袁智斌 [美]羅博深

（1. 陜西師范大學(xué)現(xiàn)代教學(xué)技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室暨教育學(xué)部，西安 710062；2. 深圳外國語學(xué)校（集團(tuán)），廣東深圳 518083；3. 卡內(nèi)基梅隆大學(xué)數(shù)學(xué)系，美國匹茲堡 15213）

一、前言

數(shù)學(xué)教育與人才培養(yǎng)，特別是數(shù)學(xué)教育與創(chuàng)新人才的培養(yǎng)是世界各國都十分關(guān)注的話題，也是廣大教師與家長十分關(guān)注的重要問題。在2015—2019 年間，羅博深教授4 次帶領(lǐng)美國國家奧數(shù)隊(duì)獲得了國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽（IMO）團(tuán)體冠軍。作為美國國家奧數(shù)隊(duì)的總教練和一名IMO 銀牌得主，他還一直奮戰(zhàn)在從小學(xué)到研究生數(shù)學(xué)教學(xué)工作的第一線。羅博深教授的成長過程、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)教學(xué)方法是數(shù)學(xué)教育研究的重要對象與典型案例。

2018 年3 月13 日，羅博深教授受邀到深圳科學(xué)高中進(jìn)行考察，并發(fā)表了關(guān)于數(shù)學(xué)教育的講座。在考察結(jié)束之后，應(yīng)陜西師范大學(xué)博士候選人、深圳外國語學(xué)校（集團(tuán)）正高級教師袁智斌的邀請，羅博深教授接受了本次專訪。專訪的現(xiàn)場實(shí)況錄像和錄音由深圳科學(xué)高中信息中心任亞捷和馬裕老師負(fù)責(zé)。

深度訪談?dòng)兄诹私馇闆r、尋找方法、揭示規(guī)律和探究深層原因。在本次專訪中，袁智斌與羅博深教授雙方就兒童數(shù)學(xué)啟蒙、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)教育、奧數(shù)培訓(xùn)、家庭教育、數(shù)學(xué)能力與人才培養(yǎng)等話題進(jìn)行了對話交流，從中進(jìn)一步了解到羅博深教授獨(dú)到和具有啟發(fā)性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)教學(xué)方法。

本文主要在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)教學(xué)方法等方面，與羅博深教授展開對話，并在最后對本次對話加以總結(jié)與反思。

二、對話實(shí)錄

（一）探究閱讀：猜想探究與計(jì)算推理為特征的數(shù)學(xué)教材與疑難問題解答的探究閱讀方法

袁智斌：當(dāng)您在中小學(xué)讀書的時(shí)候，您應(yīng)該既解答過常規(guī)題，又解答過您當(dāng)時(shí)不會(huì)的一些難題。對您而言，當(dāng)時(shí)解答常規(guī)題的主要目的可能是熟悉數(shù)學(xué)知識方法與提升您的解題速度，或者訓(xùn)練解題格式；而對那些您當(dāng)時(shí)不會(huì)的一些難題，特別是那些看上去一點(diǎn)思路都沒有的題目，您當(dāng)時(shí)是怎么探索解答的?您有哪些難忘的解答難題方面的經(jīng)驗(yàn)、感悟或案例?

羅博深：如果讓我回頭看一下我自己的成長經(jīng)歷，特別是我自己小的時(shí)候數(shù)學(xué)解題經(jīng)歷，其實(shí)印象最深的就是當(dāng)時(shí)遇到那些難題的解答探索過程了，我至今都還記得。如果當(dāng)時(shí)解答的只是一般的題目，現(xiàn)在就沒有什么印象了；但對自己當(dāng)時(shí)花了好大勁才解決的問題或者才發(fā)現(xiàn)正確解答思路的題目，自己至今都還記得那些難題以及自己當(dāng)時(shí)思考那些難題的過程。我的經(jīng)驗(yàn)是，如果自己真的要學(xué)東西，就需要跟學(xué)習(xí)內(nèi)容來競爭一下。如果自己從來都沒有經(jīng)歷過與難題競爭的苦思冥想的深度思考過程，而是只解答一些不需要認(rèn)真思考的常規(guī)題，其實(shí)那不是真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，那只是憑記住了常規(guī)習(xí)題的解題套路來照貓畫虎地機(jī)械解答曾經(jīng)見過的類似的題目而已。我印象最深的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程就是我以前與所遇到的各個(gè)難題的競爭過程。我的意思是，有一些當(dāng)時(shí)經(jīng)過自己獨(dú)立思考探索的難題至今都還記憶猶新，就是因?yàn)楫?dāng)初我做不出來或經(jīng)過探索后才成功解答出來，而這些題目至今都還記得。

袁智斌：您還記得當(dāng)時(shí)探索那些難題的具體經(jīng)歷嗎?

羅博深：是的，至今還記得。在我的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我會(huì)對那些難題進(jìn)行探索，特別是我在大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)定理或?qū)?shù)學(xué)定理進(jìn)行證明時(shí)，我也是把大學(xué)數(shù)學(xué)教材上的那些定理和定理的證明當(dāng)成題目來進(jìn)行獨(dú)立探索的。在大學(xué)的數(shù)學(xué)教材中往往都是先呈現(xiàn)新的定理，然后再給出新定理的證明，接著又是一個(gè)新的定理，然后又是定理的證明，即大學(xué)數(shù)學(xué)教材中沒有那么多的例題。大學(xué)數(shù)學(xué)教材上的很多篇幅都是數(shù)學(xué)定理，以及對它們進(jìn)行證明的內(nèi)容。大學(xué)數(shù)學(xué)教材定理證明中的那些字詞、那些句子，其實(shí)都是晦澀難懂的，因?yàn)樽x者常常不知道書上那個(gè)定理的證明為什么要這么寫，讀者會(huì)感覺書上定理的證明咋那么奇怪。所以我的方法就是，先看那個(gè)定理說的是什么內(nèi)容，以及那個(gè)定理的證明長度，以此來估計(jì)那個(gè)定理證明的難度。然后就合上教材，開始思考那個(gè)定理的證明。我自己在探尋定理的證明中，有的時(shí)候要想一兩個(gè)小時(shí)。如果成功了，我就會(huì)永遠(yuǎn)記得那個(gè)題目的證明過程；如果不成功，我就看教材的證明中我想不出來的那幾句話是怎樣寫的，然后我又合上教材，自己又來獨(dú)立思考。如果還不成功，我再打開教材看卡殼的地方。如果你們也堅(jiān)持這樣做，相信你們也會(huì)把書上那些定理的證明過程全部都想出來的。當(dāng)自己回過頭來看書上那些在之前思考中卡殼的部分時(shí)，會(huì)有一種成就感，進(jìn)而會(huì)從中積累解題經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)以后也不會(huì)忘記那個(gè)定理的證明為什么是那樣的。我為什么要先看定理證明的長度呢?如果看到定理的證明就這么長（備注：羅博深教授用手比劃了一個(gè)較短的長度），我就知道我的方法太復(fù)雜。如果看到證明是這么長（備注：羅博深教授用手比劃了一個(gè)較長的長度），我就知道不能用太簡單的方法來解決了。我以上所說的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，就是想讓大家明白，大家都可以用我剛剛說到的這種解決難題的經(jīng)驗(yàn)或方法來學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)教材上的定理證明，從而就不會(huì)被動(dòng)地去看教材上那些證明的內(nèi)容了。

