牛倍倍

［摘? 要］ GeoGebra是一款功能強(qiáng)大、適用性強(qiáng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)教育軟件. GeoGebra軟件對(duì)初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)具有支撐作用，體現(xiàn)在其能夠深入學(xué)生思維的每一個(gè)細(xì)節(jié)，從而在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，能夠出現(xiàn)一個(gè)清晰的表象以幫助學(xué)生理解知識(shí)；能夠利用其強(qiáng)大的功能，幫助教師在課堂教學(xué)上優(yōu)化學(xué)生的思維. GeoGebra在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中輔助作用的著力點(diǎn)是學(xué)生的思維. 對(duì)于初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)，只有在學(xué)生的思維上做文章，才能促進(jìn)學(xué)生理解知識(shí)、運(yùn)用知識(shí)，而有了這樣的過(guò)程，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地也才有了保證.

［關(guān)鍵詞］ GeoGebra軟件；信息技術(shù)；課堂教學(xué)

我國(guó)初中數(shù)學(xué)教學(xué)歷來(lái)就有重視教學(xué)輔助手段的傳統(tǒng)，隨著信息技術(shù)的不斷發(fā)展，由信息技術(shù)支撐的教學(xué)輔助手段也推動(dòng)著教學(xué)方式和學(xué)習(xí)方式的不斷改革. 可以說(shuō)正是信息技術(shù)為學(xué)生的探究學(xué)習(xí)提供了平臺(tái)，提高了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，同時(shí)滿足了學(xué)生多元化、差異化、個(gè)性化的需求［1］. 時(shí)至今日，隨著信息技術(shù)的發(fā)展，學(xué)習(xí)輔助手段有了更多的選擇，尤其是各種應(yīng)用軟件的引入，能夠讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中獲得更為形象的思維加工對(duì)象，從而優(yōu)化學(xué)生的思維過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生有效地建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí). 這對(duì)于教師的課堂教學(xué)來(lái)說(shuō)，是一個(gè)非常大的助力.

在諸多應(yīng)用軟件當(dāng)中，GeoGebra是一款功能強(qiáng)大、適用性強(qiáng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)教育軟件，其支持多平臺(tái)的應(yīng)用，尤其是具備幾何畫(huà)板的幾乎全部功能，操作起來(lái)比較簡(jiǎn)單，容易上手，是一款非常適合進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)展示、學(xué)生自主探究、師生互動(dòng)交流的優(yōu)秀數(shù)學(xué)軟件. 結(jié)合實(shí)踐，GeoGebra軟件在圖像生成及教學(xué)演示方面具有其他軟件不可比擬的優(yōu)勢(shì). 作為數(shù)學(xué)教師，要研究的是GeoGebra軟件對(duì)初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的支撐，以及其作用發(fā)揮的機(jī)制.

GeoGebra軟件對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)的支撐

筆者在初中數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中一直高度重視由信息技術(shù)支撐的教學(xué)輔助手段的運(yùn)用，尤其是對(duì)于近年來(lái)比較流行的教學(xué)軟件非常感興趣，在運(yùn)用的過(guò)程當(dāng)中也進(jìn)行了一些比較與鑒別. 相對(duì)于一般的教學(xué)軟件來(lái)說(shuō)，GeoGebra軟件的優(yōu)點(diǎn)在于其集成性比較強(qiáng)，代數(shù)、幾何與微積分等內(nèi)容都集中在一起，因而其實(shí)際上是一個(gè)多功能的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)教育軟件. 站在學(xué)生的角度來(lái)看，利用該軟件，能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的奇妙之處，從而讓枯燥、抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得生動(dòng)有趣，這可以有效地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)接受度［2］. 對(duì)于GeoGebra軟件對(duì)初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的支撐作用，筆者梳理了這樣兩點(diǎn)：

其一，GeoGebra軟件強(qiáng)大的功能能夠深入學(xué)生思維的每一個(gè)細(xì)節(jié)，從而在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，能夠出現(xiàn)一個(gè)清晰的表象以幫助學(xué)生理解知識(shí). 初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵之一，就是思維的加工對(duì)象必須清晰，表象除了來(lái)自學(xué)生的生活體驗(yàn)（在課堂教學(xué)中，學(xué)生無(wú)法即時(shí)通過(guò)生活體驗(yàn)來(lái)充實(shí)表象）之外，就只能依靠教學(xué)輔助手段了. 在這個(gè)方面GeoGebra軟件的作用非常明顯，盡管其呈現(xiàn)的不是生活的原樣，但基本上都是學(xué)生一目了然的學(xué)習(xí)過(guò)程，而這些過(guò)程恰恰是學(xué)生依靠自身的思維所難以完整構(gòu)建出來(lái)的.

