廣東省中山市東區(qū)松苑中學(xué)(528400) 張青

存在性問(wèn)題是命題的結(jié)論不確定的一類問(wèn)題,常以“是否有”、“是否存在”、“是否變化”等詞語(yǔ)出現(xiàn),是中考數(shù)學(xué)的常見題型,直角三角形的存在性問(wèn)題常與二次函數(shù)、一次函數(shù)有機(jī)結(jié)合起來(lái)考察,對(duì)知識(shí)的遷移能力、分析問(wèn)題和靈活運(yùn)用問(wèn)題的能力要求較高,發(fā)現(xiàn)和總結(jié)二次函數(shù)背景下直角三角形存在性問(wèn)題的解題方法,對(duì)于夯實(shí)“四基”,發(fā)展“四能”,培養(yǎng)學(xué)生的理性思維意義重大,在問(wèn)題解決的過(guò)程中,通過(guò)“學(xué)會(huì)”走向“會(huì)學(xué)”.

1 內(nèi)容分析

1.1 地位和作用

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容,以二次函數(shù)為載體的直角三角形存在性問(wèn)題,是中考的重點(diǎn)也是難點(diǎn),綜合考察了學(xué)生的運(yùn)算能力、邏輯推理能力、數(shù)學(xué)抽象能力等,借助幾何畫板的動(dòng)態(tài)直觀演示,通過(guò)本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì),幫助學(xué)生整體復(fù)習(xí)二次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理、直角坐標(biāo)系等相關(guān)知識(shí),幫助學(xué)生建立二次函數(shù)、一次函數(shù)、三角形、直角坐標(biāo)系之間的聯(lián)系,構(gòu)建更廣闊、更簡(jiǎn)約的知識(shí)體系,促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展.

1.2 思想方法

數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化

1.3 能力發(fā)展

基于二次函數(shù)背景下的直角三角形存在性問(wèn)題,建立二次函數(shù)與三角形、一次函數(shù)的聯(lián)系,在尋找問(wèn)題解決的過(guò)程中,發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力,培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理能力和直觀想象能力.

1.4 教學(xué)重點(diǎn)

學(xué)會(huì)從代數(shù)和幾何兩方面尋找基于二次函數(shù)背景下直角三角形存在性問(wèn)題的解決方法,并且解決新的問(wèn)題.

2 教學(xué)目標(biāo)

(1)回顧二次函數(shù)和直角三角形的相關(guān)性質(zhì),會(huì)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式.

(2)掌握“以二次函數(shù)為載體的直角三角形存在性問(wèn)題”的代數(shù)方法和幾何方法,領(lǐng)悟分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.

(3)結(jié)合圖像理解二次函數(shù)、一次函數(shù)、三角形之間的關(guān)系,感受數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

(4)能根據(jù)具體問(wèn)題選擇合適的數(shù)學(xué)方法,發(fā)展邏輯推理和直觀想象能力.

3 教學(xué)問(wèn)題診斷分析

3.1 學(xué)生已有的基礎(chǔ)

學(xué)生已經(jīng)復(fù)習(xí)了二次函數(shù)、一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)、勾股定理等相關(guān)知識(shí),初步理解了數(shù)學(xué)知識(shí)的相關(guān)聯(lián)系,知道了分類討論、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.

3.2 存在的困難

學(xué)生面對(duì)分類討論的問(wèn)題有“畏難心理”,很難建立函數(shù)與直角三角形之間的聯(lián)系,難以合適構(gòu)建“數(shù)學(xué)模型”,從而解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.

3.3 教學(xué)難點(diǎn)

學(xué)生難以借助“數(shù)形結(jié)合”研究數(shù)學(xué)問(wèn)題,尤其是當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在二次函數(shù)圖像上時(shí),在解決綜合問(wèn)題上有困難.

4 教學(xué)過(guò)程

4.1 知識(shí)回顧,方法滲透

例1 如圖1,已知拋物線y=-x2+bx+c與直線AB相交于A(-3,0),B(0,3)兩點(diǎn).

