夏偉恒, 喬 磊, 宋菲菲

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 成都 610066)

0 引 言

平坦模是模理論和同調(diào)理論中的重要模類之一, 平坦模的推廣目前已得到廣泛關(guān)注. 李珊珊等[1]介紹并討論了一類廣義的平坦模, 稱為P-平坦模.P-平坦模與Hattori[2]提出的無撓(torsion-free)模概念等價, 同時P-平坦模還可視為(m,n)-平坦模[3](也稱為n-平坦模[4])的特殊情形.P-平坦?？梢钥坍媣on Neumann正則環(huán)(簡稱為VN正則環(huán)), 即環(huán)R是VN正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)每個左(右)R-模是P-平坦模[1]. Mao等[5]研究了無撓模和可除模及P-凝聚環(huán)的相關(guān)性質(zhì), 給出了模與環(huán)的無撓維數(shù)和可除維數(shù), 并借助維數(shù)給出了VN正則環(huán)和p.p環(huán)(即每個主理想是投射理想的環(huán))的新刻畫.盡管P-平坦模的概念可以定義在任意有單位元的結(jié)合環(huán)上, 但交換環(huán)上的P-平坦模有一些優(yōu)良性質(zhì).例如: 整環(huán)上的P-平坦模恰為經(jīng)典的無撓模[1]； 交換環(huán)上的P-平坦模滿足局部整體原理[6].關(guān)于交換環(huán)上P-平坦模的研究可參見文獻[6-9].Wang[10]引入了整環(huán)上相對于w-算子的平坦模, 即w-平坦模, 這里的w-平坦模要求是整環(huán)上的無撓模； Yin等[11]將整環(huán)上的w-模理論推廣到了一般交換環(huán)上; Kim等[12]將w-平坦模的概念推廣到了一般交換環(huán)上.w-平坦模是對交換環(huán)上平坦模的推廣, 也可以刻畫VN正則環(huán), 即交換環(huán)R是VN正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)每個R-模是w-平坦模[13].同時, 其也可以用于刻畫乘法理想理論中產(chǎn)生的一類重要的整環(huán)——Prüferv-乘法整環(huán)(簡稱為PvMD)[14], 即整環(huán)R是PvMD當(dāng)且僅當(dāng)每個無撓R-模是w-平坦模[12].關(guān)于w-平坦模的研究可參見文獻[15-17].

如無特殊說明, 本文所有的環(huán)均為有單位元的交換環(huán), 所有的模均為酉模.特別地, 用R表示這樣的環(huán).本文考慮對P-平坦模也進行w-模化理論研究.為此, 首先引入w-P-平坦模的概念, 并給出w-P-平坦模的若干等價刻畫及性質(zhì), 證明交換環(huán)R是VN正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)每個R-模是w-P-平坦模; 其次, 給出每個理想都是w-P-平坦的環(huán)(稱為w-p.f環(huán)), 以及w-p.f環(huán)的一些等價刻畫和性質(zhì)； 最后, 討論一類特殊的w-p.f環(huán)----p.p環(huán), 證明交換環(huán)R是p.p環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是w-p.f環(huán)且R的完全商環(huán)為VN正則環(huán).

1 預(yù)備知識

設(shè)J是R的有限生成理想, 若自然同態(tài)φ:R→J*=HomR(J,R)是同構(gòu)的, 則J稱為R的Glaz-Vasconcelos理想, 簡稱GV-理想[11], 并記J∈GV(R).設(shè)M為R-模, 記

torGV(M)={x∈M|存在J∈GV(R), 使得Jx=0},

則torGV(M)是M的子模, torGV(M)稱為M的完全GV-撓子模.特別地, 若torGV(M)=M, 則M稱為GV-撓模.若torGV(M)=0, 則M稱為GV-無撓模.

Mw={x∈E(M)|存在J∈GV(R), 使得Jx?M},

則Mw稱為M的w-包絡(luò), 其中E(M)是M的內(nèi)射包.因此, GV-無撓模M是w-模當(dāng)且僅當(dāng)Mw=M.

