陳 龍

一、導(dǎo)言

說起人工智能，我們可能首先會想起著名的1956 年達(dá)特茅斯會議①有關(guān)人工智能詳細(xì)的歷史和發(fā)展，可以參見尼克：《人工智能簡史》，北京：人民郵電出版社2021年版。，以及其后尤其是近些年來人工智能在定理證明、棋類競技和語言處理等方面取得的非凡成就。除了和傳統(tǒng)的身心問題這一哲學(xué)難題密切相關(guān)之外②如果我們將“身”的概念推廣到包括“腦”，而且假定大腦的運(yùn)作和機(jī)器基本無異。，人工智能引起人們極大興趣的另外一個主要原因是其令人矚目的進(jìn)展為人類提供的反思契機(jī)：人類智能的本質(zhì)是什么，它一定勝過人工智能嗎？事實(shí)上，早在1950 年，被譽(yù)為“計算機(jī)科學(xué)之父”與“人工智能之父”的阿蘭·圖靈（Alan Mathison Turing）就在“計算機(jī)與智能”①Allen Turing,“Computing Machinery and Intelligence”,Mind,1950,Vol.49,No.236,pp.433-60.的論文中第一次提出了用機(jī)器來實(shí)現(xiàn)智能的想法，并設(shè)計了一種后來被稱為“圖靈測試”的模仿游戲來驗(yàn)證機(jī)器是否具備智能。雖然對“圖靈測試”這一行為主義標(biāo)準(zhǔn)能否刻畫人類智能一直都有質(zhì)疑②最著名的反對意見便是塞爾的“中文屋論證”。John R. Searle,“Minds, Brains, and Programs”, Behavioral and Brain Sciences,1980,Vol.3,No.3,pp.417-57.，但是圖靈的工作是奠基性的，他不僅為機(jī)器智能提供了“圖靈機(jī)”這樣一個足夠精確的模型，并且還設(shè)想了這一模型可能的延伸和推廣，使得我們關(guān)于人工智能范圍和限度的討論不再只是單純的思辨和想象，而是建立在一個穩(wěn)定而堅實(shí)的立足點(diǎn)之上。誠然，我們對人類智能本質(zhì)的理解還缺乏清晰的認(rèn)識，傳統(tǒng)上以問題解決為核心的模型還未充分考慮到環(huán)境交互和學(xué)習(xí)試錯等其他因素，我們同樣也面臨著現(xiàn)有模型對隨機(jī)性和復(fù)雜度考量之不足以及未來可能模型的多樣性的挑戰(zhàn)。然而，如果單純從邏輯和數(shù)學(xué)這個更為抽象而非可行性的角度來考察的話，我們可以將機(jī)器能否具有智能這一稍顯含糊的問題規(guī)約為機(jī)器能證明的數(shù)學(xué)是否和人類一樣多這個更加清晰的問題，即從證明數(shù)學(xué)命題外延的角度來比較理想的人類心靈的數(shù)學(xué)能力和理想機(jī)器的數(shù)學(xué)能力強(qiáng)弱。以此為焦點(diǎn)，哥德爾不完全性定理（G?del’s Incompleteness Theorem,以下簡稱GT）便扮演了一個重要角色，因?yàn)樗粍谟酪莸貫樾问较到y(tǒng)③一個形式系統(tǒng)可以看做是一臺理想的證明定理圖靈機(jī)。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)的證明能力劃定了界限。哥德爾不完全性定理是為了解決1900 年希爾伯特提出的20 世紀(jì)需要解決的23 個數(shù)學(xué)問題之一所得的劃時代數(shù)學(xué)結(jié)果④哥德爾是為了解決分析希爾伯特第二問題，即分析的一致性。更確切的說，哥德爾是在他試圖解決分析相對于算術(shù)的一致性過程中發(fā)現(xiàn)其不完全性定理的，具體的細(xì)節(jié)可以參見他1970 年寫給Yossef Balas 的信件。Kurt G?del,Collected Works,Volume Ⅳ,Oxford:Oxford University Press,2003,p.9-10.。而100 年后美國數(shù)學(xué)家斯梅爾也設(shè)想了21 世紀(jì)需要解決的18 個數(shù)學(xué)問題,其中的第18 個問題便是“人類智能的極限和人工智能的極限是什么？”⑤Steve Smale,“Mathematical Problems for the Next Century”, The Mathematical Intelligencer, 1998, Vol.20, No.2,pp.7-15.并且指出,這個問題與哥德爾不完全性定理密切相關(guān)。哥德爾不完全性定理可以按照下述形式陳述⑥以下表述源自王浩。參見王浩：《哥德爾思想概說》，《科學(xué)文化評論》2004年第6期，第79-86頁。：