袁智斌：也就是說，當(dāng)我們看到數(shù)學(xué)書上的定理后，不要急著去看其證明過程，而是要盡量自己想辦法去證明。

羅博深：對的。自己先獨(dú)立思考并證明后，再看教材上對那個(gè)定理的證明。因?yàn)槿绻约阂呀?jīng)把那個(gè)定理的證明問題解決了，然后再看教材上的證明，那就都明白了；否則要是未經(jīng)思考就去看教材上的證明，那就不一定知道為什么應(yīng)該是從那個(gè)地方開始證明的。

袁智斌：原來您把數(shù)學(xué)閱讀看成一種探尋數(shù)學(xué)結(jié)論的過程。閱讀中您常常思索別人是怎么想出那個(gè)證明的，并獨(dú)立探尋那個(gè)定理的證明思路與方法，經(jīng)過努力，您最終獨(dú)立探索出來了，從中您就非常開心與更加自信。

羅博深：是的。我就是用數(shù)學(xué)探究與計(jì)算推理等方法來閱讀數(shù)學(xué)教材的。

（二）思辨交流：學(xué)生除了認(rèn)真聽講外，還須主動(dòng)學(xué)習(xí)、猜想探究與思辨交流

袁智斌：那您剛才談到了家庭教育、學(xué)校教育，和您在小學(xué)、初中、高中和大學(xué)里的學(xué)習(xí)過程，以及您的博士階段的學(xué)習(xí)。請問在小學(xué)階段，您覺得還有什么往事值得回味?

羅博深：我是在美國長大的。美國的小學(xué)、初中，包括幼兒園都不要學(xué)那么多數(shù)學(xué)內(nèi)容的。所以我記得在我上小學(xué)的時(shí)候，我就是在家里學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，在學(xué)校里我就學(xué)會(huì)跟別的小朋友溝通。由于我已經(jīng)會(huì)做數(shù)學(xué)課堂上正在教的內(nèi)容了，老師就幫我找了一間教室去學(xué)習(xí)新的內(nèi)容，而當(dāng)時(shí)那間教室里有幾臺(tái)電腦。那時(shí)候電腦也才剛剛開始進(jìn)入學(xué)校，老師也不太清楚如何正確使用電腦，就好像二十多年前大家剛剛接觸MS-DOS 系統(tǒng)一樣，電腦顯示器上顯示的都是一些字符或者數(shù)字，誰都不知道這些字符或數(shù)字是干什么用的。我就是從那時(shí)開始接觸電腦，并由此逐步了解到怎么編程的。其實(shí)小學(xué)階段我就覺得學(xué)會(huì)跟別人溝通交流是非常有用的。所以我們在美國小學(xué)里就主動(dòng)和同學(xué)們一起交流。

袁智斌：您從小學(xué)就開始和同學(xué)一起討論？

羅博深：不能說是討論。小朋友，不知道什么討論，我們就是相互打招呼，和說說話。

袁智斌：那您能回顧一下當(dāng)時(shí)小學(xué)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)流程是怎樣的嗎?

羅博深：這個(gè)問題我不大清楚。因?yàn)楫?dāng)時(shí)我是在家里學(xué)習(xí)小學(xué)數(shù)學(xué)的，而不是在數(shù)學(xué)課堂上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的。我的同學(xué)在課堂上學(xué)數(shù)學(xué)的時(shí)候，我在另外的教室里學(xué)習(xí)別的內(nèi)容，所以我不太知道美國小學(xué)階段的數(shù)學(xué)課堂是怎么樣的。

袁智斌：也就是說，您在上小學(xué)的時(shí)候就是在家里學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的?

羅博深：小學(xué)階段，我回家后就在家里學(xué)數(shù)學(xué)。

袁智斌：老師們允許您當(dāng)時(shí)在學(xué)校不上數(shù)學(xué)課嗎?

羅博深：就我個(gè)人經(jīng)歷來說，如果一名學(xué)生已經(jīng)對課堂上所要講授的內(nèi)容全部都學(xué)會(huì)了，學(xué)校就會(huì)想辦法來給他安排別的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行新的學(xué)習(xí)。因?yàn)槟菚r(shí)我已經(jīng)會(huì)了小學(xué)數(shù)學(xué)，老師就帶我到別的教室，我就有機(jī)會(huì)來學(xué)習(xí)電腦。別的同學(xué)在課堂上學(xué)習(xí)的加減乘除，我當(dāng)時(shí)已經(jīng)都會(huì)了，于是我就有機(jī)會(huì)去學(xué)習(xí)其他的新內(nèi)容，訓(xùn)練新技能。

袁智斌：美國的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，只要學(xué)生已經(jīng)達(dá)到了課程教學(xué)要求后，就可以自由開展學(xué)習(xí)了嗎?

羅博深：這樣說也不太對。我那時(shí)的老師們常常會(huì)這樣想：我們可以給那些已經(jīng)學(xué)會(huì)課堂教學(xué)內(nèi)容的學(xué)生提供哪些幫助，來促進(jìn)他們開展新的學(xué)習(xí)？有一年，我好像熱衷于思考一些沒有數(shù)字但需要運(yùn)用邏輯的一些內(nèi)容，也有一年熱衷于做一些有關(guān)電腦編程的事情。當(dāng)有一些學(xué)生已經(jīng)學(xué)會(huì)并掌握了小學(xué)數(shù)學(xué)的知識后，老師們就會(huì)為那些同學(xué)找別的新教學(xué)內(nèi)容來讓他們學(xué)習(xí)。

袁智斌：小學(xué)階段的數(shù)學(xué)課您就基本上沒有上，那初中呢?

