楊英銳

語(yǔ)言能力，是心理生命最基礎(chǔ)的功能，沒有之一。我曾選過(guò)一門古希臘哲學(xué)，講到希臘諸神是怎么被一個(gè)一個(gè)創(chuàng)造出來(lái)的。其中阿波羅與荷米斯都兼管著一點(diǎn)兒有關(guān)語(yǔ)言的事務(wù)，但不是其主業(yè)。我以為哲學(xué)先賢漏造了一個(gè)專神，主司語(yǔ)言，這可能是因?yàn)樵焐癖驹从趯?duì)未知的敬畏。然而語(yǔ)言之神與我們時(shí)時(shí)相伴，平易近人，倒使人們淡卻了敬畏之心。其實(shí)，語(yǔ)言與語(yǔ)言行為是人間，也是萬(wàn)物之間最為神秘的存在，我們對(duì)其自以為熟識(shí)，實(shí)則陌生，其奧秘是最難的謎題，那豈是數(shù)學(xué)千禧謎題所能攀比，又豈是物理學(xué)中愛因斯坦統(tǒng)一場(chǎng)論迷徑所能項(xiàng)背。

常言道，聽話聽音，文如其人。語(yǔ)言最深刻地影響著人們的心理，成為心理生命賴以生存的根基，不任須暇。天下多少事，都因語(yǔ)言而起。從家庭瑣事到國(guó)際關(guān)系，語(yǔ)言可以化干戈為玉帛，也可以生出各種誤解，激化矛盾，乃至唇槍舌劍。人類心智，由語(yǔ)言而理性；人類心態(tài)，由語(yǔ)言而情緒；人類知識(shí)，由語(yǔ)言而積累；人類認(rèn)知，由語(yǔ)言而傳承；人類思維，由語(yǔ)言而內(nèi)容；人類信息，由語(yǔ)言而累積；人類交流，由語(yǔ)言而神往；人類交際，由語(yǔ)言而施行。人類個(gè)體，我語(yǔ)故而我在；人類社會(huì)，無(wú)言何以共享？如此種種，層層紗幔，背后面目，霧中廬山。一方面，語(yǔ)言無(wú)處不在；另一方面，語(yǔ)言行為多樣紛呈。

概言之，語(yǔ)言是力，波動(dòng)著心理漪漣，是一種心理生命力。語(yǔ)言亦是力的載體，激發(fā)成粒，粒粒偶合互動(dòng)，斷續(xù)著心理生命周期。語(yǔ)言還是一種場(chǎng)，場(chǎng)與場(chǎng)相互作用，揭示著心理實(shí)在的本體論承諾。語(yǔ)言又是一種算子，作用于心理意向，呈現(xiàn)出心智認(rèn)知的內(nèi)容。語(yǔ)言仍是一種能量，支撐著心理活動(dòng)，反映出心理生活的質(zhì)量。最后，語(yǔ)言卻是一種元邏輯，可以生成自指語(yǔ)句，引領(lǐng)心理生命去反思與自省。

本文對(duì)于語(yǔ)言的討論，伴隨有三條脈絡(luò)，貫穿其中：第一條脈絡(luò)是布爾巴基結(jié)構(gòu)主義在語(yǔ)言及語(yǔ)言行為分析中的具體體現(xiàn)與新生影響；第二條脈絡(luò)是理論物理在語(yǔ)言及語(yǔ)言行為模型化中的刻畫能力與奇妙作用；第三條脈絡(luò)是維特根斯坦語(yǔ)言哲學(xué)的歷史遷移與新意詮釋。這三條脈絡(luò)互為經(jīng)緯，通幽跌宕，使我們得窺語(yǔ)言世界一些未曾披露的秘密。有趣的是，維特根斯坦的語(yǔ)言哲學(xué)發(fā)展軌跡，竟然可以被嵌入規(guī)范場(chǎng)論的框架結(jié)構(gòu)。規(guī)范場(chǎng)論明確地區(qū)分了全局和局域兩個(gè)層次。前期維特根斯坦語(yǔ)言哲學(xué)關(guān)注的是語(yǔ)言的全局結(jié)構(gòu)，而其后期轉(zhuǎn)而關(guān)注的是語(yǔ)言行為的局域分析。這般奇遇，增加了我們理解心理生命語(yǔ)言期的工具。

全文分為三個(gè)部分。第一部分題為“前期維氏語(yǔ)言哲學(xué)：均衡與全局”。討論語(yǔ)言，特別是科學(xué)語(yǔ)言的規(guī)定性、穩(wěn)定性與確定性。在前期維特根斯坦語(yǔ)言哲學(xué)框架下，這些性質(zhì)是其青年時(shí)期的追求與問(wèn)詢。在牛頓力學(xué)框架下，這些性質(zhì)與均衡概念息息相通，并可為其所刻畫。在規(guī)范場(chǎng)論框架下，這些性質(zhì)與全局層面脈脈相聯(lián)，并在其上模型化。我們將討論一種最基礎(chǔ)性的特殊語(yǔ)言結(jié)構(gòu)，即由句法與語(yǔ)義構(gòu)成的“雙腿結(jié)構(gòu)“。這種雙腿結(jié)構(gòu)可以作為一種語(yǔ)言特征化工具，跨越邏輯語(yǔ)言、決策論語(yǔ)言、博弈論語(yǔ)言、量子力學(xué)語(yǔ)言、規(guī)范場(chǎng)論語(yǔ)言和內(nèi)稟動(dòng)力學(xué)幾何化語(yǔ)言。

第二部分題為“維特根斯坦與哥德爾：論爭(zhēng)與轉(zhuǎn)折”。語(yǔ)言的雙腿結(jié)構(gòu)不是只用來(lái)擺姿勢(shì)照相的，而是成就了語(yǔ)言的運(yùn)動(dòng)功能。那么，這雙腿結(jié)構(gòu)是否健全，雙腿一樣長(zhǎng)，還是一腿長(zhǎng)，一腿短呢？這在邏輯學(xué)里，稱為元性質(zhì)，也就是系統(tǒng)的整體性質(zhì)。對(duì)于系統(tǒng)元性質(zhì)的研究，稱為元邏輯或元數(shù)學(xué)。著名的哥德爾不完全性定理與塔斯基不可定義性定理，亦稱雙子定理，用布爾巴基結(jié)構(gòu)主義的話說(shuō)，達(dá)到了構(gòu)造雙腿結(jié)構(gòu)的極致，推出了非對(duì)稱雙腿結(jié)構(gòu)，揭示出語(yǔ)言結(jié)構(gòu)的維納斯美。用理論物理的話說(shuō)，雙子定理表現(xiàn)了語(yǔ)言系統(tǒng)在全局層面的自發(fā)對(duì)稱破缺機(jī)制。這是一種語(yǔ)言結(jié)構(gòu)的元性質(zhì)。后期維特根斯坦與哥德爾的論爭(zhēng)，預(yù)示了維氏語(yǔ)言哲學(xué)向語(yǔ)言系統(tǒng)的局域化轉(zhuǎn)向，表現(xiàn)了對(duì)個(gè)體語(yǔ)言行為的關(guān)注，揭開了行為主義語(yǔ)言學(xué)的新篇章。作為對(duì)句法學(xué)和語(yǔ)義學(xué)雙腿結(jié)構(gòu)的心智認(rèn)知協(xié)調(diào)，維氏語(yǔ)言哲學(xué)的這個(gè)轉(zhuǎn)向，也為語(yǔ)用學(xué)和心理語(yǔ)言學(xué)鋪墊了道路。

第三部分題為“超越維特根斯坦：結(jié)構(gòu)與模型”。語(yǔ)言游戲是維特根斯坦語(yǔ)言哲學(xué)的代表性概念，意指語(yǔ)言交流可被視為語(yǔ)言游戲，維氏甚至認(rèn)為，語(yǔ)言游戲本身就是語(yǔ)言，因?yàn)檎Z(yǔ)言體現(xiàn)的是生活形式。語(yǔ)言游戲和生活形式是通過(guò)心理游戲相互轉(zhuǎn)換的。但是，中期維特根斯坦發(fā)現(xiàn)，難以找到一組規(guī)則來(lái)完全定義語(yǔ)言游戲，以致他成為20世紀(jì)懷疑論哲學(xué)的領(lǐng)袖。后期維特根斯坦，轉(zhuǎn)而認(rèn)為語(yǔ)言游戲應(yīng)該是有規(guī)則可循的，并為之苦苦求索。筆者以為，維氏未竟全功，本文意在有所助益。

對(duì)于語(yǔ)言游戲的深層結(jié)構(gòu)，與語(yǔ)用學(xué)關(guān)系密切，其模型化超出本文范圍。本文只為其表層結(jié)構(gòu)提供若干模型化路徑。在知識(shí)論意義下，維特根斯坦與柏拉圖傳統(tǒng)有模式的不同。語(yǔ)言游戲，因人而異，因情而易，因景而移，結(jié)構(gòu)上局域特征明顯。惟其如此，必有因果可言，并有限定范圍，這可由狹義相對(duì)論所模型化。語(yǔ)言行為對(duì)順序敏感，哪句話先說(shuō)，哪句話后說(shuō)，效果不同。即便是字面含義，屢戰(zhàn)屢敗，屢敗屢戰(zhàn)，其意不同，曾文正也強(qiáng)調(diào)修辭順序。這就是說(shuō)，對(duì)語(yǔ)言行為的觀測(cè)效果不滿足對(duì)易關(guān)系，而滿足非對(duì)易關(guān)系，這是量子化條件，為量子力學(xué)所模型化。其實(shí)，語(yǔ)言游戲本身就是一種波函數(shù)，為量子場(chǎng)論所刻畫。語(yǔ)言行為是社會(huì)化的。在語(yǔ)言行為社會(huì)中，個(gè)體語(yǔ)言能力有強(qiáng)弱可言，語(yǔ)言優(yōu)勢(shì)屬于稀缺資源。這就是說(shuō)，語(yǔ)言社會(huì)是不平等的競(jìng)爭(zhēng)性社會(huì)。于此，標(biāo)準(zhǔn)教育考試是一個(gè)典型例子。這種分析可由廣義相對(duì)論模型化。本文最后提供一個(gè)一般討論。

一、前期維氏語(yǔ)言哲學(xué)：均衡與全局

（一）語(yǔ)言的雙腿結(jié)構(gòu)

人類社會(huì)離不開語(yǔ)言的服務(wù)。為了支持語(yǔ)言服務(wù)，科學(xué)家，包括語(yǔ)言學(xué)家、心理學(xué)家、哲學(xué)家、認(rèn)知科學(xué)家等，長(zhǎng)期以來(lái)做了艱苦的語(yǔ)言維護(hù)工作。早期的維特根斯坦師從邏輯學(xué)家羅素，做的就是一種語(yǔ)言維護(hù)工作，叫做語(yǔ)言哲學(xué)。從句法語(yǔ)法和語(yǔ)義學(xué)的區(qū)別抽象出語(yǔ)言雙腿結(jié)構(gòu)的概念，可以幫助我們理解為什么語(yǔ)言具有穩(wěn)定性和確定性。語(yǔ)言雙腿結(jié)構(gòu)的平衡性，相當(dāng)于牛頓力學(xué)中的均衡性概念?？梢哉f(shuō)，語(yǔ)言的穩(wěn)定性和確定性要求，正與牛頓科學(xué)傳統(tǒng)遙相呼應(yīng)，一脈相承。我們這里所說(shuō)牛頓科學(xué)傳統(tǒng)的特征，是泛指現(xiàn)象的可直接觀測(cè)性，理論的確定性和系統(tǒng)的穩(wěn)定性。設(shè)計(jì)鐵路橋梁，計(jì)算彈道軌跡，甚至做個(gè)桌椅板凳，都會(huì)用到牛頓力學(xué)，牛頓力學(xué)滿足了我們生活中大部分物理需求。類似地，正常的語(yǔ)言表達(dá)也能滿足我們大部分日常生活中的語(yǔ)言需求。與人平常交流，開會(huì)發(fā)言，上超市買東西，用電郵發(fā)通知，在微信上溝通，寫博客短文，甚至高考作文，都要求表達(dá)清晰，讓人聽得懂，看得明白。用心理語(yǔ)言學(xué)的話說(shuō)，就是要求語(yǔ)言行為具有直接可觀測(cè)性。如果有人說(shuō)話詞不達(dá)意，寫東西詞法句法語(yǔ)法混亂，邏輯不通，意思不明，就會(huì)被視為語(yǔ)言能力不足。

自然語(yǔ)言的穩(wěn)定性依賴于其句法和語(yǔ)法結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，而自然語(yǔ)言的確定性表現(xiàn)在其語(yǔ)義學(xué)的確定性?？梢姡匀徽Z(yǔ)言的穩(wěn)定性和確定性是建立在的句法語(yǔ)法結(jié)構(gòu)與其語(yǔ)義學(xué)相互剝離的基礎(chǔ)上的。這種剝離是語(yǔ)言長(zhǎng)期進(jìn)化進(jìn)入高級(jí)階段形成的。人們常常忽視了句法語(yǔ)法結(jié)構(gòu)的形成，在人類語(yǔ)言進(jìn)化中是一件多么神奇的事情，相當(dāng)于人類把上帝的活兒給做了。更不可思議的是，人類居然還發(fā)明了語(yǔ)義學(xué)，把語(yǔ)言表達(dá)的意思或意義都給確定了，真是巧奪天工。這使得人類在心智世界里學(xué)會(huì)了只用兩條語(yǔ)言之腿站立行走，這樣才能騰出兩只心智之手來(lái)做別的更復(fù)雜的事情。直立行走，是人類進(jìn)化的里程碑，也是人類語(yǔ)言進(jìn)化的里程碑。

我的博士導(dǎo)師，已故紐約大學(xué)心理系教授馬丁·布芮恩（Martin D.S.Brain），曾是兩個(gè)領(lǐng)域的權(quán)威學(xué)者，一個(gè)領(lǐng)域是推理心理學(xué)，另一個(gè)領(lǐng)域是發(fā)展心理學(xué)。在推理心理學(xué)領(lǐng)域，他構(gòu)建了心智邏輯理論，并發(fā)展了實(shí)驗(yàn)方法。在發(fā)展心理學(xué)領(lǐng)域，他由研究?jī)和Z(yǔ)言習(xí)得而著名。心智邏輯理論認(rèn)為人們是應(yīng)用推理模式進(jìn)行推理，而這些推理模式是基于語(yǔ)言能力，在閱讀理解過(guò)程中被自動(dòng)激發(fā)的。所以，心智邏輯理論又被認(rèn)為是一個(gè)句法推理理論。

認(rèn)知革命的先驅(qū)喬姆斯基，首先區(qū)分了語(yǔ)言習(xí)得的先天能力（competence）和后天表現(xiàn)（performance）。喬姆斯基認(rèn)為人類具有與生俱來(lái)的內(nèi)在語(yǔ)言習(xí)得配置，這種內(nèi)在配置是人類物種獨(dú)特的、長(zhǎng)期進(jìn)化的結(jié)果。一個(gè)四歲的兒童可以用語(yǔ)言自由交流，不僅是四年語(yǔ)言習(xí)得之功，還源于其內(nèi)在語(yǔ)言習(xí)得功能配置。你不可能訓(xùn)練任何其他物種習(xí)得語(yǔ)言，因?yàn)槠錄]有所需的內(nèi)在功能配置。那么，兒童是怎么啟動(dòng)其內(nèi)在配置而發(fā)生語(yǔ)言表現(xiàn)呢？這曾經(jīng)是一個(gè)謎題。布芮恩教授持續(xù)觀察了他自己孩子的語(yǔ)言發(fā)展過(guò)程。他發(fā)現(xiàn)，兒童在正式學(xué)習(xí)約定語(yǔ)法之前，會(huì)提前自主生成一種兒童語(yǔ)法以便做出語(yǔ)言表現(xiàn)。這種兒童語(yǔ)法表現(xiàn)了兒童語(yǔ)言的相對(duì)穩(wěn)定性，使語(yǔ)言交流成為可能。

我的博士后導(dǎo)師，原普林斯頓大學(xué)心理系教授菲力普·約翰遜-萊爾德（Philip Johnson-Laird），提出并發(fā)展了心智模型理論，主張人們推理是由構(gòu)造心智模型進(jìn)行的。心智模型的構(gòu)建基于推理者對(duì)于前提語(yǔ)句意義的理解。而這種理解，又是基于人們對(duì)語(yǔ)言的感知。認(rèn)知革命另一位先驅(qū)喬治·米勒（George Miller）教授也是心理語(yǔ)言學(xué)的開創(chuàng)者之一。米勒和約翰遜-萊爾德合著的巨著《語(yǔ)言與感知》（Language and Perception），我認(rèn)為其實(shí)是心智模型理論的思想前奏。關(guān)于這一點(diǎn)，20 多年前，我曾問(wèn)過(guò)約翰遜-萊爾德教授，他并不認(rèn)可。學(xué)術(shù)權(quán)威的意見，只能作為參考，而不能奉若神明。比如他還說(shuō)過(guò)，心智世界中沒有量子事件；我顯然無(wú)法認(rèn)同這種認(rèn)知。學(xué)術(shù)權(quán)威也有局限。同時(shí)，心智模型的形式表達(dá)與邏輯語(yǔ)義學(xué)具有可比性。所以，心智模型理論被認(rèn)為是一種語(yǔ)義推理理論。正是心智邏輯理論和心智模型理論，為推理心理學(xué)提供了語(yǔ)法穩(wěn)定性和語(yǔ)義確定性。而推理是心智的核心能力，也是其代表性的語(yǔ)言表現(xiàn)。在實(shí)驗(yàn)心理學(xué)中，推理實(shí)驗(yàn)任務(wù)都是使用語(yǔ)言任務(wù)。

