曾海威，楊 汝，胡 維，余連德，楊 紅

（1.廣州大學(xué)物理與電子工程學(xué)院，廣州 510006；2.廣州大學(xué)機(jī)械與電氣工程學(xué)院，廣州 510006；3.廣州大學(xué)實(shí)驗(yàn)中心，廣州 510006）

基于Buck 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的DC/DC 變換器由于具有設(shè)計(jì)簡單、成本低等優(yōu)點(diǎn)，在電子器件、通信設(shè)備和汽車系統(tǒng)等工業(yè)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[1-4]。

目前，在DC/DC 變換器的穩(wěn)定性分析中已取得了許多成果，傳統(tǒng)的穩(wěn)定性分析方法包括小信號分析法、離散模型分析法、Lyapunov 函數(shù)分析法、符號序列法、切換系統(tǒng)分析法等[5-10]，上述方法均是基于變換器的近似模型分析DC/DC 變換器的穩(wěn)定性。Buck 變換器是典型的切換不連續(xù)系統(tǒng)，具有強(qiáng)非線性特性，線性化模型并不能完全反映電流連續(xù)模式Buck 變換器的動態(tài)特性。

本文在分析過程中加入了變換器功率回路的元器件寄生參數(shù)，元器件的寄生參數(shù)變化會使得變換器系統(tǒng)的穩(wěn)定性受到影響，在分析變換器穩(wěn)定性時加入電路寄生參數(shù)可有效地提高穩(wěn)定性分析的可靠性[11-12]，本文提出的分析方法可以分析元器件的寄生參數(shù)出現(xiàn)異常增大時使得變換器發(fā)生不穩(wěn)定的現(xiàn)象。本文采用不連續(xù)控制的指數(shù)穩(wěn)定分析方法則不須對變換器模型做近似化處理，可完整反映變換器的特征。

基于脈沖寬度調(diào)制PWM（pulse width modulation）型的DC/DC 開關(guān)變換器的控制通常有雙線性理論控制[13]、滑?？刂芠14]、自適應(yīng)控制[15]、魯棒控制[16]等控制方法。這些控制方法雖然具有非線性的性質(zhì)，但是僅僅確保了系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性。基于Lyapunov 函數(shù)的控制策略能夠保證系統(tǒng)在大擾動下的全局穩(wěn)定性。基于Lyapunov 函數(shù)的控制方法已在Buck-Boost 變換器[17]、Boost 變換器[18]、單相和三相并聯(lián)交流穩(wěn)壓器[19-20]中成功應(yīng)用。但上述應(yīng)用中并未涉及DC/DC 開關(guān)變換器的指數(shù)穩(wěn)定控制器，其控制的變換器非指數(shù)收斂。本文提出了一種基于Lyapunov 函數(shù)的Buck 變換器指數(shù)穩(wěn)定控制器，該控制器采用不連續(xù)反饋控制方式。在該控制器控制的變換器在啟動過程和受到大擾動時，有收斂速度快、過沖小等優(yōu)點(diǎn)。

本文針對傳統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析方法不能反映Buck 變換器切換時實(shí)際情況的問題，利用不連續(xù)控制理論的方法，提出一種新的Buck 變換器指數(shù)穩(wěn)定性分析方法，并在分析過程中加入電路寄生參數(shù)，使得該分析方法更加接近于電路運(yùn)行的實(shí)際情況。該方法不需將系統(tǒng)進(jìn)行線性化，同時也不需要構(gòu)造Lyapunov 函數(shù)對系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，可判定變換器系統(tǒng)在一定的切換律下達(dá)到指數(shù)穩(wěn)定。本文同時提出一種用于含寄生參數(shù)連續(xù)導(dǎo)通模式CCM（continuous conduction mode）Buck 變換器的不連續(xù)控制器，該控制器具有全局指數(shù)穩(wěn)定的特性，其瞬態(tài)響應(yīng)得到顯著改善。最后通過仿真和電路實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證所提指數(shù)穩(wěn)定性分析法與不連續(xù)控制器的正確性。

1 含寄生參數(shù)的Buck 變換器建模

由于建模和控制器設(shè)計(jì)過程的特殊性和復(fù)雜性，通常忽略了寄生元件。由此產(chǎn)生了簡化的理想模型，該模型有助于理解開關(guān)變換器的主要特征。然而，寄生分量的研究對于提高模型精度和動態(tài)性能具有重要意義。使用包含寄生分量的模型可以提高穩(wěn)態(tài)性能以及瞬態(tài)性能。因此，本文將電路元件寄生參數(shù)引入Buck 變換器模型中，建立Buck 變換器的含寄生參數(shù)模型。Buck 變換器工作過程如圖1 所示。