羅博深：初中的時(shí)候，我就開始跳級；但不是全面各科都跳級，我和同年齡的同學(xué)一起學(xué)英語跟歷史等；而數(shù)學(xué)和科學(xué)這兩門課程，我就跳到上一年級進(jìn)行聽課學(xué)習(xí)，并與那個(gè)班的同學(xué)一起學(xué)新的東西。其實(shí)那時(shí)候我已經(jīng)學(xué)到一些在家還沒有學(xué)到的東西了。在我所了解到的大多數(shù)美國課堂上，老師都是先用一點(diǎn)時(shí)間來解釋新的知識點(diǎn)，然后就用很多時(shí)間讓大家在課堂上來做練習(xí)題。因?yàn)槲乙呀?jīng)有這些數(shù)學(xué)知識與相應(yīng)的解題經(jīng)驗(yàn)了，所以大部分時(shí)間里我自己就很快做完數(shù)學(xué)題。做完了題目以后我就幫旁邊的同學(xué)做那些他們認(rèn)為比較難的練習(xí)題，或者如果他們碰到困難時(shí)，我就幫旁邊的同學(xué)來探尋那些難題的解答方法。幫助他們學(xué)會(huì)怎么做那些難題，我就好像老師一樣對這些學(xué)生進(jìn)行輔導(dǎo)。那是很有意義的，因?yàn)槲液芟矚g幫助別人。從小學(xué)、初中起，我就開始為別的同學(xué)解答數(shù)學(xué)疑難問題了。

袁智斌：請問您自學(xué)數(shù)學(xué)，跟您給別人解答一道數(shù)學(xué)難題，這兩者之間有什么差異?

羅博深：如果自己做一個(gè)題目，可以有自己的思路。如果我?guī)蛣e人答疑的時(shí)候，我就會(huì)先問那位同學(xué)，你現(xiàn)在的思路是什么。如果他用了另一個(gè)解題思路，我就會(huì)告訴他，如果考慮某一點(diǎn)的話，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)你的這條解題思路為什么不行。解答一道題，往往既有正確的思路也有錯(cuò)的思路。若你能快速發(fā)現(xiàn)哪條思路有問題，就可以省很多時(shí)間。我?guī)椭鷦e人不只是告訴別人最快的那條思路，而是要幫助他們了解他們現(xiàn)在用的思路有什么問題。

袁智斌：您自己做一道題，跟給別人講解一道題，在思路和方法上有什么不同?

羅博深：在為別的同學(xué)講解疑難問題的解答過程時(shí)，他會(huì)有疑問，他可能會(huì)問這一步為什么是這樣的，他也可能會(huì)問你剛說的那一句真的對嗎。在為別的同學(xué)解答疑難問題的時(shí)候，不是自己獨(dú)立解題，別人會(huì)問這一步為什么，別人會(huì)自己思考與提出疑問。給別人講一道疑難問題的解答過程，比自己單獨(dú)做一道題的效果會(huì)更好一些，因?yàn)閯e人的提問或質(zhì)疑會(huì)促進(jìn)我進(jìn)一步思考與理解那道難題的數(shù)學(xué)本質(zhì)。因此，給別人講難題的解答過程就變成了一個(gè)討論。

袁智斌：給同學(xué)答疑講解中的質(zhì)疑與討論，又幫助您修正不足并增強(qiáng)您數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性，還促進(jìn)了您的反思，加深了您的理解，這應(yīng)該就是您一直主張同學(xué)之間應(yīng)多進(jìn)行討論的原因吧。那您在高中階段呢?

羅博深：我上高中的跳級情況也和初中差不多。我也是在數(shù)學(xué)和科學(xué)兩門課程上跳了一個(gè)年級。我也是在做完數(shù)學(xué)作業(yè)后就去幫助同學(xué)解答難題。相比初中而言高中會(huì)自由得多。我的意思是說，美國的高中學(xué)生可以選擇自己想上的那幾門課，可以選課并決定自己怎么上課。比如，我上高中的最后那年，我就只選了四門課。這樣我的課程就比較少，空閑時(shí)間就比較多，于是我就用那些多出來的時(shí)間來做自己喜歡的事情。美國高中也有許多課外活動(dòng)。比如，我在高中參加了課余辯論活動(dòng)。因?yàn)槲矣X得有條理地說話其實(shí)非常重要，所以我就參加了課余辯論活動(dòng)。到現(xiàn)在我都還常常感到當(dāng)年高中階段參加課余辯論活動(dòng)形成的能力與積累的經(jīng)驗(yàn)都是很有用的。因?yàn)橛辛水?dāng)年課余辯論的經(jīng)驗(yàn)，在講課中我就可以更容易地解釋我自己真實(shí)的想法，尤其是自己的獨(dú)立思考所得。如果我跟別人討論問題，而且若我要說一句話，我就可以很快地說出我自己想說的話。換言之，我并不是課前仔細(xì)詳盡地準(zhǔn)備我的講課語言，我不是考慮上課時(shí)要先說這一句，然后再說那一句。因?yàn)槲叶當(dāng)?shù)學(xué)，我知道應(yīng)該怎么講授那些數(shù)學(xué)內(nèi)容，再加上我有高中課余辯論的經(jīng)驗(yàn)，因此在課堂上我就可以快速、精準(zhǔn)和深入淺出地進(jìn)行講解。所以說高中課余辯論的經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)思考能力綜合在一起，我就可以快速、有效地進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)了。我可以針對課堂上的教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生們的現(xiàn)場反應(yīng)，當(dāng)時(shí)想說什么，就可以立即說出來。

袁智斌：課余辯論在提升您的語言能力的同時(shí)，也還促進(jìn)了您的思考，促進(jìn)了您的思辨能力，這是非常好的。您還記得您當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)老師是怎么上數(shù)學(xué)課的嗎?

羅博深：美國高中的數(shù)學(xué)課堂，有一部分就是解釋一個(gè)新的知識點(diǎn)，有一部分是來講評昨天的課后作業(yè)，還有一部分是在課堂上再做一點(diǎn)練習(xí)。當(dāng)然每個(gè)老師的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)都不盡相同，但基本上都有以上這三個(gè)部分。

袁智斌：關(guān)于美國中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的三個(gè)組成部分的具體內(nèi)容，您可以再具體說一下嗎?

羅博深：第一個(gè)就是，先講評昨天的作業(yè)；第二個(gè)就是，講授新的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)；第三個(gè)就是，進(jìn)行數(shù)學(xué)課堂練習(xí)。因?yàn)閷W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不可能只是聽別人講，而必須自己親自獨(dú)立解答數(shù)學(xué)題目。我想其實(shí)全世界的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)大致都是由這樣的三部分組成的。

袁智斌：關(guān)于講評作業(yè)，您覺得應(yīng)該是老師講好還是學(xué)生講好?