GT 數(shù)學(xué)是不可窮盡的。

GT1 每個一致的形式數(shù)學(xué)理論一定包含不可判定的命題。

GT2 沒有定理證明機(jī)器（或程序）能夠只證明全部真的數(shù)學(xué)命題。

GT3 沒有既一致又完全的形式數(shù)學(xué)理論。

GT4 數(shù)學(xué)是機(jī)械上（或算法上）不可窮盡的（或不可完全的）。

簡單說來，哥德爾定理揭示了數(shù)學(xué)（甚至算術(shù)）的算法上的不可窮盡性（或不可完全性）。按哥德爾的看法，算法上不可窮盡這個事實(shí)，表明了不是人心勝過計算機(jī)，就是數(shù)學(xué)不由人心創(chuàng)造，或二者皆真。因此，這個定理和心靈與機(jī)器的數(shù)學(xué)證明能力有著明顯的關(guān)系。一方面，人們確實(shí)很難抵擋從GT 這個確定的數(shù)學(xué)定理出發(fā)去試圖證明“人心勝過機(jī)器”這一哲學(xué)論斷，哥德爾自己以及著名“盧卡斯—彭羅斯論證”便是從這個角度出發(fā)去論證心靈與機(jī)器、人類智能與人工智能之間的關(guān)系的。另一方面，作為GT 哲學(xué)基礎(chǔ)之一的“形式系統(tǒng)”概念便是由圖靈所定義的“機(jī)械程序”——也等價于圖靈機(jī)。吊詭的是，雖然哥德爾認(rèn)為圖靈的定義是“精確且毫無疑問充分的”，但是他同時也認(rèn)為圖靈的論證中包含一個“哲學(xué)錯誤”從而導(dǎo)致其論證有可能會被誤解為支持“人類心智活動不可能超越任何機(jī)械程序”。本文擬從哥德爾對GT 的哲學(xué)意蘊(yùn)以及他對圖靈關(guān)于機(jī)械程序定義的看似不一致的評論出發(fā)，結(jié)合最新的哲學(xué)與人工智能方面的進(jìn)展，對哥德爾與人工智能的關(guān)系做一個初步的探討。

二、盧卡斯—彭羅斯論證以及哥德爾析取式論證

關(guān)于心腦與機(jī)器關(guān)系問題的爭論也許最早可見于波斯特（E.Post）關(guān)于人心比機(jī)器優(yōu)越的猜想。1921年波斯特就設(shè)想過大致相近的不完全性理論并推斷①1941年波斯特寫了“Absolutely Unsolvable Problems and Relatively Undecidable Propositions-Account for an Anticipation”，其中便包括他于1921年起涉及到不完全性的部分筆記，全文首次公開發(fā)表于1965年。：

數(shù)學(xué)家遠(yuǎn)遠(yuǎn)不只比機(jī)器更靈巧，能更快地做到機(jī)器最終可以做到的事情。我們看到，機(jī)器永遠(yuǎn)不可能提出完備的邏輯，因?yàn)闄C(jī)器一旦造成，我們總能證明一個它不能證明的定理。②Emil Post,“Absolutely Unsolvable Problems and Relatively Undecidable Propositions-Account of an Anticipation”,in Martin Davis(ed.),The Undecidable,New York:Raven Press,1965,p.417.

然而經(jīng)過斟酌之后波斯特不久就修正了這個“看似草率”的推論：

“人不是機(jī)器”這個結(jié)論不能成立。我們所能說的只是，人無法制造一部能做出人類所有思考的機(jī)器。要說明這一點(diǎn)，我們可以想象制造一部能夠證明相類于其自身心理運(yùn)作的定律的“人—機(jī)器”復(fù)合體。③Emil Post,“Absolutely Unsolvable Problems and Relatively Undecidable Propositions-Account of an Anticipation”,p.423.

1961 年，牛津哲學(xué)家盧卡斯（John Lucas）提出了類似波斯特上述第一個想法的論證④John R.Lucas,“Minds,Machines and G?del”,Philosophy,1961,No.36,pp.112-127.，以GT 為基礎(chǔ)來論證人心勝過機(jī)器的反機(jī)械論論證。盧卡斯的論證極具爭議，引發(fā)了各種辯論和反對意見⑤Paul Benacerraf,“God, the Devil, and G?del”, The Monist, 1967, No.51, pp.9-32; David Lewis,“Lucas against Mechanism”,Philosophy,1969,Vol.44,No.169,pp.231-233.，但也不乏支持者，其中最有名的是英國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家羅杰·彭羅斯（Roger Penrose）。在1989年出版的《皇帝的新腦》一書中⑥Roger Penrose,The Emperor’s New Mind,Oxford:Oxford University Press,1989.中，彭羅斯不僅對盧卡斯的論證作了擴(kuò)展，并且還從意識和量子力學(xué)等新的角度試圖從GT出發(fā)直接論證“人心超過計算機(jī)”的結(jié)論。鑒于二者論證的若干相似之處，我們將類似的從GT出發(fā)為人心勝過機(jī)器辯護(hù)的論證稱為“盧卡斯—彭羅斯論證”①此處我們不特別關(guān)注盧卡斯與彭羅斯論證的差異。有關(guān)彭羅斯論證的反對意見及討論，參見：George Boolos,“On‘Seeing’the Truth of the G?del Sentence”, Behavioral and Brain Sciences, 1990, Vol.13, No.4, pp.655-656;Martin Davis,“Is Mathematical Insight Algorithmic?”Behavioral and Brain Sciences,1990, Vol.13, No.4, pp.659-660;劉大為：《哥德爾定理：對盧卡斯—彭羅斯論證的新辨析》，《科學(xué)技術(shù)哲學(xué)研究》2017年第4期，第25-30頁。。

