林建輝 賓紅華 劉小輝

[摘 要]課堂導(dǎo)入的設(shè)計(jì)直接關(guān)系到課堂教學(xué)的實(shí)際效果。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的引入環(huán)節(jié)，如何吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)所在。探究核心素養(yǎng)背景下的高中數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)入路徑，有助于將核心素養(yǎng)真正落實(shí)到課堂教學(xué)，從根本上提高課堂教學(xué)質(zhì)量。

[關(guān)鍵詞]課堂導(dǎo)入;核心素養(yǎng);高中數(shù)學(xué);基本不等式

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2022）05-0011-03

審視傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)課堂，教師一味注重知識講授和應(yīng)試技巧的訓(xùn)練，對課堂導(dǎo)入的重視不足。這種單一化的教學(xué)方式容易使學(xué)生忽視數(shù)學(xué)學(xué)科的歷史背景和應(yīng)用價(jià)值，不利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，這與新課標(biāo)所倡導(dǎo)的“立德樹人”教育理念背道而馳。因此，在核心素養(yǎng)背景下，如何應(yīng)用多樣化的導(dǎo)入方式，優(yōu)化課堂教學(xué)，成為一線教師教學(xué)研究的重點(diǎn)問題之一。本文以“基本不等式”為研究對象，分別從數(shù)學(xué)文化、實(shí)踐活動、情境創(chuàng)設(shè)、復(fù)習(xí)舊知、幾何建構(gòu)五個維度，對高中數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)入路徑進(jìn)行探索，希望可以為高中數(shù)學(xué)教與學(xué)提供一些可行性建議。

一、核心素養(yǎng)下數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)入原則

（一）趣味性

不少高中生排斥數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，究其原因是數(shù)學(xué)知識抽象難懂。因此，教師要精心設(shè)計(jì)課堂導(dǎo)入，創(chuàng)設(shè)富有趣味性的問題情境，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性，使學(xué)生積極參與課堂、享受課堂。

（二）現(xiàn)實(shí)性

數(shù)學(xué)來源于生活，應(yīng)用于生活。教師可以現(xiàn)實(shí)生活中的情境導(dǎo)入，這樣一方面可以勾起學(xué)生的回憶，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中產(chǎn)生共鳴，深刻感受到數(shù)學(xué)學(xué)科的應(yīng)用價(jià)值;另一方面可以引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實(shí)的生活情境中抽象出數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)。

（三）啟發(fā)性

傳統(tǒng)課堂上，許多教師采用講授法進(jìn)行教學(xué)，一味注重學(xué)科知識和解題模板的講授，缺乏對學(xué)生思維的啟迪，學(xué)生難以理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。現(xiàn)如今的數(shù)學(xué)課堂，提倡以“問題鏈”的形式啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)得到有效提升。

二、核心素養(yǎng)下數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)入的路徑

（一）數(shù)學(xué)文化導(dǎo)入

片段一：

師（利用多媒體展示第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)）：同學(xué)們，請看大屏幕，圖1是2002年在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的現(xiàn)場，懸掛在會場中央的是本次大會的會標(biāo)（如圖2）。會標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，弦圖構(gòu)圖巧妙，既凸顯數(shù)學(xué)的美，又蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)的奧妙。接下來，我們就一起來探究會標(biāo)中所隱含的數(shù)量關(guān)系。

為了方便研究，我們不妨將圖2中的會標(biāo)抽象成幾何圖形（如圖3）?？梢钥闯?，正方形[ABCD]由4個全等的直角三角形和正方形[EFGH]組成。

我們不妨設(shè)直角三角形的兩條直角邊長分別為[a]，[b]，那么正方形[ABCD]的邊長為[a2+b2]，正方形[EFGH]的邊長為[a-b]。你能用數(shù)學(xué)語言刻畫圖形中存在的等量關(guān)系嗎？

