【摘 要】 “隨機(jī)事件和樣本空間”兼具知識預(yù)備與單元導(dǎo)引的雙重價值.依據(jù)大概念教學(xué)理論，從內(nèi)容本質(zhì)與常見問題分析入手，圍繞“如何獲得研究對象”這一核心任務(wù)，進(jìn)行整體教學(xué)設(shè)計，讓學(xué)生在具體情境中體會“隨機(jī)性”，利用集合語言刻畫隨機(jī)現(xiàn)象，抽象獲得核心概念，并開展類比、聯(lián)想研究事件關(guān)系，為概率單元的學(xué)習(xí)與隨機(jī)思想的形成奠定基礎(chǔ).

【關(guān)鍵詞】 核心概念;樣本空間;隨機(jī)事件;數(shù)學(xué)抽象

概率是研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律的數(shù)學(xué)分支，為人們提供了從不確定角度認(rèn)識客觀世界的思維模式和解決問題的方法.隨著課程改革的深入推進(jìn)，概率早已成為中學(xué)數(shù)學(xué)課程的重要組成部分，承擔(dān)著培養(yǎng)學(xué)生分析隨機(jī)現(xiàn)象能力，提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理以及數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)的育人任務(wù).

“隨機(jī)事件和樣本空間”作為概率單元起始課，兼具知識預(yù)備與單元導(dǎo)引的雙重價值.一方面，本課時的首要任務(wù)是使得學(xué)生獲得研究對象——隨機(jī)事件.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》首次引入樣本點和樣本空間，用集合語言刻畫隨機(jī)現(xiàn)象，進(jìn)而抽象出“隨機(jī)事件”，這無疑給核心概念的生成帶來了新生機(jī)，當(dāng)然也帶來了教學(xué)上的新挑戰(zhàn).另一方面，本單元是高中課程第一次全面研究不確定現(xiàn)象，從研究內(nèi)容到研究思想，再到研究路徑都與以往學(xué)習(xí)存在較大差異.故從單元起始課起，教師就需高處著眼，引導(dǎo)學(xué)生了解隨機(jī)研究領(lǐng)域，培養(yǎng)隨機(jī)思想.然而，我們卻發(fā)現(xiàn)在實際教學(xué)中這兩方面都還存在著諸多不盡如人意之處，或是教師對于教學(xué)內(nèi)容認(rèn)識不夠深刻導(dǎo)致教學(xué)設(shè)計偏差，或是受“一定義三注意”概念教學(xué)方式影響認(rèn)為其并非要害，無需多費心思.針對此內(nèi)容的研究更不多見，據(jù)統(tǒng)計自2017年以來，中國知網(wǎng)收錄的相關(guān)文章僅9篇.

近年來，大概念教學(xué)理念逐步走入人們的視野.聚焦大概念，撥冗去繁、突出重點，可以較好地聯(lián)結(jié)學(xué)科知識構(gòu)建與核心素養(yǎng)培養(yǎng)，為解決“隨機(jī)事件和樣本空間”的教學(xué)問題，統(tǒng)領(lǐng)概率單元概念教學(xué)提供了新樣態(tài)和新途徑.

基于此，現(xiàn)就本課時的教學(xué)思考和相關(guān)設(shè)計淺談一二.

1 基于大概念理論的教材內(nèi)容解構(gòu)與常見問題剖析

章建躍老師曾指出改進(jìn)教學(xué)要從加深理解內(nèi)容入手.在日常概率教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)教師經(jīng)常因自身專業(yè)儲備不足，概率基礎(chǔ)知識理解不深，思想方法把握不準(zhǔn)而導(dǎo)致教學(xué)趨于淺層，甚至出現(xiàn)偏差.故先進(jìn)行核心內(nèi)容和常見問題分析就顯得尤為重要.1.1 幾個概念1.1.1 隨機(jī)現(xiàn)象