盧卡斯—彭羅斯反機(jī)械論論證的核心可以表述如下：

無論我們造出多么復(fù)雜的機(jī)器，只要它是機(jī)器，就將對應(yīng)于一個形式系統(tǒng)，那么依照哥德爾構(gòu)造不可判定命題的方法就能找到一個在該系統(tǒng)內(nèi)不可證的公式。機(jī)器不能把這個公式作為定理推導(dǎo)出來，但是人心卻能看出它是真的。因此這臺機(jī)器不是心靈的一個充分的模型。人們總想制造心靈的一種機(jī)械模型，即從本質(zhì)上是“死”的模型，而心是“活”的，它總能比任何形式的、僵死的系統(tǒng)干得好。多虧了哥德爾定理，心靈總有最后的發(fā)言權(quán)。②John R.Lucas,“Minds,Machines and G?del”,p.116.

如果我們將“機(jī)器”理解為生成定理的圖靈機(jī)，那么由于形式系統(tǒng)定義的精確性以及不可判定命題的構(gòu)造性，盧卡斯的上述論證從技術(shù)上而言似乎是不可反駁的。但是其反對者的主要理由是他對GT的運(yùn)用，即到底是“人心能看出它‘不可判定語句’是真的”還是說“如果人心是一致的，那么人心能看出它是真的”？盧卡斯的論證若要成功，還需要一些其他的理想化假設(shè)，即“理想的”人心確實(shí)是一致的，并且我們也能認(rèn)識到（或證明）這一點(diǎn)，而這些假設(shè)至少從哲學(xué)上而言是需要辯護(hù)的。考慮一個從上述角度出發(fā)的典型的反對意見，比如按照劉易斯的觀點(diǎn)，盧卡斯的論證可以被看作是在為如下超窮的推理規(guī)則辯護(hù)：

R：如果S 是一個語句集，并且C 是對應(yīng)于這個語句集的一致性語句的話，那么可以從S推出C。

相比于作為定理證明機(jī)器的任何形式系統(tǒng)F，人心，如果是一臺機(jī)器的話，那么它在證明能力方面要比F 更強(qiáng)大，因?yàn)樗€可以使用R 這條系統(tǒng)的推理規(guī)則。R 顯然是一條可靠的規(guī)則：如果前提S 中的所有語句都是真的話，那么S 必定也是一致的，所以C 一定也是真的，因而R 是一條保真的推理規(guī)則。由于任何形式系統(tǒng)或機(jī)器都不能推導(dǎo)出它自身的一致性語句（否則會和GT 矛盾），但是能夠使用規(guī)則R 的人心卻可以③這里當(dāng)然還需要假設(shè)人心能夠使用形式算術(shù)系統(tǒng)（比如說皮亞諾算術(shù)PA）通常的其他規(guī)則，因此人心的算術(shù)能力至少和PA一樣強(qiáng)大。，所以人心勝過任何機(jī)器。但是，劉易斯認(rèn)為盧卡斯的論證不是決定性的，因?yàn)闉榱诉_(dá)到他的目標(biāo)，他還需要額外論證我們有足夠的能力去驗(yàn)證（verify）人心所能輸出的所有定理。但是和一般的形式系統(tǒng)不同，由于使用了R 這條超窮規(guī)則，我們可能會面臨一些有無窮多前提的證明從而不能保證這種驗(yàn)證一定會成功④盧卡斯后來回應(yīng)說我們不需要心靈的所有定理輸出，而只需要一個就足矣，但是劉易斯認(rèn)為這種說法同樣也有問題。參見John R.Lucas,“Mechanism:A Rejoinder”,Philosophy,1970,No.45,pp.149-151;David Lewis,“Lucas against Mechanism Ⅱ”,Canadian Journal of Philosophy,1979,Vol.9,No.3,pp.373-376.。