設(shè)f:M→N是R-模同態(tài).若對R的任何極大w-理想m,fm:Mm→Nm都是單同態(tài)(滿同態(tài)或同構(gòu)), 則f稱為w-單同態(tài)(w-滿同態(tài)或w-同構(gòu)).設(shè)A→B→C是R-模與同態(tài)的序列.若對R的任何極大w-理想m,Am→Bm→Cm都是正合列, 則序列A→B→C稱為w-正合列[21].對w-正合列0→A→B→C→0及任何R-模M, 若誘導(dǎo)序列0→M?RA→M?RB→M?RC→0仍是w-正合列, 則序列0→A→B→C→0稱為w-純正合列.特別地, 若模A是模B的子模, 且序列0→A→B→B/A→0是w-純正合列, 則A稱為B的w-純子模[22].

2 交換環(huán)上的w-P-平坦模

如果對任何R的左主理想P都有0→M?RP→M?RR為正合列, 則右R-模M稱為P-平坦模.P-平坦模與無撓(torsion-free)模[2]是等價的.若對任何(a,λ)∈A×R滿足λa=0, 均有a∈r(λ)A成立, 則左R-模A稱為無撓模, 其中r(λ)為λ的右零化子.顯然, 平坦模是P-平坦模.

定義1如果對R的任意主理想P, 誘導(dǎo)同態(tài)M?RP→M?RR均為w-單同態(tài), 則R-模M稱為w-P-平坦模.

顯然,P-平坦模和w-平坦模都是w-P-平坦模.下面給出w-P-平坦模的一些等價刻畫.

定理1設(shè)M為R-模, 則下列結(jié)論等價:

1)M為w-P-平坦模；

2) 對R的任何素w-理想p,Mp是P-平坦的Rp-模;

3) 對R的任何極大w-理想m,Mm都是P-平坦的Rm-模；

5) 對R的任意主理想P, 自然同態(tài)μ:M?RP→MP都是w-同構(gòu)；

6) 對任意(s,x)∈R×M滿足sx=0, 均存在J∈GV(R), 使得Jx?annR(s)M.

證明: 1)?2).設(shè)N=Pp是Rp的主理想, 其中P是R的主理想.由于M為w-P-平坦模, 則M?RP→M?RR為w-單同態(tài).故(M?RP)p→(M?RR)p為單同態(tài), 從而Mp?RpPp→Mp?RpRp為單同態(tài), 于是Mp為P-平坦Rp-模.

2)?3)顯然.

4)?1).設(shè)P為R的主理想, 對正合列0→P→R→R/P→0, 由文獻[12]中命題3.2可得w-正合列

設(shè)m為R的任何極大w-理想, 則可得正合列

3)?5).設(shè)N?Pm為Rm的主理想, 其中P為R的主理想.由Mm為P-平坦Rm模及文獻[1]中命題1的(3)可知, 自然同態(tài)μm:Mm?RmPm→MmPm為同構(gòu).從而自然同態(tài)μ:M?RP→MP為w-同構(gòu).

4)?6).由文獻[2]中命題1可知,

取P=(s), 則結(jié)論成立.

推論1GV-撓模是w-P-平坦模.

證明: 設(shè)M為GV-撓模,m為R的任何極大w-理想.由GV-撓模的性質(zhì)可知Mm=0, 即Mm為P-平坦模.由定理1中3)可知,M是w-P-平坦模.證畢.

任何循環(huán)P-平坦模是平坦模[8], 下面給出w-P-平坦模的類似性質(zhì).

命題1任何循環(huán)w-P-平坦模M是w-平坦模.

命題2設(shè)w-正合列0→A→B→C→0, 若A,C均為w-P-平坦模, 則B為w-P-平坦模.

證明: 由條件及文獻[12]中命題3.2知, 對R的任何主理想P, 序列

P-平坦模[27]和w-平坦模[12]關(guān)于正向極限均封閉.下面給出w-P-平坦模關(guān)于正向極限也是封閉的結(jié)論.

證明: 設(shè)m為環(huán)R的任何極大w-理想, 則{(Ai)m|i∈Γ}為Rm-模Mm的一簇P-平坦子模.而

P-平坦模的純子模是P-平坦模[27], 關(guān)于w-P-平坦模的w-純子模也有類似結(jié)果.