圖1 Buck 變換器的模態(tài)Fig.1 Modes of Buck converter

通過基爾霍夫電壓和電流定律，分別對應(yīng)于開關(guān)導(dǎo)通或關(guān)斷情況的微分方程可以表示如下。

開關(guān)導(dǎo)通時，有

開關(guān)關(guān)斷時，有

式中：iL為流過電感L 的電流；vC為輸出電壓；E 為輸入電壓；Ron、RL、RC、Vd分別對應(yīng)開關(guān)管S、電感L、電容C、功率二極管D 的寄生參數(shù)。

由式（1）—式（4）可得，含寄生參數(shù)CCM Buck變換器的狀態(tài)空間方程為

根據(jù)文獻(xiàn)[21]中所提出的DC/DC 增廣模型推導(dǎo)方法，由系統(tǒng)式（5）得到含寄生參數(shù)CCM Buck變換器增廣周期切換系統(tǒng)模型為

2 基于不連續(xù)控制的Buck 變換器周期切換系統(tǒng)穩(wěn)定性定理

由上文可知，CCM Buck 變換器是典型的切換不連續(xù)系統(tǒng)，文獻(xiàn)[22]提出了一種基于不連續(xù)系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性分析方法，從定義上得知，該指數(shù)穩(wěn)定性分析方法可應(yīng)用于CCM Buck 變換器中。本文以文獻(xiàn)[22]提出的理論為基礎(chǔ)，分析了含寄生參數(shù)CCM Buck 變換器的指數(shù)穩(wěn)定性。

2.1 周期切換不連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)

考慮的切換系統(tǒng)為

式中：x∈Rn為狀態(tài)向量；Ai=∈Rn×n和Bi=∈Rn×n（i=1，2）是常矩陣；T 為切換周期，T>0；Δτi為第i 個子系統(tǒng)的駐留時間，Δτi=τi-τi-1，0=τ0<τ1<…<τm-1<τm=T。顯然，這是一個有m 個非線性子系統(tǒng)的特殊切換系統(tǒng)，其特點(diǎn)是切換時刻是周期變換的，所以稱為周期切換系統(tǒng)。

引理1假設(shè)存在對稱正定矩陣P、正常數(shù)q1、q2和α（0<α<1），使得

2.2 周期切換不連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)在含寄生參數(shù)CCM Buck 變換器中的應(yīng)用

對于工作在CCM 模式的Buck 變換器而言，CCM 模式的Buck 變換器是具有2 個子系統(tǒng)的切換系統(tǒng)，如系統(tǒng)式（11），且其2 個子系統(tǒng)均為線性子系統(tǒng)，其特點(diǎn)是切換時刻是周期變換的。

令i=1，2，由系統(tǒng)式（15）得

對于含寄生參數(shù)Buck 變換器系統(tǒng)式（6）而言，其子系統(tǒng)中不存在非線性項(xiàng)，即式（15）中，B1=B2=[0 0 0]T，在引理1 與系統(tǒng)式（15）中，矩陣Ei、Fi是由非線性項(xiàng)fi[x（t）]求得，所以，E1=E2=F1=F2=[0 0 0]T，得到簡化后且適用于CCM 模式的含寄生參數(shù)Buck 變換器系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)。

推論1存在對稱正定矩陣P 以及正常數(shù)α（0<α<1），使得

則存在小的切換周期T，使得時間切換系統(tǒng)式（17）的原點(diǎn)是全局魯棒指數(shù)穩(wěn)定的。

3 CCM 模式的含寄生參數(shù)Buck變換器指數(shù)穩(wěn)定性分析

在系統(tǒng)式（11）中，假設(shè)該系統(tǒng)的工作平衡點(diǎn)為xd=[xd1xd21]T，則在系統(tǒng)式（11）工作至穩(wěn)態(tài)時，其關(guān)于工作平衡點(diǎn)的變換后，得到關(guān)于原點(diǎn)工作的系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為

本文所用含寄生參數(shù)Buck 變換器的各參數(shù)如表1 所示。

表1 Buck 變換器的參數(shù)Tab.1 Parameters of Buck converter

將表1 中的參數(shù)代入系統(tǒng)式（19）后，令α 為式（19）工作至平衡點(diǎn)時的占空比（α=xd2/E），將式（19）代入推論1 的判據(jù)式（18）中，求解式（18）的線性矩陣不等式，可以得到對稱正定矩陣P 為