其二，GeoGebra軟件能夠利用其強(qiáng)大的功能，幫助教師在課堂教學(xué)上優(yōu)化學(xué)生的思維. 說(shuō)到底一個(gè)好的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量是要靠學(xué)生的思維作為支撐的，這是一個(gè)決定性的因素. 上一點(diǎn)已經(jīng)提及，GeoGebra軟件能夠提供表象給學(xué)生. 當(dāng)學(xué)生的思維有了明確的加工對(duì)象之后，其思維能力的培養(yǎng)也就水到渠成了. 更重要的是，由于這一軟件的運(yùn)用，很多在課堂上無(wú)法用語(yǔ)言來(lái)描述，甚至無(wú)法引起師生關(guān)注的思維細(xì)節(jié)，都能夠得到很好的完善，盡管其形成的更多的是默會(huì)知識(shí)，但是對(duì)于學(xué)生的學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)，依然有著非常重要的價(jià)值.

所以綜合這兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)來(lái)看，在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，GeoGebra軟件是非常具有實(shí)用性的.

GeoGebra軟件在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的例與析

很多教師在運(yùn)用GeoGebra軟件的過(guò)程中，都普遍感覺(jué)在課堂上合理引入它能夠讓數(shù)學(xué)課堂變得豐富多彩. 在課堂上，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)GeoGebra軟件的操作來(lái)獲取新知識(shí)，并將其與以學(xué)生為主、教師從旁輔助的教學(xué)方式進(jìn)行融合，不僅使課堂變得更加圓潤(rùn)和諧，還充分鍛煉了學(xué)生的動(dòng)手操作、語(yǔ)言組織及獨(dú)立思考的能力［3］.

例如，在“三角形”這一知識(shí)的學(xué)習(xí)中，在學(xué)習(xí)了相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)之后，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用GeoGebra軟件，來(lái)促進(jìn)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解. 筆者的做法是帶學(xué)生到計(jì)算機(jī)房，首先讓學(xué)生在電腦上用GeoGebra軟件畫(huà)出一個(gè)任意三角形——這個(gè)時(shí)候?qū)W生會(huì)根據(jù)自己的學(xué)習(xí)習(xí)慣與興趣畫(huà)出不同的三角形；然后筆者引導(dǎo)學(xué)生完成第二個(gè)任務(wù)，也就是畫(huà)出三角形的三條中線——這個(gè)時(shí)候，GeoGebra軟件就能夠體現(xiàn)出其優(yōu)勢(shì)，學(xué)生在畫(huà)中線的時(shí)候，不僅可以借助軟件強(qiáng)大的作圖功能迅速完成，而且結(jié)果非常準(zhǔn)確. 結(jié)果的準(zhǔn)確也就意味著其能夠更為迅速地體現(xiàn)出中線的內(nèi)在規(guī)律. 這個(gè)時(shí)候筆者讓學(xué)生再去觀察圖形，他們就很容易地找到規(guī)律：中線交于一點(diǎn). 很多學(xué)生發(fā)現(xiàn)相鄰?fù)瑢W(xué)的三角形跟自己畫(huà)的并不一樣，原來(lái)畫(huà)銳角三角形的學(xué)生自然也就會(huì)思考，如果是直角三角形或者鈍角三角形，那么這個(gè)規(guī)律還是否成立呢？可以想象，如果沒(méi)有GeoGebra軟件，那么學(xué)生只能去重新畫(huà)三角形，而在這個(gè)軟件上只需要通過(guò)拖動(dòng)的方法，便可以得到學(xué)生想要的三角形. 學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)，不管是哪種三角形結(jié)論依然成立.

又如，要想驗(yàn)證三角形的內(nèi)角和為180°，也可以借助于該軟件來(lái)完成. 一個(gè)三角形無(wú)論如何變形，都可以通過(guò)軟件自帶的功能，證實(shí)其內(nèi)角和為180°.

解析上述教學(xué)過(guò)程，教師可以發(fā)現(xiàn)GeoGebra軟件充分發(fā)揮了提供思維素材、積累思維表象、促進(jìn)學(xué)生思維過(guò)程優(yōu)化的作用. 由于軟件的便捷性，可以省掉學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中一些原本不需要的過(guò)程，這樣就可以讓學(xué)生的思維脈絡(luò)更加清晰. 一旦學(xué)生的思維過(guò)程是清晰的，那么他們無(wú)論是在思維過(guò)程中，還是在其后的學(xué)習(xí)反思中，學(xué)習(xí)重點(diǎn)就可以更加有效地凸顯出來(lái). 這有助于學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)，形成知識(shí)體系，也有助于學(xué)生將對(duì)這些知識(shí)的理解轉(zhuǎn)化為具體的問(wèn)題解決能力.

