究—發(fā)現(xiàn)性理解，非常規(guī)問題。

圖15 相對簡明的四層次架構(gòu)

（2）2007 與1990 年相比，學(xué)生在操作、了解、領(lǐng)會方面均有較大幅度提高?？墒?，探究與創(chuàng)造能力的培養(yǎng)，雖幾經(jīng)努力，還是“風(fēng)景依舊”，探究均值為28.96，略低于1990 年的32.43（見圖16），成為需要突破的新難點。

圖16 探究能力“風(fēng)景依舊”

該階段的主要研究成果有：《教學(xué)改革的行動與詮釋》（2003）；《變革的見證—顧泠沅與青浦教學(xué)實驗30 年》（2008）。

三、推進(jìn)探究與創(chuàng)造

（一）探究與創(chuàng)造能力風(fēng)景依舊怎么辦？

在進(jìn)入第三階段前，先看一看2018 年完成的第三次測量。本次測量與2007 年第二次測量的試題、測試時長完全相同，學(xué)生數(shù)為3 474 人。主要結(jié)論是：

（1）2018 年領(lǐng)會均值超過了“合格”的水平，探究均值提升了11.31 個百分點，難點有所突破（見圖17）。

圖17 三次測量的基本情況

（2）散點圖顯示，領(lǐng)會與探究總體呈正相關(guān)，隨著學(xué)生領(lǐng)會水平的逐步提高，探究水平呈指數(shù)式快速遞增（見圖18）。

圖18 領(lǐng)會與探究總體呈正相關(guān)

（二）發(fā)現(xiàn)“節(jié)點”現(xiàn)象

如圖19，考察領(lǐng)會—探究相關(guān)系數(shù)的變化，領(lǐng)會分值在45～95 之間，圖象近乎兩段折線，“節(jié)點”位于中間。節(jié)點前后兩側(cè)相關(guān)系數(shù)遞增率呈斷崖式落差，從平均8.4%銳減為3.2%?？梢姽?jié)點后的探究水平還受領(lǐng)會之外其他因素的影響。

圖19 相關(guān)系數(shù)出現(xiàn)明顯的“節(jié)點”

分別按節(jié)點前后領(lǐng)會、探究分值平均數(shù)作2×2 分割（見表1），分離出A、B 兩類值得關(guān)注的人群，A 類的特征是固守領(lǐng)會，B 類的特征是走向探究。數(shù)據(jù)表明：無論節(jié)點前后，“雙高”“雙低”和“交錯”類的學(xué)生人數(shù)均占1/3，其中“交錯”類內(nèi)A、B 兩類學(xué)生的人數(shù)比，從節(jié)點前的 61:39轉(zhuǎn)變?yōu)楣?jié)點后的46:54，探究因素的影響十分顯著。

表1 不同學(xué)生群體的2×2 分類

（三）開展大數(shù)據(jù)執(zhí)果溯因的實證研究

為了在教改實踐中尋找提高學(xué)生探究能力的關(guān)鍵舉措，我們根據(jù)已有經(jīng)驗的積累，考慮到人為控制實驗在教育公平與研究倫理方面的欠缺，設(shè)計了“依據(jù)大數(shù)據(jù)抽取可供比較的典型樣本組，再通過自然觀察、證據(jù)推理取得結(jié)論”的研究方法，簡稱“執(zhí)果溯因”的實證研究法。研究流程如圖20 所示。這種方法的顯著特征：一是體現(xiàn)了現(xiàn)象和因果說明中的理論滲透，可以發(fā)揮研究團(tuán)隊背景知識的主體能動性；二是避免了觀察取樣的主觀隨意，可以保持發(fā)現(xiàn)邏輯的客觀嚴(yán)謹(jǐn)性。因此該方法大大提升了自然觀察研究的實際貢獻(xiàn)。

圖20 大數(shù)據(jù)執(zhí)果溯因的研究流程

在本階段的研究中，我們抽取節(jié)點后A、B 兩類學(xué)生（共516 人）作深入分析。

（1）細(xì)化的數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)，節(jié)點后A、B 兩類學(xué)生的認(rèn)知效果明顯不一樣。他們在知識領(lǐng)會、常規(guī)應(yīng)用能力等方面差距不大，但在分析、判斷、發(fā)現(xiàn)等創(chuàng)新能力方面，B 類學(xué)生具有明顯優(yōu)勢（見圖21）。

