王淼，宋振森，滕念管

(1. 上海交通大學(xué)船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上海 200240；2. 上海市公共建筑和基礎(chǔ)設(shè)施數(shù)字化運維重點實驗室，上海 200240)

開發(fā)時速600 km/h 以上的磁浮軌道交通系統(tǒng)可填補高鐵與航空運輸之間的速度空白，為中長距離的地面旅客運輸提供新的選擇。高速磁浮多采用“以橋代路”的設(shè)計思路，由于軌道梁細長，隨著行車速度提高列車與軌道梁之間會產(chǎn)生明顯的耦合振動。對此，眾多學(xué)者通過建立磁浮車?橋耦合振動模型進行了深入研究。TENG 等[1]建立了考慮自動控制器的10 自由度磁浮列車-3 跨連續(xù)梁豎向耦合振動模型，研究了軌道梁各項參數(shù)及車速對系統(tǒng)耦合振動的影響。REN 等[2]建立了6 自由度的車?橋豎向耦合振動模型，數(shù)值模擬結(jié)果表明，相較于軌道梁振動，軌道不平順對車體振動加速度具有更明顯的影響。倪萍等[3]分別建立了10自由度車輛及軌道梁的豎向耦合振動模型，并基于PID 控制對二者進行耦合，研究了時速600 km/h磁浮系統(tǒng)的振動響應(yīng)。目前，單獨針對磁浮車?橋豎向耦合振動的研究較為多見，而對于時速600 km/h 以上的高速磁浮橫向耦合振動卻關(guān)注較少。由于磁浮系統(tǒng)在水平橫向沒有重力荷載作用，此時軌道不平順作為主要的激勵源，對系統(tǒng)振動起著決定性影響。在橫向荷載方面，LIU等[4?5]研究了側(cè)風(fēng)作用下列車的空氣動力學(xué)特性，表明列車在運行中會受到較大的風(fēng)致橫向荷載作用。而列車?控制器?軌道梁作為一個耦合的整體，有必要建立完整的橫向耦合振動模型，對軌道梁的橫向動力性能加以驗證。本文通過理論推導(dǎo)，建立了基于PD 控制器的246 自由度高速磁浮列車?40 跨柔性軌道梁橫向耦合振動微分代數(shù)方程組統(tǒng)一模型，并通過編程進行數(shù)值求解，針對某新型軌道梁，研究在側(cè)風(fēng)、軌道不平順荷載共同作用下的車?橋橫向耦合振動，進而考察該軌道梁的橫向動力學(xué)性能。

1 車橋橫向耦合振動模型

1.1 模型概述

圖1 為橫向耦合振動示意圖，其中擺桿(屬二系懸掛)連接車體與懸浮架，橡膠彈簧連接懸浮架與導(dǎo)向電磁鐵，軌道梁與電磁鐵之間由基于自動控制器的磁浮吸力來實現(xiàn)穩(wěn)定的磁浮間隙。當車體與懸浮架在橫向產(chǎn)生相對位移時，由擺桿提供橫向回復(fù)力[6]，另設(shè)有輔助限位彈簧以避免二者相對橫向位移過大，因此擺桿轉(zhuǎn)角較小，故將擺桿及輔助限位彈簧的回復(fù)力做線性化處理。

圖1 橫向耦合振動示意圖Fig.1 Schematic diagram of lateral coupling vibration

如圖2所示，軌道梁受移動的磁浮力作用，在水平方向上由于軌道方向不平順及軌距不平順的存在，會在梁兩側(cè)分別對磁浮間隙產(chǎn)生擾動，進而引起車?橋橫向耦合振動。在工程中電磁力為均布移動荷載，本文采用單側(cè)78 個，雙側(cè)共156 個移動集中荷載模擬均布電磁力。如圖5所示，根據(jù)反演的軌道不平順譜可知，里程長度在1 km 左右足夠覆蓋不平順的峰值及各種波長，故選擇對應(yīng)的軌道梁數(shù)量，即40跨簡支梁建立模型。

圖2 軌道梁示意圖Fig.2 Schematic diagram of track beam

1.2 車輛振動方程

圖3 為高速磁浮TR08 車型的橫向振動計算簡圖，將車體、懸浮架及導(dǎo)向電磁鐵視為剛體并考慮其水平運動、擺頭運動，懸浮架由鋁合金制成，其縱梁具有一定的彈性[7]，故將懸浮架的前后2 個單元視為由彈簧阻尼器連接的剛體，5 列編組列車共246個廣義自由度。

