李廷偉 榮星2)? 杜江峰2)

1) (中國科學(xué)技術(shù)大學(xué),中國科學(xué)院微觀磁共振重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室和物理學(xué)院,合肥 230026)

2) (中國科學(xué)技術(shù)大學(xué),中國科學(xué)院量子信息與量子科技創(chuàng)新研究院,合肥 230026)

1 引言

量子力學(xué)的誕生,改變了人們以往對(duì)于微觀世界的認(rèn)識(shí).量子力學(xué)提供了一種全新的視角去研究微觀的量子系統(tǒng).利用經(jīng)典體系去模擬研究量子系統(tǒng),是有局限的.更加直接、深入的研究,必須在量子體系上進(jìn)行.而想要以量子系統(tǒng)為實(shí)驗(yàn)平臺(tái)開展研究,關(guān)鍵在于能對(duì)微觀量子系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)有效的量子控制.然而由于實(shí)際物理體系無時(shí)無刻都與環(huán)境存在相互作用,相干糾纏等量子特性極易受環(huán)境噪聲影響.因此量子態(tài)的“壽命”是有限的,一般用相干時(shí)間來衡量.理想的量子實(shí)驗(yàn)平臺(tái)需要相干時(shí)間長且易于操控的系統(tǒng),固態(tài)自旋正是這樣的量子體系.固態(tài)自旋體系主要包括量子點(diǎn)體系和固態(tài)摻雜體系.量子點(diǎn)體系中電子受到三維勢阱的約束形成分立的能級(jí)結(jié)構(gòu),這與原子中的電子結(jié)構(gòu)類似,所以量子點(diǎn)又稱為“人造原子”.門控量子點(diǎn)[1]是一類廣泛應(yīng)用于量子計(jì)算領(lǐng)域的量子點(diǎn),它是通過在半導(dǎo)體上刻蝕金屬門電極,施加電壓對(duì)電子約束形成的.門控量子點(diǎn)有兩種量子比特的編碼方式:一種是將單量子點(diǎn)中電子自旋能級(jí)編碼成自旋量子比特;另一種是利用金屬電極構(gòu)造出雙量子點(diǎn)結(jié)構(gòu),把電子在雙量子點(diǎn)中的位置編碼成電荷量子比特.通過電脈沖和微波脈沖可以分別實(shí)現(xiàn)對(duì)電荷量子比特和自旋量子比特的量子控制.目前量子點(diǎn)中實(shí)現(xiàn)的單比特和兩比特量子邏輯門保真度分別為99.9%[2]和98%[3].磷硅體系是將31P 原子注入到28Si 襯底中形成的固態(tài)摻雜體系,31P 原子核和其上方的電子自旋構(gòu)成兩比特系統(tǒng).通過激光泵浦可以對(duì)核自旋和電子自旋進(jìn)行初始化[4].磷硅體系中通過微波和射頻脈沖實(shí)現(xiàn)的單比特門保真度能達(dá)到99.9%以上,利用電子自旋之間的交換作用能實(shí)現(xiàn)兩比特門,保真度達(dá)到90%[5].金剛石氮-空位(nitrogen-vacancy,NV)色心,是另一種重要的固態(tài)摻雜體系.它在室溫下有很長的相干時(shí)間,具有優(yōu)秀的能級(jí)結(jié)構(gòu),可以通過激光方便地對(duì)量子態(tài)進(jìn)行極化和讀出,通過微波和射頻脈沖能實(shí)現(xiàn)普適的量子控制.這些良好的物理性質(zhì)使得NV 色心成為量子物理領(lǐng)域的熱點(diǎn).本文介紹NV色心的量子控制技術(shù)進(jìn)展和在實(shí)驗(yàn)研究中的應(yīng)用.

2 金剛石NV 色心自旋體系

2.1 NV 色心的能級(jí)結(jié)構(gòu)和光學(xué)讀出

金剛石中一個(gè)碳原子被氮原子取代,同時(shí)鄰近的一個(gè)碳原子缺失所形成的晶體缺陷(如圖1 所示),稱為氮-空位缺陷色心,即NV 色心[6—9].NV色心具有C3ν對(duì)稱性,其對(duì)稱軸沿氮原子和空位的連線方向,稱為NV 主軸.NV 色心有兩種電荷態(tài):中性的NV0和帶負(fù)電的NV—.它們的能級(jí)結(jié)構(gòu)和物理性質(zhì)都有很大的不同,廣泛應(yīng)用于量子物理領(lǐng)域的是帶負(fù)電的NV—.若無特殊說明本文中的NV色心均指NV—.

圖1 金剛石中NV 色心結(jié)構(gòu)圖[9]Fig.1.Schematic atomic structure of the NV center in diamond[9].

NV 色心的能級(jí)結(jié)構(gòu)見圖2(a),其中基態(tài)3A2是自旋三重態(tài),可等效為S=1 的電子自旋[10,11].激發(fā)態(tài)3E 也是自旋三重態(tài),且與基態(tài)的能級(jí)差為1.945 eV,對(duì)應(yīng)的吸收波長為637 nm.除此之外還存在兩個(gè)自旋單態(tài)的亞穩(wěn)態(tài)1A2和1E,它們之間的能級(jí)間隔為1.190 eV,對(duì)應(yīng)的吸收波長為1042 nm.圖2(b)是NV 色心電子自旋基態(tài)的能級(jí)結(jié)構(gòu)圖.當(dāng)沒有外磁場時(shí),電子自旋的|ms=±1〉能級(jí)簡并,且與|ms=0〉能級(jí)之間存在D=2870 MHz 的零場劈裂;當(dāng)沿主軸方向存在外磁場時(shí),|ms=±1〉能級(jí)發(fā)生塞曼分裂而解除簡并.塞曼劈裂大小ωe=γeB0與沿主軸方向的磁場B0成正比,γe是電子自旋的旋磁比,大小為2.8 MHz/G (1 G=10—4T).一般以基態(tài)的|ms=0〉能 級(jí)作為量子比特的|0〉態(tài),選擇|ms=±1〉能級(jí)中的一個(gè)作為量子比特的|1〉態(tài),構(gòu)成NV 色心的電子自旋量子比特.由于與鄰近13C 和14N 等核自旋存在耦合,NV 色心電子自旋的基態(tài)能級(jí)會(huì)發(fā)生超精細(xì)劈裂[12].類似地選取核自旋的兩個(gè)能級(jí)作為量子比特的|0〉態(tài)和|1〉態(tài),構(gòu)成核自旋量子比特.NV 色心電子自旋和一個(gè)鄰近核自旋就組成了兩比特量子系統(tǒng).

圖2 金剛石NV 色心能級(jí)結(jié)構(gòu)[9] (a) NV 色心的基態(tài)、激發(fā)態(tài)和亞穩(wěn)態(tài);(b) NV 色心基態(tài)的精細(xì)結(jié)構(gòu)和14N 核帶來的超精細(xì)結(jié)構(gòu)Fig.2.Energy level diagram of the NV center in diamond[9]:(a) Ground state,excited state and metastable state of the NV center;(b) fine structure and hyperfine structure(caused by 14N nuclear spin) of the NV center ground state.