圖21 節(jié)點后兩類學(xué)生的認(rèn)知效果雷達(dá)圖

（2）經(jīng)學(xué)生所在學(xué)校的實地調(diào)研，兩類學(xué)生的表現(xiàn)性特征如表2 所示。A 類學(xué)生有強烈的高分追求，B 類學(xué)生會騰出精力鉆研自己感興趣的問題。

表2 節(jié)點后兩類學(xué)生的表現(xiàn)性特征

由此可見，在節(jié)點之后，從教學(xué)過程到學(xué)習(xí)結(jié)果，可以清楚地發(fā)現(xiàn)完全不同的兩類學(xué)生、兩種學(xué)習(xí)路徑和不同的期望結(jié)果。看來，過度的機(jī)械訓(xùn)練不可取，必須尋找提升探究水平的關(guān)鍵教學(xué)行為。

（四）深入典型樣本的臨床觀察與比較

尋求數(shù)學(xué)教學(xué)的合理行為，還應(yīng)深入到數(shù)學(xué)問題解決的實際領(lǐng)域，對A、B 兩類學(xué)生的具體測試反應(yīng)、所處教學(xué)場景進(jìn)行臨床分析和比較，才能找出提升探究水平的關(guān)鍵教學(xué)行為。下面列舉幾個典型的教學(xué)案例。

（1）伽利略太空圓形劇場設(shè)計的項目（2006 年）

B 類學(xué)生相對集中的實驗性學(xué)校，長期以來堅守“活動—發(fā)展”教學(xué)場景。圖22 是當(dāng)年的一份項目作業(yè)單。太空圓形劇場的設(shè)計，既要符合技術(shù)安全標(biāo)準(zhǔn)，又要使座位最多，其中輻射通道的多少由設(shè)計者自定，通道少座位就多，但受到每排座位不得超過30 個的限制，需要在兩難之間解決問題，知識難度不高，對思考力卻有很大挑戰(zhàn)性。這對驅(qū)動學(xué)生創(chuàng)新思維來說，無疑是一項很恰當(dāng)?shù)母咚饺蝿?wù)。

圖22 初中學(xué)生的創(chuàng)意設(shè)計作業(yè)

（2）非常規(guī)行程問題的思維精細(xì)加工（2018 年）

這是三次能力測試中探究水平部分的一道題：A、B 兩船同時從甲島出發(fā)，在甲、乙兩島間往返行駛。A 船每小時行10 千米，B 船每小時行8 千米，24 小時后剛好同時返回甲島。問：①甲乙兩島間的距離是多少？②兩船同時到達(dá)過乙島嗎？

① A 類學(xué)生熟知s=vt的公式和“相遇”“追及”的題型，但遇到需要獨立分析的“兩地往返”問題時，正確率僅為13.8%。B 類學(xué)生經(jīng)分析，認(rèn)為：

24 小時內(nèi)A 船比B 船多走了一個來回，所以s=，正確率達(dá)到46.2%。

卷面及測試后訪談反應(yīng)：B 類學(xué)生還會對解題過程進(jìn)行責(zé)疑并進(jìn)一步加工。比如B 類學(xué)生這樣問：“為什么一定是多走了一個來回？”如把vB改為每小時6 千米，此時，A 船走5 個來回，B 船走3 個來回，24 小時后剛好同時返回甲島，此時A 船比B 船多走了兩個來回。一般情況下應(yīng)是：

②第二個問題多數(shù)學(xué)生用列時間表的方法做。B 類學(xué)生說：“如果兩船同時到達(dá)過乙島，那一定是12 小時后，但這時B 船不在乙島”，這是反證法的思路，但學(xué)生不會表達(dá)。在老師指導(dǎo)下，整理出如下結(jié)果：

假設(shè)兩船同時到達(dá)過乙島，此時 2.4m=3n，也就是 4m=5n，這里m、n為奇數(shù)，這是不可能的，因此兩船沒有同時到達(dá)過乙島。

（3）三角形重心的跨學(xué)科學(xué)習(xí)與探究（2018 年）

這是一次課堂上的探究：三角形的重心，力學(xué)與幾何學(xué)的跨學(xué)科問題解決。力學(xué)知識主要是“懸掛線”方法找重心與質(zhì)點間力的平衡概念，由此得出用力學(xué)方法確定重心與三角形三條中線交于一點相一致的結(jié)果，進(jìn)一步還可以討論三角形三條角平分線、三條高交于一點的問題，甚至涉及Ceva 定理的力學(xué)證明。學(xué)科之間的本質(zhì)聯(lián)系更加緊密了，解決問題就出現(xiàn)了別開生面的方法。例如，課堂上一道求等腰梯形重心的練習(xí)，如圖23，AD=6，BC=12，EF=9，學(xué)生當(dāng)堂就有多種解法：