生1：由面積關(guān)系可知正方形[ABCD]的面積等于4個直角三角形的面積與正方形[EFGH]的面積之和，即[a2+b2=4×12ab+a-b2]。

師：很好，我們剛剛借助數(shù)學(xué)語言刻畫了弦圖中存在的等量關(guān)系。那么，弦圖背后是否隱藏著某種不等關(guān)系呢？

生2：正方形[ABCD]的面積大于4個直角三角形的面積之和，即[a2+b2>2ab]。

師：很好。如果[a=b]時(shí)，面積關(guān)系又會發(fā)生怎樣的變化呢？（運(yùn)用幾何畫板進(jìn)行動態(tài)演示）

生3：當(dāng)[a=b]時(shí)，中間的正方形[EFGH]將會縮為一個點(diǎn)，此時(shí)[a2+b2=2ab]。

師：我們得到了不等式[a2+b2≥2ab]，接下來，我們嘗試著用[a]，[b]替換表達(dá)式中的[a]，[b]，又能得到怎樣的不等關(guān)系呢？

生4：如果[a>0]，[b>0]，我們用[a]，[b]替換表達(dá)式中的[a]，[b]，可得[ab≤a+b2]，當(dāng)且僅當(dāng)[a=b]時(shí)，等號成立。

由此引入基本不等式[ab≤a+b2]。

評析：本片段以趙爽的弦圖為背景，將數(shù)學(xué)史的內(nèi)容融入課堂教學(xué)，一方面可以讓學(xué)生感受到中國古代數(shù)學(xué)的偉大成就，激發(fā)學(xué)生的民族自豪感;另一方面，弦圖的巧妙構(gòu)圖可以讓學(xué)生更加直觀地感知數(shù)學(xué)圖形的對稱美和和諧美。

（二）實(shí)踐活動導(dǎo)入

片段二：（內(nèi)容摘自史亞軍老師的“基本不等式”教學(xué)設(shè)計(jì)）

上課伊始，教師向每位學(xué)生分發(fā)兩張面積不等的正方形紙片。

教師帶領(lǐng)學(xué)生將兩張正方形紙片沿著它們的對角線對折，再沿斜邊拼接，探究兩個直角三角形的面積與矩形的面積間的關(guān)系。

師：我們不妨假設(shè)兩個正方形的面積分別為[a]和[b]（如圖4），那么我們?nèi)绾吻髨D中兩個三角形的面積之和呢？

生1：顯而易見，兩個三角形的面積之和為[a+b2]。

師：那矩形的面積又該如何求解呢？

生2：矩形的長為[a]，寬為[b]，面積為[ab]。

師：觀察圖中兩個直角三角形的面積之和與矩形的面積，它們之間存在著怎樣的不等關(guān)系呢？

生1：矩形的面積不大于兩個直角三角形的面積之和，即[ab≤a+b2]。

師：不等式[ab≤a+b2]何時(shí)等號成立呢？

生2：當(dāng)[a=b]時(shí)等號成立。

由此引入基本不等式[ab≤a+b2]。

評析：本片段中，教師以圖形的折疊與拼接為背景，鼓勵學(xué)生動手操作，使學(xué)生在活動中體會幾何圖形的面積關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的動手實(shí)踐能力和直觀想象能力。

（三）情境導(dǎo)入

片段三：（內(nèi)容摘自姚丁丁老師的“基本不等式”視頻）

教師利用多媒體展示問題情境。

“十一”黃金周，小明去黃金店購買黃金，店老板拿出一臺天平秤，將黃金放在天平秤上稱了一下，得到質(zhì)量為a克，交換一下位置重新稱量，得到質(zhì)量為b克，老板說將稱量結(jié)果相加后除以2就是黃金的“實(shí)際重量”。

師：請大家思考，小明購買黃金是賺了還是虧了？

生1：我們不妨先假設(shè)黃金質(zhì)量為[x]克，根據(jù)初中所學(xué)杠桿原理，可得[xl2=al1]（如圖5），[bl2=xl1]（如圖6），將這兩個等式聯(lián)立，可以計(jì)算得到[x2=ab]，即[x=ab]。

師：我們?nèi)绾伪容^[a+b2]和[ab]之間的大小關(guān)系？

生2：可以采用作差法進(jìn)行比較。

師：這是個好辦法，請大家嘗試。

生3：因?yàn)閇a+b2-ab=a+b-2ab2=a-b22≥0]，所以[a+b2≥ab]。

師：不等式的等號在什么情況下成立呢？

生4：當(dāng)且僅當(dāng)[a=b]即[a=b]時(shí)等號成立。

師：現(xiàn)在我們是否能夠判斷小明購買黃金究竟是賺了還是虧了呢？

生5：很明顯是虧了。

由此引入基本不等式[ab≤a+b2]。

評析：本片段中，教師以“不平衡天平秤”這一生活情境導(dǎo)入課堂，既貼近學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活，又與物理學(xué)知識相聯(lián)系，有助于激發(fā)學(xué)生的探究欲，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，發(fā)展學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)。