室溫下由于聲子作用,NV 色心可以被500—600 nm 波長的激光激發(fā),從基態(tài)躍遷到激發(fā)態(tài).處于激發(fā)態(tài)的NV 色心有兩種路徑回到基態(tài):一種是通過自旋守恒的自發(fā)輻射回到基態(tài),同時(shí)產(chǎn)生波長637—750 nm 的熒光,稱為輻射躍遷過程;另一種是通過兩個(gè)亞穩(wěn)態(tài)能級(jí)1A2和1E 回到基態(tài),稱為系間跨越(intersystem crossing,ISC)過程[13].ISC過程自旋不守恒,并且由于亞穩(wěn)態(tài)1A2和1E 對(duì)應(yīng)的吸收波長為1042 nm,躍遷時(shí)不會(huì)輻射產(chǎn)生波長637—750 nm 的熒光光子.NV 色心處于不同的自旋態(tài)時(shí),兩種過程發(fā)生的概率不同.相比于處于|ms=0〉態(tài),NV 色心處于|ms=±1〉態(tài)時(shí)通過ISC過程從激發(fā)態(tài)回到基態(tài)的概率更大.在ISC 過程中,NV 色心從激發(fā)態(tài)3E 躍遷到自旋單態(tài)1A2,再到1E ,最后回到基態(tài)3A2.當(dāng)NV 色心從自旋單態(tài)1E 躍遷到 三重態(tài) 的3A2時(shí),落 在|ms=0〉能級(jí)和|ms=±1〉能級(jí)上的概率相當(dāng)[14].NV 色心在基態(tài)和激發(fā)態(tài)往返多個(gè)周期后,|ms=±1〉能級(jí)上的布居度逐漸轉(zhuǎn)移到|ms=0〉上.當(dāng)施加一束532 nm 激光時(shí),處于|ms=0〉態(tài)的NV 色心被激發(fā)后通過輻射躍遷過程回到基態(tài)的概率更大,在637—750 nm波段產(chǎn)生的熒光光子數(shù)比處于|ms=±1〉態(tài)時(shí)更多,因此實(shí)驗(yàn)上可以通過熒光強(qiáng)度來區(qū)分NV 色心的電子自旋狀態(tài).同時(shí)隨著時(shí)間推移|ms=±1〉能級(jí)上的布居度越來越小,最終電子自旋被極化到|ms=0〉態(tài),室溫下極化率能達(dá)到95%以上[15].這樣通過激光就實(shí)現(xiàn)了對(duì)NV 色心電子自旋的初始化和量子態(tài)讀出.

2.2 NV 色心的自旋量子控制

其中S=(Sx,Sy,Sz) 是自旋算符,θ是轉(zhuǎn)角.在NV色心體系中,一般選取|ms=0〉作為量子比特的|0〉態(tài),選取|ms=±1〉能級(jí)中的一個(gè)(以|ms=-1〉為例),作為量子比特的|1〉態(tài),用微波脈沖來實(shí)現(xiàn)對(duì)量子比特的普適控制.實(shí)驗(yàn)中|ms=0〉和|ms=±1〉的共振頻率為D±ωe.外加頻率接近D-ωe的微波脈 沖可以 控制電 子自旋 在能級(jí)|ms=0〉和|ms=-1〉之間的躍遷.由于微波場幅度ω1遠(yuǎn)小于零場劈裂D和塞曼分裂ωe,微波場下|ms=0〉和|ms=+1〉之間的躍遷可以忽略不計(jì).因此哈密頓量寫作

其中ω0=D-ωe是量子比特的共振頻率;ω1,ωMW,?分別是微波脈沖的幅度、頻率和相位.選取旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)U=e-i2πωMWtSz,實(shí)驗(yàn)中所加微波場滿足旋波近似條件ω1?ωMW,故旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系內(nèi)哈密頓量可以化簡為

該哈密頓量下的演化算符為U=e-iHrott(取自然單位制 ? =1).通過調(diào)節(jié)微波脈沖的頻率ωMW、幅度ω1、相位?和時(shí)長t,就可以實(shí)現(xiàn)Bloch 球中任意的旋轉(zhuǎn)操作R(),從而實(shí)現(xiàn)電子自旋量子比特的普適量子控制.同樣地,對(duì)于核自旋量子比特,可以用射頻脈沖實(shí)現(xiàn)普適的量子控制.對(duì)于NV 色心電子自旋和核自旋組成的兩比特量子系統(tǒng),利用電子自旋和核自旋間固有的耦合,通過微波和射頻脈沖可以實(shí)現(xiàn)的普適量子控制.

3 NV 色心體系的退相干

上面的討論中沒有考慮環(huán)境的作用,把NV 色心看作一個(gè)理想的封閉系統(tǒng).而實(shí)際上任何物理體系都不可避免地與環(huán)境發(fā)生相互作用,在環(huán)境噪聲的影響下量子態(tài)會(huì)逐漸弛豫到環(huán)境溫度下的熱平衡態(tài).NV 色心的環(huán)境噪聲主要來源于和自旋熱庫及聲子的相互作用,其弛豫過程可以唯象地看成同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)過程[16].一個(gè)是自旋角動(dòng)量縱向分量的平均值〈Sz〉從初始值逐漸演化到熱平衡態(tài)對(duì)應(yīng)值的過程,稱為縱向弛豫,用縱向弛豫時(shí)間T1來表征.縱向弛豫和自旋態(tài)翻轉(zhuǎn)有關(guān),主要來自于電子自旋與聲子之間的相互作用.而電子自旋與自旋熱庫的耦合強(qiáng)度遠(yuǎn)小于其能級(jí)差,自旋熱庫對(duì)縱向弛豫過程的貢獻(xiàn)可以忽略不計(jì).在室溫下金剛石中聲子激發(fā)很弱[17],NV 色心的縱向弛豫過程受到抑制,T1長達(dá)毫秒量級(jí).另一個(gè)過程是自旋角動(dòng)量的橫向分量平均值〈Sx〉和〈Sy〉逐漸衰減到零的過程,稱為橫向馳豫,用退相干時(shí)間T2和退相位時(shí)間T2*表征,二者分別對(duì)應(yīng)不同的弛豫機(jī)制.橫向弛豫主要來自于NV 色心電子自旋與周圍大量電子自旋和核自旋(自旋熱庫)的相互作用.當(dāng)不考慮環(huán)境噪聲時(shí)自旋量子態(tài)會(huì)在外加靜磁場的作用下繞Bloch 球中z軸以拉莫頻率ωe=γeB0進(jìn)動(dòng).自旋熱庫的作用相當(dāng)于在每次實(shí)驗(yàn)中沿主軸方向附加一個(gè)隨機(jī)的局域磁場,從而每次實(shí)驗(yàn)拉莫進(jìn)動(dòng)頻率有細(xì)微的不同,一定時(shí)間內(nèi)積累的相位不再是定值,而是滿足一定的分布.這樣多次實(shí)驗(yàn)后〈Sx〉和〈Sy〉因?yàn)槠骄?yīng)發(fā)生衰減,并且隨時(shí)間積累逐漸趨于零.這個(gè)隨機(jī)的局域磁場稱為Overhauser 場,它導(dǎo)致的拉莫頻率偏差記為δ0.Overhauser 場中準(zhǔn)靜態(tài)成分引起的弛豫過程,稱為退相位過程,由退相位時(shí)間描述.在退相位過程中局域磁場是準(zhǔn)靜態(tài)的,δ0在單次實(shí)驗(yàn)中保持不變,在多次實(shí)驗(yàn)中滿足高斯分布.圖3(a)是實(shí)驗(yàn)測得的退相位過程作用下電子自旋的自由感應(yīng)衰減(free induction decay,FID)曲線,插圖是實(shí)驗(yàn)測量的微波脈沖序列—拉姆齊序列(Ramsey sequence)[18].圖中紅點(diǎn)為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn),誤差棒為實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差.黑色實(shí)線是對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果,黑色虛線為其對(duì)應(yīng)的包絡(luò)線.根據(jù)準(zhǔn)靜態(tài)噪聲模型擬合,可以得到退相位時(shí)間=1.68(3) μs 以及對(duì)應(yīng)的δ0分布,結(jié)果如圖3(b)所示.