由句法語(yǔ)法結(jié)構(gòu)及其語(yǔ)義學(xué)，即所謂語(yǔ)言的雙腿構(gòu)造所帶來(lái)的穩(wěn)定性和確定性，在形式語(yǔ)言與科學(xué)語(yǔ)言中表現(xiàn)得更為清晰。我經(jīng)常在課上告訴學(xué)生，學(xué)習(xí)一門學(xué)科，首先要熟悉其學(xué)科語(yǔ)言，將其句法語(yǔ)法結(jié)構(gòu)與其語(yǔ)義學(xué)先做剝離，再理解將二者結(jié)合的元性質(zhì)。在我教授的課程里，至少要講到八種這樣的科學(xué)語(yǔ)言雙腿構(gòu)造分析，第一種涉及邏輯學(xué)，第二種涉及決策論，第三種涉及博弈論，第四種涉及元數(shù)學(xué)，第五種涉及量子力學(xué)波函數(shù)，第六種涉及規(guī)范場(chǎng)論，第七種涉及集合論，而第八種涉及粒子物理標(biāo)準(zhǔn)模型的幾何化綱領(lǐng)。

在科學(xué)語(yǔ)言王國(guó)中，邏輯學(xué)是率先使用語(yǔ)言雙腿結(jié)構(gòu)直立行走的學(xué)科。當(dāng)代形式邏輯，也叫標(biāo)準(zhǔn)邏輯或符號(hào)邏輯，是由各種形式系統(tǒng)刻畫的。一種邏輯，就是一個(gè)形式系統(tǒng)，有其特制的形式語(yǔ)言。對(duì)自然語(yǔ)言做邏輯分析，有三個(gè)基本層次：最簡(jiǎn)單的是命題邏輯，也叫命題演算，另一個(gè)層次稱為量詞謂詞邏輯，再一個(gè)層次稱為模態(tài)邏輯。

（二）邏輯學(xué)與形式語(yǔ)言的標(biāo)準(zhǔn)“雙腿”結(jié)構(gòu)

1.命題邏輯與真值語(yǔ)義學(xué)

先看一個(gè)例句：“如果所有的珠子都是紅的，那么湯姆和一些女孩玩游戲”。在命題邏輯層次，將一個(gè)簡(jiǎn)單語(yǔ)句“所有的珠子都是紅的”視為一個(gè)整體，叫做命題，而不深入分析其內(nèi)部的句法結(jié)構(gòu)。將語(yǔ)句聯(lián)結(jié)起來(lái)的詞叫邏輯聯(lián)結(jié)詞，也叫邏輯算子、計(jì)有合?。ú⑶遥?、析?。ɑ蛘撸⑻N(yùn)含（如果、則）、等價(jià)（當(dāng)且僅當(dāng)）以及否定（非）等五個(gè)。所以，在命題邏輯的詞匯表中，有可數(shù)無(wú)窮多個(gè)命題變?cè)?、五個(gè)邏輯聯(lián)結(jié)詞以及作為標(biāo)點(diǎn)符號(hào)的雙括號(hào)。有了這些以符號(hào)表示的詞匯，就可以形成無(wú)窮多的有窮符號(hào)串。為了能夠機(jī)械地判別哪些符號(hào)串是符合語(yǔ)法的合適公式，包括原子公式與復(fù)合公式，哪些符號(hào)串是不合語(yǔ)法的非合適公式，需要引入一套形成規(guī)則。形成規(guī)則也只能是歸納定義的。邏輯學(xué)研究推理，而演繹推理是從若干給定的前提出發(fā)，一步步地推出結(jié)論，而推理過(guò)程的每一步都會(huì)應(yīng)用一條推理規(guī)則，這稱為證明。如上可見，命題邏輯語(yǔ)言的形式句法由詞匯表、形成規(guī)則與推理規(guī)則組成。

那么，這一套命題邏輯句法的邏輯意義是什么呢？在邏輯學(xué)中，邏輯意義只有一種，那就是或真或假，叫做真值。只有那些有真假可言的句子才算是命題，這叫做命題態(tài)度。命題邏輯的語(yǔ)義學(xué)叫做真值語(yǔ)義學(xué)。命題邏輯系統(tǒng)中的命題變?cè)凶鲈庸?。真值語(yǔ)義學(xué)規(guī)定了如何由原子公式的真值算出具有任意復(fù)雜度的有窮復(fù)合公式的真值。真值語(yǔ)義學(xué)為一個(gè)真值表所規(guī)定。具體地說(shuō)，一個(gè)合取式為真當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)合取項(xiàng)都為真；一個(gè)析取式為假當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)析取項(xiàng)均為假；一個(gè)條件式為假當(dāng)且僅當(dāng)其前件為真而后件為假；一個(gè)等價(jià)式為真當(dāng)且僅當(dāng)前后兩項(xiàng)真值相同；最后，一個(gè)公式與其否定真值相反。

不要因?yàn)槠浜?jiǎn)單而小看了真值表，它在現(xiàn)代科學(xué)史上起到里程碑的作用。首先，它是第一個(gè)真正意義上的科學(xué)語(yǔ)義學(xué)，將關(guān)于意義的理論分離出來(lái)并將其形式化。第二，它為五個(gè)邏輯聯(lián)結(jié)詞規(guī)定了其邏輯意義，而這五個(gè)聯(lián)結(jié)詞體現(xiàn)了自然語(yǔ)言核心表達(dá)功能。很難想象，如果失去這五個(gè)邏輯聯(lián)結(jié)詞，自然語(yǔ)言的表達(dá)功能會(huì)何等殘缺；同時(shí)，如果這五個(gè)邏輯聯(lián)結(jié)詞意義不清，語(yǔ)言表達(dá)會(huì)變得何等費(fèi)勁混亂。另外，把真值換為1，將假值換為0，真值表就變成布爾代數(shù)。布爾代數(shù)是計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)源，也是電路設(shè)計(jì)乃至集成電路中“與非門”的原典。

在邏輯學(xué)中有兩個(gè)中心概念，一個(gè)是前面說(shuō)過(guò)的“證明”，這是一個(gè)純句法的概念；另一個(gè)“有效性”，這是一個(gè)純語(yǔ)義的概念。有的作者甚至認(rèn)為，邏輯學(xué)就是關(guān)于有效性的科學(xué)。有效性由一個(gè)條件句所定義：如果一個(gè)推理的所有前提都是真的，那么其結(jié)論也必須是真的。換句話說(shuō)，在一個(gè)推理中，如果摻入一個(gè)或若干個(gè)假前提，那么無(wú)論其結(jié)論是真是假，這個(gè)推理總是有效的。

如此這般，一個(gè)邏輯系統(tǒng)的雙腿結(jié)構(gòu)有兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)組分，一個(gè)是形式句法，一個(gè)是形式語(yǔ)義學(xué)（也叫模型）。標(biāo)準(zhǔn)邏輯有其邏輯標(biāo)準(zhǔn)，即要求其句法結(jié)構(gòu)和其語(yǔ)義學(xué)是對(duì)偶等權(quán)的，而這種等權(quán)對(duì)偶關(guān)系是通過(guò)可證性和有效性之間的關(guān)系建立的。如果所有的證明都是有效的，我們說(shuō)這個(gè)邏輯系統(tǒng)是語(yǔ)義協(xié)調(diào)的，如果所有的有效公式或推理都是可證明的，我們說(shuō)這個(gè)邏輯系統(tǒng)是完全的。可見，協(xié)調(diào)性和完全性是關(guān)于邏輯系統(tǒng)的整體性質(zhì)，亦稱元性質(zhì)，就像一架雙向橋梁溝通了邏輯句法及其語(yǔ)義學(xué)，雖然兩者是獨(dú)立構(gòu)造出來(lái)的。命題邏輯具有協(xié)調(diào)性與完全性。

2.謂詞邏輯與賦值語(yǔ)義學(xué)

在命題邏輯的基礎(chǔ)上，謂詞邏輯要對(duì)語(yǔ)句的內(nèi)部結(jié)構(gòu)做分析。再用前面用過(guò)的例句，“如果所有的珠子都是紅的，那么湯姆和一些女孩玩游戲”：句中“是紅的”由一元謂詞（是，to be）帶一個(gè)形容詞（紅的）組成，叫做一條性質(zhì)；另外，“玩游戲”（嚴(yán)格地說(shuō)是“玩”）是一個(gè)二元謂詞，表示湯姆和一些孩子之間的二元關(guān)系。珠子和孩子都是個(gè)體變?cè)鴾肥且粋€(gè)個(gè)體常項(xiàng)；另外，“所有”是全稱量詞，而“一些”是特稱量詞；注意，在英文表達(dá)中，這個(gè)句子里還包含一個(gè)定冠詞“the”，定冠詞常起到代詞的作用。將這些句子成分增加到形式語(yǔ)言的詞匯表中，再制定相應(yīng)的形成規(guī)則與推理規(guī)則，就組成了謂詞邏輯的形式句法。

以上所增加的這些句法內(nèi)容，顯然超出了命題邏輯真值語(yǔ)義學(xué)的解釋范圍。這就需要為謂詞邏輯設(shè)計(jì)一種新的語(yǔ)義學(xué)，叫做賦值語(yǔ)義學(xué)，也就是一種新的模型。為此，首先要引入一個(gè)包羅萬(wàn)象的一般個(gè)體域，即所有事物的集合，包括實(shí)在的事物和任意想象的虛物。然后對(duì)于每一個(gè)謂詞，規(guī)定一個(gè)真值條件。以一元謂詞為例，其真值條件就是個(gè)體域的一個(gè)子集。例如一個(gè)全稱語(yǔ)句，所有的東西都是紅的，為真當(dāng)且僅當(dāng)其真值條件集等于一般個(gè)體域。又例如一個(gè)特稱語(yǔ)句，有些東西是紅的，為真當(dāng)且僅當(dāng)其真值條件集是非空集，等等。1930 年，哥德爾證明了一階謂詞邏輯是完全的，即其中任意有效公式都是可證的。謂詞邏輯功能強(qiáng)大，覆蓋了大部分?jǐn)?shù)學(xué)語(yǔ)言。

3.模態(tài)邏輯與可能世界語(yǔ)義學(xué)

在標(biāo)準(zhǔn)命題邏輯和謂詞邏輯中，所研究的都是直陳句，不含模態(tài)詞（亦稱情態(tài)詞）。模態(tài)詞包括：可能、必然、必須、承諾、允許、道義、虛擬語(yǔ)氣、條件、時(shí)態(tài)，等等。正是這些情態(tài)詞，使自然語(yǔ)言變得豐富多彩，富有彈性，功能多樣，表達(dá)適當(dāng)，進(jìn)退得體，留有余地。將模態(tài)詞引入標(biāo)準(zhǔn)邏輯，增設(shè)相應(yīng)的形成規(guī)則與推理規(guī)則，就形成了模態(tài)邏輯句法結(jié)構(gòu)。

模態(tài)邏輯的語(yǔ)義學(xué)稱為可能世界語(yǔ)義學(xué)。比如，模態(tài)命題邏輯的可能世界語(yǔ)義學(xué)，由一可能世界與定義在其上的一種二元可及關(guān)系組成。對(duì)于不同的公理化方式，這個(gè)可及關(guān)系要滿足一些具體的性質(zhì)，如傳遞性或自返性等。這樣，一個(gè)必然語(yǔ)句，“必然A”，在某可能世界為真，當(dāng)且僅當(dāng)語(yǔ)句A 在由此可能世界可及的所有可能世界是真的。一個(gè)可能語(yǔ)句，“可能A”，在某可能世界為真，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)由此可能世界可及的可能世界，使得語(yǔ)句A 在其上為真?？赡苁澜缯Z(yǔ)義學(xué)也叫克里普克語(yǔ)義學(xué)，緣于可及關(guān)系的概念是由原普林斯頓邏輯學(xué)家克里普克引入的，并由其證明了模態(tài)邏輯的一種完全性。

在科學(xué)語(yǔ)言中，歷來(lái)并沒有區(qū)別句法語(yǔ)法結(jié)構(gòu)與其語(yǔ)義學(xué)的傳統(tǒng)。這樣的科學(xué)語(yǔ)言，就像生活在水中的美人魚，悠游優(yōu)美，觀賞性強(qiáng)但卻難以親近。你又怎么知道，那美人魚不想進(jìn)化出雙腿結(jié)構(gòu)，漫步陸上，與人類共舞呢？我都能時(shí)時(shí)聽到美人魚的幽怨，那些科學(xué)家在陸地上奔跑快活，卻把她困在水宮之中，或深海墨綠青燈昏暗，或淺洋深藍(lán)光柵迷亂，茫茫然，眼望穿，何處是人間那般。終于，有一個(gè)心理語(yǔ)言外科醫(yī)生，拿起柳葉刀，開創(chuàng)了為科學(xué)語(yǔ)言構(gòu)建雙腿結(jié)構(gòu)的手術(shù)方法。多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)告訴我，學(xué)生們更容易接受被賦予雙腿結(jié)構(gòu)的科學(xué)語(yǔ)言。我自己每次在學(xué)習(xí)一個(gè)新領(lǐng)域的時(shí)候，第一件事就是努力熟悉它的學(xué)科語(yǔ)言，并試圖找到它的雙腿結(jié)構(gòu)及其元性質(zhì)。我近年來(lái)在理解一些領(lǐng)域，例如在思考理論物理謎題中取得的進(jìn)展，正是得益于此。這是邏輯學(xué)家的本能習(xí)慣。

（三）決策論句法結(jié)構(gòu)及其效用語(yǔ)義學(xué)

經(jīng)典公理化決策論句法是一個(gè)三層結(jié)構(gòu)：第一層是選擇的集合，或稱選項(xiàng)；第二層是說(shuō)，每一個(gè)選擇可以產(chǎn)生一可能結(jié)果點(diǎn)集合；第三層是說(shuō)，每一后果由兩個(gè)性質(zhì)也僅由兩個(gè)性質(zhì)所刻畫，即欲望與可行性。要提出一個(gè)決策論問(wèn)題，就要把問(wèn)題置入這個(gè)句法結(jié)構(gòu)。解決一個(gè)決策論問(wèn)題，要求在選擇集上建立全序的偏好關(guān)系，即對(duì)任意兩個(gè)選擇，必須偏好其一，而不能偏好“不予偏好”。偏好是一個(gè)句法概念?？梢钥吹?，經(jīng)典決策論句法的詞匯表包括五個(gè)且僅五個(gè)概念：選擇、結(jié)果、欲望、可行性與偏好，由其組成三層語(yǔ)法結(jié)構(gòu)與解決條件。少一個(gè)概念，不成其為一個(gè)經(jīng)典決策問(wèn)題，多一個(gè)概念，說(shuō)明尚未提煉出合適的決策問(wèn)題。那么這個(gè)經(jīng)典決策論是什么意思，又如何建立經(jīng)典偏好關(guān)系呢？這叫做語(yǔ)義學(xué)問(wèn)詢。

經(jīng)典決策論句法結(jié)構(gòu)是由上向下構(gòu)建的，其語(yǔ)義學(xué)要由下向上規(guī)定決策論意義。首先，欲望的決策論意義只有一個(gè)，那就是錢數(shù)。無(wú)論是什么欲望，在決策論的意義下，都必須折算成值多少錢。您可能聽這話不舒服，覺得這不是侮辱人嗎？拿我當(dāng)什么人了，你以為我是拜金狂嗎？我熱愛我的祖國(guó)，那是無(wú)價(jià)的！我有我的信仰，那是無(wú)條件的！這當(dāng)然可以理解?？墒?，人們一般不會(huì)說(shuō)，我“決定”愛我的祖國(guó)，因?yàn)閻圩鎳?guó)是倫理論題。人們一般也不會(huì)說(shuō)，我“決定”信仰上帝，因?yàn)槟鞘亲诮陶擃}。倫理學(xué)和宗教學(xué)都超出了決策論框架。這就是決策論的邊界，沒有邊界的理論不是科學(xué)，沒有明確邊界的科學(xué)不是成熟的學(xué)科。

下一個(gè)概念是一個(gè)可能結(jié)果的可行性。你想要買一輛新車，你甚至想要買下一個(gè)汽車公司，兩者的可行性顯然不同?？尚行宰匀坏臄?shù)學(xué)刻畫是概率，可是在標(biāo)準(zhǔn)概率論中，一個(gè)單獨(dú)的獨(dú)立事件沒有概率可言。當(dāng)然，心理學(xué)中有關(guān)于主觀概率的理論，為一個(gè)孤立的獨(dú)立事件配置概率，也叫或然率，這會(huì)在其他上下文中說(shuō)到，但那不宜放入標(biāo)準(zhǔn)決策論中。注意，一個(gè)選擇可以產(chǎn)生若干個(gè)甚至許多可能的結(jié)果，決策者對(duì)這些可能結(jié)果的看重程度不同，也就是所賦予的權(quán)重不同。對(duì)于一個(gè)選擇，所有可能結(jié)果被賦予的權(quán)重分布，叫做一個(gè)策略。要將這個(gè)策略轉(zhuǎn)換成一個(gè)概率分布，在數(shù)學(xué)上要做歸一化處理，也就是要求一個(gè)分布中的所有概率相加等于1。原因是，所涉可能結(jié)果都是從屬于同一個(gè)選擇，若視此選擇為最優(yōu)偏好，它即成為現(xiàn)實(shí)，而現(xiàn)實(shí)事件的概率為1。有了這個(gè)歸一化的概率分布，就可以為一個(gè)可能結(jié)果配置概率了。這樣，我們才可以說(shuō)，語(yǔ)法可行性的決策論語(yǔ)義是其概率。

一個(gè)可能結(jié)果由其欲望與可行性兩種句法屬性刻畫。欲望的決策論語(yǔ)義是錢數(shù)，可行性的決策論語(yǔ)義是概率，兩者相乘，叫做效用。所以，一個(gè)句法可能結(jié)果的決策論語(yǔ)義就是其效用。這是決策論效用語(yǔ)義學(xué)得名的由來(lái)。這是第二層，稱為結(jié)果層。再往上走一層，就回到選項(xiàng)層。一個(gè)選項(xiàng)可以產(chǎn)生若干個(gè)或許多個(gè)可能結(jié)果，每個(gè)可能結(jié)果有其語(yǔ)義效用；這些效用的加和，叫做數(shù)學(xué)期望。所以，一個(gè)句法選項(xiàng)的決策論語(yǔ)義就是其數(shù)學(xué)期望。