基于GeoGebra軟件在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用思考

既然是教學(xué)輔助手段，那么其在教學(xué)中所起的應(yīng)當(dāng)是輔助作用. 輔助作用的著力點(diǎn)應(yīng)當(dāng)在哪里？這一點(diǎn)值得思考. 對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，筆者給出的答案就是學(xué)生的思維，尤其是對(duì)于初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)，只有在學(xué)生的思維上做文章，才能促進(jìn)學(xué)生理解知識(shí)、運(yùn)用知識(shí)，而有了這樣的過(guò)程，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地也才有了保證.

毋庸置疑的一點(diǎn)是，GeoGebra是一款功能非常強(qiáng)大、交互性極強(qiáng)的數(shù)學(xué)教學(xué)軟件. 利用該軟件，可以實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)繪圖、機(jī)器演算、課件演示等教學(xué)目的（上面的案例當(dāng)中這些功能就有所體現(xiàn)）. 因?yàn)槠涮赜械膭?dòng)態(tài)性和交互性，能幫助學(xué)生更好地理解知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，這對(duì)于初中生來(lái)說(shuō)是迫切需要的，而這也確實(shí)能夠提高初中數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量和效率. 利用GeoGebra軟件的交互性，可以讓學(xué)生處于更好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境當(dāng)中，而利用該軟件的強(qiáng)大功能，可以進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，從而讓學(xué)生在建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中，感受到數(shù)學(xué)性更強(qiáng)的過(guò)程. 教學(xué)實(shí)踐表明，學(xué)生所體驗(yàn)到的學(xué)習(xí)過(guò)程數(shù)學(xué)性越強(qiáng)，他們就越能感受到數(shù)學(xué)學(xué)科的魅力，有時(shí)候即使一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)知識(shí)，也可以借助于GeoGebra軟件來(lái)演繹一個(gè)生動(dòng)有趣的學(xué)習(xí)過(guò)程，而這樣的一個(gè)過(guò)程演繹，就可以讓學(xué)生在加工這些知識(shí)的過(guò)程當(dāng)中，獲得思維的發(fā)展與能力的生長(zhǎng).

最后從這一教學(xué)軟件功能挖掘的角度，思考初中數(shù)學(xué)教學(xué)，其實(shí)非常需要注意的一點(diǎn)就是：無(wú)論是教學(xué)軟件的選擇，還是其中的功能發(fā)掘，要注重形式與內(nèi)容的結(jié)合. 應(yīng)當(dāng)說(shuō)形式更多的是由教學(xué)軟件提供的，內(nèi)容則是由數(shù)學(xué)學(xué)科決定的. 在確定了教學(xué)內(nèi)容之后，教師要預(yù)設(shè)學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，判斷學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中可能會(huì)在哪些地方存在障礙，然后去思考如何利用教學(xué)軟件來(lái)幫助學(xué)生突破這一障礙. 這種對(duì)癥下藥式的教學(xué)軟件運(yùn)用，才是關(guān)鍵所在. 也就是說(shuō)，教學(xué)軟件的運(yùn)用要防止喧賓奪主，也要防止形式化，當(dāng)運(yùn)用教學(xué)軟件來(lái)輔助教學(xué)的時(shí)候，所重者乃其新穎的形式與內(nèi)在的功能，所重者是對(duì)學(xué)生思維的促進(jìn)，其本身并不能代替數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，也不能代替學(xué)生思維. 有教師在運(yùn)用教學(xué)軟件的過(guò)程中，將知識(shí)的發(fā)生過(guò)程逐步呈現(xiàn)出來(lái)，看起來(lái)教學(xué)過(guò)程很順利，但實(shí)際上卻剝奪了學(xué)生的思維空間，這種情形應(yīng)當(dāng)要避免.

參考文獻(xiàn)：

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［2］楊冬梅，鄭夢(mèng)菲. 基于GeoGebra的任務(wù)型信息化教學(xué)方案設(shè)計(jì)——以《一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)》課程為例［J］. 軟件導(dǎo)刊·教育技術(shù)，2019，18（04）：35-37.

［3］李雷，畢維娜. 手機(jī)GeoGebra在高中數(shù)學(xué)課堂的實(shí)踐與反思——以“直線與圓的位置關(guān)系（一）”為例［J］. 數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2016，35（09）：47-51.