劉學 孫翱 李冬 黃銳

摘要：針對遙測振動信號非線性、非平穩(wěn)性、瞬態(tài)沖擊性等特點，提出一種基于時頻流形自適應稀疏重構(gòu)的遙測振動信號特征增強方法，對振動信號進行相空間重構(gòu)提取其時頻流形;以時頻流形為基礎(chǔ)，采用KSVD算法自適應構(gòu)建過完備字典，并從中找到最匹配的時頻原子，根據(jù)得到的原子與相空間展開信號的時頻分布，依次匹配計算獲得其重構(gòu)的稀疏系數(shù);利用稀疏系數(shù)和時頻原子對相空間中各維信號的時頻分布進行重構(gòu)，通過時頻分布的逆運算和相空間還原得到特征增強信號。仿真和實測信號處理結(jié)果驗證了算法的有效性。

關(guān)鍵詞：信號處理;遙測振動信號;時頻流形;稀疏重構(gòu);特征增強

中圖分類號：TN911.7

文獻標志碼：A

文章編號：10044523（ 2022）01-024609

DOI： 10.1638 5/j .cnki.issn.10044523.2022.01.027

引 言

遙測振動信號是由安裝在被試飛行器內(nèi)的振動加速度或位移、溫度、壓力等傳感器采集的反映系統(tǒng)運行狀態(tài)的時間序列。受飛行器本身振動、飛行環(huán)境、電磁環(huán)境和傳輸條件等因素的影響，各結(jié)構(gòu)部位的振動會相互影響、調(diào)制和疊加，振動的傳輸路徑復雜多變，采集的遙測振動信號往往夾雜著大量的高頻、低頻和沖擊噪聲、各階次的諧波分量，頻譜成分異常復雜，且相關(guān)性耦合程度高，呈現(xiàn)較強的非線性和非平穩(wěn)性[1]。如何遙測振動信號在不改變其所反映的系統(tǒng)動力學特征情況下進行特征增強直接關(guān)系到飛行狀態(tài)分析的準確性。

信號的稀疏分解重構(gòu)降噪一直是非線性信號降噪領(lǐng)域的研究熱點，傳統(tǒng)的特征增強分析往往從單一的時域或頻域構(gòu)造一系列瞬態(tài)脈沖原子對信號進行稀疏分解，如Cui等[2]利用振動信號進行Gabor變換生成一組脈沖原子實現(xiàn)對信號的稀疏分析;Wang等[3]采用Morlet小波作為時域原子構(gòu)造過完備字典，采用正交匹配追蹤（ Orthogonal Matching Pur-suit，OMP）對旋轉(zhuǎn)機械信號進行稀疏分解;Fan等[4]采用Laplace小波變換結(jié)合譜分析技術(shù)在時域?qū)崿F(xiàn)對軸承信號的稀疏表示。但是實際系統(tǒng)工況多變，沖擊過程復雜，如果只用單一的、確定性的、公式化的原子很難表征實際的信號特征，最近，為提高對信號的表征能力，很多改進的變公式原子模型相繼被提出，如連續(xù)雙Laplace小波原子[5]、雙邊非對稱Morlet小波原子[6-7]、變窗寬Gabor小波等[8]，根據(jù)先驗信息不斷改變原子公式模型去逼近真實信號沖擊情況，取得了一定的效果，但是這種變公式模型存在固有缺陷。需要有先驗信息，但在實際情況下很難提前獲知沖擊過程，且實際信號瞬態(tài)特征波形大多為非公式化的，這就需要搜索優(yōu)化更多的公式化原子模型參數(shù)，使得稀疏過程變得更加復雜。