事實(shí)上，哥德爾自己對到底能從他的不完全性定理推出何種哲學(xué)結(jié)論也有過仔細(xì)的論證和思考，他的結(jié)論要顯得更為謹(jǐn)慎。從最早公開發(fā)表的文本來看①哥德爾的析取式論證是他在1951年的吉布斯講座上提出來的，而這篇演講稿直到1995年全集第三卷才正式出版，他與王浩的對話在1974年就已經(jīng)公開發(fā)布。，哥德爾認(rèn)為由他的定理并不能直接得出下面所需結(jié)論：

另一方面，根據(jù)現(xiàn)有證明，仍然可能有（甚或真可以發(fā)現(xiàn)）實(shí)際上相當(dāng)于數(shù)學(xué)直覺（即心靈的數(shù)學(xué)能力）的定理證明機(jī)器，但這卻不可能證實(shí)；我們甚至不可能證明，這樣一部機(jī)器在證明有限數(shù)論定理時一定產(chǎn)生正確結(jié)果。②Wang Hao,From Mathematics to Philosophy,London:Routledge＆Kegan Paul,1974,p.324.Wang Hao,From Mathematics to Philosophy,London:Routledge＆Kegan Paul,1974,p.324.

換言之，哥德爾定理并沒有排除制造出實(shí)際上相當(dāng)于數(shù)學(xué)心靈的機(jī)器M的可能性。但若真有這么一部機(jī)器，哥德爾用他的定理推斷出兩個結(jié)果：

A.不可能證明M真的有此能力；

B.也不可能證明它只產(chǎn)生正確定理。

假設(shè)我們可以證明M 只產(chǎn)生正確定理，這樣的話我們就證明了M 的一致性。根據(jù)關(guān)于M 的假設(shè)（即它的能力相當(dāng)于數(shù)學(xué)心靈），M 就應(yīng)該能夠證明它的一致性，這和哥德爾定理是直接矛盾的，因此B必然成立。類似的，如果我們假設(shè)“心靈能力”是正確而不會出錯的，“證明”是指比較強(qiáng)的數(shù)學(xué)證明而非大概率的經(jīng)驗(yàn)歸納的話，我們同樣可以證明A也成立。

用哥德爾自己的話說，這一結(jié)果表明的是如下這個更為普遍的現(xiàn)象：

人類心靈不能夠把他所有的數(shù)學(xué)直覺公式化或機(jī)械化，亦即，他如果能把某些直覺公式化，這一事實(shí)本身就會產(chǎn)生新的直覺性知識，例如這個公式化過程的一致性。這可稱為數(shù)學(xué)的“不可完備性”（incompletability）。②Wang Hao,From Mathematics to Philosophy,London:Routledge＆Kegan Paul,1974,p.324.Wang Hao,From Mathematics to Philosophy,London:Routledge＆Kegan Paul,1974,p.324.

數(shù)學(xué)直覺的不可或缺性以及數(shù)學(xué)真理的不可完備性是哥德爾數(shù)學(xué)哲學(xué)中的兩個核心要點(diǎn)，也是從GT中能直接得到的最確定最可靠也許同時也是最強(qiáng)的哲學(xué)結(jié)論。在1951年《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中一些基本定理及其推論》這一演講中，哥德爾試圖給出了一個比上述結(jié)論更為精細(xì)的一個論證，它就是著名的析取論題：

或者數(shù)學(xué)在如下意義上是不完全的，它那些顯然的公理永遠(yuǎn)不能包含于一個有窮的規(guī)則中，也就是說人類心靈（即使在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)）無窮地超出了任何有窮機(jī)器（或算法）的能力，或者存在著絕對不可解（absolutely undecidable）的數(shù)學(xué)問題。③Kurt G?del,“Some Basis Theorems on the Foundations of Mathematics and Their Implications”,in G?del,Collected Works,Vol Ⅲ,Oxford:Oxford University Press,1995,p.310.

后來的學(xué)者們將這個論證稱為“哥德爾析取式論證”（G?del’s Disjunctive Argument，以下簡稱GDA）①圍繞GDA 的綜述，國內(nèi)已有不少學(xué)者專門討論過，比如邢滔滔：《哥德爾定理正反觀》，《科學(xué)文化評論》2008 年第2期，第86-108頁；郝兆寬：《哥德爾針對物理主義的一個論證》，《邏輯學(xué)研究》2014年第3期，第1-11頁。。GDA中的第一個析取支斷定的是人類心靈的抽象能力，它超出任何有窮機(jī)器，即便是在數(shù)學(xué)知識這個領(lǐng)域范圍之內(nèi)；第二個析取支斷定的是關(guān)于數(shù)學(xué)知識的界限：存在著永遠(yuǎn)不可判定，永遠(yuǎn)不能被人類所知的數(shù)學(xué)真理或命題。從不完全性定理出發(fā)大部分關(guān)于心靈和數(shù)學(xué)知識本性的討論都基于此論題之上，大致可以分為三種觀點(diǎn)：1）支持GDA，但是對兩個析取支的哪一個為真保持未知狀態(tài)，甚至認(rèn)為它是不可知的；2）支持第一個析取支為真（即人類心靈勝過機(jī)器）；3）支持第二個析取支為真（即存在著絕對不可判定的數(shù)學(xué)真理或命題）。很多證據(jù)②比如哥德爾在與王浩的談話中的一些論述。Wang Hao,“On Physicalism and Algorithmism: Can Machines Think?”,Philosophia Mathematica,1993,Vol.1,No.2,p.119.顯示哥德爾本人從他的理性樂觀主義出發(fā)傾向于相信第一個析取支為真，但是他認(rèn)為不完全性定理本身還并不足以得出這個結(jié)論。