圖1

(1)求拋物線的解析式;

(2)設(shè)C是拋物線對(duì)稱軸上的一動(dòng)點(diǎn),求使∠CBA=90°的點(diǎn)C的坐標(biāo).

解析:(1)把點(diǎn)A(-3,0),B(0,3)代入y=-x2+bx+c易得y=-x2-2x+3.

(2) 法一(如 圖2) :過(guò)點(diǎn)B作CB⊥AB,交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C作CE⊥y軸,垂足為點(diǎn)E,∵y=-x2-2x+3,∴拋物線對(duì)稱軸為直線x=-1,∴CE=1,∵AO=BO=3,∴∠ABO=45°,∠CBE=45°,∴BE=CE=1,∴OE=OB+BE=4,∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-1,4).

圖2

法二(如圖3) :設(shè)C(-1,m),∵∠CBA=90°,根據(jù)勾股定理得AB2+BC2=AC2,即32+32+12+(3-m)2=22+m2,解得m=4.∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-1,4).

圖3

法三:設(shè)C(-1,m),∵∠CBA=90°,∴kBC ·kAB=-1,即=-1,解得m=4.∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-1,4).

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)本題的學(xué)習(xí)回顧用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式,初步體會(huì)直角三角形的性質(zhì),運(yùn)用勾股定理相關(guān)知識(shí)表示直角三角形的三邊關(guān)系,體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想方法,初步體會(huì)方法的多樣性,感受“數(shù)形結(jié)合”方法的“簡(jiǎn)潔性”.

【信息技術(shù)運(yùn)用】通過(guò)幾何畫板現(xiàn)場(chǎng)直觀展示動(dòng)點(diǎn)所在位置,以幾何畫板為載體,通過(guò)“圖文并茂和標(biāo)注顏色”直觀感受,搭建“數(shù)”與“形”的橋梁,當(dāng)∠CBA=90°時(shí),求得點(diǎn)C的坐標(biāo).

4.2 知識(shí)運(yùn)用,分類討論

例2 (2020 年內(nèi)蒙古通遼市中考試卷改編)如圖4,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A、B,與y軸交于點(diǎn)C.且直線y=x-6 過(guò)點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)D,點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱,過(guò)點(diǎn)P(2,0)作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)M,交直線BD于點(diǎn)N.

圖4

(1)求拋物線的函數(shù)解析式;

(2)在y軸上是否存在點(diǎn)Q,使得以Q,M,N三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形? 若存在,直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.

解析:(1)拋物線的解析式為:y=-x2+5x+6(略).

(2)把x=2 代入y=-x2+5x+6得M(2,12),把x=2 代入y=x-6得N(2,-4).

當(dāng)∠QMN=90°時(shí)(如圖5),QM//x軸,則Q1(0,12);

圖5

當(dāng)∠MNQ=90°時(shí)(如圖6),NQ//x軸,則Q2(0,-4);

圖6

當(dāng)∠MQN=90°時(shí),設(shè)Q(0,n).

圖7

圖8

【設(shè)計(jì)意圖】當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在一條直線上時(shí),探索不同解決問(wèn)題的辦法,感受代數(shù)和幾何方法的異同,掌握函數(shù)背景下直角三角形存在性問(wèn)題的解決方法,領(lǐng)悟“轉(zhuǎn)化”、“分類討論”和“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想方法,建立二次函數(shù)、一次函數(shù)、三角形之間的聯(lián)系,構(gòu)建知識(shí)體系.

【信息技術(shù)運(yùn)用】通過(guò)幾何畫板,搭建“數(shù)”與“形”的橋梁,通過(guò)圖形直觀,感受數(shù)學(xué)思想,將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題清晰可視化,從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.

4.3 知識(shí)升華,拓展運(yùn)用

變式練習(xí):如圖9,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.

圖9

(1) 求拋物線的解析式和直線AC的解析式;

(2)試探究:在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使以點(diǎn)A,P,C為頂點(diǎn),AC為直角邊的三角形是直角三角形? 若存在,請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析:(1)二次函數(shù)的解析式為y=-x2+2x+3,直線AC的解析式為y=3x+3.(略)

(2)解:設(shè)P(m,-m2+2m+3),當(dāng)PC⊥AC時(shí)(如圖10),過(guò)C點(diǎn)作直線l垂直于y軸,過(guò)點(diǎn)A、P分別作直線垂直于直線l,并且與直線l分別交于點(diǎn)D、E,垂足分別為點(diǎn)D、E.