另外，經(jīng)He等[9-10]研究發(fā)現(xiàn)，傳統(tǒng)的時域稀疏方法對信號中的相位信息具有較差的匹配效果，導致恢復出的結(jié)果較原信號存在較大的誤差，由于時頻分布綜合了時間域與頻率域的聯(lián)合分布信息，可以有效描述動態(tài)系統(tǒng)中的非平穩(wěn)特性。因此，He等[11]采用時頻域重構(gòu)可以有效解決相位匹配的問題，并可獲取更高的重構(gòu)精度，但該文獻依然采用公式化原子的時頻分布構(gòu)造時頻原子對原信號的時頻分布進行稀疏匹配，不可避免還會受到公式化模型固有缺陷的限制，為了解決上述問題，本文提出一種基于時頻流形（ Time-Frequency Manifold，TFM）自適應稀疏重構(gòu)的信號特征增強方法，采用KSVD算法[12]從時頻流形中自適應構(gòu)建過完備字典，并從中找到最匹配的時頻原子，避免對原子庫模型構(gòu)造的依賴性，利用保持時頻分布的相位信息，有效提高了信號瞬態(tài)特征增強的準確性以及稀疏方法的通用性。

1 時頻流形

時頻流形是嵌入在非平穩(wěn)信號時頻分布中的一種內(nèi)在的非線性流形結(jié)構(gòu)，采用流形學習從信號相空間重構(gòu)分量的時頻分布（高維空間）提取到該信號嵌入低維空間的特征結(jié)構(gòu)[9]。在流形學習過程中綜合了信號本身的非平穩(wěn)性和非線性兩種信息，因此可有效地挖掘和表征信號的時頻模態(tài)，刻畫信號時頻分布特性。

1.1 相空間重構(gòu)和時頻分布

采用相空間重構(gòu)的方法將振動信號擴展到多維相空間，使混疊的各源信號在多維空間中重新展開，以確保滿足Takens定理要求和尺度空間的統(tǒng)一性。對于振動信號x（t）=[x1，x2，...XN]，相點向量可通過下式重構(gòu)得到：

1.2

LTSA時頻流形提取

局部切空間排列算法（Local Tangent SpaceAlignment，LTSA）基于數(shù)據(jù)流形滿足局部線性條件假設(shè)，即高維數(shù)據(jù)空間的局部區(qū)域和局部切空間之間存在著一個線性投影，同時全局低維空間的局部區(qū)域和局部切空間之間也存在著一個線性投影[15]。LTSA通過逼近每一樣本點的切空間來構(gòu)建低維流形的局部幾何結(jié)構(gòu)，觀測數(shù)據(jù)點在局部切空間的投影獲得局部低維坐標，由局部仿射變換而得到低維的全局坐標[16]。

采用上述LTSA算法提取時頻流形的主要思想：在高維的重構(gòu)相空間中，相對于嵌入維數(shù)而言，系統(tǒng)有用信號吸引子所在的主流形是低維的，其分布只局限于相空間中某個低維的子空間內(nèi)，而白噪聲則在相空間的所有維度中都有分布。根據(jù)信號和噪聲分布的不同，通過LTSA流形學習，在時間序列的嵌入相空間降維過程中，保留系統(tǒng)的主流形結(jié)構(gòu)[9]。但LTSA算法的輸人為兩維，而相空間m維子序列的時頻分布矩陣均為三維矩陣，因此要把它們轉(zhuǎn)換成兩維矩陣，以時間軸為基準，將幅值矩陣Aj（k，廠）的每一列首尾相連，構(gòu)造一個一維向量TjFFD，將m個一維向量組成兩維數(shù)據(jù)集XTFD為：

2 時頻流形自適應稀疏重構(gòu)

稀疏重構(gòu)就是使用過完備字典對信號進行稀疏表示，將信號的能量集中在字典的少量原子上，通過少量原子來表征信號的本質(zhì)特征。從數(shù)學和信號的角度，大多數(shù)零分量或小幅度分量和少數(shù)非零大幅度分量揭示了信號的內(nèi)在結(jié)構(gòu)和本質(zhì)屬性，由于遙測振動信號具有瞬態(tài)沖擊性，滿足稀疏分解條件，同時采用時頻流形可以有效提取信號的瞬態(tài)特征，也能消除帶內(nèi)噪聲，但是受流形學習算法式（6）的限制，提取的時頻流形特征幅值損失嚴重，為了在去噪的同時還原信號的幅值信息，以時頻流形為基礎(chǔ)，自適應提取時頻原子，結(jié)合相位信息保持，通過學習到時頻原子對信號進行稀疏重構(gòu)，恢復幅值信息，對信號特征進行增強。