圖3 尾車橫向振動示意圖Fig.3 Schematic diagram of the tail car lateral vibration

基于多剛體動力學(xué)，車輛振動方程可寫為如式(1)的矩陣形式：

式中：qV={q1,q2,…,q246}T為廣義自由度列向量；MV為車輛系統(tǒng)廣義質(zhì)量對角矩陣，其元素MVii為第i個廣義自由度所對應(yīng)的廣義質(zhì)量，平動自由度對應(yīng)質(zhì)量，擺頭自由度對應(yīng)轉(zhuǎn)動慣量；CV為車輛系統(tǒng)廣義阻尼矩陣；KV為車輛系統(tǒng)廣義剛度矩陣；FV為車輛系統(tǒng)廣義力列向量。

將車輛的彈簧阻尼系統(tǒng)編號，形成剛度元素對角矩陣KVD= Diag(k1,k2,…,k156)，采用矩陣組裝法[8]可寫出車輛廣義剛度矩陣KV：

式中：KVtr為156×246 的剛度轉(zhuǎn)換矩陣，其元素KVtrij表示當?shù)趈個廣義坐標為單位位移時，其余廣義坐標位移均為0 時，第i個剛度元素產(chǎn)生的單位廣義剛度力。彈簧拉伸時剛度力為正，反之為負。

由于彈簧、阻尼成對出現(xiàn)，采用同樣的方法，在式(2)中直接將KVD中的彈簧剛度系數(shù)替換為對應(yīng)的阻尼系數(shù)，即可求得阻尼矩陣CV。

將電磁鐵上的均布力簡化為位于3 等分處的2個集中力，左右側(cè)磁浮力編號奇偶不同以示區(qū)別，形成磁浮力列向量Fm={fm1fm2…fm156}T，并按式(3)建立廣義力列向量FV：

式中：矩陣N為246×156的組裝矩陣，其元素Nij表示第i個廣義自由度為單位位移時，第j個磁浮力所做的功。當對應(yīng)廣義自由度i為側(cè)移時，對應(yīng)元素取值為1，對應(yīng)廣義自由度i為擺頭時，其值取為磁浮力到電磁鐵質(zhì)心的力臂長度，正負號按磁浮力做功確定，當磁浮力j做正功時，元素Nij取正值，反之為負。

1.3 軌道梁振動方程

區(qū)別于中低速磁浮，高速磁浮列車在垂向和橫向分別有獨立的控制器進行懸浮、導(dǎo)向的控制，且由于軌道梁截面扭轉(zhuǎn)剛度大，軌道梁扭轉(zhuǎn)運動幅值小，因此，高速磁浮軌道梁垂向、橫向振動是弱耦合的。

用40 跨長度為L的等截面簡支梁模擬磁浮軌道梁，第k跨梁的強迫振動方程為：

式中：tki為第i個磁浮力進入第k跨軌道梁時間；xki為第i個磁浮力在第k個軌道梁上的位置；v為車速；H(t)為單位階躍函數(shù)；δ(x)是Dirac 函數(shù)，具有挑選性質(zhì)。

軌道梁以低階模態(tài)振動為主，綜合考慮計算精度與計算效率，基于模態(tài)疊加法取前6 階模態(tài)，可滿足精度要求并保證較高的計算效率，則第k跨簡支梁的解可表示為：

式中：Tkj(t)為第k根軌道梁、第j階模態(tài)對應(yīng)的廣義坐標；Yj(x)為簡支梁模態(tài)函數(shù)，其表達式為Yj(x) = sin(jπx/L)。將式(6)代入式(4)，兩邊同乘模態(tài)函數(shù)Yj(x)，并沿梁長積分，并利用模態(tài)函數(shù)的正交性可得：

式中：Mj，Cj，Kj分別為與j階模態(tài)對應(yīng)的廣義質(zhì)量、廣義阻尼和廣義剛度，F(xiàn)kj(t)為第k根梁的j階廣義力，k取1～40，j取1～6。

利用Dirac 函數(shù)挑選性質(zhì)，在積分時消去x，并將模態(tài)函數(shù)表達式代入，得到廣義力Fkj(t)：

1.4 電磁力控制方程

吳晗等[9]研究表明，當控制器時滯小于臨界時滯時，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，本節(jié)假設(shè)時滯滿足穩(wěn)定性要求進行后續(xù)推導(dǎo)。磁浮力的自動控制模型如圖4 所示，傳感器采集磁浮間隙e(t)之后，由比例?微分(PD)控制器輸出控制電壓ur，再經(jīng)運算放大器輸出電壓uc，使導(dǎo)向電磁鐵上的線圈產(chǎn)生電流i(t)，進而產(chǎn)生電磁力以實現(xiàn)磁浮間隙控制。