圖3 NV 色心電子自旋的退相位過程[18] (a) 電子自旋的自由感應(yīng)衰減曲線,插圖為實(shí)驗(yàn)脈沖序列;(b) 準(zhǔn)靜態(tài)噪聲 δ0 的分布 P (δ0)Fig.3.Dephasing process of the electron spin of the NV center[18]:(a) FID of the electron spin,the inset is the experimental pulse sequence;(b) probability density distribution of δ0 .

在拉姆齊序列中t=τ/2 位置插入一個(gè) π 脈沖,則得到Hann 回波序列.施加Hann 回波序列后量子態(tài)在脈沖前半段積累的相位與后半段積累的相位相互抵消,從而消除了單次實(shí)驗(yàn)中準(zhǔn)靜態(tài)噪聲δ0帶來的影響.這時(shí)測得的相干衰減,主要來源于Overhauser 場的非準(zhǔn)靜態(tài)部分,即每次實(shí)驗(yàn)中局域磁場的動(dòng)態(tài)漲落.這個(gè)退相干過程由T2表征.T2一般在百微秒到毫秒量級(jí),遠(yuǎn)長于=1.68 μs.這說明Overhauser 場在單次實(shí)驗(yàn)中動(dòng)態(tài)漲落很小,NV 色心的退相干主要來自每次實(shí)驗(yàn)中準(zhǔn)靜態(tài)噪聲δ0的差異.

要實(shí)現(xiàn)對(duì)NV 色心電子自旋的量子控制,需要施加微波脈沖.因此除了NV 色心本身的環(huán)境噪聲外,還存在操控場噪聲,主要考慮操控場強(qiáng)度漲落δ1帶來的噪聲.一般在量子控制的時(shí)間尺度內(nèi)操控場漲落很小,因此可以將操控場噪聲δ1看作準(zhǔn)靜態(tài)的,且通常認(rèn)為δ1滿足洛倫茲分布[19].實(shí)驗(yàn)上通過測量拉比振蕩衰減可以確定準(zhǔn)靜態(tài)操控場的漲落分布.圖4(a)是實(shí)驗(yàn)測得的電子自旋拉比振蕩衰減曲線,圖中綠點(diǎn)、黑色實(shí)線和虛線分別是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)、對(duì)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的擬合和擬合曲線的包絡(luò),插圖為實(shí)驗(yàn)測量的微波脈沖序列.根據(jù)準(zhǔn)靜態(tài)操控場噪聲模型對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合,得到特征時(shí)間=73(7) μs以及δ1的分布如圖4(b).

圖4 操控場噪聲下NV 色心的退相干[18] (a) 電子自旋的拉比振蕩,插圖為實(shí)驗(yàn)脈沖序列;(b) 準(zhǔn)靜態(tài)操控場噪聲δ1 的分布 P (δ1)Fig.4.Decoherence of the NV center under control field noise[18]:(a) Results of the nutation experiment for the electron spin,the inset is the experimental pulse sequence;(b) probability density distribution of δ1 .

實(shí)驗(yàn)選取的NV 色心的T1在毫秒量級(jí),T2在百微秒到毫秒量級(jí),,分別為1.68 μs 和73 μs.從它們的相對(duì)大小可以看出,量子控制中主要噪聲來自于準(zhǔn)靜態(tài)環(huán)境噪聲δ0和操控場噪聲δ1.如果能對(duì)這兩類噪聲加以抑制,就能夠極大地延長量子態(tài)的相干時(shí)間,實(shí)現(xiàn)高精度的量子控制.

4 單自旋量子控制的應(yīng)用

經(jīng)過多年的實(shí)驗(yàn)研究發(fā)展,基于金剛石NV 色心體系的量子控制技術(shù)已經(jīng)相當(dāng)成熟,不僅能將普適量子邏輯門保真度提高到容錯(cuò)量子計(jì)算的閾值,還能對(duì)時(shí)間最優(yōu)問題和可編程量子控制進(jìn)行深入的研究.同時(shí),對(duì)于新興的研究領(lǐng)域比如非厄米物理,在NV 色心體系上也能實(shí)現(xiàn)普適的非厄米量子控制.本節(jié)將介紹基于NV 色心體系的量子控制研究進(jìn)展和應(yīng)用,包括動(dòng)力學(xué)糾錯(cuò)門[20]、單比特和兩比特的容錯(cuò)量子邏輯門[18]、時(shí)間最優(yōu)量子控制[21]、可編程量子控制[22]和基于宇稱時(shí)間對(duì)稱哈密頓量的量子控制[23].

4.1 動(dòng)力學(xué)糾錯(cuò)門

早期研究中,常通過動(dòng)力學(xué)解耦序列[24—28](如前文的Hann 回波序列)來延長量子態(tài)的相干時(shí)間,所能達(dá)到的相干時(shí)間極限為T1ρ[29].之后動(dòng)力學(xué)解耦被用作保護(hù)量子邏輯門[15,30,31],通過量子邏輯門控制序列和動(dòng)力學(xué)解耦序列的巧妙結(jié)合,在實(shí)現(xiàn)目標(biāo)量子控制的同時(shí)抑制環(huán)境噪聲.但這種方法原則上要求解耦脈沖的強(qiáng)度無限大,而實(shí)際物理體系中操控強(qiáng)度總是有限的.因此有研究工作基于有限操控強(qiáng)度設(shè)計(jì)了抑制環(huán)境噪聲的量子邏輯門序列,即動(dòng)力學(xué)糾錯(cuò)門[32—36].

在各種動(dòng)力學(xué)糾錯(cuò)門中,研究者發(fā)現(xiàn)一類稱為SUPCODE (soft uniaxial positive control for orthogonal drift error)的脈沖序列,能夠有效抑制NV 色心中磁場漲落和自旋熱庫耦合帶來的準(zhǔn)靜態(tài)噪聲δ0[28].SUPCODE 序列由不止一段脈沖組成,調(diào)節(jié)每段脈沖的幅度、相位和時(shí)長等參數(shù),能夠像Hann 回波序列一樣使前后脈沖中準(zhǔn)靜態(tài)噪聲帶來的偏差相互抵消,從而抑制準(zhǔn)靜態(tài)噪聲引起的退相干,提高量子邏輯門保真度.下面以量子邏輯門為例說明SUPCODE序列對(duì)準(zhǔn)靜態(tài)噪聲的抑制效果[20].考慮環(huán)境噪聲強(qiáng)度δ0遠(yuǎn)小于脈沖操控強(qiáng)度ω1,通過計(jì)算可知,對(duì)于普通方波脈沖,準(zhǔn)靜態(tài)噪聲對(duì)量子邏輯門保真度的影響是二階的;對(duì)于由三段脈沖組成的3-piece SUPCODE 序列,準(zhǔn)靜態(tài)噪聲對(duì)保真度的影響是四階的;而由五段脈沖組成的5-piece SUPCODE序列,能夠?qū)?zhǔn)靜態(tài)環(huán)境噪聲對(duì)量子邏輯門保真度的影響抑制到六階[20].如果想抑制更高階的噪聲,則序列需要更多段的脈沖提供足夠的參數(shù)自由度來消除更多的噪聲高階項(xiàng).理論上通過不斷增加SUPCODE 序列的脈沖段數(shù),可以將準(zhǔn)靜態(tài)環(huán)境噪聲對(duì)量子邏輯門的影響抑制到任意高階.