（四）復(fù)習(xí)導(dǎo)入

片段四：

師：在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了完全平方公式，同學(xué)們還有印象嗎？

生1：兩數(shù)差的平方等于它們的平方和減去它們乘積的2倍。

師：這位同學(xué)用文字語言描述了兩數(shù)差的完全平方公式，我們能否運(yùn)用符號語言來刻畫呢？

生2：可以表示為[x-y2=x2-2xy+y2]。

師：很好。我們知道對于任意的兩個實(shí)數(shù)[x]和[y]，[x-y2≥0]總是成立的，即[x2-2xy+y2≥0]是成立的，移項(xiàng)可得[x2+y22≥xy]，當(dāng)且僅當(dāng)[x=y]時(shí)，等號成立。

師：如果有[a>0]，[b>0]，我們不妨取[x=a]，[y=b]，通過等量替換，我們能得到怎樣的結(jié)論呢？

生3：[a+b2≥ab]（當(dāng)且僅當(dāng)[a=b]時(shí)等號成立）。

師：這是我們通過等量替換得到的，那我們可以用什么方法對它進(jìn)行嚴(yán)格的證明呢？

生4：可以采用作差法進(jìn)行證明。

因?yàn)閇a+b2-ab=a+b-2ab2=a-b22≥0]，

所以[a+b2≥ab]（當(dāng)且僅當(dāng)[a=b]時(shí)等號成立）。

由此引入基本不等式[ab≤a+b2]。

評析：本片段中，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧初中兩數(shù)差的完全平方公式，通過公式變形、等量替換以及作差法證明，導(dǎo)出基本不等式[ab≤a+b2]。

（五）幾何導(dǎo)入

片段五：

師（利用多媒體呈現(xiàn)幾何圖形，如圖7）：觀察圖7，圓的直徑為[AB]，點(diǎn)[C]是直徑[AB]上一點(diǎn)，過點(diǎn)[C]作垂直于[AB]的弦[DE]，已知[AC=a]，[BC=b]。那么，我們是否可以根據(jù)幾何圖形，求出[CD]的長度呢？

生1：可以連接[AD]，[BD]，根據(jù)射影定理可證[△ACD∽△DCB]，由于相似三角形對應(yīng)邊成比例，計(jì)算可得[CD=ab]。

師：我們可以借助已知條件求出圓的半徑嗎？

生2：由于直徑[AB=a+b]，因此半徑為[a+b2]。

師：那么，我們?nèi)绾闻袛郲a+b2]和[ab]之間的大小關(guān)系呢？

生3：[CD]的長度小于或等于圓的半徑，因此可以得到[ab≤a+b2]。

師：通過大家的討論，我們已經(jīng)得出[a+b2]和[ab]之間的大小關(guān)系，那么請大家繼續(xù)思考：上述不等式的等號在什么情況下可以取到呢？

生4：當(dāng)點(diǎn)[C]與圓心重合，即[a=b]時(shí)，不等式的等號可以取到。

由此引入基本不等式[ab≤a+b2]。

評析：本片段中，教師以幾何圖形為研究工具，啟發(fā)學(xué)生探究圓的直徑和弦長之間的大小關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出基本不等式的幾何解釋“半弦長不大于半徑”，并通過“以形助數(shù)”“以數(shù)輔形”將代數(shù)的抽象性與幾何的直觀性有機(jī)地結(jié)合起來，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

課堂導(dǎo)入方式多種多樣，教師可以借助舊知引入新知，可以聯(lián)系實(shí)際生活創(chuàng)設(shè)情境，也可以融入數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化等。不同的課堂導(dǎo)入方式都彰顯著其獨(dú)有的特色，展現(xiàn)了授課教師對于教學(xué)內(nèi)容的獨(dú)到見解。核心素養(yǎng)下的高中數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)入，不僅可以激發(fā)學(xué)生探究新知的欲望，讓學(xué)生積極探索、自主實(shí)踐，還可以讓學(xué)生在了解數(shù)學(xué)史的過程中培養(yǎng)愛國情懷。因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要根據(jù)實(shí)際情況選擇恰當(dāng)?shù)恼n堂導(dǎo)入路徑，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，不斷提高課堂教學(xué)質(zhì)量。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

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[4]? 楚長錦.“說數(shù)學(xué)”活動的內(nèi)涵分析及策略研究[D].重慶：重慶師范大學(xué)，2015.

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（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）