關(guān)于盧卡斯—彭羅斯以及哥德爾析取式論證最前沿同時從技術(shù)性角度而言也是最精致的討論出現(xiàn)在科爾納（Peter Koellner）的系列文章中③參見Peter Koellner,“On a Purported Proof That the Mind Is Not a Machine”,Thought,2018,Vol.7,No.2,pp.91-96;Peter Koellner,“On the Question of Whether the Mind Can Be Mechanized, I: From G?del to Penrose”, Journal of Philosophy,2018,Vol.115,No.7,pp.337-360;Peter Koellner,“On the Question of Whether the Mind Can Be Mechanized,Ⅱ:Penrose’s New Argument”,Journal of Philosophy,2018,Vol.115,No.9,pp.453-484.。在科爾納看來，即便是從比較理想的心靈與理想的機(jī)器的數(shù)學(xué)產(chǎn)出這么一個更加確定的角度來討論心靈與機(jī)器的優(yōu)劣問題，我們?nèi)匀缓茈y從GT得出“心靈無法被完全機(jī)械化”這么一個反機(jī)械論論題④下文中我們用WMT 代表心靈可以被機(jī)械化這個弱機(jī)械論論題（weak mechanic thesis），因而“心靈無法被完全機(jī)械化”就可以表示為“?WMT”。。一方面，從哲學(xué)角度考慮，“理想心靈”和“理想機(jī)器”這種核心概念的表述本身就包含了過多的理想化假設(shè)，使得它們的精確含義成疑，要得出任何富有成效的討論結(jié)果似乎也很難。另一方面，如果我們拋開這些哲學(xué)疑慮而用更加精確的技術(shù)定義給上述概念一個確定含義的話，最終得到的技術(shù)性結(jié)果也是一個平凡的哲學(xué)結(jié)論，很難具有盧卡斯—彭羅斯或是哥德爾所希望的那樣。具體來說，如果采用一個不分層（type-free）的關(guān)于真概念T 的公理化形式系統(tǒng)DT，然后再加上關(guān)于絕對可證性（等價于理想的人類可知性）K的一個不分層的公理系統(tǒng)以及K和T之間的一些基本橋接原則⑤比如說絕對可證的都是真的，即＆x(Kx?Tx)，等等。，我們可以在DTK 系統(tǒng)中將弱機(jī)械論論題（WMT）表述為?eK(K=Fe)⑥e是以自然數(shù)為論域的變元，這里的Fe表示的是某臺理想的圖靈機(jī)。K=Fe表示K和Fe有著同樣的數(shù)學(xué)產(chǎn)出。。奇怪的是“非機(jī)械論論題”（?WMT）這個語句在DTK 系統(tǒng)中可以被證明是不可判定的，即?WMT 既不能被證明，也不能被駁斥（WMT也不能被證明）。因此，即便表述哥德爾析取式論證的這個析取式語句有確定的真值，在足夠充分的假設(shè)條件下，我們本身也沒有辦法得知其真假，要想從GT 出發(fā)得出任何非平凡的哲學(xué)結(jié)論一定需要更多的哲學(xué)或是技術(shù)上的論證?？茽柤{認(rèn)為他的這一結(jié)論具有足夠的普遍性，也就是說即便我們加強(qiáng)有關(guān)T 或是K 的公理，?WMT依舊很可能是不可判定的。但是他并沒有完全排除其他可能性，在他看來，留給目前學(xué)者最大的挑戰(zhàn)是：尋求一個更加精細(xì)的包含絕對可證性和真謂詞的形式理論來判定WMT，如果我們想從GT得出任何確切的哲學(xué)結(jié)論的話。

三、哥德爾論圖靈的“哲學(xué)錯誤”

考察哥德爾對人工智能看法的另外一個有趣的角度便是從他對圖靈關(guān)于機(jī)械程序定義看似前后矛盾的雙重態(tài)度，這不僅有助于我們更好地理解圖靈機(jī)以及其他更加復(fù)雜模型在人工智能中所扮演的角色，也能更好地看出哥德爾和圖靈在克服純粹的機(jī)械主義和形式主義上殊途同歸的努力。