研究者利用NV 色心體系,通過調(diào)節(jié)微波偏共振模擬準(zhǔn)靜態(tài)環(huán)境噪聲δ0,研究和驗(yàn)證了SUPCO DE 序列實(shí)現(xiàn)的量子邏輯門保真度與δ0的關(guān)系[20].具體實(shí)驗(yàn)過程如下:首先將NV 色心電子自旋量子比特初始化到|0〉態(tài),然后分別施加量子邏輯門為R(π)的普通方波脈沖、3-piece SUPCODE 脈沖序列和5-piece SUPCODE 脈沖序列,最后測量在不同環(huán)境噪聲δ0/ω1下的末態(tài)保真度偏差δf=1-理論計(jì)算表明,末態(tài)保真度的偏差隨δ0/ω1的階數(shù)關(guān)系(表1)與量子邏輯門保真度的階數(shù)一致,因此可以用末態(tài)保真度來衡量對(duì)應(yīng)δ0噪聲下量子邏輯門保真度.

表1 不同量子邏輯門序列下末態(tài)保真度的偏差隨 δ0/ω1 的階數(shù)關(guān)系[20]Table 1.Infidelity of quantum gate for different pulses as a function of δ0/ω1 [20].

實(shí)驗(yàn)中設(shè)置微波偏共振從1.5 MHz 到6 MHz.由拉姆齊脈沖實(shí)驗(yàn)和拉比振蕩實(shí)驗(yàn)結(jié)果,得到準(zhǔn)靜態(tài)環(huán)境噪聲δ0和操控場噪聲δ1分布的線寬分別為0.03 MHz 和0.11 MHz,均遠(yuǎn)小于微波偏共振.因此可以認(rèn)為實(shí)驗(yàn)中的噪聲主要來自偏共振模擬的準(zhǔn)靜態(tài)環(huán)境噪聲δ0.測得不同脈沖序列下末態(tài)保真度偏差隨準(zhǔn)靜態(tài)噪聲δ0變化如圖5 所示,圖中實(shí)線對(duì)應(yīng)表1 中的理論計(jì)算結(jié)果,灰色虛線代表實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的不確定度水平.在誤差范圍內(nèi),實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與理論吻合,證明了普通方波脈沖、3-piece 和5-piece SUPCODE 脈沖序列分別將準(zhǔn)靜態(tài)噪聲δ0對(duì)量子邏輯門保真度的影響抑制到了二階、四階和六階.

圖5 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證SUPCODE 序列在實(shí)現(xiàn)量子邏輯門時(shí)對(duì)準(zhǔn)靜態(tài)環(huán)境噪聲的抑制效果[20]Fig.5.Experimental demonstration of the robustness of SUPCODE against the noise stemming from the quasistatic fluctuation of Overhauser field[20].

保真度是衡量量子控制準(zhǔn)確性的一個(gè)重要指標(biāo).5-piece SUPCODE 序列實(shí)現(xiàn)的量子邏輯門的保真度很高,實(shí)驗(yàn)上難以直接地精確測量,但可以通過級(jí)聯(lián)的方式間接得到.5-piece SUPCODE 序列實(shí)現(xiàn)的量子控制可以看作理想量子邏輯門演化的同時(shí)進(jìn)行特征時(shí)間T1ρ的弛豫過程.由于SUPCODE 序列時(shí)間為τp=5.06 μs,遠(yuǎn)小于弛豫時(shí)間T1ρ,兩個(gè)過程可以認(rèn)為相互獨(dú)立,即量子態(tài)先進(jìn)行理想量子邏輯門演化再進(jìn)行相同時(shí)長的弛豫.T1ρ弛豫過程可以用退極化通道描述εD(ρi)=pI/2+(1-p)ρi,其中,為單個(gè)5-piece SUPCODE 序列的時(shí)間內(nèi)T1ρ弛豫導(dǎo)致量子態(tài)發(fā)生錯(cuò)誤的概率.級(jí)聯(lián)M個(gè)5-piece SUPCODE 序列對(duì)應(yīng)量子邏輯門保真度為實(shí)驗(yàn)上通過量子過程層析技術(shù)[37]確定級(jí)聯(lián)M個(gè)5-piece SUPCODE 序列在泡利基下的過程矩陣,利用過程矩陣計(jì)算得到量子邏輯門保真度如圖6.圖中M分別取0,27,54,81,108,135,黑色實(shí)線為理論給出保真度FM與M個(gè)序列總時(shí)間T=Mτp的關(guān)系,灰色區(qū)域?yàn)門1ρ的測量不確定度導(dǎo)致的不確定區(qū)域.可以看出,實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論符合的很好.由此模型計(jì)算,取M=1 得到單個(gè)5-piece SUPCODE 序列實(shí)現(xiàn)的量子邏輯門保真度為0.9961(2).

圖6 級(jí)聯(lián)5-piece SUPCODE 序列實(shí)現(xiàn)的量子邏輯門保真度隨序列時(shí)長的關(guān)系[20]Fig.6.Decay of the fidelity of 5-piece SUPCODEs[20].

4.2 普適容錯(cuò)量子邏輯門

和經(jīng)典計(jì)算機(jī)一樣,量子計(jì)算過程中量子比特會(huì)受到退相干噪聲、操控測量噪聲等因素影響發(fā)生錯(cuò)誤.為了保障計(jì)算結(jié)果的可靠性,需要相應(yīng)的糾錯(cuò)手段.仿照經(jīng)典糾錯(cuò)碼在編碼時(shí)引入冗余的思路,如果用多個(gè)物理的量子比特編碼成一個(gè)邏輯量子比特,利用物理比特之間的關(guān)聯(lián)來檢測并糾正錯(cuò)誤,就可以將量子計(jì)算出錯(cuò)的概率降到任意低,實(shí)現(xiàn)容錯(cuò)量子計(jì)算.容錯(cuò)量子計(jì)算的首要條件是實(shí)現(xiàn)達(dá)到容錯(cuò)閾值的高保真度量子邏輯門.因?yàn)樵诩m錯(cuò)時(shí)要對(duì)物理量子比特進(jìn)行一系列操作,如果量子邏輯門的保真度低于容錯(cuò)閾值,不僅達(dá)不到糾錯(cuò)的目的,還可能引入額外的錯(cuò)誤.動(dòng)力學(xué)糾錯(cuò)門能有效抑制量子邏輯門過程中的準(zhǔn)靜態(tài)環(huán)境噪聲δ0,實(shí)現(xiàn)保真度為0.9961 的單比特量子邏輯門.然而量子邏輯門的保真度不僅受限于環(huán)境噪聲δ0,還受限于操控場噪聲δ1.要實(shí)現(xiàn)更高的量子邏輯門保真度,就需要同時(shí)抑制這兩類噪聲.本節(jié)展示了單比特容錯(cuò)量子邏輯門和兩比特容錯(cuò)CNOT 門的設(shè)計(jì)方法和實(shí)驗(yàn)結(jié)果.

圖7 以量子邏輯門R(x?,π/2) 為例展示了不同脈沖序 列對(duì)環(huán) 境噪聲δ0和操控場噪聲δ1抑制效果[18].每個(gè)子圖的下半部分為不同準(zhǔn)靜態(tài)環(huán)境噪聲δ0和操控場噪聲δ1下的量子邏輯門保真度,黑色實(shí)線為保真度0.9999 的等值線.子圖上半部分為對(duì)應(yīng)脈沖序列,其中上下兩行代表各段脈沖的相位和轉(zhuǎn)過的角度.可以看出,對(duì)于普通方波脈沖(圖7(a)),僅原點(diǎn)附近很小的一塊區(qū)域保真度大于0.9999.這是因?yàn)槠胀ǚ讲}沖對(duì)準(zhǔn)靜態(tài)環(huán)境噪聲δ0和操控場噪聲δ1并沒有特別的抑制效果,二者對(duì)于保真度的影響都是二階的.而5-piece SUPCODE 脈沖序列(圖7(b)),能夠?qū)ⅵ?對(duì)保真度的影響抑制到六階.因此圖中黑色實(shí)線圍成的區(qū)域沿δ0方向擴(kuò)大,但在δ1方向是比圖7(a)中普通方波脈沖對(duì)應(yīng)的區(qū)域還要小.這說明5-piece SUPCODE 脈沖序列雖然能很好地抑制準(zhǔn)靜態(tài)環(huán)境噪聲δ0,但受操控場噪聲δ1影響比普通方波脈沖還大.