命題4w-P-平坦模的w-純子模是w-P-平坦模.

證明: 設(shè)M為w-P-平坦模, 設(shè)K為M的w-純子模, 則有w-純正合列0→K→M→M/K→0.因此對R的任何極大w-理想m, 序列0→Km→Mm→(M/K)m→0為純正合列.從而Km為Mm的純子模, 又Mm為P-平坦模, 故Km為P-平坦Rm-模, 即K為w-P-平坦模.證畢.

2.1.1 NDVI數(shù)據(jù) NDVI數(shù)據(jù)采用 NASA Goddard Space Flight Center提供的2000—2014年MOD13Q1數(shù)據(jù)集中的NDVI產(chǎn)品，正弦曲線投影，時間分辨率為16 d，空間分辨率為250 m。本研究應(yīng)用MRT、ArcGIS Python軟件對數(shù)據(jù)進行格式與投影轉(zhuǎn)換、圖像拼接與裁剪得到研究區(qū)NDVI數(shù)據(jù)，運用最大值合成法將16 d NDVI數(shù)據(jù)合成為月均值，從而消除云、霧及太陽高度角等因素對NDVI的影響。

P-平坦模的直和是P-平坦模, 關(guān)于w-P-平坦模的直和也有類似結(jié)果.

命題5w-P-平坦模的直和是w-P-平坦模.

證明: 設(shè)M,N為w-P-平坦模,P為環(huán)R的任意主理想, 由文獻[9]中定理3.4.5知,

在整環(huán)上,P-平坦模與無撓模是等價的, 但w-平坦模不一定是無撓模[12].文獻[12]中命題3.8證明了GV-無撓的w-平坦模M是無撓模.事實上, 當(dāng)R是整環(huán)時, 有下列結(jié)果.

定理2設(shè)R為整環(huán), 則GV-無撓的w-P-平坦模M是無撓模.

下面利用w-P-平坦模給出幾個經(jīng)典環(huán)類的新刻畫.文獻[27]中定理2.1.1利用P-平坦模給出了VN正則環(huán)的刻畫, 文獻[13]中定理4.4表明， 任何模都是w-平坦模的環(huán)恰好也是VN正則環(huán).相應(yīng)地,w-P-平坦模也可用于刻畫VN正則環(huán).

定理3對環(huán)R, 下列結(jié)論等價:

1) 任何R-模都是w-P-平坦模；

2)R的任何理想都是w-純理想；

3)R的任何主理想都是w-純理想；

4) 環(huán)R是VN正則環(huán).

證明: 1)?2).設(shè)I是R的理想, 則R/I為w-P-平坦模.設(shè)m為R的任何極大w-理想, 則(R/I)m?Rm/Im為P-平坦Rm-模.因此(R/I)m為平坦Rm-模, 即R/I為w-平坦模.故I是w-純理想.

2)?3)和4)?1)顯然.

3)?4).對R的任何主理想P=(x), 由文獻[22]中定理2.15的(5)可知,x∈(x)w=(x)w∩(x)w=(x2)w, 從而由文獻[13]中定理4.4的(3)可知R為VN正則環(huán).

例1P-平坦模是w-P-平坦模, 反之不一定成立.若R為整環(huán), 則R上任意非0的GV-撓模(例如R/J, 其中J∈GV(R))是w-P-平坦模, 但不是無撓模, 即不是P-平坦模.

R為DW環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)任何w-投射(平坦)模是投射(平坦)模[21].當(dāng)R是整環(huán)時,w-P-平坦模也可用于刻畫DW環(huán).

定理4整環(huán)R為DW環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)任何w-P-平坦模均為P-平坦模.

證明: 取任意GV-撓模R/J, 其中J∈GV(R), 故R/J為w-P-平坦模.由條件可知其也為P-平坦模, 從而可知R/J還是無撓模.又R是整環(huán),R/J是GV-無撓模, 于是R/J=0, 即GV(R)=R, 由文獻[21]中定理3.8可知R為DW環(huán).反之, 設(shè)R為DW環(huán), 則GV(R)=R, 由定理1中5)可知任何w-P-平坦模均為P-平坦模.

