鐘琪琪，韋煜明，彭華勤

(廣西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣西 桂林 541006)

1 引言

根據(jù)聯(lián)合國糧食及農(nóng)業(yè)組織2020年的報告[1]，估計共有5 951萬人在漁業(yè)和水產(chǎn)養(yǎng)殖初級部門工作，其中約65%受雇于漁業(yè)部門；2018年世界漁業(yè)總產(chǎn)量約1.79億噸，其中約88%供人類直接消費.對漁業(yè)資源日益增長的需求使得漁業(yè)資源的開發(fā)管理受到了越來越多的關(guān)注.Clark研究了漁業(yè)捕撈的數(shù)學(xué)模型[2，3]，而在環(huán)境污染日益嚴(yán)重的情況下，水生生態(tài)系統(tǒng)中的人為和環(huán)境毒物可能會加速魚類資源的枯竭[4]，因此需要對漁業(yè)進(jìn)行有效管理，以使耗盡的漁業(yè)資源得到補(bǔ)充.

毒物影響下的魚類資源的最優(yōu)管理、收獲及捕食-食餌系統(tǒng)物種之間的相互作用，成為眾多研究者關(guān)注的焦點[5-8].Das等人[9]首先提出受毒物影響的捕食-食餌漁業(yè)模型，其中食餌種群呈邏輯斯蒂增長，捕食者死亡率指數(shù)下降，功能性反應(yīng)與食餌數(shù)量成正比，雒志學(xué)等人[10]研究了污染環(huán)境中可再生資源的最優(yōu)收獲問題，兩者均忽略了捕食者會有食量限制.霍海峰等人[11]考慮了飽和因素，對捕食者和食餌采取相同的捕撈努力，并未考慮獨立捕撈.Dai和Tang[12]，及Ganguli[13]等人研究得出，在處理生物組學(xué)和最佳平衡時，獨立的收獲策略可以解釋更現(xiàn)實的結(jié)果.

Ang等人[14]建立了受環(huán)境毒物影響和采取獨立捕撈策略的捕食-食餌漁業(yè)模型

對于更一般的情況，本文基于文獻(xiàn)[14]中的漁業(yè)模型，考慮在環(huán)境毒物影響下的捕食-食餌漁業(yè)模型，它采用獨立捕撈策略和第Ⅱ類功能性反應(yīng)函數(shù)[15]：

(1)

2 平衡點的局部穩(wěn)定性分析

(2)

系統(tǒng)(2)的Jacobian矩陣為

(3)

定理1若

γ1>1,γ2>s，

(4)

則系統(tǒng)(2)的滅絕平衡點A0(0,0)是局部漸近穩(wěn)定的.

證明A0的Jacobian矩陣為

它的兩個特征值1-γ1和s-γ2都小于0，故由Routh-Hurwitz判據(jù)知A0是局部漸近穩(wěn)定的.

定理2當(dāng)r2>d2E2時，系統(tǒng)(2)存在無獵物平衡點A1.進(jìn)一步地，若

(5)

證明A1的Jacobian矩陣為

定理3若

(6)

它的兩個特征值都小于0,故A2是局部漸近穩(wěn)定的.

定理4若有

(7)

(8)

(9)

若有

(10)

則捕食者生物量密度y*>0.聯(lián)立(8)和(9)，有

f(x*)=n4x*4+n3x*3+n2x*2+n1x*+n0,

(11)

其中

當(dāng)n1,n0<0時，方程(11)有唯一正解x*[11]，故A3(x*,y*)是系統(tǒng)(2)的共存平衡點.

A3的Jacobian矩陣為

對應(yīng)的特征方程為

η2+a1η+a2=0,

(12)

其中

設(shè)方程(12)的兩個解分別為η1,η2.若條件(7)成立，則a1>0,a2>0，于是有η1+η2=-a1<0,η1η2=a2>0，故由Routh-Hurwitz判據(jù)知A3是局部漸近穩(wěn)定的.進(jìn)一步地，我們有：

(i) 若η1,η2均為負(fù)實數(shù)，則A3為穩(wěn)定結(jié)點.

(ii) 若η1,η2是一對具有負(fù)實部的共軛虛數(shù)，則A3為穩(wěn)定焦點.

當(dāng)ι1=ι2=0時，η1,η2仍是兩個負(fù)實數(shù)或一對具有負(fù)實部的共軛虛數(shù)，可見共存平衡點A3的局部穩(wěn)定性不受毒物強(qiáng)度的影響.

3 共存平衡點的全局穩(wěn)定性分析

仿照文獻(xiàn)[9]和[16]中的方法，本節(jié)構(gòu)造一個合適的Lyapunov函數(shù)，以此來證明系統(tǒng)(2)的共存平衡點A3(x*,y*)是全局漸近穩(wěn)定的.

