白文波

［摘? 要］ 綜合性強、知識點多的問題常讓學(xué)生望而生畏，探尋知識內(nèi)在的規(guī)律，不僅能幫助學(xué)生捋清知識間的聯(lián)系，還能突出數(shù)學(xué)的本質(zhì)，形成良好的解題技巧，實現(xiàn)數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的提升. 文章從探尋數(shù)字類、計算類以及圖形類的規(guī)律性問題出發(fā)，具體談?wù)勅绾瓮ㄟ^大膽猜想與數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，巧解問題.

［關(guān)鍵詞］ 規(guī)律；數(shù)字；計算；圖形

新課標在第三學(xué)段數(shù)學(xué)知識與技能目標中提出：“要注重引導(dǎo)學(xué)生探索具體問題中存在的內(nèi)在聯(lián)系與規(guī)律性變化，運用代數(shù)式、不等式、方程或函數(shù)等方式解決問題. ”探尋具體問題的規(guī)律是新課標對學(xué)生提出的要求，也是數(shù)學(xué)教學(xué)所面臨的實際問題. 實踐證明，規(guī)律的探尋，能有效培養(yǎng)學(xué)生的猜想、歸納、推理以及創(chuàng)新等能力.

探尋規(guī)律題是指在一定條件下，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)所給定的數(shù)學(xué)對象具有一定的規(guī)律性，通過對這種規(guī)律的探尋，可獲得問題的本質(zhì)，實現(xiàn)解題. 初中數(shù)學(xué)考查規(guī)律性問題，常以給出一組數(shù)、式子、圖、條件等，讓學(xué)生通過自主觀察、分析、推導(dǎo)出其中的規(guī)律. 此過程不僅體現(xiàn)了學(xué)生的思維發(fā)展歷程，還彰顯了從特殊到一般再到特殊的重要數(shù)學(xué)思想方法. 解決此類題對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，提升探究能力具有深遠的影響.

數(shù)字類問題

數(shù)字類規(guī)律性問題的特點主要體現(xiàn)在：問題給出初始的一些形式，其中蘊含著一定的特殊規(guī)律，只要找出這種規(guī)律的一般形式，即可求出問題中的特殊值. 數(shù)字類規(guī)律問題的解題關(guān)鍵就在于如何發(fā)現(xiàn)問題所提供的初始形式中的規(guī)律，一般通過比較法找出變量與不變量，其中變化的量會隨哪個量而發(fā)生變化.

例1已知：162=100×（1+1）+1×20+36=256；

262=100×2×（2+1）+2×20+36=676；

362=100×3×（3+1）+3×20+36=1296；

…

762=（? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ）=5776；

862=（? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ）=7396.

問題：（1）根據(jù)問題所呈現(xiàn)的規(guī)律，將括號內(nèi)填完整；

（2）用字母表示本題的規(guī)律；

（3）計算2162的結(jié)論.

分析：觀察本題所呈現(xiàn)的幾個式子，會發(fā)現(xiàn)其中有些數(shù)據(jù)一直沒有發(fā)生變化，而發(fā)生變化的數(shù)據(jù)只有幾個，且與平方數(shù)上的十位數(shù)有直接關(guān)系，具體表現(xiàn)在：①四個給定式子中都存在100，

1，20，36四個數(shù)，那么括號內(nèi)待填寫的部分，也不能缺少這幾個數(shù)據(jù)；②括號外所乘的數(shù)、括號內(nèi)幾+1的數(shù)、與20相乘的數(shù)以及平方數(shù)的十位數(shù)是相同的. 根據(jù)這兩點，即可完整地填寫兩個括號.

只要掌握了第一個問題的填寫方式，解決第二問則手到擒來，只要將數(shù)據(jù)更改為相應(yīng)的字母即可. 解決了第二問，第三問僅需將數(shù)據(jù)按照規(guī)律代入到字母所表達的一般形式中，即可獲得第三問的結(jié)論. 這三問展示了典型的“特殊—一般—特殊”的數(shù)學(xué)思想，這種思想方法的獲得，為學(xué)生解題能力的提升奠定了堅實的基礎(chǔ).

學(xué)生經(jīng)思考后，分別解得本題結(jié)論分別為：

（1）762=100×7×（7+1）+7×20+36=5776，862=100×8×（8+1）+8×20+36=7396；

（2）（10n+6）2=100n（n+1）+20n+36；

（3）2162=（21×10+6）2=100×21×（21+1）+21×20+36=46656.

觀察以上幾題的結(jié)論，會發(fā)現(xiàn)各個問題之間都有著千絲萬縷的聯(lián)系，上一問為下一問所服務(wù)，而下一問的解題過程又回歸到上一問的解題思路中去，幾個問題逐層深入、循序漸進地發(fā)展，學(xué)生的思維也隨著問題的變化而逐漸深刻，隨著問題的逐個突破，學(xué)生的解題能力也在無形中得以提升.