2.1 基于圖像塊的稀疏域建模式中 μ為懲罰因子。式（9）屬于NP難求解問題，理論上需要轉(zhuǎn)化為1范數(shù)才能進行多項式解析求解，但依然求解困難，通常采用稀疏表達近似求解方法，主要分為兩大類，一是匹配追蹤算法，通過構(gòu)造一系列具有稀疏表達能力的原子字典，通過相關(guān)匹配分析，學習出信號中的主要特征成分，采用的是貪婪迭代方法;另一種是基追蹤算法，通過稀疏約束在全局范圍內(nèi)的極值問題，使用線性規(guī)劃方法來實現(xiàn)對信號稀疏分解，采用的是優(yōu)化重構(gòu)。本文采用正交匹配追蹤OMP算法進行近似求解。在對時頻流形分布T的每一個圖像塊建立稀疏域模型的基礎(chǔ)上，對T進行貝葉斯最大后驗估計，得到：

2.2 自適應時頻原子字典構(gòu)造

為了克服公式化模型原子字典固有缺陷的限制，本節(jié)采用K-SVD算法自適應訓練時頻原子字典，基本思想是利用時頻流形瞬態(tài)特征提取與帶內(nèi)噪聲去除的能力，采用DCT字典或從時頻流形分布中隨機抽取冗余時頻原子作為初始化的過完備字典D，使用OMP算法求解NP問題得到稀疏系數(shù)aij的近似優(yōu)化解，然后根據(jù)稀疏系數(shù)aij使用K-SVD算法[12.17]依次對字典D中的每一個原子進行更新。算法流程如下：式中 Ei表示第Z次迭代后的殘差能量，E。表示原信號能量，通過實測遙測振動信號驗證一般K≤7，式（11）即可保證稀疏主成分被提取完畢。因此使用式（11）作為匹配追蹤算法的迭代終止條件，對每一個圖像塊Rij進行上述的迭代優(yōu)化得到其對應的稀疏系數(shù)aij;

2.3 相空間信號時頻分布稀疏重構(gòu)

根據(jù)上節(jié)訓練得到的基于時頻流形的過完備字典D，則模型求解問題即可等價于求解局部稀疏系數(shù)aij和重構(gòu)時頻分布T，可分兩步求解，第一步為局部圖像塊稀疏匹配，令T=T，采用塊系數(shù)最小化方法計算aij的最優(yōu)值，則式（10）可轉(zhuǎn)換為

采用OMP算法對式（13）進行求解，同2.2節(jié)一樣依然使用式（11）作為匹配追蹤算法的迭代終止條件;

3 時頻流形自適應稀疏重構(gòu)特征增強方法

稀疏重構(gòu)方法的降噪能力與原子選取有關(guān)，通常采用公式化的原子創(chuàng)建過完備字典，但在實際情況下信號瞬態(tài)特征波形大多為非公式化的，且很難提前獲知沖擊過程以及相位變化等先驗信息，這就導致匹配追蹤時對原子形態(tài)要求過高，因此，公式化原子字典很難在實際工況下對原信號進行較好的稀疏逼近。另外，如果直接在時頻域上做匹配追蹤稀疏分析，雖然可以保持信號的相位信息，使得恢復出的信號與原信號具有相同的波形特征，但受噪聲的影響（特別是帶內(nèi)噪聲），匹配稀疏的特征表達能力將受到嚴重的削弱。