例2w-平坦模是w-P-平坦模, 反之不一定成立.由于整環(huán)R為PvMD當(dāng)且僅當(dāng)R的每個無撓模都是w-平坦模[12].對非PvMD, 存在無撓模(w-P-平坦模)不是w-平坦模.

下面用w-P-平坦模刻畫PvMD.

定理5整環(huán)R為PvMD當(dāng)且僅當(dāng)任何w-P-平坦模為w-平坦模.

證明: 由于無撓模為w-P-平坦模, 故對環(huán)R, 任何無撓模均為w-平坦模, 從而R為PvMD.反之, 設(shè)R為PvMD,M為w-P-平坦模.要證M為w-平坦模, 只需說明對任何極大w-理想m,Mm均為平坦Rm-模.顯然,Mm是Prüfer整環(huán)Rm上的P-平坦模, 于是由文獻[7]中命題3.1可知Mm是平坦Rm-模.

3 任何主理想都是w-P-平坦理想的環(huán)

下面討論兩類較特殊的環(huán), 即任何主理想都是w-P-平坦理想的環(huán)和p.p環(huán).如果R的任何主理想都是平坦理想, 則R稱為p.f環(huán)[2].文獻[6]中定理2.1證明了R為p.f環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)任何主理想都是P-平坦的, 表明P-平坦?？梢钥坍媝.f環(huán).下面給出一個w-p-平坦的相關(guān)結(jié)果.

定義2若環(huán)R的任何主理想都是w-P-平坦理想, 則R稱為w-p.f環(huán).

顯然, 半遺傳環(huán)、p.p環(huán)和p.f環(huán)都是w-p.f環(huán).下面給出w-p.f環(huán)的一個等價刻畫.

定理6對環(huán)R, 下列結(jié)論等價:

1)R的任何理想都是w-P-平坦理想；

2)R是w-p.f環(huán)；

3)R的任何主理想都是w-平坦理想;

4) 對任意(s,x)∈R×R滿足sx=0, 均存在αk∈annR(s)和dk∈J∈GV(R), 使得dkx=αkx.

證明: 1)?2)顯然.

2)?3).由命題1可得.

2)?4).由于R為w-p.f環(huán), 則R的任何理想P=(x)都是w-P-平坦理想.故存在αk∈annR(s),r∈R及dk∈J∈GV(R), 使得dkx=αk(rx)=βkx, 其中βk=αkr∈annR(s).

4)?1).取R的任何理想I及(s,x)∈R×I, 滿足sx=0, 均存在αk∈annR(s)及dk∈J∈GV(R), 使得dkx=αkx, 故Jx?annR(s)I, 從而由定理1中5)知I為w-P-平坦理想.證畢.

由定理6可知,w-p.f環(huán)也等價于任何主理想都是w-平坦的.參照文獻[28]中引理4.2.2對p.f環(huán)的刻畫, 下面對w-p.f環(huán)進行類似刻畫.

定理7對環(huán)R, 下列結(jié)論等價:

1)R是w-p.f環(huán)；

2) 對R的任何素w-理想p,Rp均為整環(huán)；

3) 對R的任何極大w-理想m,Rm均為整環(huán)；

4)R為約化環(huán),R的任何極大w-理想m包含唯一的極小素理想q,q={r∈M|ur=0,u∈R-m}, 且Rq為Rm的商域.

證明: 1)?2).對Rm的任何主理想N, 均存在R上的主理想I, 使得N?Ip.故Ip為局部環(huán)Rp上的平坦理想, 又Ip還是有限生成的, 因此N?Ip為Rp上的自由理想, 即Rp為整環(huán).

2)?3)顯然.

