周高權 朱 哲 (浙江師范大學教師教育學院 321004)

1 研究緣起

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》提出在數(shù)學課程上需要適當?shù)丶尤霐?shù)學史、數(shù)學文化等內容，需在課程中體現(xiàn)數(shù)學的文化價值[1]，同時近些年的高考題、中考題中也增加了許多蘊含數(shù)學文化的題目．數(shù)學史作為數(shù)學文化的重要部分，在數(shù)學教育中起著越來越重要的作用．HPM，即History Pedagogy Mathematics，研究數(shù)學史與數(shù)學教育的關系，旨在運用數(shù)學史來完善數(shù)學教育．隨著近些年素質教育影響越來越大，數(shù)學史與數(shù)學教育的融合也變得越來越密切，以此來促進學生情感、態(tài)度、價值觀等方面的發(fā)展．據(jù)統(tǒng)計，《數(shù)學教育學報》2010年后載文下載頻次前20的論文中，就有6篇與數(shù)學史、數(shù)學文化對數(shù)學教育的作用有關[2]，與此同時，通過中國知網(wǎng)檢索可以發(fā)現(xiàn)，2015年以來每年與HPM類論文相關的文獻超過100篇．盡管國內HPM領域發(fā)展十余年，關于HPM的研究文獻也越來越多，但仍然存在著一些問題．例如，由于一線教師的時間有限，他們找不到文獻資料亦或是沒有時間對材料進行加工、裁剪，HPM理論研究者與一線教師之間缺少交流合作，等等．

同時，人大復印報刊資料作為我國學術界影響力較大的期刊之一，一方面，其轉載的論文都是經過嚴格篩選和專家審查等專業(yè)化流程決定的，是否被人大復印報刊資料轉載已成為論文是否具有影響力的一個重要尺度；另一方面，國內期刊眾多，研究HPM的論文繁雜而分散，而人大復印報刊資料中的論文不僅類型豐富、全面，而且質量高、觀點深刻．文[3]研究了2012—2016年中國人民大學復印報刊資料《高中數(shù)學教與學》和《初中數(shù)學教與學》(以下統(tǒng)稱“人大復印報刊資料”)中的HPM類論文．因此，筆者選擇人大復印報刊資料2017—2021年間共120期載文中的HPM類論文進行綜述和分析．同時以此為切入口，管窺我國HPM研究這5年間的情況，并試圖回答以下問題：近5年HPM類論文的研究內容是什么？有何特點？與2012—2016年相比有何新進展？對未來HPM研究有什么啟示？

2 人大復印報刊資料的HPM類論文

研究者發(fā)現(xiàn)這120期的論文中有74篇HPM類論文．借鑒文[4]的分類，將這些論文分為HPM理論探討、教育取向的數(shù)學史、教學實踐與案例開發(fā)、數(shù)學教育史、HPM與教師專業(yè)發(fā)展、數(shù)學史融入教科書研究六類．圖1給出了這六類論文數(shù)量的分布．

圖1 人大復印報刊資料HPM論文統(tǒng)計

從圖1可見，在人大復印報刊資料HPM類論文中，進行HPM理論探討和教育取向的數(shù)學史研究的文章較多，分別約占總數(shù)的25.7%和27%；教學實踐與案例開發(fā)、數(shù)學教育史和數(shù)學史融入教科書研究分別占16.2%,16.2%和13.5%；HPM與教師專業(yè)發(fā)展文章較少，占總數(shù)的1.4%．

2.1 HPM理論探討

人大復印報刊資料中HPM理論探討的文章占了最大比例，共有19篇，主要從兩個方面進行研究：第一，HPM如何與為何滲入數(shù)學教學(共15篇)；第二，HPM理論框架(共4篇)．表1給出了其中一些文章對于“為何”與“如何”的觀點．