羅博深：有的老師讓學(xué)生講得多一些，有的讓學(xué)生講得少一點(diǎn)，每一個(gè)數(shù)學(xué)教師的課堂教學(xué)方式方法都是不一樣的。我自己個(gè)人覺得最好是讓學(xué)生先說，老師再點(diǎn)評與重復(fù)說一下，這樣效果就會(huì)更好一些，也是最好的。

（三）快樂學(xué)習(xí)：快樂體驗(yàn)，突出學(xué)生主體地位，加強(qiáng)過程教學(xué)，多給學(xué)生思考時(shí)間

袁智斌：您既熟悉美國數(shù)學(xué)教育，您也了解一些中國的數(shù)學(xué)教育。若我們要給學(xué)生提供更加優(yōu)質(zhì)的數(shù)學(xué)教育的話，請問您可以給我們中國的數(shù)學(xué)老師提什么建議呢?

羅博深：我覺得中國的數(shù)學(xué)教師都是非常好的。如果要我給中國數(shù)學(xué)教師一點(diǎn)建議的話，就是教師上課中要給學(xué)生更多的時(shí)間來鍛煉他們的思考能力。我的意思是，如果學(xué)生只是為了準(zhǔn)備考試，那么他們主要是來學(xué)習(xí)解題方法和解答常規(guī)習(xí)題套路的。當(dāng)這些只注重學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)解題套路的學(xué)生在解答試卷上數(shù)學(xué)試題的時(shí)候，往往只會(huì)照搬以前學(xué)到的常規(guī)習(xí)題的解題方法來解答那些似曾相識的題目。若一個(gè)人只會(huì)用套路而不會(huì)現(xiàn)場獨(dú)立思考問題的話，那就沒有學(xué)習(xí)到思考問題的方法。數(shù)學(xué)教師要選擇哪些題目來當(dāng)學(xué)生作業(yè)?如果你選擇那些需要更多思考時(shí)間的題目來當(dāng)作業(yè)，學(xué)生們就有更多的機(jī)會(huì)來練習(xí)尋找解題思路的方法與技能。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生需要努力培養(yǎng)自主、獨(dú)立和深入地思考疑難問題的能力與習(xí)慣。注重并堅(jiān)持做好這些，我想就會(huì)更好。

袁智斌：您對我們中國學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有哪些建議?

羅博深：我覺得中國大多數(shù)中學(xué)生都是非常好的。很多數(shù)學(xué)題目他們都會(huì)做。我今天講座的時(shí)候，有一個(gè)同學(xué)在提問環(huán)節(jié)中說他以前學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)比較快樂，現(xiàn)在對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)好像不太快樂了。所以我的建議就是，如果可以讓他們再次感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的那個(gè)快樂體驗(yàn)，那就更好。其實(shí)對我來說數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的快樂體驗(yàn)就是我真正想了解數(shù)學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在動(dòng)力，真正有數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究的成就感，真正好像碰到一個(gè)新的問題被自己解決了。如果更多人有這種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究的快樂體驗(yàn)或經(jīng)驗(yàn)，那就會(huì)有更多人可以做得更好。

為此，我建議教師們應(yīng)該通過激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣并讓他們快樂學(xué)習(xí)來幫他們提高其數(shù)學(xué)成績。當(dāng)學(xué)生們都學(xué)會(huì)了思考數(shù)學(xué)問題的方法時(shí)，他們今后的成績就會(huì)變得更好，所以數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣與學(xué)習(xí)成績兩邊都應(yīng)該受到關(guān)注與重視。

袁智斌：請問是否需要我們的學(xué)生進(jìn)行超前學(xué)習(xí)?

羅博深：超前學(xué)習(xí)，我覺得比較有用的就是要超前讓學(xué)生們學(xué)會(huì)努力。我的意思是說，在美國，那些學(xué)習(xí)奧數(shù)的學(xué)生，有很多人是到了高中以后才開始學(xué)習(xí)需要長時(shí)間思考的那些證明題的。那么，當(dāng)他們從原來只習(xí)慣解答初中以計(jì)算為主、不需要長時(shí)間深度思考的競賽題而轉(zhuǎn)到解答高中需要深度思考的奧數(shù)訓(xùn)練的證明題的時(shí)候，他們可能會(huì)一時(shí)很難轉(zhuǎn)過來。因?yàn)槊绹某踔袛?shù)學(xué)競賽主要是用快速算數(shù)來解答不需要長時(shí)間思考的計(jì)算題，所以初中數(shù)學(xué)競賽相比高中數(shù)學(xué)競賽而言就比較簡單和比較好玩，從而到了高中數(shù)學(xué)競賽階段，他們就不大習(xí)慣努力深入地思考數(shù)學(xué)難題。當(dāng)他們在大學(xué)里面繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，若他們從小就學(xué)會(huì)了深入思考問題的方法，那他們就可以習(xí)慣需要思考半小時(shí)或以上的那些大學(xué)數(shù)學(xué)證明題或數(shù)學(xué)定理證明了。

袁智斌：您對我們的數(shù)學(xué)教師有什么教學(xué)上的建議?

羅博深：我覺得你們的數(shù)學(xué)教師都是非常好的。今天下午前來參加我們的數(shù)學(xué)教育報(bào)告會(huì)的老師們都非常好。我覺得數(shù)學(xué)教師專業(yè)化成長的最有力、最持久的內(nèi)驅(qū)力可能就是教師自發(fā)自覺地一直在尋找新的教學(xué)方法。因?yàn)槭澜缟蠜]有一個(gè)人是最好的，所以如果你可以整天來考察和了解大家在干什么以及大家是否采用了什么新的思路與方法來開展教學(xué)工作與教學(xué)研究，那你就可以創(chuàng)造出自己的更好的教學(xué)方法了。我就是通過到世界各地的講座并從中考察和了解各地的老師是怎么做的，從而學(xué)習(xí)到了一些新的東西。我今天來到你們這里，希望可以為你們帶來一些從外面學(xué)來的新的教學(xué)方法。如果大家經(jīng)常留意觀察別人是在干什么以及別人又采用了什么新的思路與方法來開展教學(xué)或進(jìn)行新的研究的話，就可以見賢思齊而不斷學(xué)習(xí)和進(jìn)步。

（四）勤奮努力：專心致志、深度思考又統(tǒng)籌安排時(shí)間

袁智斌：您幾次都講到了真正的努力。您從小的時(shí)候就知道要努力，后面也非常努力。那您能幫我們再簡單講講這幾個(gè)階段的真正努力的含義是什么嗎?

