祁曉莉

解答數(shù)列求和問題的技巧有很多種，如錯位相減、裂項相消、分組求和、倒序相加等.每種求和方法的特點、適用情形都不相同.本文重點談一談求數(shù)列的和的兩種技巧：錯位相減、裂項相消.

一、錯位相減

若一個數(shù)列的通項公式為一個等差數(shù)列、一個等比數(shù)列通項公式的乘積，則可采用錯位相減的方法來求數(shù)列的和.在解題時，需首先寫出數(shù)列的和式，設其為 Sn ，然后在和式的左右同時乘以等比數(shù)列的公比 q，再將兩式作差，得 Sn - qSn，化簡所得的結果，即可求得數(shù)列的和.在作差時，需將其中一個和式錯開一位，以便使q 的指數(shù)冪相同的項相減，這樣有利于提升運算的效率.

例1.已知等差數(shù)列an的首項為1，等比數(shù)列bn的首項為1，公比 q >0.若 a3+ b3= 21，a5+ b5= 13.（1）求和的通項公式;（2）求數(shù)列的前 n 項和.

解：（1）略;

（2）由（1）可得

仔細觀察的通項公式，可發(fā)現(xiàn)該式由等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式的乘積構成.求得等比數(shù)列的公比，便可通過錯位相減來求得數(shù)列的和.

二、裂項相消

有些數(shù)列的通項公式為分式，我們很難快速求得數(shù)列的和，可將數(shù)列的通項公式裂為兩項之差的形式，如等.在求和時，中間的部分項便可相互抵消，這樣就能順利求得數(shù)列的和.在運用裂項相消法求和時，要注意三點：①根據(jù)通項公式的特點尋找裂項的規(guī)律;②要確保裂開的前后項的絕對值相同，符號相反;③重新組合后，前面剩下的項數(shù)與后面剩下的相同.

例2.

分析：仔細觀察可發(fā)現(xiàn)，數(shù)列的通項公式為

解：

在運用裂項相消法求數(shù)列的和時，需先仔細觀察數(shù)列的通項公式，明晰其規(guī)律和特征，對其進行合理的裂項，這樣便能為求和創(chuàng)造有利的條件.

例3.

解：

，

因此，

我們將，再將各項相加，便能使中間的部分項相互抵消，從而求得數(shù)列的和.

求解數(shù)列求和問題，需重點研究數(shù)列的通項公式、和式，可對其進行適當?shù)淖冃?，如在和式的左右同乘以公比、將通項公式裂項，以明晰其中的?guī)律和特點，為求和鋪平道路.

（作者單位：甘肅省平涼市靈臺縣第一中學）