隨機(jī)現(xiàn)象是概率論研究的起點.教材中描述其為“在一定條件下，某種結(jié)果可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，事先不能確定出現(xiàn)哪種結(jié)果的現(xiàn)象”.第一，隨機(jī)現(xiàn)象是一種“現(xiàn)象”，它廣泛存在于生活當(dāng)中，是事物表現(xiàn)出來的外部形態(tài)，以人們感性經(jīng)驗為基礎(chǔ)的認(rèn)識.因此對其理解需要大量具體實例的支撐;第二，隨機(jī)現(xiàn)象具有“隨機(jī)性”，這明確了概率的研究范圍，用辯證唯物主義觀點來看，隨機(jī)性是客觀存在的，人們對確定性和隨機(jī)性關(guān)系的認(rèn)識推動科學(xué)不斷進(jìn)步，同時也會隨著科學(xué)進(jìn)步而不斷深入，由此可見，確定性只是隨機(jī)性的一種特殊狀態(tài).由于考慮到隨機(jī)現(xiàn)象的復(fù)雜性與學(xué)生現(xiàn)階段的認(rèn)知儲備，高中必修課程中概率的研究對象僅限于結(jié)果有限、不可預(yù)知、頻率穩(wěn)定的隨機(jī)現(xiàn)象[1].1.1.2 試驗

試驗是概率論的初始型概念，分析隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律需借助試驗進(jìn)行，隨機(jī)事件的認(rèn)知更是建立在試驗的認(rèn)知之上.教材指出“對于某個現(xiàn)象，如果能讓其條件實現(xiàn)1次，那么就是進(jìn)行了1次試驗.”雖是描述性概念，但仍需究其深意：第一，試驗是可以重復(fù)的;第二，所有可能的結(jié)果是明確可知的;第三，每個結(jié)果的出現(xiàn)都具有隨機(jī)性.

1.1.3 樣本點和樣本空間

樣本點和樣本空間是描述試驗結(jié)果，測量隨機(jī)事件的基礎(chǔ)，構(gòu)建樣本空間是概率建模過程中關(guān)鍵的一步.教材中以具體試驗為例，把“拋擲一顆骰子，結(jié)果向上的點數(shù)是k”記為ωk（k=1，2，3，4，5，6），指出像ω1，ω2，ω3，ω4，ω5，ω6這樣不可能再細(xì)分的結(jié)果稱為樣本點，所有樣本點組成的集合稱為樣本空間.這里明確試驗的每一個可能結(jié)果都是樣本點，重點強(qiáng)調(diào)“不可能再細(xì)分”，這是構(gòu)建樣本空間的原則.并以具體實例探究建構(gòu)樣本空間的程序和技巧，如遞進(jìn)設(shè)計拋擲一枚、兩枚乃至三枚硬幣，寫出其各自的樣本空間（圖1）.由此明確樣本點僅由問題背景決定.

同時，“描述樣本點”還是培養(yǎng)符號語言的良好載體，如引導(dǎo)學(xué)生利用不同語言描述樣本空間（表1），對比優(yōu)化的同時，尋求化歸統(tǒng)一，為后續(xù)學(xué)習(xí)伯努利試驗做準(zhǔn)備[2].

1.1.4 隨機(jī)事件

隨機(jī)事件作為概率的研究對象，是單元起始課的核心概念，更是整個單元知識體系的基石.與以往舊教材描述性定義不同，新教材定義隨機(jī)事件為“樣本空間的子集”，即通過試驗將隨機(jī)現(xiàn)象從外部世界抽象出來，并運用集合語言加以刻畫，簡而言之，隨機(jī)事件是隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)學(xué)化.隨機(jī)事件的本質(zhì)是試驗表現(xiàn)出的一種結(jié)果，事件的發(fā)生就是當(dāng)且僅當(dāng)滿足某種條件的樣本點出現(xiàn).在此基礎(chǔ)之上，進(jìn)一步類比特殊集合，了解空集是不可能事件，全集是必然事件，且兩者均是隨機(jī)事件的極端情況，這些基本觀念建立后就可以尋覓產(chǎn)生結(jié)果的原因了.