圖7(c)展示的是一種常用的能抑制操控場噪聲δ1的量子邏輯門的脈沖序列—BB1 (broadband number 1)脈沖序列[38].BB1 脈沖序列可以將δ1對(duì)保真度的影響抑制到六階,但δ0的影響仍是二階的.圖7(c)中保真度大于0.9999 的區(qū)域沿δ1方向顯著增大,但在δ0方向的增大并不明顯,表明BB1序列對(duì)δ0的抑制并不理想.

圖7 實(shí)現(xiàn)量子邏輯門的各種脈沖序列及在噪聲影響下的保真度[18] (a) 普通方波脈沖;(b) 5-piece SUPCODE 脈沖序列;(c) BB1 脈沖序列;(d) BB1inC 脈沖序列Fig.7.Pulse sequences for quantum gate and the fidelity under noises[18]:(a) Plain pulse;(b) 5-piece SUPCODE pulse;(c) BB1 pulse;(d) BB1inC pulse.

上述幾種脈沖序列都只能抑制δ0或δ1.想要實(shí)現(xiàn)對(duì)δ0和δ1的同時(shí)抑制,需要設(shè)計(jì)新的量子邏輯門脈沖序列.一個(gè)基本的思路是,基于已有的SUP CODE 和BB1 等能單獨(dú)抑制某項(xiàng)噪聲的脈沖序列,將能抑制δ0的脈沖序列與能抑制δ1的脈沖序列以嵌套的方式組合[39,40].脈沖序列的嵌套,指對(duì)于一個(gè)由多段方波脈沖組成的脈沖序列Aseq,每段脈沖對(duì)應(yīng)的量子操作用脈沖序列Bseq而不是普通方波脈沖來實(shí)現(xiàn),得到的新脈沖序列記為BseqinAseq.脈沖序列Bseq稱為內(nèi)嵌序列,脈沖序列Aseq稱為外套序列.然而,將任意一個(gè)能抑制δ0的序列和一個(gè)能抑制δ1的序列嵌套,并不能保證新脈沖序列同時(shí)抑制δ0和δ1.比如,將5-piece SUPCODE 序列嵌套在BB1 序列中,得到的序列卻不能保留BB1 序列抑制δ1的特性,δ1對(duì)保真度的影響依然是二階的;而如果將BB1 序列嵌套在5-piece SUPCODE 序列中,新序列能同時(shí)將δ0和δ1對(duì)量子邏輯門保真度的影響抑制到四階.

研究者嘗試了多種不同外套和內(nèi)嵌序列的嵌套方案,在保證同時(shí)抑制δ0和δ1的前提下,使高保真度區(qū)域盡可能大,以保證實(shí)現(xiàn)的量子邏輯門保真度盡可能高.最終選擇將BB1 序列作為內(nèi)嵌序列嵌套到CORPSE 序列中,得到BB1inC 序列(圖7(d)).CORPSE 序列是一種能夠抑制δ0的量子邏輯門組合脈沖[41],δ0和δ1對(duì)其保真度的影響分別是四階和二階.與圖7(a)的普通方波序列相比.圖7(d)中BB1inC 脈沖序列對(duì)應(yīng)的高保真度區(qū)域在δ0和δ1方向上都增大了很多.

實(shí)驗(yàn)上通過測量量子邏輯門保真度來驗(yàn)證各脈沖序列對(duì)于噪聲的抑制效果.由于待測邏輯門保真度都很高,測量時(shí)受初態(tài)制備誤差和測量誤差的影響較大.因此采用不受初態(tài)制備和測量誤差的影響的RB (randomized benchmarking)方法對(duì)高保真度進(jìn)行精確測量[42].測量時(shí)先將量子比特初始化到|0〉態(tài),然后施加若干個(gè)隨機(jī)的量子門計(jì)算單元.每個(gè)量子門計(jì)算單元包括一個(gè)從泡利群中隨機(jī)選取的泡利門和從克利福德群中選取的非泡利克利福德門,計(jì)算單元中的量子邏輯門由待測的脈沖序列實(shí)現(xiàn).最后測量末態(tài)保真度.因?yàn)榱孔娱T計(jì)算單元中的泡利門和克利福德門是隨機(jī)選取的,所以需要重復(fù)多次實(shí)驗(yàn)取保真度的平均值.對(duì)于由n個(gè)量子門計(jì)算單元組成的序列,當(dāng)重復(fù)次數(shù)足夠多時(shí),末態(tài)平均保真度Fˉ 與量子門計(jì)算單元個(gè)數(shù)n滿足其中d與初態(tài)制備和測量誤差有關(guān),ε為單個(gè)量子邏輯門的平均出錯(cuò)概率.實(shí)驗(yàn)上通過測量末態(tài)平均保真度隨n的關(guān)系并根據(jù)上式擬合,可以得到量子邏輯門的平均出錯(cuò)概率ε,則待測量子邏輯門的平均保真度為Fa=1-ε.

圖8 是用RB 方法對(duì)上面四種脈沖序列實(shí)現(xiàn)的單比特量子邏輯門保真度測量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果[18].圖中深藍(lán)色正方形、綠色三角、藍(lán)色圓形和紅色菱形分別為普通方波脈沖、5-piece SUPCODE 脈沖序列、BB1 脈沖序列和BB1inC 脈沖序列對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果,實(shí)線為對(duì)四組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果,擬合得到的量子邏輯門的平均出錯(cuò)概率ε畫在插圖中.根據(jù)擬合結(jié)果,5-piece SUPCODE 脈沖序列實(shí)現(xiàn)的量子邏輯門平均保真度為0.99916(8),低于普通方波脈沖對(duì)應(yīng)的平均保真度0.99968(6).這說明實(shí)驗(yàn)中相較于環(huán)境噪聲δ0,操控場噪聲δ1占主導(dǎo),而5-piece SUPCODE 脈沖序列對(duì)δ1的抑制效果不如普通方波脈沖,所以保真度更低.當(dāng)施加能夠抑制δ1的BB1 脈沖序列時(shí),量子邏輯門的平均保真度顯著提高,達(dá)到0.999945(6),這也說明了δ1噪聲是量子邏輯門出錯(cuò)的主要因素.BB1inC 脈沖序列因?yàn)槟芡瑫r(shí)抑制δ0和δ1,量子邏輯門的平均保真度相較于BB1 序列也有所提升,為0.999952(6),達(dá)到了容錯(cuò)量子計(jì)算對(duì)保真度的閾值要求[43],代表了目前固態(tài)自旋體系單比特量子邏輯門保真度的最高水平.

圖8 單比特量子邏輯門保真度的實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果,插圖為四種脈沖序列對(duì)應(yīng)的量子邏輯門的出錯(cuò)概率 ε [18]Fig.8.Average fidelity of single-qubit gates,where the inset shows the average error per gates of the pulses[18].