圖4 磁浮力反饋控制示意圖Fig.4 Schematic diagram of magnetic force feedback control

將電磁力fm在其平衡位置線性化表示[10]為電流i(t)與磁浮間隙e(t)的函數(shù)：

輸出電壓uc，控制電壓ur及i(t)可按下式計算

式中：u0為預(yù)設(shè)電壓；kp，kd分別為比例系數(shù)和微分控制系數(shù)。將式(11)代入式(10)，可得：

式中：qj(t)與qk(t)分別為第i個磁浮力對應(yīng)的導(dǎo)向電磁鐵的橫移和擺頭自由度的廣義坐標；li為磁浮力至其所在電磁鐵質(zhì)心的距離，當對應(yīng)電磁鐵擺頭運動使得i處產(chǎn)生與其側(cè)移方向相同位移時取正，反之為負，yi(t)為軌道不平順時域樣本函數(shù)，按式(15)可得到。di(t)為第i個磁浮力所在位置處軌道梁橫向位移，可表示為：

1.5 軌道不平順模型

軌道不平順是主要的外部激擾[2,11]，采用三角級數(shù)法進行時域反演得到方向不平順樣本xa(h)與軌距不平順樣本xg(h)，并依據(jù)幾何關(guān)系得到左、右側(cè)單軌不平順時域樣本函數(shù)yi(t)：

高速磁浮線路在不受載條件下測量的幾何不平順譜暫未見報道，但其導(dǎo)向面動態(tài)不平順在10～100 m 范圍內(nèi)與高鐵類似[12]，再考慮到磁浮力控制器低頻跟隨、高頻抑制的特性[13]，故參考高鐵不平順譜并采用三角級數(shù)法進行時域反演，左、右軌不平順時域曲線如圖5如所示。

圖5 軌道不平順時域曲線(600 km/h)Fig.5 Time domain curve of track irregularities

1.6 車軌耦合系統(tǒng)方程及求解

由前文推導(dǎo)得到車輛振動微分方程組(1)，軌道梁振動微分方程組(7)和磁浮間隙代數(shù)方程組(13)構(gòu)成指標為1 的車橋耦合振動微分?代數(shù)方程組，其中磁浮間隙代數(shù)方程為約束方程。引入狀態(tài)變量zi(t)，方程組降階為如下形式：

化為變系數(shù)微分方程組，本文使用Mathematica內(nèi)置的隱式微分-代數(shù)方程求解器IDA進行求解[14]，得到耦合系統(tǒng)時域響應(yīng)。值得一提的是，理論推導(dǎo)過程中關(guān)于廣義自由度、彈簧阻尼系統(tǒng)及磁浮力數(shù)量均具有推廣性。

2 算例分析

2.1 模型驗證

為驗證模型正確性，建立了軌道不平順激勵、時速600 km/h的耦合振動模型，并從以下4個方面對模擬結(jié)果進行考察：1) 根據(jù)控制要求，磁浮間隙應(yīng)在其平衡位置±2 mm 范圍內(nèi)波動；2)由于PD控制器相較于PID控制缺少積分項，列車下橋后磁浮間隙應(yīng)當產(chǎn)生一定的靜差[15]；3)軌道梁振動應(yīng)當完整反映出列車上橋—橋上運行—下橋的過程；4)與商業(yè)軟件磁浮橫向耦合振動結(jié)果對比。

圖6為每節(jié)車首個磁浮間隙時程曲線圖，由于軌道不平順作用時軌道梁振動較小，軌道不平順仍是磁浮間隙振動的決定性因素，因此各磁浮間隙曲線僅有微小區(qū)別，其最大幅值為1.8 mm，滿足要求。在列車下橋后，磁浮間隙產(chǎn)生了小于0.5 mm的靜差，滿足PD控制的規(guī)律。

圖6 每節(jié)車首個磁浮間隙時程曲線Fig.6 Time history curve of the first maglev gap of each train

圖7為軌道梁跨中振動時程曲線，各跨梁在列車上橋后受到磁浮力激勵振動，下橋后做有阻尼自由振動。鄒逸鵬等[16]采用Simpack 建立較為精細的車輛振動模型對橫向耦合振動進行了研究，重點關(guān)注磁浮車輛的動力響應(yīng)，圖8為本文與該文獻結(jié)果的對比圖，由于軌道不平順在使用三角級數(shù)法進行時域反演時會在相位上引入隨機函數(shù)，因此二者在相位分布上有所區(qū)別，但幅值近似，最大位移均為0.5 mm。

圖7 軌道梁跨中位移時程曲線Fig.7 Guideway beam midspan displacement

圖8 車體位移時程曲線對比Fig.8 Comparison of vehicle displacement time history curves

綜上所述，數(shù)值模擬結(jié)果能夠充分反映高速磁浮橫向耦合振動的特征，符合磁浮系統(tǒng)耦合振動的宏觀規(guī)律，車體位移幅值區(qū)間與其他研究結(jié)果相近。由此認為提出的耦合振動分析方法具有一定的參考價值。