所以，通過推論1 得到了該含寄生參數(shù)Buck變換器的狀態(tài)空間方程系統(tǒng)式（19）在小切換周期T 下，是關(guān)于原點(diǎn)全局魯棒指數(shù)穩(wěn)定的。

4 控制器的設(shè)計(jì)、仿真與電路實(shí)驗(yàn)

Buck 變換器的控制目標(biāo)是使輸出電壓盡可能接近參考信號（工作平衡點(diǎn)）。傳統(tǒng)的比例積分控制方案通常采用變換器的線性化模型來設(shè)計(jì)，并被廣泛用于穩(wěn)定變換器。但是，由于小信號模型在每個工作點(diǎn)處的精度不高，在大信號擾動下表現(xiàn)出很差的瞬態(tài)響應(yīng)。為了在大信號擾動下實(shí)現(xiàn)快速動態(tài)響應(yīng)并獲得全局指數(shù)穩(wěn)定性，本文提出了基于Lyapunov 函數(shù)的控制器。該控制器使用單片機(jī)對Buck變換器進(jìn)行控制。

結(jié)合式（1）～式（4），使用平均方法得到了平均模型。該模型可以表示為

式中：α 為控制系統(tǒng)輸出的占空比（0<α<1）；分別為iL、vC在切換期間的平均值。

4.1 含寄生參數(shù)的Buck 變換器開環(huán)占空比

為了后續(xù)的推導(dǎo)，本文將參考電感電流設(shè)為IL，參考輸出電壓設(shè)為VC，并假設(shè)CCM Buck 變換器工作在穩(wěn)態(tài)。將用IL與VC代替，并且在平均模型中令=0 與=0，可以得到

結(jié)合式（25）、式（26），可以得到

式中，αff為占空比前饋信號，αff使得變換器的輸出電壓緊密地跟蹤參考輸出電壓。

4.2 基于Lyapunov 函數(shù)的控制器

為了構(gòu)造基于Lyapunov 函數(shù)的控制器，首先將占空比前饋信號αff應(yīng)用于變換器，并推導(dǎo)出運(yùn)行時電感電流與輸出電壓的動態(tài)誤差。首先推導(dǎo)出電感電流誤差為ei=-IL，輸出電壓動態(tài)誤差為ev=-VC，反饋控制可表示為αfb=α-αff。將ei、ev和αfb代入式（23）、式（24），可以得到

所以，系統(tǒng)的動態(tài)誤差可以被描述為

根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性定理，當(dāng)Lyapunov 函數(shù)V（X）滿足c1||X||a≤V（X）≤c2||X||a和≤-c3||X||a，其中0

如果本文選擇儲存在電感和輸出電容中的能量作為Lyapunov 函數(shù)

式中，P=diag[L C]?？梢缘玫?/p>

計(jì)算其相對于時間的導(dǎo)數(shù)，可以得到

式中：Q=-1/2（ATP+PA）；K=1/2（BTP+PB）；F=1/2（CTPe+eTPC）。本文選擇的基于Lyapunov 函數(shù)的反饋控制器為

由式（27）和式（39）確定完整的控制輸入為

式中，αfb為基于Lyapunov 函數(shù)的反饋控制，在系統(tǒng)輸出與期望值無誤差的情況下，αfb=0，由αff控制變換器輸出。在系統(tǒng)輸出與期望值有誤差的情況下，αfb≠0，由αff、αfb共同控制變換器輸出。

上述含寄生參數(shù)Buck 變換器系統(tǒng)如圖2 所示，其中控制系統(tǒng)流程如圖3 所示。

圖2 含寄生參數(shù)Buck 變換器系統(tǒng)Fig.2 Buck converter system with parasitic parameters

圖3 含寄生參數(shù)Buck 變換器控制實(shí)現(xiàn)框圖Fig.3 Block diagram of control implementation of Buck converter with parasitic parameters

4.3 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

基于系統(tǒng)式（11）的控制率式（40）在仿真軟件中編寫式（40）所示控制率程序?？刂破鞑蓸狱c(diǎn)如圖4所示，在采樣點(diǎn)采樣相關(guān)參數(shù)進(jìn)行模數(shù)轉(zhuǎn)換后計(jì)算該周期的占空比。選取β=0.008，分別模擬以下情況：