想要實(shí)現(xiàn)普適的容錯(cuò)量子控制,除了一組普適的單比特量子邏輯門外,還需要一個(gè)非平庸的兩比特量子邏輯門,實(shí)驗(yàn)中選的是兩比特CNOT 門.為了提高兩比特CNOT 門的保真度達(dá)到容錯(cuò)閾值,通過改進(jìn)的梯度上升算法優(yōu)化組合脈沖中的參數(shù),使得在δ0和δ1影響下高保真度區(qū)域盡可能大.在確定各段脈沖的參數(shù)后,通過圖9(a)所示的量子線路圖測量連續(xù)施加N個(gè)CNOT 門,得到末態(tài)在|0,1〉上的布居度與N的關(guān)系如圖9(b),其中N取偶數(shù)[18].理想情況下布居度應(yīng)該恒為1,但在δ0和δ1影響下末態(tài)布居度會(huì)隨N增大不斷衰減.而布居度的振蕩來自于實(shí)際實(shí)現(xiàn)的CNOT 門與理想CNOT 門的偏差.圖中藍(lán)色虛線是只考慮δ0和δ1分布的擬合結(jié)果,與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)偏差較大.這是因?yàn)閿M合使用的超精細(xì)耦合強(qiáng)度A和共振頻率Ω都是通過實(shí)驗(yàn)測量得到的,與實(shí)際值存在一定的偏差.將偏差 δA和 δΩ作為參數(shù)重新擬合,得到紅線與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合的很好,對(duì)應(yīng)的CNOT 門平均保真度為0.9920(1),達(dá)到了容錯(cuò)閾值.

圖9 測量CNOT 門保真度的量子線路圖(a)和實(shí)驗(yàn)結(jié)果(b)[18]Fig.9.Quantum circuit diagram (a) and experimental result (b) for measuring the fidelity of CNOT gates[18].

4.3 時(shí)間最優(yōu)量子控制

在量子控制中不可避免地會(huì)受到各種噪聲的影響,第4.2 節(jié)展示了通過優(yōu)化組合脈沖對(duì)抗噪聲的方法能夠?qū)崿F(xiàn)高精度的量子控制.從另一個(gè)角度出發(fā),如果能實(shí)現(xiàn)時(shí)間最優(yōu)控制即在最短的時(shí)間內(nèi)完成量子控制,不僅能在有限的相干時(shí)間內(nèi)進(jìn)行更多的量子操作,還能減少量子系統(tǒng)與環(huán)境作用的時(shí)間,提高量子控制的精度.與針對(duì)性的抑制噪聲方法不同,時(shí)間最優(yōu)量子控制不需要預(yù)先知道噪聲相關(guān)的信息,能普適地提高量子邏輯門保真度.

量子領(lǐng)域的時(shí)間最優(yōu)控制問題,指在系統(tǒng)操控強(qiáng)度和哈密頓量受限的情況下,如何在最短時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)特定的量子控制.如圖10,類比于Zermelo 的導(dǎo)航問題[44],對(duì)于給定的目標(biāo)量子操作UF,有很多條路徑使演化算符從初始時(shí)刻的U(0)=I變到U(T)=UF,每條路徑對(duì)應(yīng)一個(gè)含時(shí)哈密頓量[21].而量子操控強(qiáng)度有限對(duì)應(yīng)導(dǎo)航問題中的航速有限,哈密頓量受限在某個(gè)子空間意味著路徑不能任意選取.時(shí)間最優(yōu)量子控制就是從中找出時(shí)間T最短的一條路徑.經(jīng)典理論中對(duì)時(shí)間最優(yōu)控制比如最速降線問題有比較深入的研究,量子控制領(lǐng)域也有量子最速降線方程,通過求解量子最速降線方程即可得到相應(yīng)時(shí)間最優(yōu)量子控制.然而對(duì)于兩比特系統(tǒng)乃至更高維的情況,量子最速降線方程并沒有有效的求解方法.直到2015 年有研究者提出了測地線方法[45],能對(duì)多比特系統(tǒng)的量子最速降線方程進(jìn)行有效的數(shù)值求解.利用這種方法在金剛石NV色心體系上首次實(shí)現(xiàn)了兩比特時(shí)間最優(yōu)控制[46].

圖10 時(shí)間最優(yōu)控制示意圖[21]Fig.10.Schematic diagram of time optimal quantum control[21].

圖11 是利用NV 色心體系實(shí)現(xiàn)單比特最優(yōu)控制的實(shí)驗(yàn)結(jié)果,紅色代表時(shí)間最優(yōu)量子控制,藍(lán)色代表利用歐拉轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)的量子控制[21].從圖11(a)可看出,對(duì)于Bloch 球中繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)操作,由于實(shí)驗(yàn)中哈密頓量受限,歐拉轉(zhuǎn)動(dòng)消耗的時(shí)間確實(shí)比時(shí)間最優(yōu)控制所消耗的時(shí)間更多.時(shí)間最優(yōu)控制和歐拉轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)量子控制的路徑可以通過圖11(b)給出的〈Sy〉和〈Sz〉隨時(shí)間的關(guān)系來展示.

圖11 時(shí)間最優(yōu)量子控制和歐拉轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)單比特操控R(,θ) 花費(fèi)時(shí)間對(duì)比[21] (a) 轉(zhuǎn)角 θ 分別為 π/8 ,π/4 ,π/2和 π 時(shí),實(shí)現(xiàn)單比特操控 R (,θ) 耗時(shí)對(duì)比;(b) 時(shí)間最優(yōu)量子控制和歐拉轉(zhuǎn)動(dòng)下量子態(tài)的演化過程Fig.11.Comparison on time costs for target gate operator R(,θ)between the derived time-optimal control (TOC)and the Euler rotations[21]:(a) Comparison of experimental gate time for θ =π/8 ,π/4 ,π/2 ,and π ;(b) state evolutions during R (,θ) with TOC and Euler rotation.

對(duì)于兩比特的情況,選取受控操作U(T):當(dāng)核自旋處于mI=|1〉時(shí),電子自旋保持不變;當(dāng)核自旋處于mI=|0〉時(shí),對(duì)電子自旋做σy操作.利用選擇性脈沖實(shí)現(xiàn)U(T)所花費(fèi)的時(shí)間為612.4 ns,而通過測地線方法求解量子最速降線方程,得到的時(shí)間最優(yōu)控制脈沖序列總時(shí)長為446.1 ns,比選擇性脈沖短166.3 ns.圖12(a)和圖12(b)分別展示了在mI=|1〉和mI=|0〉子空間內(nèi)電子自旋初態(tài)為|0〉時(shí)量子態(tài)在時(shí)間最優(yōu)控制下的演化路徑,左圖是Bloch 球上的演化軌跡,右圖是對(duì)應(yīng)子空間內(nèi)電子自旋布居度隨時(shí)間的變化[21].可以看出,在mI=|1〉子空間內(nèi),電子自旋量子態(tài)沿一條曲折的路徑最終回到了初始位置;而在mI=|0〉子空間內(nèi)電子自旋狀態(tài)發(fā)生了翻轉(zhuǎn),這與預(yù)期的受控操作U(T)是一致的.為了檢驗(yàn)時(shí)間最優(yōu)控制對(duì)噪聲的抑制效果,利用量子層析技術(shù)測出兩比特時(shí)間最優(yōu)控制的保真度為0.99(1),同樣達(dá)到了容錯(cuò)量子計(jì)算的閾值.在NV 色心上首次實(shí)現(xiàn)的兩比特時(shí)間最優(yōu)控制,不僅驗(yàn)證了多比特時(shí)間最優(yōu)控制的可行性,還提供一種提高量子邏輯門保真度的普適方法.

圖12 初態(tài)為(a) | 0,1〉 和 (b) | 0,0〉 時(shí)量子態(tài)在兩 比特時(shí)間最優(yōu)控制下的演化[21]Fig.12.State trajectories under the two-qubit controlled-U gate by TOC with initial states (a) | 0,1〉 and (b) | 0,0〉 [21].