1.2 一條主線

大概念教學(xué)倡導(dǎo)圍繞位于學(xué)科、單元或是課時頂層的關(guān)鍵性概念，將具體知識按照一定的邏輯線索，組織層級結(jié)構(gòu)分明的教學(xué).據(jù)統(tǒng)計，概率單元起始課時“隨機(jī)事件和樣本空間”涵蓋各級概念共計12個，面對這樣繁雜的學(xué)習(xí)內(nèi)容，首先需要明確該課時的“大概念”與“大任務(wù)”“使學(xué)生獲得概率研究對象隨機(jī)事件”正是單元起始課的核心.新教材在該問題上進(jìn)行了重構(gòu)（如圖2），旨在解決以往隨機(jī)事件在抽象生成和深度理解上的困擾，同時該路徑所獲概念更加接近大學(xué)公理化定義，為高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)做了基礎(chǔ)性的鋪墊.

此外，除了“獲得研究對象”這一明線外，本課時還有一條思想暗線，即通過對于“隨機(jī)性”從感性到理性的體驗，初步形成“隨機(jī)思想”.

1.3 若干問題

基于以上分析，再反觀日常概率單元起始課教學(xué)，我們歸納問題如下：

1.3.1 未處理好點

隨機(jī)現(xiàn)象積累不足.教學(xué)中常因“隨處可見”而忽視引導(dǎo)學(xué)生從感性到理性深入感受，這不利于研究動因的形成、研究對象的獲取以及“隨機(jī)性”的體會.

試驗重視不足.試驗是開展概率研究的工具，教學(xué)中常會引導(dǎo)學(xué)生以像“拋一枚硬幣”“擲一顆骰子”等感性、具象地認(rèn)識“試驗”，但缺乏對這一基礎(chǔ)性概念更深層次的理解.

隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件關(guān)系理解不深.混淆兩概念是概率教學(xué)中的常見難點，由此折射出學(xué)生乃至教師對于概念及其關(guān)系理解的盲點.

樣本空間構(gòu)建原則不清.選擇適當(dāng)集合語言構(gòu)建樣本空間并不容易，樣本點“不可再分”的原則易說不易做，學(xué)生缺乏建構(gòu)技巧，容易忽視不同結(jié)果的順序問題.1.3.2 未勾勒出線

碎片化的概念生成使得學(xué)生應(yīng)接不暇，卻又不明就里.究其原因，多是教學(xué)時缺乏邏輯準(zhǔn)確、路徑鮮明的主線將諸如隨機(jī)現(xiàn)象、樣本點和樣本空間、隨機(jī)事件等重要概念串珠成線，織線成網(wǎng)，形成系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu).

1.3.3 未深究入髓

隨機(jī)思想是統(tǒng)領(lǐng)概率單元教學(xué)的關(guān)鍵，沒有引導(dǎo)深層學(xué)習(xí)的教學(xué)極易造成學(xué)習(xí)的片面和短視，學(xué)生僅停留在機(jī)械的模仿與操作層面，無法深入體會概率知識背后所蘊含的邏輯根據(jù)、思想方法和價值意義.

2 基于大概念理論的教學(xué)設(shè)計片段及思考

為了解決以上問題，教師在概率單元起始課教學(xué)設(shè)計時需站位高遠(yuǎn)，以概率核心思想為指導(dǎo)，一以貫之地處理好單元概念教學(xué)，尤其重視初始概念教學(xué).2.1 設(shè)置情境，體驗隨機(jī)現(xiàn)象

活動1：出示一個布袋，里面裝有紅球4個.

問題1-1：（1）同學(xué)們，現(xiàn)在閉上眼睛從袋中隨意摸出一球，該球是紅球嗎？

生：一定是.

（2）那會是白球嗎？

生：一定不是.

師：像這種在一定條件下，事先就能斷定發(fā)生或不發(fā)生某種結(jié)果的現(xiàn)象，稱為確定性現(xiàn)象.

教師又將1個白球放入布袋.

（3）現(xiàn)在再從袋中隨意摸出一球，該球一定是紅球嗎？

生：不一定.

追問：什么叫“不一定”？

生：有可能是，也有可能不是.

師：在一定條件下，事先不能確定出現(xiàn)哪種結(jié)果，這種現(xiàn)象就是隨機(jī)現(xiàn)象.