圖10

圖11

【設(shè)計(jì)意圖】當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在拋物線上時(shí),通過(guò)分析問(wèn)題,發(fā)現(xiàn)利用勾股定理表示三邊關(guān)系會(huì)出現(xiàn)四次方,計(jì)算比較繁瑣,尋找其他方法,巧用“數(shù)形結(jié)合”,利用三角形相似或者三角函數(shù)可以解決問(wèn)題,感受“數(shù)形結(jié)合”方法的“間接性”,通過(guò)“學(xué)會(huì)”轉(zhuǎn)向“會(huì)學(xué)”,進(jìn)一步領(lǐng)悟“分類討論”、“轉(zhuǎn)化”、“數(shù)形結(jié)合”等思想方法.

【信息技術(shù)運(yùn)用】借助幾何畫板,感受“數(shù)形結(jié)合”思想方法的優(yōu)越性,培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力,發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力,促進(jìn)深度教學(xué).

4.4 歸納小結(jié),構(gòu)建體系

5 教學(xué)思考

5.1 以幾何畫板為催化劑,助推一題多解

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011 年版)》指出:“經(jīng)歷從不同角度尋求分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的方法的過(guò)程,體驗(yàn)解決問(wèn)題方法的多樣性,掌握分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一些基本方法[1].”讓學(xué)生通過(guò)小組合作學(xué)習(xí),借助幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示,讓學(xué)生直觀感受二次函數(shù)背景下直角三角形存在性問(wèn)題的過(guò)程,假設(shè)直角三角形存在,根據(jù)已知條件建立等量關(guān)系,得出正確結(jié)論,如果得出的結(jié)論與題意矛盾,則不存在,在解決問(wèn)題的過(guò)程中發(fā)展了學(xué)生邏輯推理能力,在運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”思想建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中,發(fā)展了學(xué)生直觀想象能力,在運(yùn)用勾股定理等數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,教師在教學(xué)過(guò)程中鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)題意選擇適合的數(shù)學(xué)方法,讓“核心素養(yǎng)”在課堂的主陣地上落地生根.

5.2 以幾何畫板為載體,滲透數(shù)學(xué)思想

“存在性問(wèn)題”綜合考察了學(xué)生的運(yùn)算能力、邏輯推理能力、數(shù)學(xué)抽象能力、直觀想象能力等,對(duì)學(xué)生的思維要求較高,直觀想象是抽象思維的基礎(chǔ),教師在教學(xué)過(guò)程中以幾何畫板為載體,通過(guò)圖形直觀,將點(diǎn)線之間的關(guān)系顯性化,將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行分解,通過(guò)“數(shù)”與“形”的結(jié)合,把抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題、不好理解的數(shù)學(xué)知識(shí)變得直觀、可理解,使問(wèn)題解決的思路有序化、可視化、清晰化,體現(xiàn)數(shù)學(xué)“簡(jiǎn)約美”,滲透轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法,引領(lǐng)學(xué)生深度思考.

5.3 以幾何畫板為橋梁,通過(guò)“學(xué)會(huì)”走向“會(huì)學(xué)”

鄭毓信教授在“數(shù)學(xué)深度教學(xué)”十講中提到數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)由“幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維”轉(zhuǎn)向“通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思維[2].”“深度教學(xué)”是從思維激發(fā)角度達(dá)到“深度”,利用幾何畫板輔助初中課堂教學(xué),搭建“數(shù)”與“形”的橋梁,激發(fā)學(xué)生的“思維”,通過(guò)“二次函數(shù)背景下直角三角形存在性問(wèn)題”專題復(fù)習(xí)的數(shù)學(xué)思想方法拓展到等腰三角形、等邊三角形、平行四邊形存在性問(wèn)題,從“學(xué)會(huì)”轉(zhuǎn)向“會(huì)學(xué)”,引領(lǐng)學(xué)生深度思考,讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的“主人”.