4.4 可編程量子控制

在經(jīng)典計(jì)算機(jī)中,硬件單元和它能實(shí)現(xiàn)的操作是固定的,卻能通過軟件編程實(shí)現(xiàn)各種算法完成不同的功能,這就是可編程控制的概念.同樣地,人們希望實(shí)現(xiàn)通用量子計(jì)算機(jī),能在不改變物理硬件的前提下通過可編程量子控制實(shí)現(xiàn)各種量子算法.然而理論上已經(jīng)證明不存在完全量子的確定性的可編程量子器件[47].對(duì)于概率性的可編程量子器件[48,49],每次量子控制的成功概率小于1,且需要通過測量并進(jìn)行后選擇操作才能判斷是否成功實(shí)現(xiàn)目標(biāo)量子控制.而一個(gè)大型的量子線路由很多可編程器件組成,導(dǎo)致整個(gè)計(jì)算成功的概率趨于零而難以實(shí)際應(yīng)用.于是研究者采用與經(jīng)典計(jì)算機(jī)結(jié)合的方法,利用普適的量子線路圖,將量子算法分解成由一系列量子邏輯門,把量子操作編碼成量子邏輯門脈沖序列的時(shí)間、幅度、相位等參數(shù),通過經(jīng)典計(jì)算機(jī)輸入這些經(jīng)典參數(shù)來施加不同的量子控制以完成相應(yīng)的量子算法.利用這種方法在NV 色心體系上實(shí)現(xiàn)了兩比特可編程量子處理器[22],為將來大規(guī)模的可編程量子計(jì)算打下了基礎(chǔ).

任意的量子算法都可以表示成普適的量子線路圖,用一組量子邏輯門實(shí)現(xiàn).根據(jù)具體物理體系能實(shí)現(xiàn)的量子邏輯門集合,選擇合適的量子線路圖,就能將一個(gè)完整的量子算法編碼成一系列的參數(shù).對(duì)于兩比特的情況,單比特門和一個(gè)非平庸的兩比特門就可以實(shí)現(xiàn)普適的量子控制.具體而言,一個(gè)任意兩比特量子邏輯門可以分解為3 個(gè)CNOT門和15 個(gè)從集合{Rx,Rz}中選取的單比特門[50].在NV 色心體系中,實(shí)現(xiàn)兩比特操作比CNOT 門更方便.因此用Uzz門代替CNOT 門,而單比特門可以從集合{Rx,Ry,Rz}中選取,得到兩比特普適量子線路如圖13[22].任意的兩比特操作U可以作分解U=(C ?D)·V ·(A ?B),由3 個(gè)Uzz門和12 個(gè)單比特門組成,總共包含15 個(gè)可調(diào)的參數(shù).

圖13 普適可編程量子邏輯線路[22]Fig.13.Universal programmable quantum logic circuit[22].

量子線路圖中的單比特門可以用圖14 中的脈沖實(shí)現(xiàn)[22].對(duì)于電子自旋比特,一段相位為?,幅度為ω1,持續(xù)時(shí)間t=θ/ω1的微波脈沖就可以實(shí)現(xiàn)單比特量子操作R(θ,?) .由于核自旋和電子自旋的超精細(xì)耦合,核自旋狀態(tài)不同時(shí),電子自旋的共振頻率有一定的差別,因此要求對(duì)電子自旋施加的微波脈沖幅度遠(yuǎn)大于超精細(xì)耦合常數(shù),使得微波脈沖實(shí)現(xiàn)的量子操作與核自旋狀態(tài)無關(guān).而對(duì)于核自旋比特,由于核自旋的相干時(shí)間比電子自旋大3 個(gè)數(shù)量級(jí),在操控核自旋時(shí)電子自旋會(huì)發(fā)生退相干.因此實(shí)驗(yàn)中采用退相干保護(hù)邏輯門的方法,施加圖14(b)所示的XY-4 序列來保護(hù)電子自旋的相干,在XY-4 序列脈沖的間隙內(nèi)施加射頻脈沖,對(duì)核自旋實(shí)現(xiàn)不依賴電子自旋的單比特操作R(θ,?) .

圖14 單比特門對(duì)應(yīng)的脈沖[22]Fig.14.Realization of the single-qubit gate[22].

利用普適量子線路圖,在由NV 色心構(gòu)建的兩比特可編程量子處理器上,只需要修改脈沖參數(shù)就能實(shí)現(xiàn)任意的兩比特量子算法,在該平臺(tái)上演示的兩個(gè)典型量子算法:Deutsch-Jozsa 算法和Grover搜索算法,成功率都超過80%[22].

4.5 宇稱時(shí)間對(duì)稱哈密頓量的量子控制

量子力學(xué)中基本假設(shè)要求可觀測量用厄米算符表示,系統(tǒng)的哈密頓量算符也不例外.哈密頓量的厄米性保證了系統(tǒng)的本征能量為實(shí)數(shù),但是對(duì)于某些非厄米哈密頓量比如宇稱時(shí)間(PT)對(duì)稱哈密頓量,在對(duì)稱非破缺的情況下也具有實(shí)的能量本征值[51].于是人們嘗試將量子力學(xué)基本假設(shè)中的厄米性條件推廣為PT對(duì)稱條件,以此為基礎(chǔ)建立PT對(duì)稱量子力學(xué).相關(guān)理論可以參考文獻(xiàn)[52-56].下面簡單介紹背景知識(shí).

PT對(duì)稱哈密頓量指滿足對(duì)易關(guān)系[HP T,PT]等于0 的哈密頓量HP T.其中P,T為宇稱算符和時(shí)間反演算符,二者是四階反演群的生成元,滿足P2=T2=I,[P,T]=0.由于時(shí)間反演算符T是反線性算符,雖然哈密頓量HP T與PT算符對(duì)易,但二者并不一定具有共同本征態(tài).考慮一個(gè)簡單的兩能級(jí)PT對(duì)稱系統(tǒng)的哈密頓量:

其中r是實(shí)參數(shù),二維希爾伯特空間中P,T算符表示為

可以驗(yàn)證HPT與PT算符對(duì)易.HPT的本征能量為當(dāng)參數(shù)|r|＜1時(shí),本征能量為實(shí)數(shù),哈密頓量與PT算符有共同本征態(tài),稱為PT對(duì)稱非破缺.特別地,當(dāng)r=0 時(shí),哈密頓量是厄米的,兩個(gè)本征態(tài)正交.而當(dāng)哈密頓量是非厄米即r/=0 時(shí),兩個(gè)本征態(tài)不相互正交.當(dāng)參數(shù)|r|＞1 時(shí),本征能量為虛數(shù),哈密頓量與PT算符不再有共同本征態(tài),稱為PT對(duì)稱破缺.PT對(duì)稱非破缺區(qū)域和破缺區(qū)域的交界點(diǎn)|r|=1 稱為奇異點(diǎn).在PT對(duì)稱非破缺區(qū)域,當(dāng)r從0 開始逐漸趨近于奇異點(diǎn)|r|=1 時(shí),兩個(gè)實(shí)本征值大小逐漸接近,直到|r|=1處完全簡并,此時(shí)本征態(tài)也發(fā)生簡并.當(dāng)|r|進(jìn)一步增大,PT對(duì)稱性發(fā)生破缺,本征值變?yōu)橐粚?duì)共軛的虛數(shù).PT對(duì)稱系統(tǒng)由于存在奇異點(diǎn)這一特殊的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)以及傳統(tǒng)厄米系統(tǒng)中沒有的新奇物理現(xiàn)象,如非厄米系統(tǒng)的體邊對(duì)應(yīng)關(guān)系[57]、非厄米趨膚效應(yīng)[58]、非厄米拓?fù)湎郲59]等,引起了研究者們的廣泛關(guān)注.然而通常量子體系都是厄米的,在其中實(shí)現(xiàn)PT對(duì)稱哈密頓量并不容易.因此,早期的實(shí)驗(yàn)研究主要是用經(jīng)典光學(xué)體系,通過引入耗散或者增益來模擬薛定諤方程下PT對(duì)稱哈密頓量的演化[60,61].除了光學(xué)體系,在電路[62—64]、微波[65]、力學(xué)[66]和聲學(xué)[67—69]等經(jīng)典體系中都實(shí)現(xiàn)了對(duì)PT對(duì)稱哈密頓量的模擬研究.盡管在經(jīng)典體系的模擬研究能很好地展示PT對(duì)稱哈密頓量的物理性質(zhì),但想要更深入地研究PT對(duì)稱哈密頓量尤其是奇異點(diǎn)附近的奇特性質(zhì),需要在實(shí)際的量子體系中真正實(shí)現(xiàn)PT對(duì)稱哈密頓量.