問題1-2：請觀看短片，你能分析出短片中哪些現(xiàn)象是隨機(jī)現(xiàn)象嗎？

互動情境短片：某日，我?；@球隊和兄弟學(xué)校比賽.關(guān)鍵時刻，小明應(yīng)當(dāng)把球傳給位于投籃位置的7號、9號和11號哪位球員（后出示三個球員的投籃命中率，學(xué)生幫助選擇）;比賽結(jié)束后，大家要買飲料，抽簽決定派12人中的兩個人去對面的超市買飲料（計算機(jī)模擬抽簽）;兩人對于選擇A還是B兩種品牌的飲料意見不統(tǒng)一，一時難以抉擇，于是拋硬幣決定，若正面向上就選A，若反面向上就選B（一名同學(xué)現(xiàn)場演示）;結(jié)賬后，小x從購買的飲料中隨便拿了一瓶，打開瓶蓋，竟發(fā)現(xiàn)自己中獎了.

學(xué)生討論提取現(xiàn)象：（1）小明在三個球員中選擇一位傳球，他選擇了11號;（2）從12人中抽簽決定派兩人去跑腿，抽中小x和小y;（3）拋一枚硬幣，正面向上;（4）小x拿一瓶打開，發(fā)現(xiàn)中獎了.

問題1-3：這些隨機(jī)現(xiàn)象有什么共同的特點嗎？

師生共同分析：就一次觀測而言，事先預(yù)知可能有幾種結(jié)果;某種結(jié)果可能發(fā)生也可能不發(fā)生，具有偶然性;根據(jù)初中學(xué)習(xí)和生活經(jīng)驗可知，若是重復(fù)大量的觀測，每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性大概有一定的規(guī)律.

問題1-4：生活中隨機(jī)現(xiàn)象隨處可見，你還能舉出幾例嗎？

教師引導(dǎo)學(xué)生從游戲（擲骰子、抽撲克牌）、應(yīng)用（股票投資、基金理財）等方向?qū)ふ?并總結(jié)：在自然界和人類社會的生產(chǎn)與生活中，存在著大量的隨機(jī)現(xiàn)象.雖然其結(jié)果具有不確定性，但若是我們能夠了解并掌握內(nèi)在規(guī)律，就可以幫助我們做出更優(yōu)化的選擇.

設(shè)計意圖 隨機(jī)現(xiàn)象是概率研究的起因和起點，雖然生活中充斥著大量的隨機(jī)現(xiàn)象，但學(xué)生很少會有意識地加以思考，概率單元起始課要匯集足夠的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，讓學(xué)生明確即將研究問題的生活來源，故筆者設(shè)計“摸球演示”“短片互動”“個人舉例”三步情境引入.“摸球演示”旨在借助初中熟悉模型，引出確定性現(xiàn)象和隨機(jī)現(xiàn)象;“短片互動”旨在引導(dǎo)學(xué)生通過自身體驗、信息技術(shù)輔助等沉浸式體會“隨機(jī)性”，又在其中滲透概率內(nèi)容的特點，如“中獎”案例幫助學(xué)生體會概率含義，“傳球”案例則引導(dǎo)學(xué)生理解利用概率進(jìn)行合理決策，再通過選擇的11號并未進(jìn)球這一結(jié)果，說明即便合理決策也未必一定取得好的結(jié)果，進(jìn)而深化“隨機(jī)性”的認(rèn)識;“個人舉例”則是推動學(xué)生由習(xí)得到生成.

2.2 抽象生成，建構(gòu)核心概念

師：隨機(jī)現(xiàn)象雖然具有“隨機(jī)性”，但其內(nèi)在數(shù)量規(guī)律往往對于生產(chǎn)生活有很大的價值，因此下面我們開始研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律，這是概率單元的主要學(xué)習(xí)任務(wù).

問題2：那如何展開隨機(jī)現(xiàn)象研究呢？

設(shè)計意圖 提出“大任務(wù)”推動學(xué)生學(xué)習(xí)，這一目標(biāo)將成為串起本課時乃至本單元內(nèi)容的主線.根據(jù)學(xué)生所提，師生共同找尋研究方向，可以從具體例子開始，可以讓條件重復(fù)實現(xiàn)，進(jìn)行觀測.

