胡奇云

比較對數式大小問題的難度一般不大，常以選擇、填空題的形式出現(xiàn).此類問題側重于考查對數函數的單調性、圖象、定義域、值域、運算性質以及指對數互化的技巧.雖然同學們已基本掌握了比較同底數、同真數的對數大小的方法，但是很多問題中通常會給出若干個底數、真數均不相同的對數，需靈活運用一些方法、技巧，將對數式轉化為同底數或同真數的對數，或者將問題轉化為其他形式的問題進行求解.下面介紹幾種比較對數式大小的常用方法：中間量法、反函數法、作商法、作差法、取整數法、構造函數法以及特殊值法.

一、中間量法

對于底數、真數均不同的對數式，可采用中間量法來比較其大小.首先要找到一個合適的中間值，使其與要比較的兩個對數式構成同底數或同真數的對數式，然后根據對數函數的性質分別比較出兩個對數式與中間值的大小，最后根據不等式的傳遞性比較出兩個對數式的大小.在選取中間量時，可根據對數函數的特殊點進行參照和比較，常用的中間量有0、1、等.以求 log54的取值范圍為例，log54對應的對數函數為 y =log5x，可將 log51=0、log55= 1和 log5? =? 等作為中間量.根據函數 y =log5x 的單調性，得 log54< log55= 1， log54>log51=0 ， log54> log5? =? ，可得<log54< 1.運用中間量法解題比較簡便且不易出錯，還可以借助除0 和1 以外的中間量來縮小對數式的取值范圍.

例1.已知 a =log52 ， b =log83 ， c = ，則（? ）.

A. c <b <a&nbsp;?? B. b <a <c??? C. a <c <b?? D. a <b <c

解：因為 a =log52<log5? =? ，

b =log83>log82 =? ，

故 a <c <b，所以本題應選C.

給出的三個數中有一個為常數，而其他兩個數為底數與真數均不相同的對數，可選取作為中間量，來構造同底的對數 log5? =? 、log82? =? ，再將其與兩個對數進行比較，即可快速判斷出兩個對數式的大小.

例2.設a =log20.3，b =log10.4，c =0.40.3，則a，b，c的大小關系為（? ）.

A. c < b <a??? B. b <a <c??? C. a <c < b?? D. a < b <c

解：因為 a =log20.3<log21=0，

根據對數運算性質可得

b =log 0.4=log2 >log22=1，

而0 <c =0.40.3<0.40= 1，

故 a <c <b，所以本題選C.

仔細觀察已知條件可發(fā)現(xiàn)a、 b 為對數式、c 為指數式.對于這類問題，需借助中間量來確定三個數的取值范圍.于是取1、0作為中間量，首先確定c 的取值范圍，然后構造同真數或同底數的對數，將 a 與0比較、1與b 比較.在選取中間量時，可參照要比較的對數式，再將中間量轉化為同真數或同底數的對數，這樣便可直接利用對數函數的單調性來比較大小.

二、反函數法

我們知道，指數函數與對數函數互為反函數，對數式的定義域為其反函數的值域，對數式的值域為其反函數的定義域.在比較對數式的大小受阻時，可采用反函數法，將對數式轉化為指數式，求其定義域，即可快速確定對數式的取值范圍，從而比較出兩個對數式的大小.

例3.已知log2x =log3y =log5z <0，則（? ）.

A. x < y < z????? B. y < x < z

C. z < x < y????? D. z < y < x

解：令log2x =log3y =log5z =m <0，

則2m =x ， 3m =y ， 5m =z，

即2m -1 =? ， 3m -1 =? ， 5m -1 =? ，

因為 m -1 <0，所以<<，

故 x < y < z ，故本題選A.

由于 x、 y、 z 為變量，所以很難比較出、、

三者的大小，于是運用反函數法，將其轉化為指數式，求得 x、 y、 z 的表達式，然后根據指數函數 y =2x、 y =3x、y =5x 的性質、圖象，比較出三個對數式的大小.

三、作商法

有些對數式的取值范圍比較接近，我們很難比較出它們的大小，此時采用作商法來進行比較.首先將兩個對數式作商，然后根據對數的運算性質：logaMn = n logaM，loga（M ·N）=m +n，loga（）=logaM -logaN以及換底公式logab = logca來將商式化簡，再把所得的結果與1進行比較，若>1 ，則 a > b;若<1 ，則 a < b;若? =1，則 a = b .

