浙江省臺州市第一中學(xué)(318000) 曹賢鳴 陳亞菲

求直線與平面所成角大小問題,是立體幾何中的重點問題之一.課堂觀察和作業(yè)批改中發(fā)現(xiàn):求解直線與平面所成角大小問題時,絕大部分學(xué)生習(xí)慣于運用向量建系法或等體積法求解此類問題.他們認(rèn)為:用向量建系法,思路簡單,可以程序化求解;用等體積法,利用幾何體的體積相等進(jìn)行距離之間的轉(zhuǎn)換,無須考慮垂線的垂足的具體位置,可簡化求解思路.由于習(xí)慣了這兩種求法,大部分學(xué)生解題時往往忽略了幾何法的存在.但有些題,在求解過程中不易找出兩兩垂直的三條直線,如果強行建系,會增加運算量,甚至因運算繁瑣導(dǎo)致半途而廢;而一些不易求出點與面之間距離的題,等體積法也無用武之地.這就要求教師在復(fù)習(xí)直線與平面所成角求法時,在鞏固向量建系法和等體積法之后,還要回歸到綜合幾何法的復(fù)習(xí).通過對幾何法的訓(xùn)練,完善學(xué)生求解直線與平面所成角的方法,幫助學(xué)生完善立體幾何中點、線、面之間的知識體系和方法體系.

1 對“線面角”復(fù)習(xí)的思考

用代數(shù)的運算解決幾何問題是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要研究手段,所以運用向量法求解立體幾何中的相關(guān)問題是課堂教學(xué)的主流.課標(biāo)解讀指出,“學(xué)生除了掌握用代數(shù)方法解決幾何問題外,還要學(xué)會在幾何中為代數(shù)問題尋找直觀背景的方法”.所以“空間幾何與代數(shù)的教學(xué)中,在培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的同時,也要重視邏輯推理的教學(xué).代數(shù)為幾何提供研究方法,幾何為代數(shù)提供直觀背景,兩者相互滲透,有助于提高學(xué)生的邏輯推理能力”.

因此,高三復(fù)習(xí)時,在完成了用坐標(biāo)法和等體積法求解直線與平面所成角的復(fù)習(xí)之后,還要適當(dāng)補充綜合幾何法的求解方法.通過綜合應(yīng)用知識的訓(xùn)練,溝通知識之間的聯(lián)系和規(guī)律;幫助學(xué)生理清知識的來龍去脈,理解問題的幾何背景.通過多種解法后的反思,讓同學(xué)們弄清綜合幾何法、向量坐標(biāo)法和等體積法的聯(lián)系與區(qū)別,確保具體操作時能迅速而準(zhǔn)確地選用合適的求解方法.

2 綜合幾何法求解“線面角”的教學(xué)實踐

利用幾何法求解直線與平面所成角問題的本質(zhì)是利用已知條件、定理、性質(zhì)實現(xiàn)立體幾何問題平面化.其中最為關(guān)鍵的是找出目標(biāo)平面的一條合適的垂線,有了垂線就有了垂足,垂足與斜足之間的連線就是直線在平面內(nèi)的射影.這樣構(gòu)造出的斜線與射影所成的平面角就是這條直線與平面所成角.垂面法是求解直線與平面所成角問題的常用方法之一,根據(jù)教學(xué)實踐,垂面法是尋找目標(biāo)平面的垂線時的一種有效的方法,先尋找出直線與平面所成角的目標(biāo)平面的一個垂面,然后在尋找到的垂面內(nèi)作出它與目標(biāo)平面的交線的一條垂線,那么這條直線就垂直于目標(biāo)平面.下面以近幾年浙江高考題為例,說明利用這一數(shù)學(xué)模型求解直線與平面所成角問題的具體方法.

題1 (2018 年浙江高考題)如圖,已知多面體ABC -A1B1C1,AA1、BB1、CC1均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,AA1=4,CC1=1,AB=BC=BB1=2.

(Ⅰ)證明:AB1⊥平面A1B1C1;

(Ⅱ)求直線AC1與平面ABB1所成角的正弦值.

分析與求解:(Ⅰ)略;

(Ⅱ) 已知AA1、BB1、CC1均垂直于平面ABC,所以AA1與BB1共面,因此平面ABB1就是平面ABB1A1.

(1)尋找目標(biāo)平面ABB1也就是平面ABB1A1一個垂面,就是要找到與平面ABB1內(nèi)一條直線垂直的平面,由(Ⅰ)結(jié)論:平面ABB1內(nèi)的直線AB1⊥平面A1B1C1,那么平面ABB1⊥平面A1B1C1.

題2 (2019 年浙江高考題)如圖,已知三棱柱ABC -A1B1C1,平面A1AC1C⊥平面ABC,∠ABC=90°,∠BAC=30°,AA1=A1C=AC,E,F分別為AC,A1B1的中點.

(Ⅰ)證明:EF⊥BC;

(Ⅱ)求直線EF與平面A1BC所成角的余弦值.

分析與求解:(Ⅰ)題目中垂直信息:

(1)等邊ΔAA1C中,AE=EC,則A1E⊥AC;結(jié)合平面A1AC1C⊥平面ABC,且平面A1AC1C∩平面ABC=AC,那么A1E⊥平面ABC.