教師給出試驗的概念：對于某個現(xiàn)象，如果能讓其條件實現(xiàn)1次，那么就是進(jìn)行了1次試驗.而試驗的每一種可能的結(jié)果都蘊含著某種統(tǒng)計規(guī)律.

問題3：試驗具有什么共同的特點嗎？

學(xué)生以情境中的摸球、選人、抽簽、拋硬幣、抽獎為例，歸納得出試驗特征：（1）試驗是可以重復(fù)的;（2）所有可能的結(jié)果是明確可知的;（3）每個結(jié)果的出現(xiàn)都是具有隨機(jī)性的.

設(shè)計意圖 試驗是描述型概念，通過“摸”“選”“抽”“拋”等動作描述，引導(dǎo)學(xué)生指向結(jié)果分析，為引出樣本空間做鋪墊.

問題4-1：請以“擲一枚骰子，觀察朝上一面”為例，說出其所有可能的結(jié)果.

生：1點、2點、3點、4點、5點、6點.

問題4-2：也就是說這些試驗的結(jié)果是一些確定的、不同的對象，我們可以將它們集結(jié)到一起，能用熟悉的數(shù)學(xué)語言加以刻畫嗎？

生：可以，所有可能的試驗結(jié)果構(gòu)成一個集合.

師：非常好！我們用集合語言刻畫：{1點、2點、3點、4點、5點、6點}.

教師給出樣本點和樣本空間的概念：我們把“拋擲一顆骰子，結(jié)果向上的點數(shù)是k”記為ωk（k=1，2，3，4，5，6）.像上述ω1，ω2，ω3，ω4，ω5，ω6這樣不可能再細(xì)分的結(jié)果稱為樣本點，所有樣本點組成的集合稱為樣本空間，記為Ω，即Ω={ω1，ω2，ω3，ω4，ω5，ω6}.

問題4-3：請分析概念中的關(guān)鍵詞.

生：不可再分.也就是對于這個試驗來說，樣本點是最小的結(jié)果單位了.

師：非常好！這是樣本空間的構(gòu)建原則，“不可再分”完全由問題的背景決定.

問題4-4：我們試著用文字、用字母表示樣本點，還能再簡單些嗎？

生：Ω={1，2，3，4，5，6}.

設(shè)計意圖 引導(dǎo)學(xué)生從具體試驗入手，通過知識遷移，以集合語言作為工具刻畫試驗結(jié)果，建立了隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型.強(qiáng)化“樣本點不可再分”這一構(gòu)建原則，為后續(xù)進(jìn)一步分析復(fù)雜樣本空間奠定理論基礎(chǔ)，并且在樣本點的表述上，經(jīng)歷了從文字到字母，再到數(shù)字的抽象過程，體會如何規(guī)范且簡潔地書寫樣本空間，提升學(xué)生數(shù)學(xué)表征水平[3].

問題5-1：拋擲一顆骰子，結(jié)果向上的點數(shù)為偶數(shù).你能用集合將其表示出來并解釋嗎？

生：{2，4，6}.當(dāng)拋擲一顆骰子，向上的點數(shù)是偶數(shù)時，{2，4，6}中的一個樣本點發(fā)生;反過來，{2，4，6}中的一個樣本點發(fā)生，則拋擲一顆骰子，向上的點數(shù)是偶數(shù).

問題5-2：這個集合與樣本空間有什么關(guān)系？

生：是樣本空間的子集.

師：是的.我們將樣本空間的子集稱為隨機(jī)事件，也稱為事件.事件一般用A，B，C……等大寫英文字母來表示.

“拋擲一顆骰子，結(jié)果向上的點數(shù)為偶數(shù)”記為事件A，值得注意的是一個事件的完整表述分為兩個部分，前一部分是試驗的條件，后一部分為試驗的結(jié)果.這里事件A={2，4，6}，即當(dāng)一個試驗的結(jié)果是A的一個元素時，事件A就發(fā)生了.問題5-3：針對這一試驗，你還能提出哪些事件？并試著用集合表示該事件嗎？

學(xué)生討論，給出多個事件，如表2.