圖23 等腰梯形的重心

① 交點作圖的方法

連結(jié)DF，平行四邊形ABFD的重心為M1， △DFC的重心為M2。線段M1M2與中軸線EF的交點就是梯形重心M，如圖23（a）。

② 力學(xué)平衡的方法

分別延長BA、CD相交于點G，GAD重 心為M1， △GBC重心為M2，假設(shè)梯形ABCD重心為M，根據(jù)力的平衡概念列方程M1M2:M2M=3:1， 可解得M2M=2，M的位置便可確定，如圖23（b）。

③ 等價推理的方法

將梯形分割為三個全等的等腰三角形，它們的重心分別為M1、M2、M3， △M1M2M3的重心M就是整個梯形的重心，如圖23（c）。

面對學(xué)生的不同做法，老師十分感慨地說：“學(xué)生出示的多種做法，連我都沒有反應(yīng)過來！”

（4）水葫蘆繁殖的建模、評估與修正（2021 年）

這是一個真實的問題。江南水鄉(xiāng)青浦有一種名為“水葫蘆”的水生漂浮植物，這種植物繁殖力極強，生長一段時間就會覆蓋大片水面，對環(huán)境、水上交通、人畜飲水安全和漁業(yè)生產(chǎn)效益造成了負(fù)面影響。為了了解水葫蘆的繁衍規(guī)律，8 年級學(xué)生用剛學(xué)過的一次函數(shù)與折線圖的知識去建立水葫蘆繁殖的數(shù)學(xué)模型，結(jié)果得到了一條指數(shù)曲線：g=25.01×2.16t(g為植物量，25.01 為初始值，t為以10 天為單位的時間）。再把指數(shù)模型數(shù)據(jù)與實測數(shù)據(jù)相比較，發(fā)現(xiàn)到第3 個月出現(xiàn)很大誤差；然后查閱文獻(xiàn)，請教專業(yè)人員，尋找原因，并對模型作出多種修正。令人驚奇的是，有學(xué)生自己想出了使每個測試點誤差絕對值總和最小的試誤方法，這相當(dāng)于所謂“最小一乘法”的思路。經(jīng)歷了這樣的過程后，初中學(xué)生有了數(shù)學(xué)建模和修正模型的初步體驗，為日后他們從事科學(xué)研究打下了數(shù)學(xué)建模的重要方法基礎(chǔ)。

（五）找出關(guān)鍵教學(xué)行為

回顧如前所述的逆推過程：第一，通過測試數(shù)據(jù)的細(xì)化，取得A、B 兩類學(xué)生完全不同的認(rèn)知結(jié)果；通過實地調(diào)研，歸納了兩類學(xué)生表現(xiàn)性特征的顯著差別。第二，既有對B 類學(xué)生所在班級教學(xué)場景的實例考察，又有對A、B 兩類學(xué)生測試反應(yīng)的分析與比較，這是數(shù)據(jù)導(dǎo)引下的臨床觀察研究。就這樣，通過一步步往回追索，從而選定有效提升學(xué)生探究水平的下列關(guān)鍵教學(xué)行為：

（1）高水平任務(wù)驅(qū)動的教學(xué)設(shè)計

① 遵循知識內(nèi)在的層次與順序，組織挑戰(zhàn)性的教學(xué)任務(wù)；

② 適應(yīng)不同學(xué)生的需求，預(yù)設(shè)個別化目標(biāo)；

③ 營造寬松而有活力的求知狀態(tài)，驅(qū)動專心投入的學(xué)習(xí)。

（2）思維精細(xì)加工的自主學(xué)習(xí)過程

① 嘗試多種策略，激活先期經(jīng)驗并與探究性任務(wù)聯(lián)結(jié)；

② 通過應(yīng)用體驗或知識同化，進(jìn)行思維活動的精細(xì)加工；

③ 評估思維效應(yīng)量，不斷反饋并修正再加工學(xué)習(xí)。

（六）教研跟進(jìn)，重視探究性學(xué)習(xí)