羅博深：對于小朋友而言，如果他愿意坐下來靜靜地思考問題就是一種努力。因?yàn)樾〉臅r(shí)候我們大家都喜歡出去玩，對不對?但我很小的時(shí)候就可以安靜地坐下來長時(shí)間思考數(shù)學(xué)問題。當(dāng)我準(zhǔn)備參加初中數(shù)學(xué)競賽時(shí)，我發(fā)現(xiàn)在思考問題中我可以讓頭腦動(dòng)得更快。正如要步行一段距離，既可以用普通的速度，也可以用快跑的速度。頭腦想問題也是一樣的。你在思考問題時(shí)，你也可以讓頭腦用“快跑”的速度進(jìn)行思考，以便用更多的力氣來專心思考問題。我覺得我自己最努力的時(shí)期是上博士研究生階段。我是本科畢業(yè)之前的那一天結(jié)婚的，所以我在念博士的時(shí)候已經(jīng)生了兩個(gè)孩子了。那時(shí)候我的時(shí)間是非常緊的。那種努力就是說每天只有二十四個(gè)小時(shí)，但每一個(gè)小時(shí)的工作、學(xué)習(xí)與休息都要排滿。我當(dāng)時(shí)既注重專心思考問題，也很細(xì)心地把時(shí)間排滿，不浪費(fèi)時(shí)間，每一分鐘都要抓緊。

（五）教學(xué)視頻：讓學(xué)生課余觀看并體會(huì)數(shù)學(xué)是有趣的

袁智斌：您今天下午為深圳市的數(shù)學(xué)教師們所做的教學(xué)講座中播放了一個(gè)勾股定理教學(xué)視頻。請問您們在美國課堂教學(xué)中一般是怎么使用教學(xué)視頻的?

羅博深：今天下午的講座中使用的那個(gè)視頻其實(shí)不是供老師在課堂上用的。我們所制作的那個(gè)視頻其實(shí)是讓學(xué)生課外觀看并從中感到數(shù)學(xué)是有趣的。那是我們的一種課余數(shù)學(xué)教學(xué)輔導(dǎo)方法。大部分美國教師都不是在課堂中播放視頻的，大部分老師都是自己講課。學(xué)生回到家可能還要復(fù)習(xí)一些數(shù)學(xué)知識點(diǎn)。在美國和在中國現(xiàn)在都有許多網(wǎng)上課程。在美國這些網(wǎng)上課程有很多都是免費(fèi)的，其實(shí)有很多美國高中學(xué)生如果在家不會(huì)某些數(shù)學(xué)知識點(diǎn)，他們就會(huì)上網(wǎng)來看一下這些數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的教學(xué)視頻。所以我們制作的這個(gè)視頻不是供課堂教學(xué)之用的，我們制作的這些視頻是讓學(xué)生課余來看數(shù)學(xué)是有趣好玩的。

袁智斌：請問您當(dāng)時(shí)是怎么想到錄制這個(gè)勾股定理的教學(xué)視頻的?

羅博深：制作這些視頻是我自己想到的。我當(dāng)時(shí)是這樣想的：如果我們真的要大家都喜歡學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的話，我們可能還需要從廣告中來學(xué)習(xí)一些教學(xué)方法。廣告是要你買什么東西的，而我不是要學(xué)生買什么東西；我們是“賣”數(shù)學(xué)愛好的，如果我們想要讓學(xué)生們都喜歡學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，那我們應(yīng)該怎么做呢?讓孩子們在視頻中看和他們一樣的人是怎么學(xué)習(xí)或研究數(shù)學(xué)的，你看我們錄制的勾股定理教學(xué)視頻上的主角不是老師而是兩個(gè)高中學(xué)生。讓孩子們在我們錄制的視頻中看到他們自己或他們的同齡人怎么愉快地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，對不對?那是一個(gè)部分。另外一部分也是很重要的，那就是要讓他們感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是很開心的。在很多電影里，有些數(shù)學(xué)家被塑造成奇怪或者有神經(jīng)病的樣子。我們要介紹數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中大家應(yīng)該怎么討論數(shù)學(xué)問題，以及引導(dǎo)大家向教學(xué)視頻中那些人那樣享受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的快樂，同時(shí)我們制作的視頻中也包含了一些數(shù)學(xué)知識點(diǎn)。因?yàn)槲抑篮芏嗳?，平時(shí)利用搜索引擎來尋找所需的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)，比如勾股定理。據(jù)我所知，每一個(gè)月大約有十萬多人次利用搜索引擎來檢索勾股定理。于是我就想把勾股定理拍成數(shù)學(xué)教學(xué)視頻。如果我們把這個(gè)視頻打包上傳到網(wǎng)上，就會(huì)有很多人檢索到我們拍攝的勾股定理教學(xué)視頻。不是我一個(gè)人來拍那個(gè)勾股定理教學(xué)視頻的。當(dāng)然我是數(shù)學(xué)家，我就帶領(lǐng)一些人來制作數(shù)學(xué)教學(xué)視頻，找一些人來幫我們寫對話，我負(fù)責(zé)數(shù)學(xué)內(nèi)容應(yīng)該怎么樣呈現(xiàn)，然后再找一些會(huì)拍攝電影的人來參與拍攝工作。所以今天下午在講座中播放的那個(gè)短視頻看起來是比較成功的數(shù)學(xué)教學(xué)視頻。

（六）教學(xué)PPT：“無字”PPT 更利于教師講解與課堂生成

袁智斌：我發(fā)現(xiàn)您在今天下午的講座中沒有用寫有文字說明的PPT，而是用現(xiàn)場手寫的方式來授課。試問您為什么要用現(xiàn)場手寫和現(xiàn)場演算的方式來開展數(shù)學(xué)教學(xué)呢?

羅博深：其實(shí)我喜歡用現(xiàn)場手寫教學(xué)內(nèi)容的方式來講課，因?yàn)槲以诂F(xiàn)場教學(xué)中常常會(huì)改變我自己原計(jì)劃想說的話。我的意思就是說，我要看聽眾現(xiàn)場的反應(yīng)。如果我的解釋大家都已經(jīng)聽明白了，那我就要比較快速地往下講了，或者我可能就要跳過去講新的內(nèi)容了。如果我事前準(zhǔn)備了一個(gè)寫有文字說明的PPT，現(xiàn)場跳過那些大家都已經(jīng)明白的內(nèi)容是很突兀和很難的。但是更難的是，如果現(xiàn)場講解中發(fā)現(xiàn)大家不太了解我剛剛說的話或所講的內(nèi)容，如果繼續(xù)使用事前寫有文字說明的PPT，就不方便更換要講的話。同時(shí)，如果你臨時(shí)需要添加新的東西進(jìn)去就更不行了。所以，我最喜歡用現(xiàn)場手寫方式授課，因?yàn)槲颐繉懸痪浜螅瑏砜创蠹覍W(xué)得怎么樣，如果大家理解了，那我就現(xiàn)場快速跳過去。其實(shí)今天下午我的講座中也用了沒有文字說明的PPT。你可以看到我用的那些PPT 上沒有具體的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，甚至一個(gè)字都沒有。因?yàn)槟切㏄PT 上都是照片。我講過了許多講座，我每次都是用照片來制作PPT 的，這樣可以簡明直觀地呈現(xiàn)講座內(nèi)容，并且我始終都不在那些用照片來制作的PPT 上面事先寫上具體的教學(xué)內(nèi)容，以此來幫助我講解相應(yīng)的數(shù)學(xué)內(nèi)容。若大家在現(xiàn)場聽講中理解了我說的，我就要跳過去；要不然，我就不能臨時(shí)根據(jù)聽眾的反應(yīng)來隨機(jī)應(yīng)變地調(diào)整要說的話或修改教學(xué)內(nèi)容，也不能根據(jù)聽眾的反應(yīng)來說其他更加貼近現(xiàn)場聽眾的數(shù)學(xué)內(nèi)容。所以在每次講座中，我都希望根據(jù)大家現(xiàn)場聽講的反應(yīng)來選擇最合適聽眾的講座方式，并及時(shí)進(jìn)行現(xiàn)場調(diào)整。