強(qiáng)調(diào)一句，錢數(shù)是數(shù)，概率是數(shù)，兩者相乘所得效用也是數(shù)，效用相加還是數(shù)，所以，效用語(yǔ)義學(xué)也叫數(shù)字語(yǔ)義學(xué)。決策論的系統(tǒng)元性質(zhì)要求其句法結(jié)構(gòu)與效用語(yǔ)義學(xué)強(qiáng)度相當(dāng)，不多不少，剛剛好。這個(gè)元性質(zhì)由決策論表示定理所刻畫：對(duì)于任意兩個(gè)選項(xiàng)，偏好其中此選項(xiàng)之于彼選項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)此選項(xiàng)的數(shù)學(xué)期望大于彼選項(xiàng)的數(shù)學(xué)期望。可以看到，類似這種元性質(zhì)的要求，正是從標(biāo)準(zhǔn)邏輯模仿來(lái)的。為什么用數(shù)字語(yǔ)義學(xué)來(lái)解釋決策論句法結(jié)構(gòu)呢？原因是，我們不熟悉兩個(gè)選項(xiàng)之間的偏好關(guān)系是什么意思，難以確定，但我們知道兩個(gè)數(shù)之間的大于關(guān)系是什么意思，所以用后者解釋前者，這就是語(yǔ)義學(xué)的功能。

（四）博弈論句法結(jié)構(gòu)及其效益語(yǔ)義學(xué)

馮·諾依曼和摩根斯坦在其經(jīng)典著作《博弈論與經(jīng)濟(jì)行為》（1944）中發(fā)展了博弈論思想，不僅定義了博弈的概念，并確切地區(qū)分了合作與非合作兩類博弈，從而奠定了博弈論的基礎(chǔ)。然而，現(xiàn)代博弈論卻是在所稱納什框架（Nash framework）下才得以蓬勃發(fā)展。納什不僅用數(shù)學(xué)語(yǔ)言嚴(yán)格定義了合作博弈與非合作博弈，還證明了其系統(tǒng)性元性質(zhì)，即納什解決與納什均衡，從而建立了博弈論研究的基本框架。

非合作博弈的句法結(jié)構(gòu)并不復(fù)雜，但在概念上有一個(gè)難點(diǎn)。第一，假設(shè)N 為博弈者的個(gè)數(shù)。第二，每個(gè)博弈者都有一個(gè)可能行動(dòng)集合，記為Ai。這與個(gè)體決策論的情形類似，沒有認(rèn)知困難。第三，考慮一個(gè)可能行動(dòng)的n元組（a1，…ai,…,an)，其中每個(gè)博弈者從自己的可能行動(dòng)集中貢獻(xiàn)一個(gè)行動(dòng)。這樣的n元組叫做一個(gè)情景。一種博弈，就是所有可能情景的集合，也就是所有博弈者的可能行動(dòng)集的笛卡爾乘積，記為Ai。這就像一個(gè)電影的膠片，由一個(gè)個(gè)片段組成。與個(gè)體決策論有本質(zhì)區(qū)別的是，每個(gè)博弈者并不是在自己的可能行動(dòng)集上建立偏好關(guān)系，而是要在所有情景的集合上建立偏好關(guān)系。這在博弈者心理上容易造成認(rèn)知困擾，因?yàn)樾闹鞘且詡€(gè)體為單位具身注冊(cè)的，所以在個(gè)體決策論中，決策者在自己的可能行動(dòng)集上建立偏好關(guān)系比較自然。現(xiàn)在，每個(gè)博弈者要在任意兩個(gè)情景問(wèn)題建立偏好關(guān)系，而每個(gè)情景都涉及所有其他博弈者可能行動(dòng)，這是造成認(rèn)知困擾的心理原因。據(jù)我的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，把這個(gè)心理語(yǔ)言的困擾克服了，博弈論語(yǔ)言就變得舒服了。

非合作博弈的元性質(zhì)就是人們常聽說(shuō)的納什均衡，這是一個(gè)純句法的性質(zhì)。納什均衡是一個(gè)特殊的情景，必須對(duì)每一個(gè)博弈者說(shuō)話，所以記為(,),滿足以下條件：對(duì)于每個(gè)博弈者i，?iai，對(duì)于所有的ai∈Ai。

一個(gè)情景的博弈論意義叫做效益。與決策論情形類似，效益也是價(jià)值和概率兩者的線性函數(shù)，所以非合作博弈的語(yǔ)義學(xué)稱為效益語(yǔ)義學(xué)。注意，與決策論語(yǔ)言不同的是，對(duì)任一情景中的某個(gè)行動(dòng)單獨(dú)賦值或賦予概率沒有意義，有意義的是為情景中所有行動(dòng)同時(shí)賦予一組值和一個(gè)歸一化的概率分布。人們很少注意到一個(gè)有趣的現(xiàn)象，即博弈論語(yǔ)言的雙腿結(jié)構(gòu)，還表現(xiàn)在非合作博弈與合作博弈的陳述方式的區(qū)別。

合作博弈由一可能協(xié)議集合所刻畫。以二人談判為例，在討價(jià)還價(jià)過(guò)程中，開價(jià)值和砍價(jià)值形成一輪價(jià)格對(duì)，記為（u,v）也就是一個(gè)可能協(xié)議。理論上，可能協(xié)議可以有很多。合作博弈的一個(gè)重要概念叫做可談判點(diǎn)，或叫轉(zhuǎn)折點(diǎn)更通俗?？梢岳斫猓皇撬械目赡軈f(xié)議都具有可談判的意義。如果u或v過(guò)大，即u值和v值差別過(guò)于懸殊，將使其中一方失去談判興趣。所以，應(yīng)該存在一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)來(lái)界定可談判的協(xié)議范圍。在這個(gè)范圍內(nèi)，會(huì)存在一個(gè)特殊的可能協(xié)議，叫做納什解決，使得其中兩個(gè)值的乘積最大，即大于其他可談判范圍內(nèi)可能協(xié)議的相應(yīng)兩值乘積。

以上所述就是一般博弈論教科書介紹非合作博弈和合作博弈的方式。我在課上講授這部分內(nèi)容時(shí)，發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象。我注意到，非合作博弈是以句法方式引入的，可能行動(dòng)集和情景n元行動(dòng)組和納什均衡，都是句法組分。而合作博弈，是以語(yǔ)義方式引入的，可能協(xié)議、價(jià)值和納什解決都是語(yǔ)義組分。這樣一種特別雙腿結(jié)構(gòu)，句法足踏在非合作博弈領(lǐng)土上，語(yǔ)義足踏在合作博弈領(lǐng)土上，使博弈論框架得以直立行走。這個(gè)現(xiàn)象在現(xiàn)實(shí)生活甚至在國(guó)際關(guān)系中比比皆是，有著顯著的心理后承。想象人們?cè)诖蚣軟_突時(shí)，常常威脅說(shuō)，你要是做這個(gè)，我就做那個(gè)。某國(guó)對(duì)另一國(guó)說(shuō)，如果你繼續(xù)這樣做，我就制裁你。另一國(guó)反懟，你若制裁我，我就轟炸某第三國(guó)。這就是非合作博弈的行動(dòng)語(yǔ)言話語(yǔ)方式。當(dāng)某一方開始開價(jià)談條件時(shí)，提到價(jià)值，就開始釋放出有意合作的信號(hào)。所以，教科書中的介紹方式，不像是巧合也不像是疏忽，而應(yīng)該是反映了這些作者對(duì)博弈論框架的心理認(rèn)知。

（五）集合論生成雙腿結(jié)構(gòu)及其應(yīng)用

集合論是當(dāng)代數(shù)學(xué)的通用語(yǔ)言。為此，布爾巴基結(jié)構(gòu)主義學(xué)派曾作出巨大貢獻(xiàn)。作者最近提出一種從集合直接生成雙腿結(jié)構(gòu)的方法?？紤]一個(gè)集合A，其冪集是A 的所有子集的集合，記為P(A)。設(shè)a 是A 的一個(gè)任意給定元素（成員），記為a∈A，讀做：a 屬于A，符號(hào)∈表示屬于關(guān)系。另設(shè)B 是A 的一個(gè)任意給定子集，記為B?A，讀做：A 包含B，或B 含于A，符號(hào)?表示包含關(guān)系。顯然，B∈P(A)?，F(xiàn)在寫出冪集的定義如下：P(A)={B}B?A，意即B∈P(A)當(dāng)且僅當(dāng)B?A。用邏輯學(xué)語(yǔ)言說(shuō)，B∈(A)稱為(A)的外延，B?A稱為(A)的內(nèi)涵。這樣，通過(guò)關(guān)于冪集的言語(yǔ)分析，我們就構(gòu)造出了集合論語(yǔ)言的外延句法及其內(nèi)涵語(yǔ)義學(xué)，亦稱為“屬于句法”和“包含語(yǔ)義學(xué)”，分別記為∈句法和?語(yǔ)義學(xué)。這是一種由集合論語(yǔ)言內(nèi)在結(jié)構(gòu)自我生成的雙腿結(jié)構(gòu)，所以具有一般性。這樣生成的雙腿結(jié)構(gòu)，其元性質(zhì)是自明的，既完全又協(xié)調(diào)，因?yàn)閮缂拿恳粋€(gè)成員都指稱本集的一個(gè)唯一的子集。對(duì)于一個(gè)范疇，所有指稱方式的集合，在范疇論中稱為指數(shù)集。

集合論雙腿結(jié)構(gòu)具有基礎(chǔ)性意義，并在經(jīng)驗(yàn)科學(xué)統(tǒng)計(jì)語(yǔ)言中具有很強(qiáng)的刻畫能力。在經(jīng)驗(yàn)科學(xué)中，之所以必須用也只能用統(tǒng)計(jì)語(yǔ)言說(shuō)話，是因?yàn)榧僭O(shè)了總體的不可觀測(cè)性。我們能夠觀測(cè)的，是隨機(jī)抽取的樣本。樣本與總體之間，是包含關(guān)系。而樣本與總體的冪集之間，是屬于關(guān)系。后者是統(tǒng)計(jì)語(yǔ)言的樣本句法，前者是樣本語(yǔ)義學(xué)。在傳統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)科學(xué)方法中，實(shí)驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)意義在于用樣本均值預(yù)測(cè)總體均值，而樣本語(yǔ)言的雙腿結(jié)構(gòu)恰好刻畫了這個(gè)系統(tǒng)性特征。

集合論雙腿結(jié)構(gòu)的想法，簡(jiǎn)略地說(shuō)，在熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)方法中，假設(shè)數(shù)據(jù)總體無(wú)窮大，其中每個(gè)單個(gè)事件沒有獨(dú)立的統(tǒng)計(jì)意義，因?yàn)閱蝹€(gè)獨(dú)立事件沒有測(cè)度。而一個(gè)數(shù)據(jù)樣本是可測(cè)的，進(jìn)而在總體的冪集中，也就是在樣本集中，可以形成測(cè)度的密度函數(shù)，找到其概率分布。這種雙腿結(jié)構(gòu)，稱為樣本句法的測(cè)度語(yǔ)義學(xué)。

（六）理論物理語(yǔ)言中的雙腿結(jié)構(gòu)

以上介紹的幾種語(yǔ)言雙腿結(jié)構(gòu)，都是依附于形式科學(xué)或分析科學(xué)的。這里選擇介紹三種量子物理中局部語(yǔ)言的雙腿結(jié)構(gòu)，前兩種屬于比較成熟的處理，在另文中有詳細(xì)說(shuō)明，這里的討論較為簡(jiǎn)要，第三種屬于尚在研究思考中的題目，未必成熟，需要多說(shuō)幾句。

1.波函數(shù)的雙腿結(jié)構(gòu)

我們知道，經(jīng)典量子力學(xué)有三個(gè)等價(jià)的版本。第一個(gè)版本是海森堡矩陣力學(xué)，用非對(duì)易關(guān)系和測(cè)不準(zhǔn)原理為原始語(yǔ)言說(shuō)話。第二個(gè)版本是薛定諤波動(dòng)力學(xué)，以波函數(shù)的漢密爾頓方程為原始語(yǔ)言說(shuō)話。第三個(gè)版本，亦被認(rèn)為是最具一般化的版本，是狄拉克的bra-ket 形式語(yǔ)言，這里，bra 表示左括號(hào)，ket表示右括號(hào)。狄拉克指出：在觀測(cè)中的干擾度越高，我們所能觀測(cè)到的世界就越小。在這個(gè)意義下，量子力學(xué)是關(guān)于微觀觀測(cè)的理論。狄拉克形式語(yǔ)言正是抓住了這個(gè)本質(zhì)。記為φ|Ai|?。以標(biāo)準(zhǔn)教育考試為例，考生能力是一種難以直接觀測(cè)的現(xiàn)象?，所以只能給一個(gè)考試φ，用一道道試題Ai作為刺激，?會(huì)給出一個(gè)個(gè)答案作為反應(yīng)。這樣，變量?成為變量φ的函數(shù)，記為?(φ)，稱為波函數(shù)。狄拉克形式φ|Ai|?即為波函數(shù)語(yǔ)言的句法。

波函數(shù)有一個(gè)哥本哈根學(xué)派的概率詮釋，振幅語(yǔ)義學(xué)（亦稱復(fù)數(shù)語(yǔ)義學(xué)）。波函數(shù)的任意兩個(gè)函數(shù)值可以表達(dá)為一個(gè)復(fù)數(shù)，表示一種可能性。這個(gè)復(fù)數(shù)的模方稱為波函數(shù)的振幅，也就是其概率。用狄拉克的話說(shuō)，可能性的平方等于概率。這個(gè)概率詮釋，點(diǎn)出了波函數(shù)的意義，稱為波函數(shù)的振幅語(yǔ)義學(xué)。我們看到，波函數(shù)的狄拉克句法與哥本哈根振幅語(yǔ)義學(xué)，構(gòu)成了波函數(shù)語(yǔ)言的雙腿結(jié)構(gòu)。

2.規(guī)范變換語(yǔ)言的雙腿結(jié)構(gòu)

在規(guī)范場(chǎng)論話語(yǔ)中，波函數(shù)被置于一個(gè)雙層雙級(jí)四格結(jié)構(gòu)中。雙層是指區(qū)別全局與局域兩個(gè)層次，雙級(jí)是指在全局層面和局域?qū)用?，各有?guī)范勢(shì)與規(guī)范場(chǎng)強(qiáng)兩級(jí)。由規(guī)范勢(shì)求規(guī)范場(chǎng)強(qiáng)，要對(duì)波函數(shù)應(yīng)用適當(dāng)?shù)奈⒎炙阕印２ê瘮?shù)是變化的，其規(guī)范勢(shì)從一個(gè)狀態(tài)變換到另一個(gè)狀態(tài)，要乘上一個(gè)變換系數(shù)eiθ，即φ→φ‘ =eiθφ。相應(yīng)地，在微分算子的作用下，其規(guī)范場(chǎng)強(qiáng)也會(huì)做變換，即?μφ→?μeiθφ=eiθ?μφ。在全局層面，這樣的變換稱為第一類規(guī)范變換，其中，變換系數(shù)eiθ是一個(gè)任意常數(shù)。在局域?qū)用妫儞Q系數(shù)成為一個(gè)函數(shù)eiθ(x)，相應(yīng)的規(guī)范變換稱為第二類規(guī)范變換。綜合兩類規(guī)范變換，就構(gòu)成了規(guī)范變換的句法結(jié)構(gòu)與語(yǔ)法規(guī)則。

規(guī)范變換的意義在于保形。保形的意思是，保持變換系數(shù)的唯一性和前置性。前置性要求，在規(guī)范勢(shì)變換中，變換系數(shù)是前置于波函數(shù)狀態(tài)的，那么在規(guī)范場(chǎng)強(qiáng)的相應(yīng)變換中，變換系數(shù)也必須是前置于波函數(shù)導(dǎo)數(shù)的。唯一性要求在規(guī)范場(chǎng)強(qiáng)的變換中，不能產(chǎn)生冗余項(xiàng)。這兩個(gè)要求，在全局層面的第一類規(guī)范變換中，沒有問(wèn)題，因?yàn)樽儞Q系數(shù)是一個(gè)常數(shù)。可是，在局域?qū)用娴牡诙愐?guī)范變換中，就會(huì)產(chǎn)生冗余項(xiàng)，因?yàn)檫@時(shí)變換系數(shù)是一個(gè)函數(shù)。為了消去冗余項(xiàng)，必須引入?yún)f(xié)變導(dǎo)數(shù)和規(guī)范場(chǎng)這樣的語(yǔ)義技巧。所以，規(guī)范變換的語(yǔ)義學(xué)稱為保形語(yǔ)義學(xué)。規(guī)范變換的句法結(jié)構(gòu)與其保形語(yǔ)義學(xué)構(gòu)成了規(guī)范變換語(yǔ)言的雙腿結(jié)構(gòu)。規(guī)范變換有一條元性質(zhì)，即規(guī)范原理，內(nèi)容為：如果第一類規(guī)范變換不成立，則第二類規(guī)范變換也不成立。也就是說(shuō)，雖然前者比后者簡(jiǎn)單，但前者是后者的必要條件。

3.相位語(yǔ)言的雙腿結(jié)構(gòu)

當(dāng)代粒子物理標(biāo)準(zhǔn)模型，是由幾個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)組成的，包括量子電動(dòng)力學(xué)、量子色動(dòng)力學(xué)、同位旋動(dòng)力學(xué)、電弱動(dòng)力學(xué)，以及希格斯機(jī)制，統(tǒng)一由規(guī)范場(chǎng)論語(yǔ)言刻畫。動(dòng)力學(xué)分析是有源分析，源頭就是各種荷，比如電子載有電荷，夸克載有色荷并載有分?jǐn)?shù)電荷，等等。粒子載荷，就被賦予了內(nèi)部空間。一般所載可能荷數(shù)就是內(nèi)部空間的維數(shù)。比如電子只載有電荷，其內(nèi)部空間就是一維的，夸克可能載的色荷有三種，其內(nèi)部空間就是三維的。粒子從一個(gè)狀態(tài)變換到另一個(gè)狀態(tài)，其內(nèi)部空間就發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)。由這種轉(zhuǎn)動(dòng)，相位就會(huì)改變。這里的相位，叫做動(dòng)力學(xué)相位。相位的變化有速度大小可言，這個(gè)變化率稱為動(dòng)量，也就是自旋概念的由來(lái)。在量子力學(xué)中，自旋是粒子的內(nèi)稟性質(zhì)，在牛頓力學(xué)中沒有對(duì)應(yīng)，因?yàn)槠洳患僭O(shè)粒子有內(nèi)部空間。