問題5-4：請大家觀察，同學(xué)們寫出的隨機(jī)事件中哪些比較特殊？為什么？

生1：事件E和事件F比較特殊.事件E包含了所有的樣本點，事件F沒有一個樣本點.

生2：事件B也比較特殊，它只包含一個樣本點.

追問：能從集合的角度認(rèn)識它們嗎？

生：分別是全集、空集以及含有一個元素的集合.

師：很重要的發(fā)現(xiàn).Ω（全集）稱為必然事件，（空集）稱為不可能事件.它們是隨機(jī)事件的極端情況，本身并不具有隨機(jī)性.

當(dāng)一個事件僅包含單一樣本點時，稱為基本事件.

設(shè)計意圖 隨機(jī)事件是本課時的核心概念，也是概率單元的線索，其生成是單元起始課的重點也是難點.筆者通過設(shè)計問題串，用集合語言刻畫隨機(jī)現(xiàn)象，推動隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)學(xué)化，最后，放手讓學(xué)生自由提出“拋擲骰子”試驗的隨機(jī)事件，這是從“學(xué)”到“用”的升華，并在應(yīng)用中引導(dǎo)學(xué)生類比集合發(fā)現(xiàn)并定義隨機(jī)事件的特殊情形.至此，核心概念建構(gòu)完成，并在建構(gòu)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

2.3 知識遷移，探尋事件關(guān)系

問題6-1：請大家觀察事件A和事件B，你能用集合語言分析A，B兩者之間的關(guān)系嗎？

生：B A.就是若B發(fā)生，A一定發(fā)生.

師：非常好！我們發(fā)現(xiàn)B A，即“事件B發(fā)生必導(dǎo)致事件A發(fā)生”.這時，稱B是A的子事件.

追問：同學(xué)們列舉的這些事件中還存在著這樣的關(guān)系嗎？

學(xué)生一一找出.

問題6-2：剛才的問題給了我們一個思路：可以類比集合的關(guān)系和運算研究事件的關(guān)系與運算，對嗎？請大家仔細(xì)研究，嘗試還有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：我發(fā)現(xiàn)D=G∪H，也就是“事件G與H至少有一個發(fā)生就是D發(fā)生”.

師：我們稱D是G與H的并，也稱D是G與H的和，并記作D=G+H.

生2：我發(fā)現(xiàn)G=A∩D，也就是“事件A與D同時發(fā)生就是G發(fā)生”.

師：我們稱G是A與D的交，也稱G是A與D的積，并記作G=AD.

設(shè)計意圖 事件的關(guān)系和運算是集合語言刻畫隨機(jī)事件的后續(xù)生成.針對樣本點、樣本空間、隨機(jī)事件及其關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生類比遷移，通過集合的“子”“交”“并”，自行研究事件的關(guān)系與運算.如此設(shè)計，學(xué)生一方面厘清知識間的聯(lián)系，更重要的是學(xué)會了提出問題，探索研究問題的路徑.

2.4 串珠成線，形成完整知識鏈條

問題7：同學(xué)們，今天我們一起走進(jìn)了概率世界，在這里我們更加深刻地認(rèn)識了隨機(jī)現(xiàn)象，并完成了隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)學(xué)化這一抽象生成，你能用導(dǎo)圖的形式概括回顧今天的學(xué)習(xí)嗎？

設(shè)計意圖 圍繞隨機(jī)事件這一核心概念的生成，引導(dǎo)學(xué)生高處站位，以整體目光審視本課時內(nèi)容，撥冗去繁，抽出主線，如此設(shè)計可以更好地促進(jìn)學(xué)生自主審視學(xué)習(xí)內(nèi)容，梳理研究路徑，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)

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作者簡介 孔繁晶（1984—），女，江蘇徐州人，講師;曾獲市級優(yōu)質(zhì)課一等獎，教師基本功比賽一等獎;研究方向為中學(xué)數(shù)學(xué)教育與研究;10余篇論文發(fā)表，其中1篇論文被人大復(fù)印報刊資料《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》全文轉(zhuǎn)載.