（七）數(shù)學(xué)教育的價(jià)值：讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考

袁智斌：請問您認(rèn)為我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)?學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有什么好處?

羅博深：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好處就是它可以教你學(xué)會(huì)怎么思考問題的方法。如果你很會(huì)解答數(shù)學(xué)疑難問題，那你就很會(huì)分析與思考問題。如果你會(huì)分析與解決問題，相信你的生活會(huì)比還沒有學(xué)會(huì)思考方法的人要好得多。其實(shí)今天我給大家做的講座，就是想讓學(xué)生來真正理解數(shù)學(xué)。如果學(xué)生們能夠用思考與研究數(shù)學(xué)的方法來分析今天下午講座中的那些游戲的話，他們也可以贏我今天下午講座中的那些游戲。我就是想用這些游戲來說明如何學(xué)會(huì)思考問題的方法的，這只是一個(gè)很小的例子。其實(shí)生活未必永遠(yuǎn)都是公平的，而是非常復(fù)雜的，所以你需要想出最好的那個(gè)辦法來解決問題，而最好的那個(gè)辦法是可以用數(shù)學(xué)思考得出來的。我認(rèn)為數(shù)學(xué)跟想象力、思考能力是結(jié)合在一起的。

袁智斌：您講得非常好！最后，您能總結(jié)一下今天所講內(nèi)容的要點(diǎn)嗎?

羅博深：我希望學(xué)生和老師都一起不斷地學(xué)習(xí)，因?yàn)槲乙惨恢眻?jiān)持學(xué)習(xí)。希望大家一起去發(fā)現(xiàn)更多創(chuàng)新的數(shù)學(xué)方法，一種真正學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思考方法，同時(shí)提升我們的思考能力。其實(shí)數(shù)學(xué)是想象力與思考能力的有機(jī)結(jié)合，如果把這兩個(gè)結(jié)合在一起，我們就可以更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、思考問題，也可以更好地幫助他人和服務(wù)社會(huì)。

袁智斌：感謝您今天跟我們進(jìn)行了富有啟發(fā)的深度訪談。特別是您談到的在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要科學(xué)地讓學(xué)生通過解答一些需要深度思考才能解答的問題，真正地讓學(xué)生去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思考方法而不是那些解答常規(guī)題目的套路，注重提升學(xué)生的思維能力，始終注意把想象力與思維能力有機(jī)結(jié)合；在數(shù)學(xué)教材的教學(xué)中，教師應(yīng)該讓學(xué)生先獨(dú)立思考并自主運(yùn)用猜想、計(jì)算推理等核心方法進(jìn)行嘗試證明后，才去看教材上的證明過程，從而將數(shù)學(xué)教材的閱讀轉(zhuǎn)變?yōu)榫哂袛?shù)學(xué)探究與計(jì)算推理為特征、突出猜想探究與演繹推理的過程教學(xué)，這對我們今后開展數(shù)學(xué)教育具有十分重要的啟發(fā)意義。非常感謝您，歡迎您有空再來深圳做客！

羅博深：謝謝！

三、總結(jié)與反思

對于如何更好地培養(yǎng)創(chuàng)新人才的問題，我們除了從理論層面進(jìn)行研究外，還應(yīng)該從實(shí)踐層面，特別應(yīng)從對創(chuàng)新人才的個(gè)案研究中來進(jìn)行突破。

（一）總結(jié)

羅博深教授既有深度思考與探究學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，又有參加IMO 并獲獎(jiǎng)的顯著成績，更有從事從小學(xué)至研究生階段的全程數(shù)學(xué)教育教學(xué)的豐富經(jīng)歷。從這個(gè)意義來看，羅博深教授是數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)競賽和中小學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)領(lǐng)域的難得的創(chuàng)新人才，他的成長過程、數(shù)學(xué)研究過程、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)、突出的競賽成績和獨(dú)到的教學(xué)方法等都應(yīng)該是我們中小學(xué)數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的難得的研究對象與典型案例。

1. 探究閱讀是一種非常有效的數(shù)學(xué)閱讀方式

羅博深教授以數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，尤其是在大學(xué)里學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)定理的證明為例，詳細(xì)談到了他自己將數(shù)學(xué)教材的閱讀變成數(shù)學(xué)思辨與數(shù)學(xué)結(jié)論探索的以計(jì)算推理為主要特征的猜想探究與演繹推理過程，這一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)閱讀方式對其數(shù)學(xué)素養(yǎng)與數(shù)學(xué)能力的提升起到了積極的推動(dòng)作用。

2. 獨(dú)立思考、猜想探究、計(jì)算推理、思辨交流有助于深度的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

羅博深教授在專訪中認(rèn)為，“如果自己真的要學(xué)東西，就需要跟學(xué)習(xí)內(nèi)容來競爭一下”，這句話所闡述的主張是，我們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)該開展以獨(dú)立思考、猜想探究與創(chuàng)新研究，尤其是需要主動(dòng)進(jìn)行探究閱讀、計(jì)算推理與思辨交流等方面的深度學(xué)習(xí)。

3. 課件（微課）制作與使用中應(yīng)該關(guān)注的兩個(gè)問題

（1）以現(xiàn)場演算板書為特征的過程教學(xué)比單向線性播放PPT 更有利于促進(jìn)學(xué)生獨(dú)立思考與深度學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)課堂上是否應(yīng)該使用寫有文字說明的PPT?以及如何使用PPT?羅博深教授“喜歡現(xiàn)場手寫”的做法值得借鑒，因?yàn)楝F(xiàn)場手寫可以根據(jù)學(xué)生們的反應(yīng)來及時(shí)調(diào)整教學(xué)內(nèi)容與講解方式。在這個(gè)方面，北京大學(xué)柳斌教授也表達(dá)過同樣的觀點(diǎn)：“用PPT 去講數(shù)學(xué)課對老師來說非常方便，基本上不用備課，但學(xué)生理解和接受起來就有很大困難，因?yàn)闆]有給學(xué)生留出反應(yīng)時(shí)間?！笨梢?，這是一個(gè)很有價(jià)值的做法。