表1 關于“如何”與“為何”的觀點

數(shù)學史如何與為何滲入數(shù)學教學始終是HPM研究的一個重要方向，每位研究者對此都有不同看法．文[5]提出運用“附加-重構”疊加模式將數(shù)學史融入到教學中．文[6]提出運用數(shù)學史的三種做法：通過歷史揭示例題本質；借助實踐挖掘例題內涵；對照文史拓展例題外延．而面對不同問題串時，文[7]提出運用數(shù)學史的三種方式：掌握豐富史料；選擇恰當史料；關注史料邏輯．

除了如何與為何滲入數(shù)學教學的文章外，還有關于HPM理論框架的文章，主要是汪曉勤教授針對課例分析提出的．汪曉勤提出問題提出策略，包括：復制式策略；條件式策略；目標式策略；自由式策略；情境式策略；對稱式策略；鏈接式策略[8]，為未來試題命制提供參考．德育價值方面，汪曉勤提出將德育價值分為理性、信念、情感、品質四類[9]，為數(shù)學學科德育實踐和理論研究提供參考．

由此可見，目前HPM理論探討不只是研究“如何”與“為何”，而是開始結合課例分析，出現(xiàn)了許多理論框架以指導實踐．

2.2 教育取向的數(shù)學史

“教育取向的數(shù)學史”是指以服務教育為目的，研究數(shù)學課程中的概念、公式、定理的歷史．本文借鑒文[10]的分類，將20篇文章分為數(shù)學專題、數(shù)學人物、數(shù)學問題、教學策略，各類文章數(shù)量見圖2．

圖2 教育取向的數(shù)學史分布統(tǒng)計

(1)“數(shù)學專題”.“數(shù)學專題”是指以數(shù)學內容相關歷史為主題的文章．文[11][12]分別通過介紹勾股定理和無理數(shù)的發(fā)展歷史以及證明過程，來挖掘數(shù)學史中蘊含的育人價值．“數(shù)學專題”這部分內容是教師比較常用的數(shù)學史介紹方式．這類將數(shù)學史內容進行直接介紹，不僅可以促進教師專業(yè)發(fā)展，豐富教學資源，也可以幫助學生更好地理解知識．

(2)“數(shù)學人物”.“數(shù)學人物”指以人物為主題或線索，介紹數(shù)學家軼事或其理論的文章．文[13]從畢達哥拉斯到克萊因，再到華羅庚的名言，通過在教學中融入數(shù)學家名言來進行數(shù)學教學．文[14]通過介紹歐幾里得、笛卡爾、勒維烈和高斯等數(shù)學家受數(shù)學文化的影響，進而提出了數(shù)學文化的重要性．“數(shù)學人物”這部分文章以數(shù)學人物為引子，不僅可以激發(fā)學生的興趣和動機，還可以為教學方法創(chuàng)新提供方向．

(3)“數(shù)學問題”.“數(shù)學問題”是指以展示或解答歷史上已有的數(shù)學問題展開的文章．文[15][16]通過研究中考數(shù)學試卷包含的數(shù)學名著中的數(shù)學題目，得到一些教育教學啟示．將經典的數(shù)學問題融入教學中，可以滿足學生求知欲，培養(yǎng)學生創(chuàng)造力，激發(fā)學生學習興趣．

(4)“教學策略”.“教學策略”是指通過數(shù)學的發(fā)展或歷史上的教學形式，啟發(fā)今天的教學策略．文[17]基于HPM和MM教育方式的發(fā)展，通過研究兩者相似性，提出HPM和MM耦合的可能性，以服務于未來的教學．

2.3 數(shù)學教育史

(1)關于數(shù)學教育和教育內容的變遷.文[18][19]分別分析新中國成立以來數(shù)學學科德育以及少數(shù)民族數(shù)學教育，總結70年來的發(fā)展特點，最后提出展望．文[20]比較中美數(shù)學推理能力的歷史和現(xiàn)狀，分析雙方差異.數(shù)學教育內容變遷方面，文[21]梳理了改革開放四十年來勾股定理內容在課程標準等方面的變革，進而得到一些對于數(shù)學文化的重新認識．