針對這些問題，本文將時頻流形與稀疏分析相結(jié)合，充分利用時頻流形良好的瞬態(tài)特征提取與帶內(nèi)噪聲去除的能力，以及稀疏表示良好的特征表達能力，從時頻流形中自適應構(gòu)建過完備字典，并從中找到最匹配的時頻原子，在保持原信號時頻分布相位信息的同時，采用時頻原子匹配稀疏的方法，對相空間中含噪信號時頻的分布進行稀疏表達，實現(xiàn)沖擊特征的提取和信號幅值的恢復。算法流程如圖1所示。算法分為基于時頻流形的白適應字典學習和相空間信號時頻分布的稀疏重構(gòu)兩個部分。

（1）首先對采集的遙測振動信號依據(jù)指令時刻進行特征段順序選取，若相鄰指令時刻間隔較近（前一指令響應未結(jié)束，后一指令響應即開始），可按前一特征段最大幅值能量的10%進行截取;若重疊部分超過50%，則將相鄰兩特征段合并處理。對所選特征段進行預處理：根據(jù)《GJB2238A-2004》的規(guī)范進行零漂修正、趨勢項去除、野值剔除等;

（2）對特征段信號x（t）采用式（l）和（2）進行相空間重構(gòu)，對重構(gòu)相空間每一維子序列Pi（j=1，2，…，m），采用式（3）計算其時頻復數(shù)矩陣Si（k，f），將幅值矩陣A，（k，f）和相位矩陣θ，（k，f）進行分離;

（3）對由m維相空間子序列時頻分布的Aj（k，f）的幅值矩陣組成高維矩陣進行LTSA主流形提取，得到時頻流形分布T（k，f）;

（4）采用2.2節(jié)的方法從T（k，f）白適應訓練過完備字典D;

（5）利用學習得到的過完備字典D，采用式（12）～（15）對m維相空間子序列時頻分布的A，（k，廠）進行稀疏重構(gòu)，得到重構(gòu)后的幅值矩陣T1（k，f），結(jié)合步驟（2）得到的相位矩陣θ，（k，f）對時頻復數(shù)矩陣進行重新合成，得到Sj（k，f）;

（6）對Si（k，f）進行STFT逆變換更新相空間每一維子序列Px（j=1，2，…，m）;

（7）對相空間矩陣進行還原得到去噪信號y（t）及采用式（3）計算其時頻分布。

式中N為信號長度，集合Ii為包含信號元素i的下標集，Ci為Ii中元素個數(shù)。

4 仿真與實測信號分析

采用仿真和實測信號對本文所提方法（ Time-Frequency Manifold Adaptive Sparse Reconstruc-tion，TFMASR）同基于時域稀疏重構(gòu)（Time Do-main Sparse Reconstruction，TDSR）、時頻域稀疏重構(gòu)方法（ Time-Frequency Domain Sparse Reconstruc-tion，TFDSR）進行性能對比驗證，為實現(xiàn)對瞬時脈沖特征的挖掘，時域稀疏重構(gòu)采用雙尺度Gabor變換構(gòu)造時域原子[8]，時頻域稀疏重構(gòu)采用時域原子的STFT變換得到的時頻分布作為初始時頻原子[11]，各算法均采用OMP匹配追蹤算法進行稀疏重構(gòu)，OMP算法參數(shù)有稀疏度、最大迭代次數(shù)和迭代終止條件。稀疏度可默認為字典的維數(shù)，即使得所有字典遍歷一次，最大迭代次數(shù)設(shè)置為100，迭代終止條件如式（13）所示，殘差能量的變化率閾值ε設(shè)置為0.005。經(jīng)實驗驗證，一般不超過50次即可滿足迭代終止條件，跳出循環(huán)。結(jié)果采用信噪比（ Signal to Noise Ratio，SNR）和衡量時頻域上瞬態(tài)脈沖的敏感特征特性一聯(lián)合時頻熵[11]（ Joint Time-Frequency Entropy，JTFE）作為量化指標。算法的運行平臺：Inter Core i7-4790（主頻3.6 GHz）CPU，8GBDDR3內(nèi)存，Matlab 2015b，Windows 7 64位專業(yè)版操作系統(tǒng)。