2019 年有研究者提出了一種在量子系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)PT對(duì)稱哈密頓量的普適方法,并且在金剛石NV 色心系統(tǒng)上進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,首次在單自旋體系中實(shí)現(xiàn)了量子態(tài)在PT對(duì)稱哈密頓量下的演化,觀測到PT對(duì)稱破缺現(xiàn)象[23].同期在冷原子系綜體系[70]以及超導(dǎo)量子體系[71]中也實(shí)現(xiàn)了PT對(duì)稱哈密頓量,然而二者都是通過引入耗散實(shí)現(xiàn)PT對(duì)稱哈密頓量的.耗散會(huì)極大地破壞量子態(tài)的相干,嚴(yán)重局限了這種方式在非厄米相關(guān)領(lǐng)域研究中的應(yīng)用.而在NV 色心體系上的實(shí)現(xiàn)方法是通過引入一個(gè)輔助比特,將PT對(duì)稱哈密頓量HP T擴(kuò)展為一個(gè)厄米哈密頓量Hs,a(t),然后選取厄米系統(tǒng)的一個(gè)子空間,使子空間中量子態(tài)滿足非厄米哈密頓量的演化規(guī)律.可以證明,這種方法是普適的,從PT對(duì)稱非破缺區(qū)域到PT對(duì)稱破缺區(qū)域、乃至任意非厄米哈密頓量,從不含時(shí)到含時(shí)哈密頓量,都可以通過一個(gè)輔助比特實(shí)現(xiàn),且不會(huì)破壞量子系統(tǒng)的相干性.這對(duì)于含有多重簡并的高階奇異點(diǎn),以及奇異點(diǎn)附近的拓?fù)湫再|(zhì)和動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的研究具有突破性的意義.

根據(jù)這種擴(kuò)展的方法,(4)式中的非厄米哈密頓量可以擴(kuò)展為兩比特的厄米哈密頓量Hs,a(t)=其中Ai(t)(i=1,2,3,4) 是展開系數(shù).為了在金剛石NV 色心實(shí)現(xiàn)該哈密頓量,選取電子自旋為系統(tǒng)比特,核自旋為輔助比特,并施加兩路選擇性的微波脈沖.通過控制兩路微波脈沖的幅度、頻率、相位來實(shí)現(xiàn)對(duì)應(yīng)哈密頓量演化,最后對(duì)輔助比特沿σy本征態(tài)測量并選取的測量結(jié)果,對(duì)應(yīng)電子自旋演化即為PT對(duì)稱哈密頓量HP T下的演化.圖15 為對(duì)應(yīng)量子線路圖[23].

圖15 金剛石NV 色心體系中實(shí)現(xiàn)PT 對(duì)稱哈密頓量的量子線路圖[23]Fig.15.Quantum circuit of the experiment of constructing a PT symmetric Hamiltonian in a NV center[23].

圖16(a)—圖16(d)分別展示了NV 色心體系中量子態(tài)在厄米哈密頓量、PT對(duì)稱非破缺區(qū)域、奇異點(diǎn)處和PT對(duì)稱破缺區(qū)域的演化[23].紅色實(shí)線為理論預(yù)期,藍(lán)色圓點(diǎn)為實(shí)驗(yàn)結(jié)果.可以看出,當(dāng)系統(tǒng)哈密頓量位于PT對(duì)稱非破缺區(qū)域時(shí),量子態(tài)以一定周期在|0〉態(tài)和|1〉態(tài)之間振蕩.隨著參數(shù)r從0 逐漸增大趨向于1,哈密頓量由厄米趨向于奇異點(diǎn),振蕩的周期不斷變長.在奇異點(diǎn)處,量子態(tài)演化不再呈現(xiàn)周期性振蕩,而是單調(diào)衰減并最終趨向于穩(wěn)態(tài).在PT對(duì)稱性破缺區(qū)域,隨著r繼續(xù)增大,量子態(tài)衰減趨向于穩(wěn)態(tài)的速率越來越快.如果對(duì)測得的量子態(tài)演化曲線與理論計(jì)算相擬合,可以得到PT對(duì)稱哈密頓量能量本征值隨參數(shù)r的關(guān)系,與理論預(yù)言的一樣.隨著參數(shù)r的增大,能量本征值從實(shí)數(shù)逐漸趨于0,在奇異點(diǎn)發(fā)生簡并,再發(fā)生PT對(duì)稱破缺變?yōu)榧兲摂?shù).圖16 確實(shí)地從實(shí)驗(yàn)上觀測到了PT對(duì)稱哈密頓量破缺的過程和奇異點(diǎn)的存在.

圖16 量子態(tài)在PT 對(duì)稱哈密頓量 H P T 下的演化[23] (a) r =0,厄米哈密頓量;(b) r =0.6,PT 對(duì)稱非破缺;(c) r =1.0,奇異點(diǎn);(d) r =1.4,PT 對(duì)稱破缺時(shí)的情況Fig.16.State evolution under H P T [23].Experimental dynamics of renormalized population P0 when r =0 (a),r =0.6 (b),r =1.0 (c),and r =1.4 (d).

5 總結(jié)與展望

本文主要從實(shí)驗(yàn)角度出發(fā),介紹了NV 色心體系的能級(jí)結(jié)構(gòu)和量子控制原理,詳細(xì)闡述了NV 色心的退相干機(jī)制和通過抑制退相干效應(yīng)來提升量子控制精度的各種方法,以及應(yīng)用NV 色心量子控制技術(shù)在量子物理領(lǐng)域取得的研究成果.

經(jīng)過多年的實(shí)驗(yàn)研究和發(fā)展,對(duì)于NV 色心體系的量子控制已經(jīng)達(dá)到相當(dāng)高的精度,不僅能夠?qū)崿F(xiàn)高保真度的普適容錯(cuò)量子邏輯門和時(shí)間最優(yōu)量子控制,還能構(gòu)建可編程的量子處理器,這都為未來實(shí)現(xiàn)室溫下大規(guī)模的可編程量子計(jì)算打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).同時(shí),對(duì)于新興的物理領(lǐng)域如非厄米物理,在NV 系統(tǒng)上也可以通過擴(kuò)展的方法對(duì)非厄米量子體系中新奇的物理現(xiàn)象[72]進(jìn)行觀測和研究.除此之外,NV 色心對(duì)磁場、電場、溫度等物理量都十分敏感,通過精確的量子控制可以利用NV 色心作為納米尺寸的探針,對(duì)各種微小信號(hào)進(jìn)行精密測量.而非厄米系統(tǒng)中的奇異點(diǎn),對(duì)于參數(shù)變化具有放大作用,因此可以用于進(jìn)一步提高量子精密測量的靈敏度[73,74].這種納米尺度的高靈敏量子傳感器,在生物、化學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用前景和巨大的潛力.