作為機(jī)器智能模型最重要概念之一的“機(jī)械程序”也可以等價于“算法”或是“可計算程序”，在1936年以前它還只是一個直觀的、非形式化的概念，可以大致理解為它是一個在有限的時間內(nèi)、根據(jù)明確規(guī)定的運(yùn)算規(guī)則、在有窮步驟內(nèi)得出確切計算結(jié)果的機(jī)械步驟或能行可計算程序。在兩千多年的數(shù)學(xué)實(shí)踐中，這個直觀的概念經(jīng)常就足夠清晰和明確了，比如說歐幾里得關(guān)于求兩個數(shù)最大公約數(shù)的方法便是人們最熟悉的經(jīng)典算法之一。然而為了一些限定性問題比如一階邏輯中的可判定問題，我們往往需要一個更加精確的數(shù)學(xué)定義。似乎奇跡般地在1936 年同時出現(xiàn)了好幾個定義①他們分別是圖靈、克里尼、丘奇和波斯特，相應(yīng)的文章參見Allen Turing,“On Computable Numbers,with an Application to the Entscheidungsproblem”, Proceedings of the London Mathematical Society, Vol.42, No.1, pp.230-265; Stephen Kleene, General Recursive Functions of Natural Numbers, in M. Davis (ed.), The Undecidable, New York: Raven Press, 1936, pp.236-253; Alonzo Church,“An Unsolvable Problem of Elementary Number Theory”,American Journal of Mathematics,1936,Vol.58,No.2,p.345;Emil Post,“Finite Combinatory Processes—Formulation I”,The Journal of Symbolic Logic,1936,Vol.1,No.3,pp.103-105?？死锬岬墓ぷ髦饕菍Ω绲聽柟ぷ鞯囊粋€擴(kuò)展。波斯特和圖靈的工作是完全獨(dú)立的。，而且他們都被證明是外延等價的，所有能行可計算或是機(jī)械程序可計算的函數(shù)恰好就是一般遞歸函數(shù)或者圖靈可計算函數(shù)，這個論斷今天幾乎被所有人毫無疑慮地接受，它就是著名的“丘奇—圖靈論題”（Church-Turing Thesis）。事實(shí)上，哥德爾一開始也提出過等價于上述定義的一般遞歸概念，但是他并不確信自己的概念囊括了所有的遞歸形式及機(jī)械程序，只有在他讀到圖靈關(guān)于機(jī)械程序的分析之后才完全信服②有關(guān)哥德爾在丘奇—圖靈論題發(fā)展中的角色以及這段極有意思的歷史，參見Martin Davis,“Why G?del Didn’t Have Church’s Thesis”, Information and Control, 1982,Vol.54, No.1-2, pp.3-24; Solomon Feferman,“Kurt G?del:Conviction and Caution”,Philosophia Naturalis,1984,Vol.21,No.2,pp.546-562。，尤其是他認(rèn)為圖靈的分析使得不完全性定理可以以一種最為普遍的形式表述出來。在寫于1965年關(guān)于1934年普林斯頓講座的一段非常有名的附加說明中，哥德爾直言：

鑒于后來的發(fā)展，尤其是圖靈的工作，我們現(xiàn)在可以給出關(guān)于形式系統(tǒng)這個概念的普遍定義，這個定義是精確且毫無疑問充分的。對于所有包含若干有窮數(shù)論的一致的形式系統(tǒng)，都存在不可判定的算術(shù)命題，并且這個系統(tǒng)自身的一致性在系統(tǒng)內(nèi)不可證。

圖靈的貢獻(xiàn)在于他給出了關(guān)于“機(jī)械程序”（或者說“算法”“計算程序”“有限組合程序”）這個概念的分析，并且證明了它和“圖靈機(jī)”等價。一個形式系統(tǒng)可以簡單的被當(dāng)作是生成某些被稱之為可證公式的機(jī)械程序。對于任意一個形式系統(tǒng)，都存在一個對應(yīng)的生成相同公式的有窮程序，只要我們將其理解為“有窮機(jī)械程序”即可。當(dāng)然這是形式系統(tǒng)這個概念的應(yīng)有之義，因?yàn)槠浔举|(zhì)就在于對公式的運(yùn)算都是機(jī)械的。（值得注意的是，是否存在不等價于任何算法的有窮非機(jī)械的程序這個問題和圖靈對“形式系統(tǒng)”和“機(jī)械程序”定義的充分有效性毫不相干?！安煌耆远ɡ砑捌湎嚓P(guān)的一些結(jié)果”并沒有對人類的理性的能力設(shè)定任何界限，它只是為數(shù)學(xué)中的純粹形式主義的潛在可能性做出了一個界限。）①Kurt G?del,On Undecidable Propositions of Formal Mathematical Systems,in Kurt G?del:Collected Works,Vol.Ⅱ,Oxford University Press,1934,pp.369-370.