4.1 仿真分析

驅(qū)動頻率f=l kHz，采樣頻率f=1 kHz，信號長度N- 1024，A=[0.76，0.96，0.92.1.09]和θ=[ π/6，π/4，π/3，π/2]分別為給定的幅值和初始相位向量，阻尼系數(shù)ξ=0.01，r=[0.02，0.04，0.06，0.08]為脈沖起始時刻，η=0.02 s為脈沖持續(xù)時間，n（t）為加入-8 dB的高斯白噪聲，結(jié)果如表1和圖2～7所示。

圖2和3分別給出了仿真信號和加噪信號的時域波形、頻譜和時頻分布。通過對比發(fā)現(xiàn)，加噪信號中的4個瞬態(tài)沖擊成分被噪聲嚴重污染，導致瞬態(tài)特征被削弱。圖4給出了時域稀疏重構(gòu)方法獲得的結(jié)果圖。從表1給出的輸出信噪比看僅為-5.19dB，提升不明顯，重構(gòu)出的結(jié)果與原信號存在較大的誤差，這說明在初始相位不同的情況下，相位匹配在一定程度上會影響時域稀疏重構(gòu)算法的性能，由于稀疏重構(gòu)只是采用少數(shù)原子去對原信號進行稀疏表達，噪聲將嚴重降低（消弱）其匹配稀疏的特征表達能力，時域稀疏僅在時域內(nèi)進行匹配追蹤，這就對時域原子的形態(tài)要求過高，很難對幅值和相位同時匹配以保證重構(gòu)波形不失真，這也驗證了文獻[11]的結(jié)論。

圖5為時頻域稀疏重構(gòu)方法的結(jié)果圖，可以看出重構(gòu)的結(jié)果遠比時域重構(gòu)的結(jié)果要好，輸出信噪比為-3.82，這說明時頻域稀疏重構(gòu)方法采用時頻分析（STFT變換）對幅值和相位進行分離，通過相位保持降低了對原子庫模型構(gòu)造的依賴性，與仿真信號的波形特點更為吻合，保證了瞬態(tài)特征提取的準確性，但時頻域稀疏重構(gòu)方法將噪聲也恢復出來，瞬態(tài)特征增強效果不強;圖6為加噪信號的時頻流形分布圖，從圖中可以看出，帶內(nèi)噪聲基本被去除，具有良好的瞬態(tài)特征提取能力，但受LTSA流形學習算法公式（7）的約束，提取的時頻流形特征對比原信號幅值損失嚴重，最高幅值僅為0.037，相差約2個數(shù)量級，這將嚴重影響后續(xù)的信號分析;

圖7給出了TFMASR方法的輸出結(jié)果圖，可以明顯可以看出，基于時頻流形稀疏重構(gòu)方法具有高效準確的瞬態(tài)特征增強能力。表1給出輸出信噪比為6.21 dB，JTFE為最小的0.7655，反映出輸出信號的頻帶能量分布更為集中，且具有更少的帶內(nèi)噪聲，這表明所提方法利用了時頻流形帶內(nèi)噪聲去除能力，降低了噪聲對時頻原子構(gòu)造學習的影響，通過相位保持對信號波形特點增強的準確性，極大地提高了瞬態(tài)沖擊特征的挖掘與增強能力。

4.2 實測信號驗證

為驗證所提方法的有效性，采用某型飛行器試驗任務中高頻振動傳感器采集的遙測振動信號進行處理驗證，采樣頻率為5.12 kHz，結(jié)果如圖8～12所示。由于SNR的計算需要無噪信號的先驗信息，因此其在仿真研究中可以作為較好的量化指標，但對實測信號卻無法使用。因此對于實測遙測振動信號，只采用JTFE對時頻能量分布情況進行量化。