3)?4).設(shè)m為R的任何極大w-理想且N=nil(R), 由于Rm為整環(huán), 故Nm=nil(R)m=nil(Rm)=0, 即N為GV-撓模.又N為w-理想, 故其還是GV-無撓的, 從而N=0, 于是R為約化環(huán).若p為素理想, 且滿足p?m, 則q?p(否則, 若x∈q, 但x?p, 則由定義知存在u∈R-m, 使得ux=0∈p, 故u∈p, 矛盾).另一方面, 對f:R→Rm, 滿足q∈Ker(f), 故由同態(tài)基本定理可知,g:R/q→Rm為單射, 因此R/q為整環(huán), 從而q為素理想, 且為包含于m的唯一極小素理想.又qRq=0, 從而Rq為域.對Rm, 若0=y∈Rm, 則可設(shè)y=r/s, 其中r∈R,s∈R-m, 即存在u∈R-m, 使得ur=0, 因此r∈q, 從而y∈qm.故對S=Rm-{0}, 設(shè)T(Rm)為Rm的商域,T(Rm)=(Rm)qm=Rq, 即Rq為Rm的商域.

4)?1).由于q∩(R-m)=?, 故qm=0為Rm的素理想, 從而Rm為整環(huán).故對任何0≠a∈R, 序列0→annR(a)→R→(a)→0均為正合列, 從而序列0→(annR(a))m→Rm→(a)m→0為正合列.因此Rm?(a)m或(a)m=0, 從而(a)m為平坦模, 即(a)為w-平坦模, 進而(a)為w-P-平坦模.由定理7可知,w-p.f環(huán)和p.f環(huán)在局部化后有密切聯(lián)系.

定理8環(huán)R為w-p.f環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對R的任何極大w-理想m,Rm為p.f環(huán).

證明: 若R為w-p.f環(huán), 設(shè)N?Pm為Rm的主理想, 其中P為R的主理想,m為R的極大w-理想.由定理6知P為w-平坦R-模, 從而Pm為平坦Rm-模, 即Rm為p.f環(huán).反之, 若Rm為p.f環(huán), 對R的任何主理想P,Pm均為Rm的主理想, 故為平坦Rm-模, 從而P為w-平坦R-模, 即R為w-p.f環(huán).

4 p.p環(huán)

p.p環(huán)是特殊的w-p.f環(huán).下面給出p.p環(huán)的一些新刻畫.

命題6關(guān)于環(huán)R的主理想P, 下列結(jié)論等價:

1)P是有限型的弱w-投射理想;

2)P是有限型的w-投射理想;

3)P是有限表現(xiàn)型的w-平坦理想;

4) 對R的任何極大w-理想m,Pm是自由Rm-模.

證明: 由文獻[23]中推論2.9可得.

命題7若環(huán)R的任何主理想P是弱w-投射理想, 則對R的任何主理想P=(x),P均為無撓模, 且I=annR(x)為有限型模.

證明: 對正合列0→annR(x)→R→(x)→0, 其中R為有限生成投射模, 由命題6及文獻[21]中定理2.1可知,I=annR(x)為有限型模.又由I=annR(x)和R均為w-模可知, (x)為GV-無撓模.再由命題6可知(x)還是w-平坦模, 又(x)為GV-無撓模, 即P=(x)為無撓模.證畢.

定理9設(shè)R為環(huán), 則下列結(jié)論等價:

1)R是p.p環(huán)；

2) 環(huán)R的任何主理想都是弱w-投射理想(w-投射理想)；

3) 環(huán)R的任何主理想都是w-分裂理想；

5)R的完全分式環(huán)T(R)為VN正則環(huán), 且對R的任何極大w-理想m,Rm為整環(huán);

6)R的完全分式環(huán)T(R)為VN正則環(huán),R是w-p.f環(huán).

證明: 1)?2).當(dāng)環(huán)R為p.p環(huán)時, 顯然任何主理想都是弱w-投射理想(w-投射理想).反之, 由命題6知Rm為整環(huán), 由命題7知I=annR(x)為有限型模, 故由文獻[13]中引理4.12知,I=annR(x)由一個冪等元生成, 從而環(huán)R為p.p環(huán).

2)?3).由命題7知, 環(huán)R的任何主理想P=(x)都是有限型的GV-無撓模, 故P=(x)為弱w-投射理想(w-投射理想)當(dāng)且僅當(dāng)P=(x)為w-分裂模.