(2)由∠ABC=90°得AB⊥BC.三棱柱中AB//A1B1,則有BC⊥A1B1.由(1)結(jié)論有BC⊥A1E,又A1E∩A1B1=A1得BC⊥平面A1B1E,進(jìn)而可得EF⊥BC.

(Ⅱ) 先尋找平面A1BC內(nèi)一條直線垂直的一個平面,(Ⅰ)的(2)中有平面A1BC內(nèi)一條直線BC⊥平面A1B1E,那么平面A1BC⊥平面A1B1E.只要在平面A1B1E內(nèi)的直線EF上取一點作平面A1B1E與平面A1BC的交線的垂線,此線就是平面A1BC的垂線.圖中兩平面無交線,將平面延展作出其交線.取BC中點G,連EG、GF,易知四邊形EGFA1是平行四邊形,所以平面A1B1E就是平面EGFA1,此時平面EGFA1∩平面A1BC=A1G.由A1E⊥平面ABC,EG ?平面ABC,則A1E⊥EG,所以四邊形EGFA1是矩形.在平面EGFA1內(nèi)過E作A1G的垂線,此時EF在平面A1BC上的射影在直線A1G上,所以∠EOG(或其補角)是直線EF與平面A1BC所成角.

題3 (2017 年浙江高考題)如圖,已知四棱錐P -ABCD,ΔPAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形,BC//AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E為PD的中點.

(Ⅰ)證明:CE//平面PAB;

(Ⅱ)求直線CE與平面PBC所成角的正弦值.

分析與求解:(Ⅰ)略;

(Ⅱ)題目中垂直信息:

(1) ΔPAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形PA⊥PD;取AD的中點N,則PN⊥AD;結(jié)合BC//AD得PN⊥BC.

(2)底面ABCD中CD⊥AD,且AD=2DC=2CB,四邊形BCND是一個矩形,所以BN⊥AD,BN⊥BC,CD⊥BC.目標(biāo):尋找平面PBC內(nèi)的一條直線垂直的一個垂面.

(i)垂直信息中垂直的條件相對集中于平面PBC內(nèi)的“直線BC”,垂直于BC的平面就垂直于平面PBC.

(ii)由垂直信息(1)中PN⊥BC和(2)中BN⊥BC.可得BC⊥平面PBN,又BC ?平面PBC,所以平面PBC⊥平面PBN.

因此,只要在平面PBN作這兩平面的交線PB的垂線,那么所作直線就是平面PBC的一條垂線.

本題與題1、題2 不同的是前兩題中的“線面角”的直線中有點在所構(gòu)造的垂面內(nèi),而本題中的直線CE與平面PBC的交點為C,線段CE上除點C外沒有點在平面PBN內(nèi),不能直接利用前面的模型求解.

如果將直線CE平移使之與平面PBN產(chǎn)生交點,即在平面PBN內(nèi)作直線CE的平行線,利用兩條平行線與一個平面所成角相等,就能將問題轉(zhuǎn)化為前面所提的模型求解了.

取PA中點F,得到平行四邊形BCEF,設(shè)EF ∩PN=Q,由于E為PD的中點,PN是AD的中垂線,所以Q為EF的中點;在平行四邊形BCEF中,CE//QM,直線QM與平面PBC所成角就等于直線CE與平面PBC所成角了.在平面PBN內(nèi)過Q作QH⊥PB,則QH⊥平面PBC,連HM,則∠QHM是直線QM與平面PBC所成角.

求解直線與平面所成角問題的關(guān)鍵是尋找目標(biāo)平面的一條合適的垂線,所以解題時要盡可能挖掘題中垂直的信息,關(guān)注垂直信息中與目標(biāo)平面垂直的直線,找出與目標(biāo)平面垂直的平面.由以上三個題目的求解可以看到,與目標(biāo)平面垂直的平面的出現(xiàn)是多樣化的.如題1 中目標(biāo)平面的垂面的信息來自于第(Ⅰ)題的結(jié)論;題2 中目標(biāo)平面的垂面的信息來自于第(Ⅰ)題的證明過程;雖然在題3 中尋找到的目標(biāo)平面的垂面中,除直線與平面交點外再無其他交點,但通過適當(dāng)?shù)钠揭?仍可將該題轉(zhuǎn)化為適用于以上模型求解的問題,進(jìn)而求解.

3 結(jié)束語

復(fù)習(xí)時,如果滿足于等體積法和向量建系法,就會造成學(xué)生空間想象能力和邏輯推理能力的缺失,不利于他們領(lǐng)悟蘊含其中的數(shù)學(xué)思想方法,也不利于他們數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累.復(fù)習(xí)求解“線面角”問題時,我們既要重視深受學(xué)生喜歡的等體積法和向量建系的教學(xué),也要在他們掌握這兩種方法的基礎(chǔ)上,鼓勵學(xué)生回歸幾何法,通過幾何法提高學(xué)生的直觀想象能力和邏輯推理能力,通過向量建系法、等體積法的代數(shù)法提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力,進(jìn)而培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).