圖4 控制器采樣點(diǎn)Fig.4 Sampling points of controller

（1）輸入電壓擾動。在參考輸出電壓VC=10 V 和輸出負(fù)載電阻R=20 Ω 的情況下，輸入電壓從40 V變?yōu)?8 V。輸入電壓E 在0～0.1 s 期間設(shè)置為40 V，在0.1～0.2 s 期間設(shè)置為48 V，在0.2～0.3 s 期間設(shè)置為40 V。

（2）輸出負(fù)載電阻擾動。在參考輸出電壓VC=10 V 和輸入電壓為48 V 下，輸出負(fù)載R 從20 Ω 變?yōu)?0 Ω。在0～0.1 s 時，輸出負(fù)載電阻設(shè)置為20 Ω，在0.1～0.2 s 時，輸出負(fù)載電阻R 設(shè)置為10 Ω，0.2～0.3 s期間，輸出負(fù)載電阻R 設(shè)置為20 Ω。

使用表1 中電路參數(shù)在指數(shù)穩(wěn)定含寄生參數(shù)的Buck 變換器中進(jìn)行上述仿真實(shí)驗(yàn)，得到在參考輸出電壓、輸入電壓和輸出負(fù)載變化時的瞬態(tài)響應(yīng)。分別將本文設(shè)計(jì)的控制器與電壓型PID 控制、峰值電流控制相比較。其中電壓型PID 控制的參數(shù)通過文獻(xiàn)[23]求得，其電路與波特圖如圖5 所示，符合文獻(xiàn)[23]的設(shè)計(jì)要求。峰值電流控制的Buck 變換器電路及波特圖如圖6 所示。

圖5 電壓型PID 控制的CCM-Buck 變換器電路及波特圖Fig.5 Circuit diagram and Bode diagram of CCMBuck converter controlled by voltage-type PID

圖6 峰值電流控制的CCM-Buck 變換器電路圖及波特圖Fig.6 Circuit diagram and Bode diagram of CCMBuck converter under peak current control

由圖5（b）中電壓型PID 控制的Buck 變換器波特圖可以得出，該系統(tǒng)的穿越頻率為5.02 kHz，相位裕度為52°，滿足文獻(xiàn)[23]中關(guān)于PID 參數(shù)設(shè)計(jì)的穩(wěn)定性條件。

由圖6（b）中峰值電流控制的Buck 變換器的波特圖可以得出，該系統(tǒng)的穿越頻率為1.31 kHz，相位裕度為45.9°，滿足文獻(xiàn)[23]中關(guān)于PI 參數(shù)設(shè)計(jì)的穩(wěn)定性條件。

CCM-Buck 變換器在輸入電壓變化及輸出負(fù)載變化下的仿真波形如圖7～圖10 所示。由圖7～圖10 測量得出表2、表3 的結(jié)果。

表2 每個控制器在輸入電壓變化下的過沖百分比和穩(wěn)定時間Tab.2 Percentage of overshoot and settling time under input voltage variations for each controller

表3 每個控制器在輸出負(fù)載變化下的過沖百分比和穩(wěn)定時間Tab.3 Percentage of overshoot and settling time under output load variations for each controller

圖7 CCM-Buck 變換器在輸入電壓變化下的仿真波形（與電壓型PID 控制的比較）Fig.7 Simulation waveforms of CCM-Buck converter under input voltage variations（compared with voltage source PID control）

圖8 CCM-Buck 變換器在輸出負(fù)載變化下的仿真波形（與電壓型PID 控制的比較）Fig.8 Simulation waveforms of CCM-Buck converter under output load variations（compared with voltage source PID control）

圖9 CCM-Buck 變換器在輸入電壓變化下的仿真波形（與峰值電流控制的比較）Fig.9 Simulation waveforms of CCM-Buck converter under input voltage variations（compared with peak current control）

圖10 CCM-Buck 變換器在輸出負(fù)載變化下的仿真波形（與峰值電流控制的比較）Fig.10 Simulation waveforms of CCM-Buck converter under output load variations（compared with peak current control）

為了對比本文所設(shè)計(jì)的指數(shù)穩(wěn)定控制器的優(yōu)越性能，同時與采用峰值電流控制的Buck 變換器對比進(jìn)行了對比，分別仿真了變換器的啟動過程與測量受到擾動時的輸出電壓過沖量，其對比結(jié)果如圖11 所示。

圖11 CCM-Buck 變換器在使用指數(shù)穩(wěn)定控制器與不同控制器的啟動過程比較Fig.11 Comparison of start-up process of CCM-Buck converter using exponential stability controller and other controllers

顯然，由圖11 可以得到指數(shù)穩(wěn)定控制器與電壓型PID 控制器、峰值電流控制器相比，指數(shù)穩(wěn)定控制器在變換器啟動時，其暫態(tài)過程的時間較另外2 種控制器更短，且過沖量為0。