在量子場(chǎng)論中，粒子由其波函數(shù)刻畫，所以相位語(yǔ)言自然是波函數(shù)的母語(yǔ)。前文說(shuō)過(guò)，在規(guī)范場(chǎng)論語(yǔ)言中，波函數(shù)被置于給定的雙層雙級(jí)四格框架中。由于微分算子的作用，要做兩類規(guī)范變換，其目的是使波函數(shù)在演變中保形，保形的目的是實(shí)現(xiàn)規(guī)范對(duì)稱，而規(guī)范對(duì)稱性是由對(duì)稱群所刻畫。對(duì)稱群是一種代數(shù)結(jié)構(gòu)，在此意義下，相位語(yǔ)言的句法結(jié)構(gòu)是代數(shù)的，稱為相位語(yǔ)言的代數(shù)句法。

為了使第二類規(guī)范變換保形，必須引入?yún)f(xié)變導(dǎo)數(shù)和規(guī)范場(chǎng)，分別寫出如下：

我們看到，協(xié)變導(dǎo)數(shù)里套著規(guī)范場(chǎng)，兩個(gè)狀態(tài)規(guī)范場(chǎng)的差別恰恰是動(dòng)力學(xué)相位函數(shù)的微分。換句話說(shuō)，規(guī)范場(chǎng)的積分也表示一種相位，叫做貝里（Berry）相位。楊振寧稱之為不可積相因子。如果說(shuō)，波函數(shù)動(dòng)力學(xué)相位是內(nèi)部空間相位，那么貝里相位就是外部相位。用纖維叢理論話說(shuō)，貝里相位是粒子在底流形上行走的軌跡。用社會(huì)科學(xué)的話說(shuō)，動(dòng)力學(xué)相位刻畫的是個(gè)體心智活動(dòng)和行為的變化，而貝里相位刻畫的是你在社會(huì)中造成的影響。貝里相位是一種幾何相位。規(guī)范場(chǎng)是用來(lái)平衡動(dòng)力學(xué)相位變化的，而貝里相位與楊振寧不可積相因子的理論是粒子物理幾何化綱領(lǐng)的重要內(nèi)容。所以，這是相位語(yǔ)言一種幾何語(yǔ)義學(xué)。現(xiàn)在我們理解了，粒子物理相位語(yǔ)言的雙腿結(jié)構(gòu)是由其代數(shù)句法及其幾何語(yǔ)義學(xué)構(gòu)成的。

二、維特根斯坦與哥德爾：論爭(zhēng)與轉(zhuǎn)折

在維特根斯坦與哥德爾之間，曾有過(guò)一場(chǎng)無(wú)解但有建設(shè)性的學(xué)術(shù)論爭(zhēng)。說(shuō)其無(wú)解，是因?yàn)樵谝?guī)范場(chǎng)論框架下，論爭(zhēng)的本質(zhì)涉及對(duì)語(yǔ)言做全局性處理或局域性處理的層次分歧。說(shuō)其有建設(shè)性，是因?yàn)榇苏摖?zhēng)意味著對(duì)構(gòu)建兩者統(tǒng)一理論框架的歷史訴求與哲學(xué)問(wèn)詢。其實(shí)，在此論爭(zhēng)的前后，數(shù)學(xué)已經(jīng)準(zhǔn)備好了微分幾何纖維叢理論，物理學(xué)正孕育著規(guī)范場(chǎng)論，兩者都可以同時(shí)滿足維特根斯坦和哥德爾的語(yǔ)言哲學(xué)訴求。下文將分別介紹哥德爾不完全性定理、塔斯基不可定義性定理，以及維特根斯坦關(guān)于語(yǔ)言游戲的不完全規(guī)則性原理。粗略地說(shuō)，這三者分別涵蓋語(yǔ)言學(xué)的三個(gè)范疇，即句法語(yǔ)法學(xué)、語(yǔ)義學(xué)和語(yǔ)用學(xué)。

（一）哥德爾：語(yǔ)言的境界

希爾伯特在1900 年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上提出了23 個(gè)待解決的數(shù)學(xué)猜想，包括黎曼猜想和連續(xù)統(tǒng)假設(shè)等，世稱希爾伯特計(jì)劃。關(guān)于數(shù)學(xué)大廈的邏輯基礎(chǔ)問(wèn)題，即數(shù)學(xué)大廈的一致性問(wèn)題，是23個(gè)謎題之一。對(duì)此，1931年，奧地利數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家哥德爾給出了否定性結(jié)果，他證明了一階理論的不完全性定理，世稱哥德爾不完全性定理或簡(jiǎn)稱哥德爾定理。

哥德爾定理有著廣泛的應(yīng)用，如計(jì)算機(jī)科學(xué)中的“停機(jī)問(wèn)題”即是其版本之一。哥德爾不完全性定理是一個(gè)最廣為流傳的數(shù)學(xué)定理名稱，見諸各種書中。哥德爾定理本身確是一個(gè)思想豐富引人入勝的故事，但其內(nèi)容較之其他著名數(shù)學(xué)定理與證明要簡(jiǎn)單。本節(jié)不預(yù)設(shè)任何預(yù)備知識(shí)。我們將從介紹哥德爾定理以及塔斯基定理的概念定義、函項(xiàng)構(gòu)造及其證明技巧中，賞析其蘊(yùn)含的深刻思想和無(wú)雙智慧。

本節(jié)在敘述中，時(shí)而穿插一點(diǎn)春秋筆法，是有意為之，有認(rèn)知上的考量。知識(shí)習(xí)得不僅在于理解，還涉及注意力、記憶、品味與體會(huì)。所以教與學(xué)都要有節(jié)奏上的把握。知識(shí)論中的柏拉圖傳統(tǒng)講究求真求信求證三要素。心智力學(xué)告訴我們，對(duì)一般學(xué)人來(lái)說(shuō)，三者難以同時(shí)并進(jìn)，需要遞次反復(fù)而行。哥德爾定理和塔斯基定理，不僅耐人尋味，而且品味幽深，值得作為個(gè)人的知識(shí)積淀。以下介紹理解哥德爾不完全性定理八個(gè)步驟。

1.一階理論

講哥徳爾不完全性定理，說(shuō)是什么預(yù)備知識(shí)都不用也不準(zhǔn)確。唯一要預(yù)設(shè)的就是一階邏輯。一個(gè)邏輯就是一個(gè)形式系統(tǒng)，數(shù)理邏輯就是對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的形式化邏輯化處理。比如，數(shù)學(xué)語(yǔ)言說(shuō)，“A(x)，對(duì)所有的x”，邏輯的形式語(yǔ)言就表達(dá)為，?xA(x)。這里的符號(hào)“?”叫做全稱量詞。A(x)表示一個(gè)謂詞結(jié)構(gòu)；其中，A是一個(gè)謂詞，x是一個(gè)個(gè)體變?cè)?。?dāng)量詞被規(guī)定只能量化個(gè)體變?cè)獣r(shí)，邏輯就是一階的。當(dāng)量詞還被允許量化謂詞時(shí)，邏輯就是二階的。二階邏輯和集合論等價(jià)，再加上選擇公理和連續(xù)統(tǒng)假設(shè)，就能描述整個(gè)數(shù)學(xué)大廈。注意，一階邏輯是完全的，這是哥德爾1930年就證明了的，叫做哥德爾完全性定理。所以哥德爾首先是一個(gè)邏輯學(xué)家。這件事，要小心別和哥徳爾1931年的不完全性定理鬧混了。

邏輯中有邏輯聯(lián)結(jié)詞，如合取、析取、蘊(yùn)含和否定，這些亦稱為邏輯算子。數(shù)學(xué)中有數(shù)學(xué)運(yùn)算，如加法和乘法。邏輯算子與數(shù)學(xué)運(yùn)算有本質(zhì)的不同，這通過(guò)以下簡(jiǎn)單比較可以看出來(lái)。先看邏輯算子。析取，P或者非P，是重言式，可用于定義布爾代數(shù)的單位元1。用式子寫出來(lái)就有，P∨～P=T≡1。為了方便，這里的等號(hào)可表示等價(jià)或者等于。合取，P并且非P，是矛盾式，可用于定義布爾代數(shù)的單位元0。用式子寫出來(lái)就有，P∧～P=F≡0。再看數(shù)學(xué)運(yùn)算。加法，a+(-a)=0。乘法，a×a-1=1。不難看出，析取與加法，合取與乘法都是不能互相置換功能的，因?yàn)榈贸龅膯挝辉煌?。進(jìn)一步看，析取和乘法，合取與加法也都不能做功能置換。因?yàn)椋媾cQ的析取還是真，而1 乘b 卻等于b。類似的，假與Q 的合取還是假，而0 加b 卻等于b。究其原因，竟是邏輯里的單位元與數(shù)學(xué)中的單位元有本質(zhì)的不同。真是一言不合，便使邏輯與數(shù)學(xué)分家，成楚河漢界之隔。在后面第四步驟中，我們會(huì)看到以哥德爾命名的一種“配數(shù)法”，如何教一橋飛架南北，使天塹變通途。

在前述一階邏輯中加入兩個(gè)（一個(gè)不夠）數(shù)學(xué)運(yùn)算，加法和乘法，再行形式化處理為一個(gè)新的形式系統(tǒng)，即是所稱“一階理論”；其原型就是所謂皮亞諾算術(shù)，是一個(gè)公理化系統(tǒng)。哥德爾不完全性定理就是刻畫了一階理論的二條元性質(zhì)，即系統(tǒng)性性質(zhì)。另外要補(bǔ)充的是，一階理論是一個(gè)很基本但又很特殊的數(shù)學(xué)層面，哥德爾不完全性定理也表明在此層面上我們的公理化手段是有限的。往下看，一階邏輯不需要更強(qiáng)的公理化方法；往上看，如實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)等更為復(fù)雜的數(shù)域反而允許更豐富的公理化方法，其完備性定理稍后為塔斯基所證明。

另外，讀者在心里最好準(zhǔn)備區(qū)別三個(gè)庭苑，對(duì)摸清本節(jié)苑中路徑絕對(duì)有幫助。一個(gè)是普通素樸算術(shù)；這里，對(duì)于一個(gè)n元關(guān)系，只能用“是否成立”的概念說(shuō)話。另一個(gè)是規(guī)定的算術(shù)結(jié)構(gòu)，在一階理論中表示語(yǔ)義模型；這里，對(duì)于一個(gè)n元函項(xiàng)或公式只能用“是否為真”的概念說(shuō)話。最后一個(gè)是一階理論的句法形式系統(tǒng)，記為N；這里，對(duì)于一個(gè)函項(xiàng)或公式，只能用“是否可證”的概念說(shuō)話。三者同門，都是自然數(shù)出身或帶有自然數(shù)血統(tǒng)，卻界限分明。在哥德爾定理中用到的可表達(dá)性概念，是在普通素樸算術(shù)與一階理論的句法形式系統(tǒng)之間說(shuō)話。在塔斯基定理中用到的算術(shù)可定義性概念，是在普通素樸算術(shù)與一階理論語(yǔ)義模型之間說(shuō)話。最后，哥德爾定理和塔斯基定理本身，又都是在一階理論語(yǔ)義模型與句法形式系統(tǒng)之間說(shuō)話。

2.自然數(shù)與枚舉數(shù)

自然數(shù)集是個(gè)可數(shù)無(wú)窮：0，1，2，3，…，以至無(wú)窮，這誰(shuí)都知道，在文獻(xiàn)中叫做直觀自然數(shù)。自然數(shù)原來(lái)除了在數(shù)論里被當(dāng)成自己人，出去到別的數(shù)學(xué)豪門中就像個(gè)灰姑娘，只能做些伺候人的活計(jì)。其主要工作就是給人當(dāng)腳標(biāo)，上標(biāo)下標(biāo)明標(biāo)暗標(biāo)還有愛因斯坦約定上下標(biāo)；張量變換中因?yàn)閬?lái)來(lái)回回的走標(biāo)繁復(fù)，沒少讓學(xué)者們白眼厭煩。這灰姑娘倒是心態(tài)平衡，但看你們實(shí)數(shù)復(fù)數(shù)雖然數(shù)不勝數(shù)，生態(tài)連續(xù)，極限漣漪，可微處處。不過(guò)，話說(shuō)回來(lái)，游動(dòng)其上的變?cè)獢?shù)總得可數(shù)吧，那就少不得我自然數(shù)沿街走標(biāo)的一口飯吃。這看似是何等的無(wú)奈。誰(shuí)承想，哥德爾獨(dú)具慧眼，發(fā)現(xiàn)這自然數(shù)竟是個(gè)少林掃地僧，身懷絕技深藏不露。在后文中，一個(gè)哥德爾配數(shù)法將天下證明前后一網(wǎng)收盡，一個(gè)自指語(yǔ)句將世間公式內(nèi)外覆雨翻云。令人未及說(shuō)此神來(lái)一筆，已是結(jié)舌當(dāng)下。

在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，自然數(shù)也是要被定義構(gòu)造出來(lái)的，這樣構(gòu)造出來(lái)的自然數(shù)被定義為枚舉數(shù)。具體做法是從空集? 出發(fā)，通過(guò)后繼函數(shù)歸納定義?？占锩鏇]有元素，定義為第一個(gè)枚舉數(shù)0。下一個(gè)枚舉數(shù)是以空集為唯一元素的集合｛?｝，定義為第二個(gè)枚舉數(shù)1。以此類推，后面每一個(gè)枚舉數(shù)都被一個(gè)以其前面所有出現(xiàn)的枚舉數(shù)為元素的集合所定義，記為n。這個(gè)構(gòu)造方法稱為后繼函數(shù)。

不去深想，直觀自然數(shù)和枚舉數(shù)的區(qū)別不過(guò)是把自然數(shù)用集合論語(yǔ)言重新定義出來(lái)。不說(shuō)這是花拳繡腿，充其量也就是平凡功夫?？筛绲聽柶湍軓臒o(wú)痕處發(fā)微，引出下面可表達(dá)性的概念來(lái)。

3. 可表達(dá)性

可表達(dá)性建立了算術(shù)關(guān)系與一階理論可證性之間的聯(lián)系。這里算術(shù)中的一個(gè)n元關(guān)系R對(duì)應(yīng)著一階理論中的一個(gè)n元函項(xiàng)P。要問(wèn)n個(gè)自然數(shù)是否滿關(guān)系R，就相當(dāng)于問(wèn)將相應(yīng)的n個(gè)枚舉數(shù)代入函項(xiàng)P后在一階理論N 中是否可證?？杀磉_(dá)性同時(shí)說(shuō)了兩句話，第一句，如果R(a1,…,an)為真，則P(a1,…,an)在N中可證。第二句，若R(a1,…,an)為假，則?P(a1,…,an)在N中可證，這里“?”是否定算符。

在可表達(dá)性的兩個(gè)條件句中，交叉使用邏輯排中律，每一句中由此及彼，兩句之間非此即彼，讓讀者可能陡然產(chǎn)生強(qiáng)烈的邏輯感，感受到邏輯概念化的跨越力量，感受到邏輯處理手法的生硬與無(wú)情，讓人愛恨交織。任何一種科學(xué)抽象都是有邊界的，有所得便會(huì)有所失，這是波普爾的科學(xué)哲學(xué)思想。這在數(shù)學(xué)里叫做平凡化處理，為建立兩個(gè)不同維度，就只能舍棄某些纏繞，以使二者正交起來(lái)。

尤其是可表達(dá)性的第二句話，由R假?gòu)?qiáng)行過(guò)渡到?P在N 中可證，是一個(gè)很強(qiáng)的條件，甚至有悖直觀。這在推理心理學(xué)中，無(wú)分相互競(jìng)爭(zhēng)的心智邏輯理論還是心智模型理論，都有不同的處理方式?？杀磉_(dá)性定義了一個(gè)由素樸算術(shù)到語(yǔ)法表示的歷史性轉(zhuǎn)折，其中既表現(xiàn)了似敦刻爾克大撤退的悲劇美，又預(yù)示著似諾曼底登陸的人類心智使命擔(dān)當(dāng)。

我們上面用到了“若關(guān)系為真”的語(yǔ)義修辭，那是為了上下文的敘述方便。等到后面續(xù)接塔斯基不可定義性定理時(shí)，就會(huì)看到，一個(gè)“謂詞真”會(huì)掀起何等波瀾。

4.哥德爾配數(shù)法

這是20 世紀(jì)人類心智的絕唱，數(shù)學(xué)美的無(wú)雙巔峰。比之愛因斯坦廣義相對(duì)論中的等效原理，哥德爾配數(shù)法異曲同工，卻不輸妙悟，勝在嚴(yán)格精密。難怪愛因斯坦說(shuō)，他每天去普林斯頓高等研究院上班，就為了和哥德爾一起散步呢。哥德爾配數(shù)法可以分三步介紹。

第一步，每個(gè)符號(hào)可機(jī)械地配以一個(gè)唯一奇數(shù)。一個(gè)形式系統(tǒng)，比如一階邏輯或一階理論，其形式語(yǔ)言的可用符號(hào)可以無(wú)窮多，卻總是可數(shù)的。這樣，總可以安排某種機(jī)械的方式，按順序?yàn)槊總€(gè)符號(hào)配上一個(gè)唯一的奇數(shù)，稱為這個(gè)符號(hào)的哥德爾數(shù)。

第二步，每個(gè)公式是一個(gè)有窮符號(hào)串，可為每一個(gè)公式機(jī)械地配以唯一的一個(gè)合數(shù)，即其哥德爾數(shù)。生成此哥德爾數(shù)的方式非常神圣，謹(jǐn)懷敬畏之心寫出如下：

上面等式的左邊，標(biāo)明是公式L的哥德爾數(shù)。右邊是一串共n個(gè)指數(shù)的乘積，由初始素?cái)?shù)打頭排下去，第n個(gè)指數(shù)的底是第n個(gè)素?cái)?shù)，其肩膀上扛的是公式L中第n個(gè)符號(hào)的哥德爾數(shù)。

第三步，每個(gè)證明是一個(gè)有窮公式集的有序序列。可以為每一個(gè)證明機(jī)械地配以一個(gè)唯一的合數(shù)，即其哥德爾數(shù)。生成此哥德爾數(shù)的方式更加神圣，仍懷敬畏之心寫出如下：