哥德爾對GT與人類理性以及純粹形式主義界限的澄清可以看作是對波斯特的一個回應(yīng)。丘奇認(rèn)為他（或圖靈）關(guān)于機(jī)械程序的定義不存在正確與否的問題，“因?yàn)橥ǔＲ饬x上的能行過程并沒有一個精確的定義，因此這個工作假設(shè)其實(shí)也不會有精確的含義”②Alonzo Church,“Review: Emil L. Post, Finite Combinatory Processes-Formulation 1”, The Journal of Symbolic Logic,1937,Vol.2,No.1,p.43.。然而波斯特不這么看，他本人也通過對“有窮組合過程”的分析得出了一個關(guān)于機(jī)械過程的結(jié)論，但是他說這一分析的目的“不僅僅是要呈現(xiàn)一個具有邏輯效力，同樣在其范圍內(nèi)也要在心理上的忠實(shí)（psychological fidelity）的系統(tǒng)”③Emil Post,“Finite Combinatory Processes—Formulation I”,pp.103-105.。 盡管波斯特同樣也預(yù)料到了他的分析和丘奇分析的等價性，但是他只愿意眼下把這個分析作為一個“工作假設(shè)”。即便是未來更符合心理忠實(shí)的更強(qiáng)的分析被證明是和眼下這個分析是等價的，那也“只是將這個工作假設(shè)的地位轉(zhuǎn)換為了一個自然律，而非定義或是公理”。在一個腳注中，波斯特批評了丘奇將能行可計算性與一般遞歸函數(shù)的等同視為一個定義的看法：

事實(shí)上眼下丘奇以及其他人的工作已經(jīng)將這個論題的地位提升至遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了工作假設(shè)的地步。然而，將這個論題作為定義這一做法會隱藏這個論題的真正性質(zhì)，即它是關(guān)于人類數(shù)學(xué)能力（mathematicizing power of Homo Sapiens）界限的一個根本性發(fā)現(xiàn)，從而導(dǎo)致我們忽視了要繼續(xù)去確證它的必要性。③Emil Post,“Finite Combinatory Processes—Formulation I”,pp.103-105.

關(guān)于機(jī)械程序的分析和定義，哥德爾贊同波斯特而非丘奇，他同樣也不認(rèn)為關(guān)于這個定義僅僅只存在從實(shí)踐的實(shí)用角度出發(fā)來考慮的合理與否的問題，它更涉及到概念分析正確性與充分性的問題。然而，與波斯特不同，哥德爾認(rèn)為機(jī)械程序的精確定義以及最寬泛意義上的不完全性定理并沒有給人類理性或是人類數(shù)學(xué)能力設(shè)定極限。正是在討論相同的問題背景下哥德爾指出了圖靈在論證“人類心智活動不可能超越任何機(jī)械程序”的“哲學(xué)錯誤”④在原文中哥德爾明確說關(guān)于圖靈的哲學(xué)錯誤這個評論可以看作是對1965 年引文中“數(shù)學(xué)”一詞的腳注。Kurt G?del,“Some Remarks on the Undecidability Results”, in Kurt G?del: Collected Works, Volume : Publications 1938-1974,Oxford:Oxford University Press,1972,pp.305-307.。哥德爾認(rèn)為圖靈在論證機(jī)械程序的過程中假定了可區(qū)分的人心狀態(tài)的有限性，而忽略了人