{(x,y)|g(x,y)>0}

(13)

內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的.

證明考慮Lyapunov函數(shù)

易知V(x*,y*)=0，且V(x,y)≥0對任意x>0,y>0成立.我們有

ι1(x-x*)(x2-x*2))=-(x-x*)2-g(x,y)(s+ι2)(y-y*)2≤0，

4 生物經(jīng)濟(jì)平衡

為檢驗與相應(yīng)單位努力成本相匹配的最大收獲水平，本節(jié)討論系統(tǒng)(1)的生物經(jīng)濟(jì)平衡點.

π(X,Y,E1,E2)=(p1d1X-c1)E1+(p2d2Y-c2)E2.

(14)

若存在生物經(jīng)濟(jì)平衡點，則π(X,Y,E1,E2)≥0.由經(jīng)濟(jì)平衡的定義，經(jīng)濟(jì)租金完全消除，即π(X,Y,E1,E2)=0.因此，聯(lián)立方程

由(15)和(16)可得

(18)

考慮以下三種情況：

(Ⅰ) 當(dāng)食餌種群的捕撈成本超過捕撈收益，即c1>p1d1X時，停止捕撈食餌，此時E1=0，由(17)可得

(19)

將(19)代入(15)，得

b1X3+b2X2+b3X+b4=0,

(20)

其中

(21)

故生物經(jīng)濟(jì)平衡點存在的條件為

(22)

(Ⅱ) 當(dāng)捕食者種群的捕撈成本超過其收益，即c2>p2d2Y時，停止捕撈捕食魚，此時E2=0.由(17)可得

(23)

將式(23)代入(16)可得

(24)

將(24)代入(18)可得

(25)

因此，生物經(jīng)濟(jì)平衡點存在的條件為

(26)

(Ⅲ) 當(dāng)兩個種群的收益均超過捕撈成本，即c1>p1d1X，c2>p2d2Y時，繼續(xù)捕撈.由(17)可得

(27)

將(27)代入(18)，得

(28)

故生物經(jīng)濟(jì)平衡點存在的條件為

(29)

5 最優(yōu)收獲策略

最大可持續(xù)產(chǎn)量忽略了資源開發(fā)過程中收獲成本的影響.隨著種群密度的降低，收獲成本可能過高，甚至超過收入.本節(jié)運用Pontryagin極大值原理[18]，考慮最優(yōu)持續(xù)產(chǎn)量的線性控制問題，以系統(tǒng)(1)為狀態(tài)方程，目標(biāo)泛函為

(30)

其中

δ為反映時間偏好率的年度貼現(xiàn)因子，

π(X,Y,E1,E2)=(p1d1X-c1)E1+(p2d2Y-c2)E2，

E1，E2∈[0,Emax]為控制變量，其中Emax為收獲努力量的可行上限.

目標(biāo)泛函(30)取決于基本狀態(tài)方程(1).

構(gòu)造Hamilton函數(shù)

H=e-δt[(p1d1X-c1)E1+(p2d2Y-c2)E2]+

(31)

其中λ1(t)，λ2(t)為伴隨變量.Hamilton函數(shù)是控制變量E1，E2的線性函數(shù)，因此只能出現(xiàn)奇異控制和崩-崩控制[3].食餌和捕食魚類種群的開關(guān)函數(shù)分別為

(32)

在崩-崩控制中，最優(yōu)控制必須滿足

(33)

以及

(34)

伴隨變量λi(t)(i=1,2)滿足方程

(35)

以及

(36)

假設(shè)平衡點是最優(yōu)平衡解，將(18)代入(35)和(36)，得

(37)

以及

(38)

(39)

(40)

方程(40)對應(yīng)的特征方程為

(41)

由韋達(dá)定理得

從而有：

(i) 當(dāng)K1,K2均為實數(shù)且K1≠K2時，方程(41)的通解為λ0(t)=C1eK1t+C2eK2t;

(ii) 當(dāng)K1=K2時，方程(41)的通解為λ0(t)=(C3+C4)eK1t;

(iii) 當(dāng)K1,K2為共軛虛數(shù)，即K1=u+vi，K2=u-vi時,方程(41)的通解為

λ0(t)=(C5cos(vt)+C6sin(vt))eut.

因此方程(39)的通解為

其中

當(dāng)t→∞時，λ1(t)有界當(dāng)且僅當(dāng)C1=C2=0或C3=C4=0或C5=C6=0.不妨設(shè)C1=C2=0，此時

(42)

類似地，可得

(43)

(44)

(45)

將(42)和(43)分別代入(44)和(45)，得

由此可得最優(yōu)平衡S(Xδ,Yδ,E1δ,E2δ).回顧經(jīng)濟(jì)租金方程

6 數(shù)值模擬

食餌、捕食者魚類種群兩者其一都被人為或者環(huán)境的一些毒物感染，因此很難獲得定量有效的數(shù)據(jù).在本節(jié)中，基于Das[9]和Ang[14]的研究，假設(shè)一些數(shù)據(jù)來說明已經(jīng)建立的結(jié)果.