上面等式的左邊，標(biāo)明是一個(gè)證明的哥德爾數(shù)，也是一個(gè)合數(shù)；Bew是德文“證明”的縮寫。右邊仍是一有窮串指數(shù)的乘積，而這次第i個(gè)素?cái)?shù)肩膀上扛的，卻換成了此證明序列中第i個(gè)公式ui的哥德爾數(shù)g(ui)。

這就是哥德爾配數(shù)法。其神奇之處在于，反過(guò)來(lái)從一個(gè)證明的哥德爾數(shù)，亦即一個(gè)合數(shù)出發(fā)，由素?cái)?shù)分解唯一性定理，可以找到產(chǎn)生這個(gè)哥德爾數(shù)的唯一指數(shù)串。同理，再由其中每個(gè)指數(shù)肩上的，關(guān)于相應(yīng)公式的哥德爾數(shù)，可以找到產(chǎn)生此哥德爾數(shù)的指數(shù)串；同理，又由其中每個(gè)指數(shù)的肩上，可以找到關(guān)于相應(yīng)符號(hào)的哥德爾數(shù)。由此，我們可復(fù)原每個(gè)符號(hào)，復(fù)原表達(dá)每個(gè)公式的符號(hào)串，直至復(fù)原表達(dá)一個(gè)證明的公式序列。這樣，我們就可以在一階理論與其算術(shù)模型之間雙向轉(zhuǎn)換了。

5.自指語(yǔ)句

哥德爾配數(shù)法的妙用之一是可用來(lái)生成自指語(yǔ)句。設(shè)P(x)是一個(gè)只含一個(gè)自由變?cè)墓剑钇涓绲聽枖?shù)為n。將此哥德爾數(shù)代入x，得到一個(gè)閉項(xiàng)P(n)。P(n)就是一個(gè)自指語(yǔ)句，它含有其母公式的哥德爾數(shù)。假設(shè)P(n)是可證的，它應(yīng)該有一個(gè)證明，記為Bew(P(n))，這個(gè)證明也會(huì)有自己的哥德爾數(shù)。

我們現(xiàn)在可以引入一個(gè)二元算術(shù)關(guān)系，G(i,j)，這里i是一個(gè)只含有一個(gè)自由變?cè)哪腹絇(x)的哥德爾數(shù)，而j是由其生成的自指語(yǔ)句P(n)之證明的哥德爾數(shù)，即j=g[BewP(n)]。只要i和j滿足以上條件，G(i,j)成立，則由可表達(dá)性定義，G(i,j)在N中可證。

這看上去是很建設(shè)性的進(jìn)展，很正面啊。誰(shuí)能想到哥德爾明修棧道卻暗度陳倉(cāng)，在G(i,j)前加了一個(gè)否定算子，由此情勢(shì)立變，攻防逆轉(zhuǎn)。其結(jié)果是將希爾伯特之鏈上23 顆參悟佛珠中的一顆反擰，如斷臂維納斯，給后人留下無(wú)盡的哲學(xué)思辨與本體論問(wèn)詢。他妙手構(gòu)造的公式P(x)明確地說(shuō)：對(duì)于所有的y，并非G(x,y)，寫出來(lái)就有?y?G(x,y)?；貞浐?xiàng)G的定義，這公式明白告訴我們，任何y都不是某個(gè)證明的哥德爾數(shù)?，F(xiàn)在令公式P(x)的哥德爾數(shù)為i，即可構(gòu)造出自指語(yǔ)句：

此式便是哥德爾定理的主角。這個(gè)公式落落大方，既身懷母公式P(x)的自指，又手按函項(xiàng)G(i,y)的非門，卻自然而然不留違和之感。S唯一沒交代的，就是它自己的身份可有證明。哥德爾不完全性定理及其證明，就都是拿這個(gè)自指語(yǔ)句S的身份證明說(shuō)事。

哥德爾配數(shù)法和自指語(yǔ)句構(gòu)造還有一層意境，那就是從美學(xué)的角度把東西方古代數(shù)學(xué)文化傳統(tǒng)融為一體。西方數(shù)學(xué)文化，從歐幾里得《幾何原本》溯源，有講究一般化分析的傳統(tǒng)。東方古代數(shù)學(xué)文化，講究的是用例子，但不是普通的例子，而是具有一般性的例證，比如中國(guó)的《九章算術(shù)》，又比如（現(xiàn)代）印度的拉馬努金。這個(gè)道理，已故邏輯學(xué)家沈有鼎先生曾跟我講過(guò)。一個(gè)數(shù)學(xué)證明，居然成為一個(gè)哥德爾數(shù)，這簡(jiǎn)直是例證化到了極限。

6.協(xié)調(diào)性與ω-協(xié)調(diào)性

做了這么多的準(zhǔn)備工作和前期鋪墊，就快進(jìn)入主題了。我們說(shuō)一個(gè)形式系統(tǒng)是語(yǔ)法協(xié)調(diào)的（亦稱一致性），是指對(duì)于任何公式來(lái)說(shuō)，要么這個(gè)公式是可證的，要么這個(gè)公式的否定是可證的。既排中，又周延。哥德爾定理的證明還要用到一個(gè)缺之不可的概念，即ω-協(xié)調(diào)性。它是說(shuō)，考慮任意給定的，帶一個(gè)自由變?cè)墓絇(x)；如果對(duì)于任何n，P(n)都是可證的，那??xP(x)就是不可證的。有一條引理后面要用到；它是說(shuō)ω-協(xié)調(diào)性蘊(yùn)含協(xié)調(diào)性。

7.哥德爾獨(dú)立性定理

（陳述一）若N協(xié)調(diào)，則S不可證。用反證法，設(shè)S可證，則有其證明Bew(S)，并有其證明之哥德爾數(shù)j滿足G(i,j)，由其可表達(dá)性則有G(i,j)；但由S的構(gòu)造，對(duì)所有y，?G(i,j)，這不可能。這個(gè)矛盾推翻了反證法假設(shè)，故S不可證。

（陳述二）如果N 是ω-協(xié)調(diào)的，則?S不可證。用反證法，假設(shè)?S可證。那么由引理，N 是協(xié)調(diào)的，所以，由假設(shè)推出S不可證。也就是說(shuō)，不存在S的證明，所以也不存在所謂S之證明的哥德爾數(shù)。由此，對(duì)于任何j，關(guān)系G(i,j)都不成立；反過(guò)來(lái)說(shuō)，就是對(duì)于任意j，關(guān)系G(i,j)，都成立，而這正符合S的公式表達(dá)：S=P(i)=?y?G(i,y)。這樣，由ω-協(xié)調(diào)性定義，S就成為可證的。前面剛由反證法假設(shè)推出S不可證，現(xiàn)在又改口說(shuō)S可證，這個(gè)矛盾推翻了反證法假設(shè)，證明了?S不可證。

由陳述一和陳述二的證明，可知語(yǔ)句S在一階理論N 中確實(shí)是既不可證又不可否證的；我們說(shuō)，它是獨(dú)立于一階理論的。這個(gè)結(jié)果被稱為哥德爾獨(dú)立性定理，亦稱為哥德爾第一定理。這是個(gè)具有一般性的結(jié)果；如果試圖把S作為公理加到一階理論N 中，還可以繼續(xù)構(gòu)造出新獨(dú)立語(yǔ)句來(lái)。

8.哥德爾不完全性定理

思辨一下，S的句子構(gòu)造說(shuō)的是自己不可證。以上我們證明了S確實(shí)不可證，所以S說(shuō)的是真的。好了，S是真的卻不可證，說(shuō)明一階理論N是不完全的。這就是著名的哥德爾不完全性定理。最后，別忘了交待完全性的定義：對(duì)于N中任何語(yǔ)句S如果S是真的，那么S是可證的。

哥德爾不完全性定理自希爾伯特雄偉計(jì)劃出發(fā)，最終達(dá)到了一個(gè)始料未及的境界。我們前面為了敘述方便說(shuō)到過(guò)：“一個(gè)關(guān)系是真的”，又說(shuō)到“S是真的”。真是“真”嗎？“真”是什么意思？這在邏輯哲學(xué)上叫做真理論問(wèn)詢。下面接著要講的塔斯基不可定義性定理，是哥德爾不完全性定理的姐妹篇。

（二）塔斯基：語(yǔ)言的層次

按當(dāng)代形式科學(xué)的要求，一個(gè)形式系統(tǒng)，如一個(gè)邏輯系統(tǒng)，有兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)組分，即其語(yǔ)法和語(yǔ)義學(xué)。這反映了形式語(yǔ)言的本質(zhì)。在系統(tǒng)的形式語(yǔ)法中，講究的是可證性；而在其語(yǔ)義學(xué)中，是用“真值”說(shuō)話，真值只能為真或?yàn)榧?，是排中的，故又稱為命題態(tài)度。一階理論的語(yǔ)義學(xué)，亦稱其模型，就是一個(gè)算術(shù)結(jié)構(gòu)。語(yǔ)法及其語(yǔ)義學(xué)要等權(quán)，也就是在可證性與有效性之間要有當(dāng)且僅當(dāng)?shù)年P(guān)系，這是元邏輯關(guān)于系統(tǒng)整體性質(zhì)的要求。任意一個(gè)公式可證則其有效，稱語(yǔ)義可靠性。任意一個(gè)有效公式都是可證明的，稱為完全性。我們希望一個(gè)系統(tǒng)的語(yǔ)法和語(yǔ)義學(xué)是等權(quán)的。前者強(qiáng)后者弱稱為形式化不充分或模型化過(guò)分，前者弱而后者強(qiáng)則為模型化不充分或形式化過(guò)分。在決策論中，不完全性也稱為對(duì)應(yīng)非理性，非可靠性也稱為反映非理性。以下是理解塔斯基定理的四個(gè)步驟。

1.算術(shù)可定義性

前文定義了由哥德爾所引入的可表達(dá)性概念，那是講大家都知道的所謂在素樸算術(shù)中成立的關(guān)系和一階理論語(yǔ)法中可證性之間的聯(lián)系。塔斯基引入了算術(shù)可定義性的概念，說(shuō)的是素樸算術(shù)中成立的關(guān)系與一階理論語(yǔ)義學(xué)（即作為模型的給定算術(shù)結(jié)構(gòu)）之間的聯(lián)系。它說(shuō)，如果一個(gè)n元關(guān)系在素樸算術(shù)中成立，那么其相應(yīng)的函項(xiàng)在一階理論模型中斷言為真，由此就說(shuō)關(guān)系R在此模型中是算術(shù)可定義的。

考慮只帶一個(gè)自由變?cè)墓紸(x)，稱為母公式，并令其哥德爾數(shù)為m。將m代入x，得到一個(gè)新的公式B(m)，這是一個(gè)閉項(xiàng)（不帶自由變?cè)茿(x)的一個(gè)自指語(yǔ)句。如此，還可以再令n為B(m)的哥德爾數(shù)。認(rèn)真說(shuō)來(lái)，塔斯基定理較之哥德爾定理，有一個(gè)概念上的難點(diǎn)。哥德爾定理中用到兩個(gè)哥德爾數(shù)，一個(gè)是母公式的哥德爾數(shù)，另一個(gè)是其自指語(yǔ)句之證明的哥德爾數(shù)，兩件事容易分開，在認(rèn)知和記憶中沒有阻礙。在塔斯基定理中也要用到兩個(gè)哥德爾數(shù)，一個(gè)是母公式的哥德爾數(shù)，另一個(gè)是其自指語(yǔ)句的哥德爾數(shù)，這在概念上自相纏繞，這在心理學(xué)上就需要更強(qiáng)的認(rèn)知努力以避免思維中造成記憶上的認(rèn)知堵塞。我在講課中注意到這個(gè)問(wèn)題。所以，為了便于區(qū)分，我們稱一個(gè)母公式的哥德爾數(shù)為一階哥德爾數(shù)，而稱由母公式及其哥德爾數(shù)而生成的自指語(yǔ)句的哥德爾數(shù)為二階哥德爾數(shù)。

造出二階哥德爾數(shù)，塔斯基算是把哥德爾配數(shù)法發(fā)揮得淋漓盡致。背后的動(dòng)機(jī)，是他要引入一個(gè)自然數(shù)關(guān)系，記為d(m,n)，其中m是母公式的一階哥德爾數(shù)，n是其自指語(yǔ)句的二階哥德爾數(shù)。進(jìn)一步，由d(m,n)，在一階理論及其模型中可算術(shù)定義一個(gè)函項(xiàng)D(m,n)，也可說(shuō)后者為前者所算術(shù)定義。這又是一道怎樣的苦心，雙重自指，必有后用。值得指出的是，d(m,n)，是一個(gè)具有一般性的二元關(guān)系，對(duì)任何帶有一個(gè)自由變?cè)墓蕉汲闪?；所以D(m,n)亦是一個(gè)具有一般性的二元謂詞函項(xiàng)。

塔斯基顯然受到哥德爾工作的影響，使用哥德爾配數(shù)法就是明證。不過(guò)，天才就是天才。哥德爾是天才，是一代語(yǔ)法劍圣；塔斯基也是天才，是一代語(yǔ)義刀魂。他們都具有數(shù)學(xué)邏輯基礎(chǔ)的學(xué)術(shù)情懷，也具備與天機(jī)唇語(yǔ)的使命，更身懷逢山開山遇水搭橋的本領(lǐng)。

2.真謂詞與語(yǔ)義模型

真值在數(shù)理邏輯中本來(lái)是個(gè)語(yǔ)義的概念，只在模型中說(shuō)話。一日，刀魂塔斯基做天才想：如果以刀為劍，對(duì)命題態(tài)度“真”做句法處理，又該是怎樣一番意境？于是，塔斯基在原來(lái)一階理論的形式語(yǔ)言N 中添加了一個(gè)真謂詞T，由此，有了帶真謂詞的假想一階理論，N+=(N,T)?？删瓦@驚鴻一瞥，驟起波瀾。

注意，有了真謂詞T，就可以構(gòu)造帶有T的語(yǔ)句。同時(shí)，也就要為之而擴(kuò)張?jiān)心Ｐ?。真謂詞是個(gè)一元謂詞。作為動(dòng)詞，中文“是”的英文就是“to be”，后面跟上一個(gè)形容詞或名詞就表示一條性質(zhì)，如“是紅的”，“是圓的”，“是塑料的”。既然如此，生造出一條性質(zhì)，“是真的”，似無(wú)不妥。

為敘述方便，先引入三個(gè)記法。首先，將閉項(xiàng)B(m)記為L(zhǎng)。其次，既然在語(yǔ)法中加入了真謂詞，按理說(shuō)就該有在其模型中預(yù)釋為真的真語(yǔ)句，記為L(zhǎng)t。最后，這個(gè)Lt是一個(gè)語(yǔ)句，它應(yīng)該有哥德爾數(shù)，記為L(zhǎng)g。這樣，如果X是真謂詞的一個(gè)算術(shù)模型，就會(huì)有，Lg屬于X的外延，當(dāng)且僅當(dāng)Lt在X內(nèi)涵下預(yù)釋為真。真謂詞的模型用一個(gè)集合的定義表達(dá)出來(lái)既清楚又簡(jiǎn)單：

即X的外延是一集哥德爾數(shù)，而X的內(nèi)涵是說(shuō)其中每一個(gè)都是也只能是某個(gè)在模型中解釋為真的公式的哥德爾數(shù)。

3.說(shuō)謊者悖論

常有人誤以為哥德爾不完全性定理像是一個(gè)悖論，其實(shí)不是。可塔斯基定理不同，它確實(shí)是世稱“說(shuō)謊者悖論”的形式化翻新版。說(shuō)謊者悖論起源于這樣一句話：“此話為假”。思辨一下，若視這句話為真，則可導(dǎo)出其為假；若視這句話為假，則可導(dǎo)出其為真。這就是說(shuō)謊者悖論。塔斯基匠心獨(dú)具，把說(shuō)謊者悖論翻寫到一階理論中，精心構(gòu)造出以下語(yǔ)句：對(duì)于所有的y，如果D(x,y)，則有?T(y)，寫成公式，就有：

這個(gè)公式帶有一個(gè)自由變?cè)獂，所以是一個(gè)開公式。這個(gè)式子當(dāng)然有唯一的哥德爾數(shù)，可令g(A)=m。將m取代此公式中所含的自由變?cè)獂，可得一個(gè)閉項(xiàng)B(m)。這是一個(gè)自指語(yǔ)句，形如：

此式便是塔斯基定理的主角。這個(gè)式子又有唯一的哥德爾數(shù)，可令g(B(m)=n)，這是一個(gè)二階哥德爾數(shù)。我們后面且看塔斯基如何用之開闔雄辯。

4.塔斯基定理

塔斯基滿懷激情地把真謂詞寫入一階理論，是何等的眼光悟性，又是何等的膽氣魄力。結(jié)果，卻發(fā)現(xiàn)為這個(gè)真謂詞找不到模型。也許有人會(huì)說(shuō)，人家塔斯基的初衷沒準(zhǔn)兒就要做一個(gè)否定性結(jié)果呢。這種說(shuō)法一般都是后話（post hoc saying）。很少有數(shù)學(xué)家上來(lái)就想做否定性結(jié)果的。哥德爾當(dāng)年本來(lái)也是意欲在希爾伯特計(jì)劃中建立功勛，為當(dāng)時(shí)蓬勃發(fā)展的數(shù)學(xué)大廈打下穩(wěn)固的邏輯根基，那是悲劇美背后的壯烈。

簡(jiǎn)而言之，塔斯基定理就是說(shuō)，在一階理論框架下，真謂詞沒有算術(shù)模型。其證明用的是反證法，我們還是分三步走：

第一步，用反證法，假設(shè)存在一個(gè)如前定義的模型X={Lg}Lt在X下預(yù)釋為真}；

第二步，既然存在一個(gè)如前定義的模型X，則X應(yīng)預(yù)釋Lt為真，于是應(yīng)有Lg屬于X；

第三步，既然Lg為L(zhǎng)t的哥德爾數(shù)，即Lg為B(m)的二階哥德爾數(shù)。由前第九訣中d(m,n)的定義，則應(yīng)有d(m,Lg)，由此可算術(shù)定義D(m,Lg) ?？墒?，回憶前面刻畫B(m)的條件句結(jié)構(gòu)，就可推出?T(Lg)，這說(shuō)的是Lt在X下不真，所以Lg不屬于X。