從領(lǐng)會到探究的改變，教研跟進(jìn)必不可少。青浦實驗曾根據(jù)江、浙、滬眾多名師的個案分析，尤其是上海于漪老師“一篇課文三次備課，堅持三年，一定成為好教師”的經(jīng)驗，2004 年提出教師在職研修的“行動教育”范式（見圖24）：三個關(guān)注（關(guān)注自我經(jīng)驗，關(guān)注新理念、新經(jīng)驗，關(guān)注學(xué)生是否真有收獲）；三者之間樹立兩個反思支架（尋找自身與他人的差距，尋找設(shè)計與現(xiàn)實的差距），將其建立在以課例為載體的合作平臺上。這樣的循環(huán)往復(fù)，彰顯了我國教研特有的組織文化和行動路線。

圖24 行動教育范式

有學(xué)者提出過人際學(xué)習(xí)的知識共享模型，開發(fā)了兩種關(guān)鍵技能：一是“公開自我”（暴露真問題的話語引導(dǎo)與分析）；二是“傾聽與回應(yīng)”（思考性吸納和回應(yīng)技能）。由于近年來發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)、實作學(xué)習(xí)、項目學(xué)習(xí)等的興起，面對這類高水平探究學(xué)習(xí)的教研實際，教師們常常處于大家都不甚明了的“公共問題區(qū)”，此時除了“知識共享（知與不知）”外，新的“教學(xué)行為共建（行與不行）”顯得尤為重要。青浦實驗歸納了如下兩種關(guān)鍵技能：一是“問題聚焦”（探究目標(biāo)的問題梳理與集中，形成“公共問題區(qū)”）；二是“設(shè)計與改進(jìn)”（探究路徑的設(shè)計和基于證據(jù)的循環(huán)改進(jìn)技能），由此構(gòu)成了人際學(xué)習(xí)的兩種模型（見圖25）。

圖25 人際學(xué)習(xí)的兩種模型

表3 是2015 年“無理數(shù)引入”課，從設(shè)計到改進(jìn)，經(jīng)過三次循環(huán)，最后取得讓學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”中學(xué)數(shù)學(xué)的效果，改變了學(xué)習(xí)的方式。

表3 視頻分析為依據(jù)的循環(huán)改進(jìn)（要點）

“教師成為有研究能力的實踐者”是青浦實驗在培養(yǎng)優(yōu)秀教師方面的期許和追求。

（1）早期，我們對骨干教師提出課堂現(xiàn)場觀察的要求，不放過每一堂課，即時即景，觀察其中的利弊得失，思索改進(jìn)的各種方法，從中鍛煉教師的教學(xué)敏覺力，很有成效。但這種觀察常受信息不全或遺忘的限制。

（2）1990 年代末，引入信息技術(shù)，先是錄像帶，后來是視頻光盤，方法帶來了研究的突破，多角度的全息記錄，可以提取大量數(shù)據(jù)以供分析；回放、定格與“顯微”，可以考察一瞬即逝的細(xì)微行為（包括語言、動作與表情）。教師“既是演員又是觀眾”的角色轉(zhuǎn)變是最重要的一步，它使成就大批好教師有了便捷的途徑，大家不妨試一試。

（3）如今，不少教師正在成為基于多種證據(jù)的“循環(huán)改進(jìn)者”。這是因為視頻分析大大擴(kuò)展了證據(jù)的多樣性：數(shù)據(jù)統(tǒng)計的資源空前豐富，事例分析的素材更為精致。教研過程中，有人可以據(jù)此作經(jīng)驗性的解釋，理論工作者可以就此作理性的演繹?；诙喾N證據(jù)互相印證的循環(huán)改進(jìn)，使“教師成為有研究能力的實踐者”走上了一個新臺階。

該階段的主要研究成果有：《行動教育—教師在職學(xué)習(xí)的范式革新》（2007）；《口述教改—地區(qū)實驗或研究紀(jì)事》（2014）。

結(jié)語

本項改革從教師的課堂實驗開始，低處起步提高質(zhì)量，逐步進(jìn)入目標(biāo)導(dǎo)向的分層推進(jìn)，用“變式體驗”破解灌輸，設(shè)計“高水平任務(wù)”推動探究性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。但總的來說，身處大變革的年代，我們還在往前趕路，行色匆匆，難免顧此失彼。不當(dāng)之處，還望各位同仁指點。

（顧泠沅工作郵箱： gulingyuan@126.com）