4.4 電路實(shí)驗(yàn)

在電路實(shí)驗(yàn)中，測試了閉環(huán)的Buck 變換器系統(tǒng)在參考輸出電壓、輸入電壓和輸出負(fù)載變化時的瞬態(tài)響應(yīng)，參考輸出電壓為1 Hz 的方波電壓，變化值在10～12 V 之間；輸入電壓為1 Hz 的方波電壓，變化值在40～48 V 之間；輸出負(fù)載變化值在10～20 Ω之間。實(shí)驗(yàn)裝置如圖12 所示。

圖12 實(shí)驗(yàn)裝置Fig.12 Experimental setup

Buck 變換器的電路實(shí)驗(yàn)控制模塊由STC15 系列單片機(jī)構(gòu)成，通過圖2 及圖3 所示編寫程序?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)的控制。圖13 展示了應(yīng)用本文所設(shè)計(jì)控制器時的參考輸出電壓變化時實(shí)際輸出電壓的波形。由于控制器的全局指數(shù)穩(wěn)定性，即使在瞬態(tài)過程中，輸出電壓也能很好地跟蹤參考輸出電壓。圖14 展示了輸入電壓變化時實(shí)際輸出電壓的波形。圖15展示了負(fù)載電阻變化時的實(shí)際輸出電壓波形。圖16 展示了變換器啟動期間實(shí)際輸出電壓和輸入電壓的波形。在啟動瞬態(tài)過程中，控制器可以快速跟蹤低過沖的參考輸出電壓。由以上結(jié)果可知，本文所設(shè)計(jì)的Buck 變換器的指數(shù)穩(wěn)定控制器電路實(shí)驗(yàn)與計(jì)算結(jié)果、仿真結(jié)果相符。

圖13 采用本文設(shè)計(jì)的控制器時，CCM-Buck 變換器在參考輸出電壓變化下的實(shí)驗(yàn)波形Fig.13 Experimental waveforms of CCM-Buck converter under reference output voltage variations when the proposed controller is used

圖14 采用本文設(shè)計(jì)的控制器時，CCM-Buck 變換器在輸入電壓變化下的實(shí)驗(yàn)波形Fig.14 Experimental waveforms of CCM-Buck converter under input voltage variations when the proposed controller is used

圖15 采用本文設(shè)計(jì)的控制器時，CCM-Buck 變換器輸出負(fù)載變化時的實(shí)驗(yàn)波形Fig.15 Experimental waveforms of CCM-Buck converter under output load variations when the proposed controller is used

圖16 采用本文設(shè)計(jì)的控制器時，CCM-Buck 變換器在系統(tǒng)啟動過程中的實(shí)驗(yàn)波形Fig.16 Experimental waveforms of CCM-Buck converter during system startup when the proposed controller is used

5 結(jié)語

本文提出了一種新的含寄生參數(shù)Buck 變換器的指數(shù)穩(wěn)定性分析方法，該方法以非線性系統(tǒng)不連續(xù)控制的指數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)為基礎(chǔ)，推導(dǎo)得到了含寄生參數(shù)Buck 變換器的指數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)。此方法可通過簡單的線性矩陣不等式計(jì)算得到含寄生參數(shù)Buck 變換器的指數(shù)穩(wěn)定性，沒有近似處理，分析控制更接近實(shí)際情況。從仿真實(shí)驗(yàn)與電路實(shí)驗(yàn)中可以看出，指數(shù)穩(wěn)定性較一般的穩(wěn)定性相比具有動態(tài)響應(yīng)快的特點(diǎn)，該方法可推廣至一系列開關(guān)變換器中。本文也設(shè)計(jì)了一種指數(shù)穩(wěn)定的含寄生參數(shù)Buck 變換器的不連續(xù)控制器，該控制器采用不連續(xù)控制方式控制Buck 變換器。不連續(xù)控制器較一般的線性控制器而言，由于沒有近似處理不連續(xù)控制器，具有設(shè)計(jì)過程簡單、動態(tài)響應(yīng)性能好、過沖現(xiàn)象小等特點(diǎn)。不連續(xù)控制器應(yīng)用于含寄生參數(shù)Buck變換器中，其特性更符合含寄生參數(shù)Buck 變換器的非線性特性。最后通過仿真實(shí)驗(yàn)與電路實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文所提指數(shù)穩(wěn)定性分析方法及該不連續(xù)控制器的正確性與優(yōu)越性。