心的狀態(tài)數(shù)目在其發(fā)展中可以通過類似理解抽象概念這樣的活動來匯聚至無窮，因而圖靈的論證是不充分的，其結(jié)論也是可以避免的。一方面，圖靈在分析機(jī)械程序過程中對計算者可區(qū)分狀態(tài)的有限性假設(shè)是否也可以看成是對“心智活動不可能超越任何機(jī)械程序”的論證，這是有待更加清晰地說明的。另一方面，哥德爾的這個評論是否可以看成是某種不一致，即他愿意接受圖靈對機(jī)械程序的分析結(jié)果，但同時也認(rèn)為圖靈給出的論證中包含“哲學(xué)錯誤”，這一點(diǎn)也遠(yuǎn)非毫無爭議①這個問題本身需要另行撰文討論，此處我們不能展開，詳細(xì)的討論可以參見Judson Webb,Introductory Note to Remark 3 of G?del(1972),in Kurt G?del:Collected Works,Vol.Ⅱ,1990,pp.292-304。。從哥德爾的評論中可以明確的是，哥德爾意識到一旦我們可以給出關(guān)于機(jī)械程序的精確定義，那么不完全性定理就會對任何純粹的形式主義構(gòu)成一個邏輯界限，到底它是否同時也構(gòu)成關(guān)于人類心靈或理性的限制，這需要更多的論證。哥德爾認(rèn)為我們具有通過理解抽象對象和概念而來的數(shù)學(xué)直覺能力，這會是人心超出機(jī)械程序之處。雖然圖靈在給出機(jī)械程序充分性分析的過程中假定了心靈狀態(tài)的有限性，但是這只是他在分析這個特定概念過程中的假設(shè)，而并非他對人心理性能力的普遍規(guī)定。事實(shí)上，早在他的博士論文中他就提出過用“序數(shù)邏輯”②Allen Turing, Systems of Logic Based on Ordinals, in Martin Davis(ed.),The Undecidable, New York: Raven Press,1939,pp.154-222.會嘗試克服GT 所帶來的限制性結(jié)果。而在后期思考機(jī)器與智能的過程中他也突破了圖靈機(jī)這個完全機(jī)械的模型，而考慮過會修改自身程序的機(jī)器，或是通過試錯以及學(xué)習(xí)來進(jìn)步的機(jī)器③Allen Turing, Intelligent Machinery, in Jack Copeland(ed.), The Essential Turing, Oxford: Oxford University Press,1948,pp.395-432.。換言之，如果說哥德爾是從數(shù)學(xué)直覺這種更加偏哲學(xué)化的方式來論證人心超出純粹機(jī)械主義之處，作為計算機(jī)科學(xué)家的圖靈是從智能機(jī)器這種更加偏實(shí)踐性的角度去超越初級層面的機(jī)械程序，二者其實(shí)可以看作是互補(bǔ)而非對立的。僅從數(shù)學(xué)定理證明與發(fā)現(xiàn)這個領(lǐng)域來看，最新的成果恰好可以看作是對二者的共同確證：數(shù)學(xué)直覺是不可或缺的，但是它同樣可以借助機(jī)器來獲得。傳統(tǒng)的機(jī)器在輔助數(shù)學(xué)定理證明方面一般是通過海量的數(shù)據(jù)計算這樣蠻力方法，或是輔助驗(yàn)證證明中的細(xì)節(jié)發(fā)現(xiàn)錯誤，而很難自己去制造或是生成一個有趣的猜想，或是以某種人類也能理解的方式證明某個問題。但是通過將推理和學(xué)習(xí)結(jié)合起來的方法引入傳統(tǒng)的機(jī)器，它們便能產(chǎn)生一些看似只有靠數(shù)學(xué)家的智慧才能生成的直覺。通過其強(qiáng)大的數(shù)據(jù)處理以及模式識別能力，最新的人工智能可以幫助數(shù)學(xué)家們看到以往不曾注意到或是幾乎不可理解的一些聯(lián)系，在紐結(jié)理論以及對稱性理論方面由機(jī)器和數(shù)學(xué)家們一起取得的一些成就④詳細(xì)的成果可以參見Davide Castelvecchi,“DeepMind’s AI Helps Untangle the Mathematics of Knots”, Nature,2021,Vol.600,No.7888,pp.202-202。。正如這些作者們強(qiáng)調(diào)的，他們的動機(jī)不是要用機(jī)器來直接生成猜想或是定理，而是“集中于幫助專業(yè)數(shù)學(xué)家們獲得可靠的直覺，以此可產(chǎn)生有趣且有深度的成果”⑤Alex Davies,Petar Veli?kovi?,Lars Buesing,et al.,“Advancing Mathematics by Guiding Human Intuition with AI”,Nature,2021,Vol.600,No.7887,pp.70-74.。因而，與其把直覺和機(jī)械方法對立起來，二者其實(shí)可以以一種互惠的方式互促發(fā)展，進(jìn)而有可能發(fā)展出一種人工式的直覺（artificial style of intuition）。

四、結(jié)論

與圖靈不同，哥德爾雖然沒有直接參與過電子計算機(jī)或是人工智能的實(shí)際發(fā)展，但是作為機(jī)械程序最有名的限定性結(jié)果——哥德爾不完全性定理——的發(fā)現(xiàn)者，他對機(jī)械程序和人心關(guān)系的思考是極具啟發(fā)性的。由GT 所引發(fā)的盧卡斯—彭羅斯論證以及哥德爾析取式論證依舊是心靈哲學(xué)中最重要的難題之一，人工智能中的最新發(fā)展所揭示的數(shù)學(xué)直覺與機(jī)械方法的互動和互惠也揭示了哥德爾和圖靈對超越純粹形式主義和機(jī)械主義探索的豐富性。對相關(guān)問題的進(jìn)一步深入研究最終會促進(jìn)數(shù)理邏輯、認(rèn)知哲學(xué)和人工智能的進(jìn)步與發(fā)展。最后，借用圖靈的一句話作為本文的結(jié)語：“我們無法看得很遠(yuǎn)，但目光所及之處已有大量的工作要做?！雹賵D靈的原文是：“We can only see a short distance ahead,but we can see plenty there that needs to be done”，參見Allen Turing,“Computing Machinery and Intelligence”,pp.433-460。