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必須經(jīng)歷感知、建構(gòu)與理解知識意義的過程，所以我們的數(shù)學(xué)教學(xué)必須尊重和遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。而當(dāng)下某些“快速、高效”地單向播放PPT 的教學(xué)操作在客觀上違背了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，導(dǎo)致學(xué)生感知的信息過載，不利于學(xué)生的獨(dú)立思考與猜想探究。

（2）揭示本質(zhì)、激發(fā)興趣應(yīng)是“微課”制作與使用的價(jià)值取向，但“微課”不能完全替代教師講授。羅博深教授認(rèn)為，“視頻其實(shí)不是供老師在課堂上用的”，而主要是讓學(xué)生在課外“感到數(shù)學(xué)是有趣的”。這個(gè)觀點(diǎn)可以引起我們對當(dāng)下部分學(xué)校開展的“微課”教學(xué)，以及“微課”進(jìn)課堂的一些不當(dāng)操作進(jìn)行反思。我們在“微課”制作與“微課”使用上，存在將教材上印刷的數(shù)學(xué)知識簡單直白地變?yōu)镻PT 等的電子呈現(xiàn)、將本應(yīng)由課堂上教師根據(jù)學(xué)生情況進(jìn)行講解點(diǎn)評的話語提前錄音后在課堂上無視學(xué)生情況而機(jī)械播放、將本應(yīng)師生互動(dòng)生成出豐富多彩而又富有針對性的課堂教學(xué)變成了PPT 單向線性的播放推進(jìn)等等的不當(dāng)操作，從而導(dǎo)致我們課堂上使用的“微課”缺乏趣味性、針對性、科學(xué)性，以及缺乏深入淺出揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)與規(guī)律的體現(xiàn)教師富有個(gè)性、智慧與人情味的解惑答疑的講授，這既不利于發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，又容易導(dǎo)致形式主義或技術(shù)至上的傾向進(jìn)而違背教育教學(xué)規(guī)律。

4. 教學(xué)中要多提供一些學(xué)生思考的機(jī)會(huì)與時(shí)間

知識建構(gòu)需要時(shí)間，深度學(xué)習(xí)需要時(shí)間，問題解決更需要時(shí)間。羅博深教授認(rèn)為，“如果要我給中國數(shù)學(xué)教師一點(diǎn)建議的話，就是要給學(xué)生更多的時(shí)間來鍛煉他們的思考能力”。這個(gè)建議值得我們學(xué)習(xí)、采納和反思，并幫助我們改進(jìn)我們的數(shù)學(xué)教學(xué)，力求減少機(jī)械操作并同步增加自主學(xué)習(xí)、獨(dú)立思考和思辨交流的時(shí)間與程度，即增加思維活動(dòng)時(shí)間與思維深度。

在“超前學(xué)習(xí)”這個(gè)問題上，羅博深教授認(rèn)為“比較有用的就是要超前讓學(xué)生們學(xué)會(huì)努力”的觀點(diǎn)也具有積極的參考價(jià)值。羅博深教授所言的“努力”就是主張學(xué)習(xí)者通過自主學(xué)習(xí)、深入思考來與其所學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行“競爭”，即開展以獨(dú)立思考、猜想探索、計(jì)算推理等為特征的深度學(xué)習(xí)，這為我們的家庭和學(xué)校開展“超前教育”提供了一個(gè)新的思路。

5. 興趣是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力、快樂是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的潤滑劑

關(guān)于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)以及在“快樂學(xué)習(xí)”方面，羅博深教授認(rèn)為最好的做法是讓他們再感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的那個(gè)快樂體驗(yàn)，在他看來，如果更多人有這種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究的快樂體驗(yàn)或經(jīng)驗(yàn)，那就會(huì)讓更多人做得更好。這種觀點(diǎn)對我們開展數(shù)學(xué)教育具有積極的啟發(fā)意義。我們應(yīng)在教學(xué)中充分激發(fā)學(xué)生的興趣，切實(shí)讓學(xué)生體會(huì)到對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思考和探究的樂趣，喚起其自信和逐步培養(yǎng)其自我效能。

羅博深教授認(rèn)為，一個(gè)人若真正想學(xué)好數(shù)學(xué)就會(huì)想許多辦法來努力學(xué)好，同時(shí)，他在談到數(shù)學(xué)教材的探究閱讀方法、數(shù)學(xué)教學(xué)視頻制作，以及在給中國學(xué)生的學(xué)習(xí)建議中，都多次強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該是快樂的。

基于此，我們在數(shù)學(xué)教材編寫和數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)該把如何激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和如何讓學(xué)生切身感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成就感并由此產(chǎn)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)樂趣擺在突出地位，通過激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不斷經(jīng)歷探索并獲得成功，使學(xué)生體驗(yàn)到學(xué)習(xí)的快樂和不斷形成自我效能，進(jìn)而從中指導(dǎo)和幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、提升成績、發(fā)展思維能力。

6. 數(shù)學(xué)課堂教學(xué)三階段的劃分

羅博深教授將數(shù)學(xué)教學(xué)劃分為以下三個(gè)階段：第一階段，“講評昨天的作業(yè)”，這體現(xiàn)了及時(shí)反饋原則；第二階段，在“講評昨天的作業(yè)”后才“講新的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)”，這體現(xiàn)與強(qiáng)調(diào)了應(yīng)該在了解學(xué)生學(xué)習(xí)情況、及時(shí)幫助學(xué)生消除學(xué)習(xí)障礙并初步達(dá)到新學(xué)習(xí)的教學(xué)必備基礎(chǔ)后才能開展數(shù)學(xué)新知教學(xué)的原則；第三階段，“進(jìn)行數(shù)學(xué)課堂練習(xí)”，這體現(xiàn)與強(qiáng)調(diào)了將所學(xué)數(shù)學(xué)知識內(nèi)化為數(shù)學(xué)技能技巧所必須經(jīng)歷的訓(xùn)練、形成與提升過程。

7. 教師專業(yè)化發(fā)展的一個(gè)新思路

羅博深教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)教師專業(yè)化成長的最有力和最持久的內(nèi)驅(qū)力可能就是教師自發(fā)自覺地一直在尋找新的教學(xué)方法，這個(gè)觀點(diǎn)為我們的教師專業(yè)化發(fā)展提供了一個(gè)自強(qiáng)不息、樹立目標(biāo)、留心觀察、見賢思齊、同伴互助、榜樣引領(lǐng)、主動(dòng)學(xué)習(xí)的新思路、新方法與新途徑。