(2)關于數(shù)學課程改革.國外課改方面，文[22]總結美國數(shù)學課改經驗，對中國數(shù)學教育提出了建議．國內課改方面，文[23][24]分別研究了課改中的核心素養(yǎng)和“四基”的發(fā)展過程．文[25][26]指出中國數(shù)學教育要全面深刻地認識自己，提煉核心理念，發(fā)展特色中國數(shù)學教育．而文[27]則提出了我國成立70年以來在數(shù)學改革上取得的成就．

2.4 教學實踐與案例開發(fā)

教學實踐與案例開發(fā)是指將數(shù)學史融入數(shù)學教學的實踐研究，旨在通過促進理解、提高學生興趣等來改善教學．人大復印報刊資料中此類文章共有12篇，其中5篇采用復制式，4篇采用重構式，還有3篇融合了多種模式．

復制式是指直接采用歷史上的問題或解法，或介紹數(shù)學家的思想方法．文[28]在進行“實數(shù)的概念”教學時，介紹根號和無理數(shù)的歷史，讓學生感受無理數(shù)由來的不易，從而體會知識發(fā)展的艱辛以培養(yǎng)學生良好的學習態(tài)度．文[29]在“數(shù)系擴充和復數(shù)概念”這節(jié)課中，介紹了三次方程的代數(shù)解法起源和卡丹解法，激發(fā)了學生的學習興趣，提高了學生的思考能力，推動了數(shù)學素養(yǎng)的提升．

順應式是指根據(jù)歷史材料編制數(shù)學問題；重構式是指借鑒或重構知識的發(fā)生和發(fā)展歷史．文[30]在講“對頂角”這節(jié)課時，通過再現(xiàn)“對頂角相等”的歷史發(fā)生過程，重構歷史環(huán)節(jié)，讓學生經歷相應歷史，獲得成功體驗，感受知識價值．這種運用數(shù)學史的方式屬于重構式．

文[31]在進行“完全平方公式”教學時，介紹完全平方公式的發(fā)展歷史，同時再現(xiàn)了歷史上利用完全平方公式組成正方形的過程，讓學生親歷歷史．這個教學中既用了復制式，又使用了重構式．文[32]在講“從勾股定理到圖形面積關系的擴展”這節(jié)課時，根據(jù)勾股數(shù)編制數(shù)學問題，引發(fā)學生興趣，又采用歷史命題，最后再現(xiàn)月牙定理發(fā)生過程，旨在提升學生的創(chuàng)新能力．這一教學中使用了復制式、順應式和重構式．

由此可見，復制式是融入數(shù)學史的主要方式，重構式次之，目前也逐漸出現(xiàn)了運用多種方式融入數(shù)學史的教學．

2.5 HPM與教師專業(yè)發(fā)展

HPM與教師專業(yè)發(fā)展是關于數(shù)學史對于數(shù)學教師專業(yè)發(fā)展影響的研究，這類文章僅有1篇．文[33]通過梳理數(shù)學史家史密斯的數(shù)學教育思想，提出數(shù)學史對于數(shù)學教師專業(yè)發(fā)展的重要性．由此可見，這一方向的HPM研究還較少，基于數(shù)學史來促進教師專業(yè)發(fā)展是未來需要著重研究的一個領域．

2.6 數(shù)學史融入教科書研究

數(shù)學史融入教科書研究主要包括分析教材中數(shù)學史內容以及比較不同教材中的數(shù)學史，這類文章共有10篇．

在分析教材中數(shù)學史方面，文[34]從形式、方法、術語和內容入手，指出初中數(shù)學教材數(shù)學史內容在這四個方面的走向．文[35]運用內容分析法，從語言形式、語句類型、敘述角度和情感體現(xiàn)四個維度對教材中的數(shù)學史內容進行研究．而文[36]從數(shù)量和運用方式對教材中的數(shù)學史料進行分析，指出不足之處．