2.2 風(fēng)致橫向荷載及軌道不平順共同作用

磁浮列車氣動力大小、作用位置等與列車外形等參數(shù)密切相關(guān)，畢海權(quán)等[17]通過數(shù)值模擬給出了5 列編組的TR 車型在20 m/s 連續(xù)側(cè)風(fēng)作用下的橫向力，與本文模型所研究的列車屬同一系列，故采用該文獻給出的風(fēng)致橫向荷載幅值，研究系統(tǒng)的橫向耦合振動。

圖9 給出600 km/h 時磁浮系統(tǒng)的耦合振動響應(yīng)，由圖9(a)可知車體在橫向荷載作用下偏離平衡位置，并在1.5 s 內(nèi)達到新的平衡，之后在軌道不平順激勵下振動。圖9(b)為磁浮間隙時程曲線，由于橫向荷載作用，其整體向一側(cè)偏移，最大波動幅值為2 mm。對于軌道梁，如圖9(c)和圖9(d)所示，相較于僅有軌道不平順激勵時其振動時程曲線產(chǎn)生了較為明顯的變化，在列車上橋后各跨梁偏離平衡位置振動，并在列車下橋后振動逐漸衰減為0，其跨中最大位移為0.3 mm，最大加速度為0.12 m/s2。

圖9 橫向荷載及不平順作用下振動時程響應(yīng)(600 km/h)Fig.9 Time history response of vibration under lateral load and track irregularity(600 km/h)

圖10(a)給出跨中最大位移隨行車速度變化的曲線。當車速為50～100 km/h 區(qū)間時，各跨梁的跨中最大位移處于0.20～0.21 mm 范圍內(nèi)，基本不變。而車速達到650 km/h 時，各梁的跨中最大位移則處于0.22～0.32 mm 之間，幅值增加且離散性加強。在《磁浮鐵路技術(shù)標準(試行)》中規(guī)定允許跨中最大位移為1.98 mm，由圖可知，側(cè)風(fēng)作用下各梁的最大位移均小于0.32 mm，遠小于此值，表明在側(cè)風(fēng)荷載作用下新型軌道梁跨中最大位移滿足要求；在各車速下跨中最大位移幅值在0.15～0.32 mm 范圍內(nèi)，未觀察到劇烈的振幅增加現(xiàn)象，表明系統(tǒng)未產(chǎn)生共振。

圖10 不同速度下軌道梁跨中最大動力響應(yīng)Fig.10 Maximum mid-span dynamic response of guideway beam at different speeds

圖10(b)給出跨中最大加速度隨速度變化的關(guān)系圖，當車速為50～550 km/h 內(nèi)時，最大加速度與車速正相關(guān)，最大值為0.15 m/s2。當車速超過550 km/h時跨中振動加速度最大值反而下降，這是由于車速提高，列車以更快的速度通過了軌道梁，當車速大于550 km/h 時，整車通過單跨梁用時小于1 s，作用于軌道梁之上的激振時間縮短，導(dǎo)致跨中最大加速度反而隨速度增加而減小。

在風(fēng)致橫向荷載及軌道不平順共同作用下，軌道梁跨中最大位移、最大加速度在各車速條件下均滿足要求，系統(tǒng)未產(chǎn)生共振，表明新型軌道梁的橫向動力學(xué)性能滿足要求。

3 結(jié)論

1)基于多剛體動力學(xué)、PD 控制算法、模態(tài)疊加法建立了TR08 型高速磁浮列車-控制器-柔性軌道梁的橫向耦合振動微分?代數(shù)方程組模型，考慮了多列編組列車、多跨軌道梁、軌道不平順和風(fēng)致橫向荷載等因素，數(shù)值模擬能完整反映出系統(tǒng)的振動響應(yīng)。

2)在風(fēng)致橫向荷載及軌道不平順共同作用下，車速50～650 km/h 時，新型軌道梁跨中最大位移與車速正相關(guān)，且存在一臨界車速使得軌道梁的跨中最大加速度取得最大值，當車速小于臨界車速時，跨中最大加速度與車速正相關(guān)，反之為負相關(guān)。

3) 通過在風(fēng)致橫向荷載及軌道不平順共同作用下的耦合振動計算發(fā)現(xiàn)，高速磁浮新型軌道梁在各車速條件下跨中最大橫向位移0.32 mm，最大加速度0.15 m/s2，未產(chǎn)生共振，其橫向動力學(xué)性能滿足要求。