8. 數(shù)學(xué)教育的價(jià)值

羅博深教授認(rèn)為：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好處就是它可以教你學(xué)會(huì)怎么思考問題的方法。如果你很會(huì)解答數(shù)學(xué)疑難問題，那你就很會(huì)分析與思考問題。如果你會(huì)分析與解決問題，相信你的生活會(huì)比還沒有學(xué)會(huì)思考方法的人要好得多?！边@一觀點(diǎn)進(jìn)一步闡述了數(shù)學(xué)教育的價(jià)值所在。此外，羅博深教授還說：“希望大家一起去發(fā)現(xiàn)更多創(chuàng)新的數(shù)學(xué)方法，一種真正學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思考方法，同時(shí)提升我們的思考能力。其實(shí)數(shù)學(xué)是想象力與思考能力的有機(jī)結(jié)合，如果把這兩個(gè)結(jié)合在一起，我們就可以更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、思考問題，也可以更好地幫助他人和服務(wù)社會(huì)。”他的這個(gè)觀點(diǎn)啟發(fā)我們要注重學(xué)生的數(shù)學(xué)想象力與思維能力的開發(fā)與培養(yǎng)。

（二）反思

在對羅博深教授的專訪中，我們進(jìn)一步了解他獨(dú)到的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)、教學(xué)方法與教育觀點(diǎn)，可以促使我們不斷地進(jìn)行教學(xué)反思。

1. 突出勤奮努力的教育價(jià)值取向

中小學(xué)生是處于不斷學(xué)習(xí)與逐步成長的青少年。鼓勵(lì)和引導(dǎo)中小學(xué)生養(yǎng)成勤奮努力、獨(dú)立思考、猜想探究、深度學(xué)習(xí)和創(chuàng)新發(fā)展等的意向、毅力、能力、習(xí)慣與素養(yǎng)等，是教書育人，特別是數(shù)學(xué)教育中應(yīng)始終追求的目標(biāo)之一。

2. 充分發(fā)揮數(shù)學(xué)難題的教育功能，特別是處于學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的數(shù)學(xué)難題的教育功能

應(yīng)該科學(xué)精準(zhǔn)地確定學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，并據(jù)此精心選編與學(xué)生最近發(fā)展區(qū)相適宜的難題，通過解答難題深化學(xué)生對所學(xué)知識方法的理解、對問題的研究，從而進(jìn)一步提升學(xué)生解答難題的技能、積累成功解答難題的經(jīng)驗(yàn)以及更好地促進(jìn)其創(chuàng)新和發(fā)展。

3. 正確認(rèn)識傳統(tǒng)教學(xué)方法與信息技術(shù)各自的教育教學(xué)功能，并充分發(fā)揮二者互補(bǔ)融合的作用

信息技術(shù)有利于知識的可視化呈現(xiàn)，即信息技術(shù)可以動(dòng)態(tài)、直觀、高速與反復(fù)再現(xiàn)相關(guān)內(nèi)容，這是信息技術(shù)的優(yōu)勢。但信息技術(shù)的這些特點(diǎn)在教學(xué)實(shí)際使用中容易導(dǎo)致學(xué)生感知的信息過載，這種教學(xué)內(nèi)容一閃而過的高速呈現(xiàn)方式與操作方式又常常弱化甚至省略了教學(xué)過程，尤其是忽略了學(xué)生的感知、學(xué)習(xí)、思考和內(nèi)化數(shù)學(xué)知識方法的必要過程，同時(shí)還有可能使教師忽視了在教學(xué)過程中對學(xué)生的數(shù)學(xué)想象力、深刻理解能力與思維能力的培養(yǎng)。而黑板、粉筆、現(xiàn)場演算與板書等傳統(tǒng)的教具、教學(xué)手段與方式，雖存在短期的、顯性的效率低下問題，但其實(shí)施速度或?qū)嵤┻M(jìn)程又正好和學(xué)生的感知、理解和掌握新知大致同步，從而更有利于學(xué)生想象力、理解能力與思維能力的培養(yǎng)，更有利于學(xué)生對其所學(xué)知識方法的感知、意義建構(gòu)和掌握，而這正是傳統(tǒng)教學(xué)方式方法的獨(dú)特長處所在。

為此，我們應(yīng)該深入數(shù)學(xué)教學(xué)一線，通過開展教學(xué)調(diào)查和教學(xué)實(shí)驗(yàn)研究等途徑，正確認(rèn)識傳統(tǒng)教育教學(xué)方法與信息技術(shù)各自的教育教學(xué)功能，并將它們有機(jī)融合并充分發(fā)揮其各自作用。

4. 突出學(xué)生主體地位、注重思維訓(xùn)練、開展快樂學(xué)習(xí)應(yīng)是課堂教學(xué)的價(jià)值取向

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)該怎么進(jìn)行？既不能滿堂灌，也不能形式化地淺層合作學(xué)習(xí)，而應(yīng)在深入研究課堂教學(xué)的本質(zhì)特征和必要的教學(xué)流程的基礎(chǔ)上，注重過程教學(xué)，突出學(xué)生的主體地位，追求教學(xué)的針對性與有效性。

在過程教學(xué)中需要強(qiáng)調(diào)的是：首先，在知識習(xí)得階段和解題階段，應(yīng)該有學(xué)生自主學(xué)習(xí)與獨(dú)立探索的必要過程；其次，在自主學(xué)習(xí)與獨(dú)立探索基礎(chǔ)上應(yīng)該引導(dǎo)或組織學(xué)生們開展思辨交流；其三，在相應(yīng)的數(shù)學(xué)技能的訓(xùn)練與形成過程中，應(yīng)該有學(xué)生對所學(xué)知識方法和形成的相應(yīng)技能的反思、提煉與內(nèi)化過程；同時(shí)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該讓學(xué)生們切身感知或感受到學(xué)習(xí)結(jié)果與進(jìn)步，以及張弛有度、幽默風(fēng)趣、主動(dòng)思考、互動(dòng)交流、快樂學(xué)習(xí)的課堂教學(xué)氛圍。

簡而言之，探究閱讀、計(jì)算推理、思辨交流、快樂學(xué)習(xí)是成功的數(shù)學(xué)教育的關(guān)鍵所在。

羅博深教授這些獨(dú)到的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)、教學(xué)方法與教學(xué)觀點(diǎn)等具有一定的針對性與啟發(fā)性，有助于提升我們對數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的本質(zhì)與規(guī)律的認(rèn)識水平，促進(jìn)我們改變觀念與改進(jìn)實(shí)際操作。同時(shí)，也為我們的數(shù)學(xué)教育，特別是通過數(shù)學(xué)教育開展創(chuàng)新人才的培養(yǎng)，提供了一些可資借鑒的思路與方法。