例1考慮無量綱化系統(tǒng)(2)：

(1)s=0.075,Q=450,γ1=1.2,γ2=0.08,P1=2.2,P2=18,ι1=5400,ι2=0.8，條件(4)成立.

(2)s=0.12,Q=450,γ1=1,γ2=0.08,P1=2.2,P2=18,ι1=5400,ι2=0.8，條件(5)成立.

(3)s=0.075,Q=450,γ1=0.8,γ2=0.2,P1=2.2,P2=18,ι1=5400,ι2=0.8，條件(6)成立.

(4)s=0.875,Q=1050,γ1=0.0075,γ2=0.01,P1=1.5,P2=3.5,ι1=4.9,ι2=0.0025，此時有兩個共存平衡點A3(0.359,0.990)，A4(0.0005,0.987)，僅A3滿足條件(7).

如圖1所示，A0(0,0),A1(0,0.043),A2(0.006,0),A3(0.359,0.990)均為穩(wěn)定結(jié)點，A4是鞍點.這就驗證了第3 節(jié)中的結(jié)論.

(a)

(b)

(c)

(d)

例2對系統(tǒng)(1)的參數(shù)取值，根據(jù)式(15)、(16)和(17)，討論在第4節(jié)情況(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)中毒物的存在、捕撈努力量及動力學(xué)系統(tǒng)中生物平衡三者之間的關(guān)系.

由表1和表2可見，環(huán)境毒物存在或不存在時生物經(jīng)濟(jì)平衡點都可能存在.在情況(Ⅲ)中，毒物存在與否不影響兩物種的種群密度和最優(yōu)收獲水平，情況(Ⅰ)和情況(Ⅱ)的食餌、捕食者的種群密度均比毒物存在時要高.由于食餌種群受到人為毒物的作用更大，其生物量密度水平對毒物濃度更敏感.

表1 毒物存在時生物經(jīng)濟(jì)平衡點在三種情況下的存在性

表2 毒物不存在時生物經(jīng)濟(jì)平衡點在三種情況下的存在性

(a)θ1=0.12,θ2=0.08

(b)θ1=0,θ2=0

結(jié)合表1和表2，由圖2可知，由于不同濃度的毒物的作用，食餌和捕食者魚類種群密度呈不同水平的下降，其中食餌種群由于環(huán)境毒物的直接感染作用較大，下降程度較高，有滅絕的趨勢.因食餌魚種群的環(huán)境承載量要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于捕食者種群，故圖2中食餌種群生物量密度水平均高于捕食者種群，生態(tài)系統(tǒng)中的有毒物質(zhì)越少，可用于商業(yè)用途的收獲量越高.在捕撈努力量增加及環(huán)境毒物感染的雙重影響下，由圖2(a)及圖3(a)可知，當(dāng)d1增加時，過度捕撈和毒素感染及被捕食作用使食餌種群密度急劇下降，甚至趨于滅絕；捕食者種群密度雖因競爭減少而稍有上升，但總體上因食餌種群的減少下降，但不會趨于0，其原因是可以依賴外部資源維持生命.由圖2(a)及圖3(b) 可知，當(dāng)d2增加，捕食者種群密度下降，并趨于某一水平.食餌種群密度先有上升，而后因環(huán)境毒物的直接作用較大而趨于滅絕.

(a)d1=4.5,d2=1.6

(b)d1=4,d2=2

7 結(jié)論

本文建立了一類具有Holling Ⅱ型功能反應(yīng)的捕食-食餌漁業(yè)模型，考慮了人為環(huán)境毒物和獨立捕撈策略對最優(yōu)控制的影響.從經(jīng)濟(jì)學(xué)角度，研究了在毒物存在或不存在時，動力系統(tǒng)在三種可能情況下的生物經(jīng)濟(jì)平衡問題；給出了每種生物均衡存在的條件和實現(xiàn)收益最大化的最優(yōu)捕撈策略.通過數(shù)值模擬驗證理論結(jié)果，證明了環(huán)境毒物和獨立捕撈策略對魚類種群最優(yōu)收獲有著重要影響，因此在保護(hù)漁業(yè)資源的同時，可以通過增加或控制人為環(huán)境毒物，采取合適的獨立捕撈策略和貼現(xiàn)率，來獲得最優(yōu)經(jīng)濟(jì)利潤.