由于以上第二步和第三步結(jié)果矛盾，可見第一步中的反證法假設(shè)不成立。也就是說(shuō)，真謂詞還真就在一階理論框架下找不到模型，即真謂詞是不可算術(shù)定義的。這就是世稱塔斯基不可定義性定理。

塔斯基后來(lái)發(fā)展了語(yǔ)言層次理論，認(rèn)為關(guān)于一個(gè)給定系統(tǒng)的真謂詞是在本系統(tǒng)內(nèi)不可定義的。也就是說(shuō)，關(guān)于一個(gè)給定語(yǔ)言層次的真理論刻畫超越了本層次規(guī)定的描述配置，需要?jiǎng)佑酶哒Z(yǔ)言層次的陳述裝置力量。哥德爾與塔斯基雙子定理，刀劍合璧。讀來(lái)波瀾壯闊，步步驚心，余味卻是經(jīng)典優(yōu)雅，銜接無(wú)痕。哥德爾在數(shù)理哲學(xué)上主張客觀唯心主義，反映了其對(duì)心智世界的本體論承諾。

（三）維特根斯坦：語(yǔ)言游戲

我們可以找到很多詞匯去贊美哥德爾和塔斯基，但有一項(xiàng)桂冠是屬于維特根斯坦的，他是語(yǔ)言研究的英雄。維氏曾師從羅素，算是學(xué)邏輯出身。在哥德爾和塔斯基的巔峰年代，研究各種數(shù)理邏輯技術(shù)是那時(shí)候的潮流，這種學(xué)術(shù)文化氛圍下，維特根斯坦勇敢地轉(zhuǎn)向研究日常語(yǔ)言和人們的日常語(yǔ)言交流，難能可貴。我以為，維特根斯坦是心理語(yǔ)言學(xué)和行為主義語(yǔ)言學(xué)的先驅(qū)。

維特根斯坦發(fā)現(xiàn)，人們使用日常語(yǔ)言進(jìn)行交流時(shí)，近乎是在做語(yǔ)言游戲。作為受過(guò)專業(yè)訓(xùn)練的邏輯學(xué)家，他當(dāng)然有學(xué)術(shù)沖動(dòng)去定義這種語(yǔ)言游戲。可是，類似于哥德爾和塔斯基的經(jīng)歷，他進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，語(yǔ)言游戲居然是難以完美定義的，因?yàn)橛螒蛞幸唤M規(guī)則，但對(duì)語(yǔ)言游戲來(lái)說(shuō)，規(guī)則似有似無(wú)，似隱似現(xiàn)，有而不全；而在他看來(lái)，這正是語(yǔ)言的本質(zhì)。他認(rèn)為，不存在獨(dú)立于語(yǔ)言游戲的語(yǔ)言。這個(gè)發(fā)現(xiàn)，可稱為語(yǔ)言游戲的規(guī)則不完全性原理。這在行為主義語(yǔ)言學(xué)中，是一個(gè)重要的發(fā)現(xiàn)。

語(yǔ)言游戲的狀態(tài)，因具體情景而變化，并因個(gè)體差異而不同。所以，在規(guī)范場(chǎng)論框架中語(yǔ)言游戲?qū)儆诰钟驅(qū)用妗８绲聽柖ɡ砗退够ɡ矶际顷P(guān)于語(yǔ)言的一般化處理，不涉及語(yǔ)言行為的個(gè)體差異，所以，屬于全局層面。我們知道，邏輯學(xué)定理是由邏輯學(xué)家創(chuàng)造的，所以，邏輯學(xué)家是邏輯學(xué)定理的規(guī)范勢(shì)。不同的邏輯學(xué)家可以證明同一個(gè)邏輯定理，叫做“多一映射”。規(guī)范場(chǎng)強(qiáng)就是被證明了的定理。在局域?qū)用妫丛谡Z(yǔ)言博弈中，對(duì)話者的心思、語(yǔ)言能力、表達(dá)方式、認(rèn)知水平以及潛意識(shí)中的沖動(dòng)強(qiáng)弱等，都可能是構(gòu)成規(guī)范勢(shì)的因素。而對(duì)話者的實(shí)際語(yǔ)言行為，則是規(guī)范場(chǎng)強(qiáng)。這樣，哥德爾和維特根斯坦的學(xué)術(shù)路徑，就被置于一個(gè)統(tǒng)一的規(guī)范場(chǎng)論四格框架結(jié)構(gòu)中了。規(guī)范場(chǎng)論是為研究波函數(shù)而設(shè)的。其實(shí)，語(yǔ)言游戲的不完全規(guī)則性，說(shuō)明語(yǔ)言游戲就是一種波函數(shù)。這層意思，將在本文第三部分中討論。

維特根斯坦認(rèn)為語(yǔ)言是公共的，沒有私人語(yǔ)言。我認(rèn)為，這是其語(yǔ)言哲學(xué)的局限性，歷史原因也許是因?yàn)樗膶W(xué)術(shù)生命多半處在行為主義研究范式占主流地位的年代，這從他與維也納實(shí)證主義學(xué)派的密切關(guān)系可以想見。他剛好錯(cuò)過(guò)了1950 年代中期興起的認(rèn)知科學(xué)革命，如果他有機(jī)會(huì)了解喬姆斯基語(yǔ)言習(xí)得理論，和福德后來(lái)關(guān)于思想語(yǔ)言的論證，他也許會(huì)再次改變其觀點(diǎn)。

由于發(fā)現(xiàn)了語(yǔ)言游戲的規(guī)則不完全性，使得維特根斯坦的語(yǔ)言哲學(xué)中期帶有懷疑論色彩。這里需要強(qiáng)調(diào)一個(gè)語(yǔ)言哲學(xué)上的分歧：我們習(xí)慣于以為，哥德爾是在一階理論的語(yǔ)言框架下，構(gòu)造了其定理，并在形式語(yǔ)言技術(shù)上，創(chuàng)造了新的語(yǔ)言結(jié)構(gòu)，例如自指語(yǔ)句；但維特根斯坦認(rèn)為預(yù)設(shè)一個(gè)語(yǔ)言框架沒有意義；他認(rèn)為，哥德爾定理只是哥德爾做的一個(gè)語(yǔ)言游戲，其語(yǔ)言行為本身就體現(xiàn)了一階語(yǔ)言，而哥德爾定理是這個(gè)語(yǔ)言游戲活動(dòng)的融貫性（coherence）內(nèi)容。他甚至認(rèn)為，將語(yǔ)言形式化的任何努力都是錯(cuò)誤的。筆者以為，這也許過(guò)于偏激了。問(wèn)題是，在維特根斯坦與哥德爾的學(xué)術(shù)論爭(zhēng)中，兩者是在做各自的兩個(gè)不同的語(yǔ)言游戲呢，還是一個(gè)統(tǒng)一的游戲呢，抑或是三個(gè)游戲同時(shí)進(jìn)行呢？進(jìn)一步的問(wèn)題是，這里涉及的是兩個(gè)還是三個(gè)融貫性標(biāo)準(zhǔn)呢？另外指出，這個(gè)語(yǔ)言哲學(xué)分歧，是一種知識(shí)論意義下的結(jié)構(gòu)性分歧，這些問(wèn)題我們會(huì)在后文討論。

維特根斯坦的學(xué)生們后來(lái)編輯出版了他晚期的筆記，此書篇幅不長(zhǎng)，書名為《論確定性》。其中主要收集的是他關(guān)于摩爾的外部世界存在的反懷疑論證明。維特根斯坦的后期思想提出了一種反懷疑論證明。他說(shuō)，懷疑一切不是一種懷疑，你只能懷疑曾經(jīng)相信過(guò)的事情。在其書中提出了主觀確定性的概念。這提示了語(yǔ)言游戲不完全是沒有確定性基礎(chǔ)的。這提供了一個(gè)挑戰(zhàn)，我們可以找到一些將語(yǔ)言游戲結(jié)構(gòu)化并模型化的路徑嗎？在下面將提供三種這樣的路徑，分別是狹義相對(duì)論路徑、量子化路徑和廣義相對(duì)論路徑。

三、超越維特根斯坦：結(jié)構(gòu)與模型

（一）認(rèn)識(shí)論結(jié)構(gòu)

在本文第一部分中，我們通過(guò)數(shù)種語(yǔ)言的雙腿結(jié)構(gòu)，解釋了語(yǔ)言的確定性和穩(wěn)定性。在第二部分中，我們通過(guò)哥德爾與塔斯基雙子定理看到他們?nèi)绾螌⑦壿嬚Z(yǔ)言發(fā)揮到極致，以致揭示了語(yǔ)言的局限性，事情好像有些悲觀。正當(dāng)人們?yōu)榇嗣τ谧龈鞣N哲學(xué)開脫的時(shí)候，維特根斯坦為語(yǔ)言研究注入了新的活力。他認(rèn)為邏輯語(yǔ)言只是人為制造的理想語(yǔ)言，而日常語(yǔ)言的不確定性正是語(yǔ)言的活力所在。他提出的語(yǔ)言游戲不可規(guī)則化原理，正是將日常語(yǔ)言的不確定性視為其固有無(wú)限魅力。那么，人工語(yǔ)言和日常語(yǔ)言活動(dòng)的功能區(qū)別到底是什么呢？這就要說(shuō)到兩者在知識(shí)論意義下的二種路徑，即“知道路徑”（knowing path）與“作為路徑”（doing path）。

在知識(shí)論（epistemology）中，有一個(gè)柏拉圖傳統(tǒng)。它說(shuō)的是，所謂你知道一條知識(shí)，記為P，意味著要同時(shí)滿足三個(gè)條件：第一，P是真的；第二，你相信P；第三，你有適當(dāng)理由（justifications）。如果其中有一個(gè)條件不滿足，你就不能認(rèn)為你知道了此條知識(shí)。所以對(duì)于一條知識(shí)的認(rèn)知，只有兩種模式，即知道與不知道。這個(gè)知道路徑，延伸地說(shuō)，也就是哥德爾的邏輯路徑，考究知識(shí)的可證與否，或者塔斯基的邏輯路徑，辯證知識(shí)的真與假。這條路徑，如果以語(yǔ)言為標(biāo)的，則可稱為語(yǔ)言路徑，其攜帶的是一種雙模式知識(shí)論結(jié)構(gòu)。邏輯學(xué)語(yǔ)言的所謂命題態(tài)度，即真值或?yàn)檎婊驗(yàn)榧伲沁@種雙模式結(jié)構(gòu)一種表現(xiàn)。

同樣在知識(shí)論的意義下，維特根斯坦關(guān)注的不是知道，而是做事，即語(yǔ)言行為或語(yǔ)言作為。他提出，語(yǔ)言行為，如語(yǔ)言游戲，會(huì)攜帶三種模式。假設(shè)語(yǔ)言游戲是有規(guī)則的，其可能行為模式有三：模式1 是指遵守規(guī)則，即事情做得正確；模式2 是指違反規(guī)則，即事情做得不正確；此外，還有模式3，指的是既沒遵守規(guī)則又沒違反規(guī)則，即事情做得無(wú)正確與否可言。比如，在球類比賽中，把球隨便拋上拋下，再開個(gè)玩笑，就無(wú)對(duì)錯(cuò)可言。又如，正在考試，你去一下洗手間，與答題對(duì)錯(cuò)無(wú)關(guān)，也就是俗稱“跑題了”。跑題言語(yǔ)行為其實(shí)正是言語(yǔ)的活力所在。天下多少新話題，科學(xué)中的多少新發(fā)現(xiàn)，不正是由于跑題造成的嗎？這一點(diǎn)，用本文內(nèi)容就可以說(shuō)明。

哥德爾不完全性定理，緣起于試圖解決希爾伯特?cái)?shù)學(xué)計(jì)劃中提出的問(wèn)題之一，即數(shù)學(xué)大廈的邏輯基礎(chǔ)協(xié)調(diào)性問(wèn)題。如果哥德爾做出肯定性結(jié)果，算是對(duì)應(yīng)了模式1?，F(xiàn)在哥德爾證出了意外的結(jié)果，算是對(duì)應(yīng)了模式2。那么對(duì)于解決希爾伯特問(wèn)題這個(gè)語(yǔ)言游戲來(lái)說(shuō)，維特根斯坦的語(yǔ)言游戲理論，在很多人看來(lái)，就應(yīng)該算是跑題了。然而，我們應(yīng)當(dāng)意識(shí)到，維氏語(yǔ)言游戲理論本身對(duì)應(yīng)的其實(shí)就是模式3。正是由于識(shí)別了這第三種模式，使維特根斯坦脫離了柏拉圖傳統(tǒng)，與哥德爾的邏輯路徑分道揚(yáng)鑣。也正是由于這第三種模式，使語(yǔ)言游戲充滿活力。這條維氏路徑，講究的是語(yǔ)言行為的三模式分類，以語(yǔ)言行為作為語(yǔ)言本身的本質(zhì)，可稱其為語(yǔ)言行為路徑，攜帶的是一種三模式知識(shí)論結(jié)構(gòu)。這樣，我們可以清楚地看到，語(yǔ)言路徑和言語(yǔ)行為路徑的知識(shí)論差異首先在于兩者所承諾的模式數(shù)不同，一個(gè)是二維模式空間，另一個(gè)是三維模式空間。

所謂超越維特根斯坦不是摒棄維特根斯坦語(yǔ)言哲學(xué)，而是在其概念框架內(nèi)，說(shuō)出新意來(lái)。新意之一，就是將其語(yǔ)言概念系統(tǒng)與其他概念系統(tǒng)，如與理論物理中的概念系統(tǒng)相整合，稱為模型化。我們首先來(lái)理解維特根斯坦語(yǔ)言哲學(xué)的幾個(gè)概念：第一個(gè)概念是私人語(yǔ)言。維氏認(rèn)為沒有私人語(yǔ)言這回事，這當(dāng)然是有爭(zhēng)論的。前文我們介紹了哥德爾不完全性定理。此定理在文獻(xiàn)中大量記載，很多人知道或至少聽說(shuō)過(guò)。本文在介紹中也盡量兼顧科學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和文字的可讀性，作者還有意識(shí)地穿插了一些故事語(yǔ)言，舒緩一下一般讀者看到數(shù)學(xué)公式時(shí)的緊張感。文章是白紙黑字寫下來(lái)的文稿，準(zhǔn)備發(fā)表出來(lái)給人看的。總之，文章用的是公共語(yǔ)言，不是說(shuō)給自己聽的自言自語(yǔ)。因此，這里不涉及關(guān)于有否私人語(yǔ)言的學(xué)術(shù)討論。

第二個(gè)概念是語(yǔ)言游戲。關(guān)于本文介紹哥德爾定理的內(nèi)容，敘述中有無(wú)漏洞，是否精彩，這些不是維特根斯坦主要關(guān)注的事情。他關(guān)注的是，你為什么要在此文中談到哥德爾定理。有很多文章都談到哥德爾定理，你這文章里的上下文和別人文章里的上下文有什么不同。維特根斯坦早期管這叫“哥德爾定理”這個(gè)語(yǔ)詞的意義，后來(lái)改稱為語(yǔ)言游戲。這是一個(gè)極具描述力的概念，洞見深刻，視角獨(dú)特，令人擊節(jié)。在維特根斯坦看來(lái)，哥德爾定理就是哥德爾語(yǔ)言游戲的內(nèi)容意義，表現(xiàn)了很高的融貫性標(biāo)準(zhǔn)。

第三個(gè)概念是語(yǔ)法。維特根斯坦的語(yǔ)法概念，有其特殊的含義，不是指我們通常理解的“事物的秩序”或“語(yǔ)言表達(dá)的邏輯安排”，而是所有規(guī)則的整體，或者說(shuō)，是在語(yǔ)言游戲背后起支配作用的規(guī)則樣態(tài)。它是以顯現(xiàn)的方式向我們表明了它的存在，但我們?cè)谡Z(yǔ)言游戲中卻無(wú)法直接感受到它的存在。這類似于我們心中的概念地圖，我們無(wú)法說(shuō)出為何我們會(huì)使用某個(gè)概念，但我們卻可以很好地理解和使用這個(gè)概念。例如，當(dāng)我們使用時(shí)間或空間這些概念時(shí)，我們無(wú)法明確指出這些概念究竟來(lái)自哪里以及意味著什么，但我們卻可以很好地使用這些概念。語(yǔ)法概念主要用于維特根斯坦的中期哲學(xué)中，到他的晚期則主要使用“生活形式“或“世界圖式”等，它們表達(dá)的是相近的意思。

任何一種語(yǔ)言哲學(xué)，都不會(huì)否認(rèn)語(yǔ)言的存在及其運(yùn)動(dòng)。這是語(yǔ)言動(dòng)力學(xué)的源頭，稱為語(yǔ)言荷。那么語(yǔ)言和語(yǔ)言表達(dá)到底有何異同呢？中期維特根斯坦長(zhǎng)于辨其同，卻疏于察其異，這應(yīng)該與他當(dāng)時(shí)對(duì)形式語(yǔ)言的批判狀態(tài)有關(guān)。后期維特根斯坦有心察其異，遺憾的是，筆者以為，他缺乏一個(gè)理論框架使得兩者可以求同存異，熔于一爐。這個(gè)理論框架在1950年代晚期出現(xiàn)了，那就是楊振寧的規(guī)范場(chǎng)論。在此框架下，可以精美地構(gòu)造出語(yǔ)言動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，其中語(yǔ)言是全局規(guī)范勢(shì)，而語(yǔ)言表達(dá)是全局規(guī)范場(chǎng)強(qiáng)。說(shuō)其同，兩者同屬全局層面。說(shuō)其異，前者是規(guī)范勢(shì)，而后者是規(guī)范場(chǎng)強(qiáng)。相應(yīng)地，在局域?qū)用?，要考慮具體語(yǔ)言行為者的個(gè)體差異。一個(gè)個(gè)體的語(yǔ)言能力是局域規(guī)范勢(shì)，而其具體的語(yǔ)言行為是局域規(guī)范場(chǎng)強(qiáng)。理解規(guī)范勢(shì)與規(guī)范場(chǎng)強(qiáng)最一般的路徑是微積分。任給一個(gè)不定積分公式，其中的被積函數(shù)是規(guī)范場(chǎng)強(qiáng)，而整個(gè)不定積分公式就是規(guī)范勢(shì)。注意，不定積分公式后面都帶著一個(gè)常項(xiàng)，稱為規(guī)范自由度。這說(shuō)明，從規(guī)范勢(shì)到規(guī)范場(chǎng)強(qiáng)是多一映射。通過(guò)適當(dāng)?shù)奈⒎炙阕樱偪梢韵ヒ?guī)范自由度，例如，常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零。更多關(guān)于社會(huì)科學(xué)動(dòng)力學(xué)分析的內(nèi)容，我們將在另一篇文章（心理生命與理論物理之三）中專門介紹。