例4.已知55< 84 ， 134< 85.設 a = log53 ， b = log85 ， c = log138，則（? ）.

A. a < b <c

B. b < a < c

C. b <c <a

D. c <a <b

解：因為? =? = log53? log58<（? 2?? ）2=（ 2 ）2<（ 2 ）2= 1，

故 log85< 1，即 b >a .

由b =log85 ， c =log138，得8b=5 ， 13c = 8，因為85b = 55< 84 ， 135c = 85> 134，

所以5b <4 ， 5c >4，即 b <? ， c >，故 c >b .綜上可得a <b<c，所以本題選A.

本題中對數式的底數與真數均不相同，但底數與真數之間有一定的聯(lián)系，于是采用作商法進行比較.通過作商將底數、真數關聯(lián)起來，利用基本不等式和換底公式判斷出比值與1 的大小關系.

四、作差法

對于取值范圍比較接近的對數式，我們也可采用作差法來進行比較，其思路與作商法較為相似.首先將兩個對數式作差，然后根據對數的運算性質以及換底公式來化簡差式，再把所得的結果與0進行比較，若 a -b >0 ，則 a >b;若 a -b <0 ，則 a <b;若 a -b =0 ，則 a = b .

例5.設 x ， y ， z 為正數，且2x =3y =5z，則（? ）.

A.2x <3y <5z????? B.5z <2x <3y

C.3y <5z <2x????? D.3y <2x <5z

解：

所以本題選A.

將兩對數式作差后，便可根據對數運算的性質將不同底數的對數式化為同底數的對數式，再根據對數函數 y =logmx的單調性即可比較出三個式子的大小.

五、取整數法

若對數的真數大于底數，則可采用取整數法來比較對數式的大小.根據對數的運算性質，將對數式整合為“整數+ 新對數”的形式.這樣便能將對數式簡化，比較新對數的大小即可解題.

例6.已知a =log36 ， b =log510 ， c =log714，則（? ）.

A. c >b >a????? B. b >c >a

C. a >c >b????? D. a <b <c

解：因為 a =log36= 1+log32 ， b =log510= 1+log52 ， c =log714= 1+log72，

而log32>log52>log72，

故 log36>log510>log714，即 a >c >b，

所以本題選C.

在提取整數后，對數的真數值發(fā)生改變，若出現(xiàn)同真數的對數式，則比較容易比較兩式的大小;若沒有，可通過構造中間量，根據對數函數的單調性來進行比較.

六、構造函數法

有些對數式的結構類似，如底數相同、真數相同，此時可根據對數式構造出相應的函數模型，將問題轉化為對數函數問題，利用函數的單調性、奇偶性、對稱性等性質來比較兩式的大小.

例7.若2a +log2a =4b +2log4b，則（? ）.

A. a >2b?? B. a <2b?? C. a >b2?? D. a <b2

解：將2a +log2a =4b + 2log4b 變形得2a +log2a =22b +log2b，

設 f（x）=2x +log2x，

因為 f（a）-f（2b）=2a +log2a -（22b +log22b）=22b +log2b -（22b +log22b）=log2b -log22b =log2 =-1<0，

且 f（x）在（0 ， +∞）上為單調增函數，

所以 f（a）<f（2b），故 a <2b，所以本題選B.

已知關系式左右兩邊式子的結構類似，于是構造函數 f（x）=2x +log2x，利用函數的單調性來比較兩個對數式的大小.

七、特殊值法

對于含有較多變量或參數的對數式，我們可選取適當的特殊值，將其代入對數式中進行計算，再比較所得的結果，即可比較出對數式的大小.

例8.若 a >b>1， 0<c<1，則（? ）.

A. ac <bc

B. abc<bac

C. a logbc<b logac

D. logac<logbc

解：不妨取 a =4 ， b =2 ， c =? .因為 a logbc =4?? log2 =-4，b logac =2 ? log4 =-1，所以 a logbc< b logac，故 C選項正確.

本題的各個式子中都含字母，采用常規(guī)方法很難比較出它們的大小，于是采用特殊值法，取 a =4 ， b =2 ， c = ，將其代入選項中進行驗證，即可得出正確的答案.

本文歸納了七種比較對數式大小的方法.相比較而言，取中間量法、特殊值法最為便捷，運用反函數法、作商法、作差法、取整數法、構造函數法則都需靈活運用對數函數的運算性質、圖象、單調性.

（作者單位：西華師范大學數學與信息學院）