圖8給出了實測遙測振動信號的時域波形、頻譜和時頻分布，驅(qū)動頻率大致在1600～2000 Hz之間，噪聲覆蓋整個時頻平面，信號瞬態(tài)特征被嚴重削弱，且這種瞬態(tài)特征呈現(xiàn)較強的非線性，波形特征也隨時變化。圖9給出了時域稀疏重構(gòu)的結(jié)果，可以看出時域稀疏雖然可以去除一部分噪聲，但帶內(nèi)噪聲去除得不夠明顯，JTFE=0.7633時，由于沒有對相位信息進行保持，同上一節(jié)的仿真結(jié)果一樣，重構(gòu)出的信號波形較原信號有一定的差異。

圖10給出了時頻域稀疏重構(gòu)的結(jié)果圖，采用時頻分析技術(shù)將幅值和相位分離，通過相位保持使得恢復出的信號同原信號的波形特點較為吻合，在一定程度上提升了信號瞬態(tài)特征的稀疏表達效果，僅當JTFE= 0.7697時，反而比時域稀疏重構(gòu)方法大，這說明受噪聲的影響，特別是帶內(nèi)噪聲，使得在時頻原子構(gòu)造過程中添加了噪聲信息，在重構(gòu)過程中難免將噪聲信息也一并恢復，使得降噪效果不佳;圖11給出了實測信號的時頻流形分布圖，可以看出其具有良好的帶內(nèi)噪聲去除效果，但提取的時頻流形的幅值受LTSA算法數(shù)據(jù)中心化的影響有較大衰減，最高幅值僅為0.045，較原信號幅值28.24相差約3個數(shù)量級，這將嚴重影響后續(xù)信號分析的準確性;圖12為基于時頻流形自適應稀疏重構(gòu)方法的輸出結(jié)果圖，不難發(fā)現(xiàn)，該方法具有最小的JTFE-0.7418，重構(gòu)出的信號時頻分布具有最高的時頻能量聚集性，瞬態(tài)特征增強效果最好。這說明從時頻流形中白適應學習構(gòu)造時頻字典充分利用時頻流形的帶內(nèi)噪聲去除能力，降低了噪聲對構(gòu)造原子質(zhì)量的影響，因此，本文所提方法在波形特點保持、帶內(nèi)噪聲去除、瞬態(tài)特征增強以及降低原子庫模型構(gòu)造的依賴性等方面較時域稀疏重構(gòu)和時頻域稀疏重構(gòu)方法具有更好的效果。但從表1和2各算法運行時間對比來看，TFMASR方法的主要缺點是運行時間較長，1024點的時序仿真信號需要539.56 s的計算時間，經(jīng)算法流程分析和實驗得出，算法的計算量主要集中在時頻流形的提取上，由于相空間信號時頻分布樣本數(shù)據(jù)量較大，導致后續(xù)的LTSA非線性流形學習效率降低，計算損耗增加;另外，TFMASR在字典白適應學習和相空間信號時頻分布需要2次的全局匹配追蹤搜索，也需要一定的時間損耗，為了提高算法的運行效率，可采取只對感興趣的分析頻段、時間段進行時頻流形提取和匹配追蹤搜索，降低時頻分布樣本數(shù)據(jù)量和提高匹配搜索的效率。

5 結(jié) 論

針對遙測振動信號非線性、強噪聲、瞬態(tài)沖擊性等特點，提出一種基于時頻流形自適應稀疏重構(gòu)的信號特征增強方法，以時頻流形為基礎(chǔ)自適應構(gòu)建過完備字典，避免對原子庫模型構(gòu)造的依賴性;利用保持時頻分布的相位信息，有效提高了信號瞬態(tài)特征增強的準確性以及稀疏方法的通用性。仿真和實測信號實驗結(jié)果表明新方法在波形特點保持、帶內(nèi)噪聲去除、瞬態(tài)特征增強以及降低原子庫模型構(gòu)造的依賴性等方面優(yōu)于時域稀疏重構(gòu)和時頻域稀疏重構(gòu)方法。

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