下面，圍繞語(yǔ)言游戲，以理論物理為模型化方法，我們引進(jìn)入三條模型化路徑，分別為狹義相對(duì)論路徑、量子化路徑與廣義相對(duì)論路徑。

（二）狹義相對(duì)論結(jié)構(gòu)

1.光錐和語(yǔ)言錐

我們?cè)诹砦闹袑?duì)狹義相對(duì)論做過(guò)較詳細(xì)介紹①在本節(jié)中，凡提到“另文”之處，均指楊英銳：《心理特征期與社會(huì)——心理生命與理論物理之一》，《科學(xué)·經(jīng)濟(jì)·社會(huì)》2022年第1期。，這里為方便讀者閱讀，再簡(jiǎn)單復(fù)習(xí)一下。狹義相對(duì)論以光速不變?cè)頌榛A(chǔ)，引入一個(gè)不變量。所以，在任何其他領(lǐng)域要應(yīng)用狹義相對(duì)論結(jié)構(gòu)做模型，首先要引入一個(gè)具有類光性的不變量。這里，所要引入的類光性不變量，就是語(yǔ)言速度。雖然維特根斯坦語(yǔ)言哲學(xué)研究的是語(yǔ)言行為，他的書也必須用德語(yǔ)寫出來(lái)，要在世界流行，還得被翻譯成其他語(yǔ)言，英語(yǔ)漢語(yǔ)，皆為自然語(yǔ)言。

言語(yǔ)行為，無(wú)論寫作或說(shuō)話交流，都是有內(nèi)容的，而至少其字面內(nèi)容，是用語(yǔ)言表達(dá)的。即使是言外之意或言下之意，也得通過(guò)字面表達(dá)或原話去體會(huì)延伸。所以語(yǔ)言有內(nèi)容的全覆蓋性，即使有些內(nèi)容意境一時(shí)難以表達(dá)，也得用自然語(yǔ)言說(shuō)些諸如“難以用語(yǔ)言形容”這樣的表述。還記得小說(shuō)《簡(jiǎn)·愛》中有一句話：“我認(rèn)為自己無(wú)比幸?！腋５綗o(wú)法言喻?！保↖ hold myself supremely blest—blest beyond what language can express.）這么精彩的表述，不也得用語(yǔ)言表述出來(lái)嗎？在集合論中，從全集出發(fā)或從空集出發(fā)做出的公理系統(tǒng)是等價(jià)的。從語(yǔ)言的內(nèi)容全覆蓋性抽象出語(yǔ)言的可無(wú)內(nèi)容性，是自不待言的概念化手法。簡(jiǎn)而言之，語(yǔ)言在語(yǔ)言行為世界具有類光性是因?yàn)槠渚哂袩o(wú)內(nèi)容性，正如光速最快是因?yàn)楣庾拥臒o(wú)質(zhì)量性。這里所謂的全內(nèi)容性與無(wú)內(nèi)容性，是指語(yǔ)言行為的字面表達(dá)，不考慮具體語(yǔ)境。狹義相對(duì)論的數(shù)學(xué)是閔氏空間，這是一種四維平直空間。語(yǔ)言的類光性是在狹義相對(duì)論的框架下說(shuō)話。如果考慮具體語(yǔ)境，語(yǔ)境的變化將使語(yǔ)言空間彎曲，那將引領(lǐng)我們進(jìn)入廣義相對(duì)論的領(lǐng)域，其背后的數(shù)學(xué)是黎曼幾何。

由于光速最快，可以假設(shè)它以直線傳播，向四周所有方向散射。給定一個(gè)光源，其激發(fā)向下各個(gè)方向散射形成錐狀，稱為下錐；同理，向上散射亦成錐狀，稱為上錐。上下錐在光源對(duì)頂，合稱光錐。以任何軌跡，穿過(guò)下錐，過(guò)對(duì)頂點(diǎn)，再穿過(guò)上錐的曲線叫世界線，反映了事件的局域因果性。建立了語(yǔ)言的類光性，就可相應(yīng)地將如此這般的光錐轉(zhuǎn)換為如此那般的語(yǔ)言錐。內(nèi)容不同而理同，同的是結(jié)構(gòu)。

2.語(yǔ)言游戲的標(biāo)準(zhǔn)與錐形

在維特根斯坦看來(lái)，語(yǔ)言游戲表明我們的語(yǔ)言活動(dòng)類似于游戲一樣，不存在一種脫離了游戲活動(dòng)本身的語(yǔ)言?；蛘哒f(shuō)，我們無(wú)法先假定一種語(yǔ)言，然后再去用這種語(yǔ)言去做語(yǔ)言游戲。相反，他認(rèn)為，當(dāng)我們從事語(yǔ)言活動(dòng)的時(shí)候，如同我們從事其他人類活動(dòng)一樣，不過(guò)是按照規(guī)則在從事一種游戲而已。因此，語(yǔ)言的本質(zhì)就在于語(yǔ)言活動(dòng)，語(yǔ)言游戲就是語(yǔ)言得以存在的根據(jù)和理由。這樣，任何試圖把語(yǔ)言形式化并把語(yǔ)言的形式作為理解語(yǔ)言的方式的企圖，在維特根斯坦看來(lái)都是錯(cuò)誤的。所以，前面說(shuō)到的語(yǔ)言錐，就應(yīng)該是語(yǔ)言游戲錐。對(duì)語(yǔ)言游戲錐的要求就是要反映人們的生活形式。

我們說(shuō)（不是維特根斯坦說(shuō)），語(yǔ)言游戲錐（以下簡(jiǎn)稱游戲錐）是由語(yǔ)言錐變通而來(lái)。所不同的是，語(yǔ)言錐的錐形預(yù)設(shè)了規(guī)則是完全的，而游戲錐的錐形應(yīng)該是規(guī)則不完全的，這是維特根斯坦規(guī)則不完全性原理的幾何版。何以如此，會(huì)在下文中解釋。維特根斯坦對(duì)于語(yǔ)言游戲是有標(biāo)準(zhǔn)要求的，稱為融貫性標(biāo)準(zhǔn)（criteria of coherence）。為敘述方便，在維氏語(yǔ)言哲學(xué)的演進(jìn)中，語(yǔ)言游戲的概念是由意義的概念演化而來(lái)。所以，游戲錐其實(shí)也是意義錐。一個(gè)語(yǔ)言行為，何以由點(diǎn)而錐呢？用維特根斯坦的話說(shuō)，語(yǔ)言游戲總是會(huì)攜帶著一個(gè)更大的心理游戲錐體，下錐中的事件是語(yǔ)言游戲的心理誘因，上錐中的事件是語(yǔ)言游戲的心理后果。

在另文中，我們還較詳細(xì)地介紹了閔可夫斯基空間中的間隔概念，這里是其的公式定義：

給定一個(gè)游戲錐，錐內(nèi)事件說(shuō)明一個(gè)語(yǔ)言行為足以滿足其融貫性標(biāo)準(zhǔn)，間隔大于零，稱為類時(shí)事件，即言語(yǔ)行為正確與不正確都是錐內(nèi)事件。錐外事件說(shuō)明某語(yǔ)言行為不滿足其融貫性標(biāo)準(zhǔn)，間隔小于零，稱為類空事件。注意，維氏言語(yǔ)行為的第一模式和第二模式都屬于錐內(nèi)事件，而第三模式屬于錐外事件。在錐體上的事件，說(shuō)明此語(yǔ)言行為恰好滿足融貫性標(biāo)準(zhǔn)，間隔等于零，稱為空值（null）事件。在維特根斯坦看來(lái)，語(yǔ)言游戲總是具體的，每個(gè)語(yǔ)言游戲自有其不同的融貫性標(biāo)準(zhǔn)。標(biāo)準(zhǔn)不同，其游戲錐體內(nèi)所能含納的事件多寡亦不同，所以或?qū)捇蛘?，其錐形無(wú)規(guī)則可言。以某語(yǔ)言行為做激發(fā)點(diǎn)，下錐是原因意義，上錐是結(jié)果意義，因果性就是兩者要滿足相同融貫性。一個(gè)具體的語(yǔ)言游戲有不同的故事因果性，且應(yīng)該允許其融貫性強(qiáng)弱各異。

3.固有錐與擬合錐

在另文中，我們介紹過(guò)，在狹義相對(duì)論中有固有時(shí)（亦稱時(shí)鐘時(shí)間）的概念。固有時(shí)與速度有關(guān)，運(yùn)行速度變快，則固有時(shí)相對(duì)變慢，成反比關(guān)系。固有時(shí)是個(gè)體化的，是典型的局域概念。在間隔概念的定義中，每一項(xiàng)都除以固有時(shí)，所得稱為動(dòng)量。相應(yīng)地，假設(shè)每個(gè)游戲者都具備個(gè)體化的固有意義，即語(yǔ)言游戲中的固有融貫性標(biāo)準(zhǔn)，由此得到個(gè)體化的固有游戲錐。下面先討論單人固有游戲錐，再討論多人多個(gè)固有游戲錐。

語(yǔ)言是心智的體現(xiàn)，語(yǔ)言行為更是由心智的激發(fā)所支撐。而心智是個(gè)體化的，心智世界首先是以個(gè)體注冊(cè)的，這是認(rèn)知科學(xué)的常識(shí)。一個(gè)人寫文章說(shuō)話做講演，都是語(yǔ)言行為，在維氏看來(lái)，自然是做單人語(yǔ)言游戲。寫文章要考慮結(jié)構(gòu)布局，每層意思的章節(jié)安排等，寫文章，不是只寫給自己看的，還有其公共意義，考慮到對(duì)讀者的公共影響。這些都是更大心理游戲的內(nèi)容。也就是說(shuō)，寫文章就是做單人語(yǔ)言游戲。于此，游戲者自有對(duì)其語(yǔ)言游戲的融貫性的獨(dú)特考量。而這不是可以事先預(yù)測(cè)的。所以，單人語(yǔ)言游戲錐的錐形也是規(guī)則不完全的。

當(dāng)人們通過(guò)語(yǔ)言行為討論或交流時(shí)，就會(huì)形成多人語(yǔ)言游戲。維特根斯坦語(yǔ)言哲學(xué)假設(shè)了多人語(yǔ)言游戲融貫性的存在性。筆者認(rèn)為，多人語(yǔ)言游戲的融貫性應(yīng)該是諸游戲參與者個(gè)人游戲的某種函數(shù)。相應(yīng)地，多人語(yǔ)言游戲的游戲錐形，應(yīng)該是諸游戲參與者的個(gè)體游戲錐形的擬合。為什么說(shuō)在言語(yǔ)游戲中嵌入一個(gè)錐形，就開始將其結(jié)構(gòu)化了呢？我們知道，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)可簡(jiǎn)可繁，且越簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)越基本。最簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是所謂的度規(guī)結(jié)構(gòu)。例如，在三維空間中，可以定義距離的概念。它是由三個(gè)平方項(xiàng)相加后再開方所得。其中，三個(gè)平方項(xiàng)都是正的。這是因?yàn)槿S空間的度規(guī)是（+，+，+），這是一個(gè)集合上被賦予的最基本代數(shù)結(jié)構(gòu)。在狹義相對(duì)論中，光錐的概念是通過(guò)間隔的概念引入的。現(xiàn)在回去看一下間隔的定義公式中的四個(gè)項(xiàng)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)其四維時(shí)空度規(guī)變成了（+，-，-，-）。這就是游戲錐所攜帶的基本數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。也就是說(shuō)，在語(yǔ)言錐的心理幾何結(jié)構(gòu)之下，還有一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)，表明言語(yǔ)對(duì)象之間如何進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算。

（三）量子化結(jié)構(gòu)

如果說(shuō)要將語(yǔ)言量子化，在概念上是有困難的。這困難其實(shí)就是要引入某種類似于語(yǔ)言游戲的概念?，F(xiàn)在直接將語(yǔ)言游戲量子化，真是天設(shè)地造，好像量子力學(xué)是專為語(yǔ)言游戲量身定制一般。我們這里只討論三種量子化結(jié)構(gòu)，即非對(duì)易關(guān)系、波函數(shù)和狄拉克δ-函數(shù)。

1.非對(duì)易關(guān)系

對(duì)于一種現(xiàn)象，找到其中的某種非對(duì)易關(guān)系（簡(jiǎn)單說(shuō)，就是不滿足交換律的意思），就意味著將其量子化，學(xué)名叫正則量子化。數(shù)學(xué)中的矩陣乘法AB=BA 不成立，不滿足對(duì)易關(guān)系，而滿足非對(duì)易關(guān)系，所以最初海森堡量子力學(xué)又稱為矩陣力學(xué)。兩個(gè)語(yǔ)言行為，孰先孰后，顯然結(jié)果不同，對(duì)順序敏感。這里以廣為人知的“20問(wèn)題游戲”為例，說(shuō)明何以如此。

所謂“20 問(wèn)題游戲”，是個(gè)兩人游戲。其中一人心里想定某事或某物，另一人通過(guò)順序地問(wèn)些“是否”類問(wèn)題。比如對(duì)方心里想定的是蘋果，你可以順序地問(wèn)，是用的嗎，是活物嗎，能吃嗎，是蔬菜嗎，是水果嗎等等。顯而易見，問(wèn)題的順序不同，離猜出是蘋果的遠(yuǎn)近也會(huì)不同。所以，問(wèn)題序列對(duì)順序敏感，滿足非對(duì)易關(guān)系。這樣的語(yǔ)言游戲，當(dāng)然是一種常見的生活形式。一個(gè)小孩哭了，大人會(huì)問(wèn)，是餓了嗎，要上廁所嗎，要玩具嗎，等等。最后發(fā)現(xiàn)，孩子就是想讓大人抱抱，要的是大人的注意力和安全感。20 問(wèn)題游戲具有清楚明確的融貫性標(biāo)準(zhǔn)，是典型的語(yǔ)言游戲。在非對(duì)易關(guān)系的意義下，語(yǔ)言游戲是量子化的。非對(duì)易關(guān)系，是一種代數(shù)結(jié)構(gòu)。換言之，語(yǔ)言游戲攜帶一種代數(shù)結(jié)構(gòu)。

2.波函數(shù)

波函數(shù)是量子力學(xué)和量子場(chǎng)論的基礎(chǔ)性概念?？梢哉f(shuō)，語(yǔ)言游戲正可為波函數(shù)所刻畫。我們以標(biāo)準(zhǔn)教育考試，例如美國(guó)SAT考試和中國(guó)的高考，來(lái)說(shuō)明這一點(diǎn)。一個(gè)考試，相當(dāng)于一個(gè)語(yǔ)言游戲，既是常見的生活形式，又有清晰的融貫性標(biāo)準(zhǔn)，尤其是考試的閱讀理解部分，是考查考生的語(yǔ)言能力。在維特根斯坦看來(lái)，語(yǔ)言就是語(yǔ)言游戲，語(yǔ)言游戲就是語(yǔ)言。所以，標(biāo)準(zhǔn)教育考試是典型的語(yǔ)言游戲。

一個(gè)考試，無(wú)論考題內(nèi)容是什么，只要考題內(nèi)容是用文字給出的，并要求以文字作答，用實(shí)驗(yàn)心理學(xué)的話說(shuō)，就叫做語(yǔ)言任務(wù)（verbal task）。語(yǔ)言任務(wù)，考察對(duì)象并不一定是，且多半不是語(yǔ)言能力本身，可以是推理能力、決策能力、理解能力，或任何其他能力。這些能力都是生活形式，也都有其融貫性標(biāo)準(zhǔn)。也就是說(shuō)，這些語(yǔ)言任務(wù)，就相當(dāng)于語(yǔ)言游戲。這些語(yǔ)言任務(wù)都帶有自不待言的規(guī)則。從心理學(xué)的角度說(shuō)，正是這些規(guī)則，區(qū)分了推理任務(wù)與決策任務(wù)。

為什么要考試呢？因?yàn)榭忌哪芰κ遣豢芍苯佑^測(cè)的。假設(shè)考生能力是A，考試是b，考試一道道題給出去，考生一個(gè)個(gè)答案給出來(lái)，考生能力就成為考試的一種函數(shù)，在物理學(xué)中稱為波函數(shù)。量子力學(xué)研究的就是波函數(shù)的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)演化。所以，這里的波函數(shù)是語(yǔ)言游戲攜帶的一種物理學(xué)結(jié)構(gòu)。前面講過(guò)，波函數(shù)的意義是其振幅；所以，這里的語(yǔ)言游戲又可稱為振幅游戲。波函數(shù)的振幅是復(fù)數(shù)的模方，所以，這里的語(yǔ)言游戲還攜帶有數(shù)學(xué)的復(fù)數(shù)域結(jié)構(gòu)。

一般地，盡量貼近維特根斯坦的概念，語(yǔ)言游戲是生活形式的語(yǔ)言化表現(xiàn)。這其實(shí)相當(dāng)于認(rèn)為，語(yǔ)言游戲本身就是生活形式的波函數(shù)。生活形式不是先驗(yàn)的，而應(yīng)該是經(jīng)驗(yàn)的。所以生活形式不是確定的，例如，沒有人能預(yù)料元宇宙中所有可能的生活形式。用物理學(xué)的話說(shuō)，就是對(duì)可能生活形式的觀測(cè)，尤其是未來(lái)生活形式的觀測(cè)，具有很高干擾度。但是，每當(dāng)出現(xiàn)一種可表達(dá)的生活形式，就會(huì)伴隨性地出現(xiàn)一種語(yǔ)言游戲。所以，語(yǔ)言游戲是生活形式的函數(shù)。由于在觀測(cè)中具有高干擾度，用狄拉克的話說(shuō)，我們所能觀測(cè)到的，或可能經(jīng)驗(yàn)的生活形式或世界圖式只能是微觀世界。所以，語(yǔ)言游戲作為生活形式的函數(shù)，只能是波函數(shù)。