在教材比較方面，文[37]從內容類型、欄目分布和呈現(xiàn)形式等方面比較了人教A版、北師大版、蘇教版高中數(shù)學選修教科書中的數(shù)學史，以此服務于HPM下的教學實踐．文[38]通過比較教材中的數(shù)學史內容，指出數(shù)學史融入教材的價值．

教材作為落實課程標準的關鍵環(huán)節(jié)，對教學起著至關重要的作用，對數(shù)學教科書的深入研究有利于深化數(shù)學教學．通過對數(shù)學史融入教材進行研究，不僅可以提高教師運用數(shù)學史的意識，同時也為數(shù)學教學提供了巨大空間．

3 HPM類論文的研究新進展

綜觀120期內容，不難看出人大復印報刊資料中HPM類論文的特點，同時與2012—2016年這5年間的HPM論文相比較，可以得出在近5年中HPM研究有了哪些新進展．

3.1 研究方法上：理論結合實踐

2012—2016年間更多注重的是單純的理論研究，從“為何”以及“如何”來探討HPM融入教學，而很少結合教學實踐．隨著研究的不斷深入，對于HPM的研究已經開始從“為何”轉向“如何”，以此來指導教學實踐，從而出現(xiàn)了以課例分析為主的研究方法．文[8][9]以課例研究為中心，立足于HPM案例開發(fā)，提出了諸如“問題提出策略”框架、“數(shù)學學科德育”框架，服務于未來的教學實踐以及數(shù)學教育．

此外，近5年HPM視角下的案例開發(fā)和教學設計逐漸增多，不只是以復制式的方式融入數(shù)學史，而是出現(xiàn)了以多種模式融合的方式將數(shù)學史與數(shù)學教學結合．文[31][32]基于數(shù)學史的教學設計中不僅用到了常用的復制式，同時也運用了難度較大的重構式，通過綜合運用多種方式更好地在教學中介紹數(shù)學史．同時以汪曉勤教授為首的團隊通過對HPM的不斷研究開發(fā)了許多能夠在中學實際使用的教學案例．文[28][30][31]對“實數(shù)的概念”“完全平方公式”等中學內容進行詳細剖析，基于HPM設計了服務于在職教師的教學案例．

這種將教學實踐與HPM理論相結合的研究方法，不僅拓寬了研究者的研究視角、豐富了HPM理論基礎，同時也為數(shù)學教育工作者提供了豐富的教學資源，對教師進行教學設計有很大的幫助．

3.2 研究方向上：著眼教師發(fā)展和教材研究

通過對近5年HPM論文的探究，發(fā)現(xiàn)教科書之間數(shù)學史的比較以及運用框架來分析數(shù)學史內容是研究數(shù)學史融入教材的一個新的重要方向，同時HPM開始與一般數(shù)學教育理論產生聯(lián)系，如MKT．

文[37][38]從不同維度比較教科書中的數(shù)學史，以找到數(shù)學史與教科書兩者的契合點，為數(shù)學史更好地融入教材提供思路．而文[34][36]則指出了當前教科書中運用數(shù)學史的不當之處．

教師專業(yè)發(fā)展與案例開發(fā)和分析是相輔相成的，隨著案例開發(fā)得越來越多，HPM與教師專業(yè)發(fā)展之間的聯(lián)系越來越緊密，從教師專業(yè)發(fā)展理論出發(fā)研究數(shù)學史對教師發(fā)展的價值初具雛形．文[33]從MKT理論出發(fā)揭示了數(shù)學史對教師自身發(fā)展的重要性．

因此，我們可以看到HPM與教師發(fā)展以及教材研究在近幾年得到了深化研究，國內HPM研究已開始有意識地將教師專業(yè)發(fā)展理論與數(shù)學史相結合來探討數(shù)學史對教師發(fā)展的價值，盡管還處于起始階段．同時，基于HPM的教材比較和教材分析也為之后數(shù)學史和教科書的緊密聯(lián)系提供了基礎，進而服務于數(shù)學課程教學．