3)?4).參見文獻[24]中命題2.4對w-分裂模的同調(diào)刻畫.

2)?5).由Rm為整環(huán), 設(shè)P=(x)為環(huán)R的主理想, 則Pm為自由Rm-模, 即P為w-平坦模.設(shè)乘法集S為T(R)所有非零因子構(gòu)成的集合, 由于T(R)為VN正則環(huán), 因此PS為投射T(R)理想.由命題1知P=(x)為無撓模, 由文獻[13]中定理3.19知P=(x)為w-投射理想, 從而P=(x)還是弱w-投射理想.

反之, 設(shè)環(huán)R的任何非零主理想P=(x)都是弱w-投射理想, 由命題1知Pm為自由Rm模, 故Rm的任意非零元素為非零因子, 從而Rm為整環(huán).由于P=(x)是弱w-投射理想, 故PS為w-投射T(R)理想.取T(R)的任何極大w-理想m1, 設(shè)q=m1∩R, 則q為R上的素w-理想, 且q∩S=?.因此S?R-q,m1=qs.從而(PS)qS=Pq, 于是Pq為投射模, 即可設(shè)Pq由冪等元e生成.這表明Pq=T(R)m1e, 而T(R)m1為局部環(huán), 故僅有平凡的冪等元, 因此Pq=T(R)m11.即T(R)m1(x)q=T(R)m1, 表明(x)q為單位, 從而T(R)m1為域.由文獻[13]中定理4.4可知,T(R)為VN正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對T(R)的任何極大w-理想m1,T(R)m1均為域.

5)?6)顯然.

例3盡管p.p環(huán)的任何主理想既是投射理想也是弱w-投射理想, 但p.p環(huán)不一定是DW環(huán).例如, 取R為整環(huán)但不是域, 由文獻[29]中定理A可知R[X]為p.p環(huán), 但由文獻[20]中命題2.12可知R[X]不是DW環(huán).

下面給出w-p.f環(huán)和p.f環(huán)等價的情形.

引理1若對環(huán)R的理想I,J,K, 滿足(I+J)w=R, (I+K)w=R, 則(I+(I∩K))w=R.

證明: 取A1,A2∈GV(R), 使得A1?I+J,A2?I+K.則

A1A2?(I+J)(I+K)?I+JK?I+(J∩K),

故(I+(J∩K))w=R.

引理2若對環(huán)R的w-理想I,J, 滿足(I+J)w=R,IJ=0, 則R=I⊕J.

證明: 由(I+J)w=R可知,Im+Jm=Rm.故

(IJ)m=ImJm=Im∩Jm=(I∩J)m.

又I∩J及I⊕J均為R的w-理想, 故有I∩J=(IJ)w=0.從而R=(I+J)w=(I⊕J)w=I⊕J.

定理10設(shè)R為僅有有限多個極小素理想的環(huán), 則下列結(jié)論等價:

1)R為w-p.f環(huán)；

2)R為有限多個整環(huán)的直和；

3)R為p.f環(huán)；

4)R為p.p環(huán)；

5)R的任何主理想都是弱w-投射理想.

證明: 2),3),4)的等價性在文獻[30]的命題2.2中已證明.5)?1)顯然.4)與5)的等價性在定理9中已證明, 故僅需證明1)?2).

1)?2).由定理6知,R的任何極大w-理想m僅包含唯一的極小素理想q.故(qi+qj)w=R, 其中i≠j, 否則, 存在R的極大w-理想m0, 使得qiqj?qi+qj?(qi+qj)w?m0成立.令I(lǐng)=q1∩…∩qn, 則由引理1可知(q1+I)w=R.又q1I?qi∩I=nil(R)=0, 由引理2可知R=q1⊕I=⊕qi.從而由中國剩余定理知,R?R/∩qi?⊕R/qi.

如果R的任何有限型模都是有限表現(xiàn)型的, 則R稱為w-Noether環(huán).文獻[18]中推論3.20表明, 若R為w-Noether環(huán), 則R僅有有限多個極小素理想.因此,w-Noether環(huán)滿足定理10的條件.