3.狄拉克δ-函數(shù)

假設(shè)在考試中，每道題都有正確答案。這個(gè)正確答案叫作這道題的支撐點(diǎn)。用度量理論的話說(shuō)，這里，一道考題把考生能力壓縮成了一個(gè)點(diǎn)，教科書里說(shuō)可以將支撐點(diǎn)想象成一條項(xiàng)鏈的墜子。按照馮諾依曼的說(shuō)法，量子力學(xué)實(shí)驗(yàn)都是“是/非”類實(shí)驗(yàn)。設(shè)有一套實(shí)驗(yàn)裝置和一個(gè)粒子捕捉器。當(dāng)實(shí)驗(yàn)裝置“認(rèn)為”自己激發(fā)了一個(gè)粒子，如果這個(gè)粒子被捕捉器探測(cè)到了，則說(shuō)這個(gè)粒子進(jìn)了“是門”。如果這個(gè)粒子未被捕捉到，量子物理說(shuō)這個(gè)粒子進(jìn)了“非門”。而牛頓物理則說(shuō)這個(gè)粒子壓根就未曾被激發(fā)，實(shí)驗(yàn)裝置不能自認(rèn)為任何事情發(fā)生或未發(fā)生。這就是兩種物理學(xué)之間的區(qū)別。這樣的“是/非”類實(shí)驗(yàn)由數(shù)學(xué)狄拉克δ-函數(shù)所刻畫，其公式表達(dá)如下：

注意，狄拉克δ-函數(shù)最初不是一個(gè)良定義的間斷函數(shù)。當(dāng)x=x0時(shí)，δ(x)=∞，可以直觀地理解為，將一把尺子的所有質(zhì)量都?jí)嚎s到一點(diǎn)，好像成為一條項(xiàng)鏈。那一點(diǎn)上的質(zhì)量被假設(shè)為無(wú)窮大。這層意思，可在數(shù)學(xué)泛函分析中找到。理論物理中的重整化方法，就是為了消去某點(diǎn)上可能出現(xiàn)的無(wú)窮大能量。這是所謂類點(diǎn)數(shù)學(xué)的一個(gè)局限性，也是發(fā)展弦論數(shù)學(xué)的動(dòng)機(jī)之一。公式中的x0就是支撐點(diǎn)。注意，δ-函數(shù)由兩條公式組成，第二條公式是一個(gè)積分式，意思是說(shuō)，無(wú)論在認(rèn)識(shí)論的意義下，粒子被激發(fā)后進(jìn)了是門還是非門，在本體論的意義下，我們都要承諾粒子被激發(fā)了。這就像一個(gè)考生，無(wú)論把題做對(duì)了還是做錯(cuò)了，我們都承認(rèn)他確實(shí)努力解題了。用西方法哲學(xué)的話說(shuō)，量子力學(xué)奉行的是無(wú)罪推論原則。我們注意到，在上面的積分公式中，δ-函數(shù)成為一個(gè)被積函數(shù)，在度量理論中稱為檢測(cè)函數(shù)。檢測(cè)函數(shù)要求存在至少一個(gè)支撐點(diǎn)。

按照維特根斯坦的說(shuō)法，語(yǔ)言游戲總是伴隨著一個(gè)更大的心理游戲。這個(gè)心理游戲是由生活形式轉(zhuǎn)換成語(yǔ)言游戲的中間過(guò)程。很難想象，如果沒有了各種支撐點(diǎn)，一個(gè)心理生命還能否延續(xù)。而如果心理生命不在了，又還有什么心理游戲可言。由此可見，作為一個(gè)命題，語(yǔ)言游戲，至少一大類語(yǔ)言游戲，攜帶δ-函數(shù)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，簡(jiǎn)稱狄拉克結(jié)構(gòu)。換句話說(shuō)，當(dāng)語(yǔ)言游戲?yàn)榱孔恿W(xué)或量子場(chǎng)論模型化時(shí)，它被賦予了狄拉克結(jié)構(gòu)。再換句話說(shuō)，狄拉克結(jié)構(gòu)是語(yǔ)言游戲的題中應(yīng)有之義。

（四）語(yǔ)言社會(huì)與效率

1.語(yǔ)言優(yōu)勢(shì)與彎曲空間

我們現(xiàn)在暫時(shí)離開語(yǔ)言游戲概念。也就是說(shuō)，這里假設(shè)我們沒有讀過(guò)維特根斯坦語(yǔ)言哲學(xué)，而要直接討論我們習(xí)慣于稱之為日常語(yǔ)言的語(yǔ)言。從心理學(xué)的角度說(shuō)，人們的語(yǔ)言能力是不同的，存在著顯著的個(gè)體差異。我們知道，無(wú)論是在日常生活中，還是在某些特定的場(chǎng)合，比如標(biāo)準(zhǔn)教育考試中，個(gè)體語(yǔ)言優(yōu)勢(shì)都是一種稀缺資源。在這個(gè)意義下，語(yǔ)言社會(huì)是不平等的。從幾何學(xué)說(shuō)，語(yǔ)言社會(huì)不是平直空間，而是凹凸不平的彎曲空間。廣義相對(duì)論的數(shù)學(xué)背景是黎曼幾何，而黎曼空間是一種彎曲空間。所以在物理學(xué)中，廣義相對(duì)論被稱為物理學(xué)的幾何化綱領(lǐng)。在本節(jié)中，將應(yīng)用廣義相對(duì)論來(lái)討論語(yǔ)言社會(huì)的模型化。在討論中，將應(yīng)用一些經(jīng)濟(jì)學(xué)中的概念

既然語(yǔ)言優(yōu)勢(shì)是一種稀缺資源，就會(huì)存在競(jìng)爭(zhēng)。這是語(yǔ)言社會(huì)的張力。還是用維特根斯坦的話說(shuō)，語(yǔ)言游戲總是伴隨著更大的心理游戲。語(yǔ)言優(yōu)勢(shì)往往是心理優(yōu)勢(shì)的根源，語(yǔ)言劣勢(shì)也往往是心理劣勢(shì)的根源。有人說(shuō)，語(yǔ)言優(yōu)勢(shì)是自信的底氣，就是這個(gè)意思。所以，語(yǔ)言期是心理生命的重要體征。既然存在語(yǔ)言優(yōu)勢(shì)的競(jìng)爭(zhēng)，語(yǔ)言社會(huì)就自然會(huì)涉及語(yǔ)言優(yōu)勢(shì)資源的有效配置問(wèn)題，也就是要涉及效率的概念，可稱之為語(yǔ)言經(jīng)濟(jì)學(xué)。這不是故作玄虛，想想中國(guó)高考和美國(guó)標(biāo)準(zhǔn)教育考試，你的神經(jīng)就會(huì)緊張起來(lái)了，迅速找到一種經(jīng)濟(jì)感。

在福利經(jīng)濟(jì)學(xué)中，有一個(gè)重要的理論基石，叫做帕累托效率。意思是說(shuō)，社會(huì)福利配置達(dá)到了這樣一個(gè)狀態(tài)，其中不能在提高某個(gè)個(gè)體福利時(shí)，而不同時(shí)降低其他個(gè)體的福利。這樣的狀態(tài)，稱為帕累托效率狀態(tài)，簡(jiǎn)稱帕累托狀態(tài)。帕累托狀態(tài)是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一個(gè)基礎(chǔ)性概念。它顯然是一種理論上的理想狀態(tài)，在現(xiàn)實(shí)中難以實(shí)現(xiàn)，也從來(lái)沒有實(shí)現(xiàn)過(guò)。然而，無(wú)論在自然科學(xué)還是在社會(huì)科學(xué)中，模型化從來(lái)都意味著對(duì)現(xiàn)象的某種理想化處理。這有點(diǎn)像蒙眼摸象，要設(shè)法爭(zhēng)取摸到鼻子，因?yàn)橐幻奖亲泳涂膳袛喑鲞@只能是大象鼻子而不會(huì)是其他動(dòng)物的鼻子。模型化同時(shí)意味著特征化。

2.語(yǔ)言社會(huì)的引力

現(xiàn)在，讓我們來(lái)構(gòu)造一個(gè)語(yǔ)言社會(huì)的帕累托狀態(tài)。考慮一個(gè)純語(yǔ)言類考試，類似于美國(guó)托福或中國(guó)英語(yǔ)六級(jí)考試。假設(shè)考試測(cè)評(píng)是動(dòng)態(tài)平衡的，即所有考生成績(jī)加在一起的總分?jǐn)?shù)是給定的。這樣，如果改動(dòng)任何一個(gè)考生的成績(jī)，就不能不改變某個(gè)或某些其他考生的成績(jī)。這就是一個(gè)帕累托福利狀態(tài)，因?yàn)槌煽?jī)即是福利。然后，將每個(gè)考生的成績(jī)以任意方式連接起來(lái)（顯然連接方式不是唯一的），將得到一條曲線，稱其為帕累托路徑。每個(gè)考生在考前或考后，都會(huì)對(duì)自己的成績(jī)有所期待或希望有所改進(jìn)，這個(gè)意向以帕累托路徑上每點(diǎn)的切向量表示。這種切向量一般方向不同，但長(zhǎng)度為零，因?yàn)檫@是帕累托狀態(tài)，每個(gè)考生的成績(jī)是不能變動(dòng)的。長(zhǎng)度為零的向量稱為退縮向量（isovector）。我們說(shuō)，所有退縮向量都是擬平行的，所以帕累托路徑是一條最短徑，幾何上稱為測(cè)地線。然而，考生的期待或改進(jìn)意向與其在測(cè)地線上標(biāo)示的成績(jī)是有差異的。這個(gè)差異，用費(fèi)曼在其《物理學(xué)講義》里的話簡(jiǎn)略地說(shuō)，就是曲率。在廣義相對(duì)論中，愛因斯坦說(shuō)引力就是曲率。這樣，我們就在不平等的語(yǔ)言社會(huì)中，引入了引力概念，稱其為語(yǔ)言引力。

語(yǔ)言游戲這個(gè)詞組的英文是language game，game 又可譯為博弈。在維特根斯坦的用法里，語(yǔ)言游戲沒有輸贏可言，沒有博弈的意思。在維氏語(yǔ)言哲學(xué)中，語(yǔ)言游戲總是伴隨著心理游戲。從上例中關(guān)于語(yǔ)言考試的分析中，我們先在語(yǔ)言游戲中引入博弈機(jī)制。這在邏輯上沒有障礙，因?yàn)樵诰S氏語(yǔ)言哲學(xué)中，語(yǔ)言是公共的，沒有私人語(yǔ)言?？墒牵覀冎?，心理是私人的。那么，如何在心理游戲中植入博弈機(jī)制呢？下面將解釋，兩者是通過(guò)規(guī)范變換而相互聯(lián)絡(luò)的。

3.規(guī)范變換與聯(lián)絡(luò)我們通過(guò)圖1來(lái)直觀地說(shuō)明什么是規(guī)范變換。這張圖坐落在一個(gè)稱為底流形（微分幾何概念）的范圍內(nèi)。如圖1所示，區(qū)域X為個(gè)體x的語(yǔ)言能力鄰域，區(qū)域Y 為個(gè)體y 的語(yǔ)言能力鄰域。分別對(duì)兩個(gè)單獨(dú)鄰域做測(cè)試沒有博弈意義。從鄰域X生出的豎線A 表示個(gè)體x 的心理規(guī)范勢(shì)，而豎線B是個(gè)體y 的心理規(guī)范勢(shì)。注意，勢(shì)點(diǎn)a 和勢(shì)點(diǎn)b 是不可直接比較的，因勢(shì)線A 與勢(shì)線B 不相交，兩者之間沒有數(shù)學(xué)運(yùn)算可言。要在個(gè)體x 和個(gè)體y 的語(yǔ)言能力之間做比較，就只能在X和Y兩個(gè)鄰域的交集C上給一個(gè)考試。令c點(diǎn)表示一道考題。映射α將勢(shì)點(diǎn)a 映射到考點(diǎn)c，再將其通過(guò)β逆射到勢(shì)點(diǎn)b，使得將勢(shì)點(diǎn)a 變換到勢(shì)點(diǎn)b。這種變換，gαβ=αβ-1，稱為規(guī)范變換。這里的考試，應(yīng)該是一種較復(fù)雜的投影，其內(nèi)部機(jī)制值得后續(xù)擴(kuò)充討論。

圖1

以上圖示及其概括解釋，用的是數(shù)學(xué)微分幾何中的纖維叢語(yǔ)言。廣義相對(duì)論的數(shù)學(xué)是黎曼幾何。黎曼空間是一種彎曲空間，在其上已經(jīng)失去了笛卡爾平直坐標(biāo)系。這就要求在每一點(diǎn)的小鄰域上建立局域標(biāo)架，還要建立局域標(biāo)架之間的聯(lián)絡(luò)。這些內(nèi)容，超出了本文范圍。要點(diǎn)是，當(dāng)在語(yǔ)言社會(huì)中引入競(jìng)爭(zhēng)機(jī)制并為廣義相對(duì)論所模型化時(shí)，就在語(yǔ)言社會(huì)中嵌入了黎曼空間結(jié)構(gòu)。這些，當(dāng)然已經(jīng)超越了維特根斯坦語(yǔ)言哲學(xué)的范圍。

（五）一般討論

我們?cè)谇把灾姓f(shuō)過(guò)，本文在討論語(yǔ)言和語(yǔ)言行為的陳述中有三條脈絡(luò)。第一條脈絡(luò)是布爾巴基學(xué)派結(jié)構(gòu)主義。本文引入了語(yǔ)言，特別是科學(xué)語(yǔ)言中的句法/語(yǔ)義雙腿結(jié)構(gòu)，涵蓋了邏輯學(xué)、決策論、博弈論、集合論和規(guī)范場(chǎng)論。我們介紹了哥德爾和塔斯基雙子定理中創(chuàng)造的各種精細(xì)形式結(jié)構(gòu)和元數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。我們?cè)趯?duì)語(yǔ)言游戲的考察中，引入了語(yǔ)言錐結(jié)構(gòu)以及語(yǔ)言游戲固有錐結(jié)構(gòu)，引入了非對(duì)易關(guān)系代數(shù)結(jié)構(gòu)，代數(shù)空間的度規(guī)結(jié)構(gòu)，波函數(shù)與狄拉克δ-函數(shù)結(jié)構(gòu)，黎曼幾何局域標(biāo)架結(jié)構(gòu)，規(guī)范變換的纖維叢結(jié)構(gòu)。尤其重要的，是規(guī)范場(chǎng)論的雙層雙級(jí)四格結(jié)構(gòu)。

第二條脈絡(luò)是應(yīng)用理論物理對(duì)語(yǔ)言和語(yǔ)言行為的模型化。第一，我們發(fā)現(xiàn)了語(yǔ)言的全局性和語(yǔ)言行為的局域性，從而建立了兩者統(tǒng)一的規(guī)范場(chǎng)論模型。第二，在假設(shè)語(yǔ)言無(wú)內(nèi)容性的條件下，我們對(duì)語(yǔ)言和語(yǔ)言行為分別做了幾何錐化處理，從而建立了語(yǔ)言與語(yǔ)言行為的狹義相對(duì)論模型。第三，我們發(fā)現(xiàn)了語(yǔ)言行為的非對(duì)易關(guān)系，語(yǔ)言游戲的波函數(shù)本質(zhì)，以及對(duì)語(yǔ)言行為公共觀測(cè)的狄拉克結(jié)構(gòu)。在此基礎(chǔ)上，我們引入了語(yǔ)言和語(yǔ)言行為的量子化模型。第四，引入了語(yǔ)言優(yōu)勢(shì)的概念作為稀缺資源，注意了語(yǔ)言社會(huì)的不平等現(xiàn)象，從而將語(yǔ)言社會(huì)做了彎曲化處理。在語(yǔ)言游戲中引入競(jìng)爭(zhēng)機(jī)制和帕累托效率，進(jìn)而定義了彎曲語(yǔ)言社會(huì)的曲率和引力。于是，引入黎曼幾何中的局域標(biāo)架與聯(lián)絡(luò)成為題中應(yīng)有之義。這是語(yǔ)言社會(huì)的廣義相對(duì)論模型。

第三條脈絡(luò)是維特根斯坦語(yǔ)言哲學(xué)的變遷與發(fā)展。首先，我們注意到了早期維特根斯坦對(duì)語(yǔ)言，尤其是形式語(yǔ)言規(guī)則化的追隨與訓(xùn)練。其次，我們還注意了中期維特根斯坦的掙扎與求索。從對(duì)形式語(yǔ)言的哥德爾不完性定理，悟到了語(yǔ)言游戲的規(guī)則不完全性原理。從語(yǔ)言行為提煉出語(yǔ)言游戲的概念，是天才的神來(lái)之筆。進(jìn)而，我們注意了后期維特根斯坦對(duì)主觀確定性的回歸，及其對(duì)語(yǔ)言游戲規(guī)則化的追求與信仰。最后，在語(yǔ)言游戲和生活形式的概念轉(zhuǎn)換之間，他終于在其世界圖式中找到了心理游戲不可或缺的位置。這樣，維特根斯坦就為我們蹚出了語(yǔ)言和語(yǔ)言行為的心理化路徑。

一個(gè)多世紀(jì)前，希爾伯特的理想是為數(shù)學(xué)大廈構(gòu)筑堅(jiān)實(shí)的邏輯基礎(chǔ)，半個(gè)多世紀(jì)前，愛因斯坦的理想是為四種自然力建立統(tǒng)一場(chǎng)論，筆者的理想是鑿穿社會(huì)科學(xué)與自然科學(xué)尤其是數(shù)學(xué)物理之間的壁壘，架設(shè)兩者之間的橋梁，為知識(shí)生命追求更美好的生活。經(jīng)過(guò)努力，這個(gè)理想正在逐步實(shí)現(xiàn)。

致謝：江怡教授曾為本文涉及維特根斯坦部分提供中肯意見和有益討論。作者在美國(guó)倫斯勒理工學(xué)院的課程中講授過(guò)本文內(nèi)容，也感受到學(xué)生的鼓勵(lì)。作者感謝匿名審稿人專業(yè)中肯的修改建議。