3.3 研究范圍上：視野拓寬、領域拓廣

隨著立德樹人要求的深入以及核心素養(yǎng)內涵的不斷挖掘，開始出現(xiàn)了HPM視角下研究數(shù)學學科德育和數(shù)學核心素養(yǎng)等內容的文章．這類文章將HPM與學科德育、核心素養(yǎng)等內容相結合，來探討數(shù)學史與培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)和進行學科德育之間的關系．文[6][9]通過研究數(shù)學史來探討HPM對于構建學生數(shù)學核心素養(yǎng)和培養(yǎng)學生品德的積極作用．同時，人大復印報刊資料HPM類論文中不乏研究數(shù)學學科德育、數(shù)學“四基”、數(shù)學核心素養(yǎng)歷史的文章，文[18][20][23][26]通過研究德育、核心素養(yǎng)、“四基”的歷史來為現(xiàn)在的數(shù)學教學乃至數(shù)學教育提供發(fā)展思路．

HPM研究范圍的拓廣，意味著HPM不僅僅局限于對教學的研究，同時也放眼于熱門領域，進而使得HPM研究不僅具有基礎性，還被賦予了時代性和發(fā)展性．

4 結論與展望

通過對人大復印報刊資料從2017—2021年共120期中的HPM論文的考察，可以發(fā)現(xiàn)，HPM始終是人大復印報刊資料中的熱門話題，其內容涉及HPM理論探討、教育取向的數(shù)學史、教學實踐與案例開發(fā)、數(shù)學教育史、HPM與教師專業(yè)發(fā)展、數(shù)學史融入教科書研究六類．從近5年和前5年人大復印報刊資料中的HPM論文的對比，可以看到我國HPM研究在研究方法、研究方向、研究范圍上的新發(fā)展．這些論文對未來HPM理論研究，以及對基于數(shù)學史的教學設計等方面都具有深刻的借鑒意義，從中可以得到一些對未來中國HPM研究的啟示和展望．為此，筆者從以下幾個方面來探討未來HPM研究的努力方向，并提出十個值得思考的問題．

4.1 HPM在育人層面上的完善

(1)基于立德樹人目標，如何將數(shù)學史與學科德育緊密地聯(lián)系起來？以史為鑒，立足現(xiàn)在，在教學中如何落實立德樹人目標？(2)如何在結構性問題中融入數(shù)學史以培養(yǎng)學生的高階思維？(3)如何通過數(shù)學史使學生把握數(shù)學核心知識結構，使淺層學習邁向深度學習？(4)如何基于數(shù)學史，創(chuàng)新培訓方式對數(shù)學教師進行有效培訓，促進教師專業(yè)發(fā)展？

4.2 HPM在課堂教學上的深化

(5)如何基于大數(shù)據(jù)、物聯(lián)網(wǎng)、互聯(lián)網(wǎng)+、元宇宙，建立并完善HPM課程及教學的評價體系？(6)如何利用人工智能、VR技術等再現(xiàn)數(shù)學史，促進學生掌握知識、理解數(shù)學、培養(yǎng)情感態(tài)度和價值觀？(7)STEAM教育理念中是否可以融入數(shù)學史，使其拓展為STEAM-H(其中H為history)？更進一步，再融入信息技術，使其拓展為HISTEAM(其中I指internet)，實現(xiàn)多學科融合？(8)是否可以讓數(shù)學史貫穿課前課后？比如學生自己收集資料并整理分析，那么怎樣的嵌入方式可以實現(xiàn)教學預期目標？

4.3 HPM在社會交往上的創(chuàng)新

(9)在新的教育社會契約背景下，如何實現(xiàn)HPM的跨文化交流？以及如何加強數(shù)學史下的多元文化融合？(10)強化教育的構想要求人人參與、共享扶植，那么如何在HPM研究中以及數(shù)學史教學實踐中實現(xiàn)公共參與？以及如何構建HPM共同體？