計算類問題

數(shù)學(xué)又被國人稱為算術(shù)，就是因為計算是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)與關(guān)鍵. 計算類的問題中，有些存在顯著的規(guī)律性，只要能找出其中的規(guī)律，即可簡化計算難度，讓解題變得又快又準. 特別對于一些計算過程繁雜的問題，教師不要讓學(xué)生一門心思鉆進去死算，而應(yīng)探尋其中存在的規(guī)律，找出巧算的方法. 這就要求學(xué)生要有一雙善于洞察與發(fā)現(xiàn)的慧眼，能透過現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)內(nèi)在規(guī)律，從而化繁為簡，實現(xiàn)能力的突破.

例2計算

看到本題，有種眼花繚亂的感覺. 若靜下心來，對各個括號內(nèi)的數(shù)進行逐個對比、分析，會發(fā)現(xiàn)每個括號內(nèi)都是2減一個分數(shù)；再觀察每個分數(shù)的分母，3，8，15，24，…，99之間并沒有學(xué)生所期待的倍數(shù)關(guān)系，而相鄰兩數(shù)之間的差，也不呈均等的關(guān)系. 這就給學(xué)生帶來了困惑，這些分母數(shù)字之間到底存在怎樣的聯(lián)系呢？有什么辦法找出這種聯(lián)系呢？

為此，筆者引導(dǎo)學(xué)生打破常規(guī)思維，換個角度去思考，將分母上的各個數(shù)據(jù)進行拆分. 學(xué)生經(jīng)合作交流后，提出將數(shù)據(jù)分別進行以下分解：3=1×3，8=2×4，15=3×5，24=4×6，…

通過對分解后數(shù)據(jù)的分析，會發(fā)現(xiàn)其中存在的規(guī)律，接下來的數(shù)應(yīng)該就是5×7=35，而99則為9×11的結(jié)論. 只要算出每個括號內(nèi)的式子，再將分母進行分解，約分后問題就變得特別簡單.

解：對括號內(nèi)的式子進行拆分，2-===，以此類推，2-=；2-=；…；2-=.

將分解重組的式子相乘，即×××…×=.

解題中，若遇到思維的瓶頸，可換一種角度重新去觀察與分析，只要捕捉到數(shù)據(jù)間有關(guān)聯(lián)的信息，那么離解決問題就不遠了. 此過程的重點在于要學(xué)會從不同的視角或?qū)哟稳徱暋⒎治鰡栴}，要用敏銳的眼光去偽求真，找到有用的信息，讓規(guī)律的本質(zhì)在抽絲剝繭中暴露，從而順利解題.

新課標倡導(dǎo)要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，而學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問題并解決問題是形成創(chuàng)新意識的基礎(chǔ)，獨立思考是實現(xiàn)創(chuàng)新的核心，概括歸納出問題的規(guī)律并驗證是實現(xiàn)創(chuàng)新的關(guān)鍵. 數(shù)字類規(guī)律問題貫穿于數(shù)學(xué)教育的始終，包括近些年的中考題中也常能看到它的身影. 因此，教師可將此類問題與創(chuàng)新意識的培養(yǎng)融合在一起，有意識地加以引導(dǎo)，讓學(xué)生在自主探索中發(fā)現(xiàn)，實現(xiàn)能力的提升.

圖形類問題

萬物皆流變，數(shù)學(xué)除了數(shù)字、計算類存在一定的規(guī)律之外，圖形的變化更是讓人愛恨交加. 變化莫測的圖形，給數(shù)學(xué)帶來無盡的美感與享受，也為數(shù)學(xué)教學(xué)帶來許多便利，尤其是將復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系用直觀的圖形表示時，真是大快人心. 但圖形的規(guī)律性問題，也給不少學(xué)生帶來了困惑，這是一個說簡單也簡單，說復(fù)雜又很復(fù)雜的問題. 想要突破圖形規(guī)律性問題的障礙，關(guān)鍵要為學(xué)生創(chuàng)造探索的機會，讓學(xué)生在“做中學(xué)”，自主探索圖形的變化規(guī)律，找出本質(zhì)，體驗解決問題方法的多元化特征.

例3如圖1所示，用這種方式擺放大小相等的棋子，依照這種規(guī)律繼續(xù)擺放，第4個圖需要幾枚棋子？第999個圖需要多少枚棋子？

分析：要擺放第4個圖，對于學(xué)生來說問題并不大，只要在草稿紙上畫出來，即可獲得答案. 但要擺放第999個圖，在課堂這個條件下是無法畫出來的. 那就必須放棄數(shù)出來的這種方法，而需應(yīng)用規(guī)律題常用的“特殊—一般—特殊”的模型，先找出第n個圖對應(yīng)多少枚棋子，再計算第999個圖的棋子數(shù)量.

既然知道解決問題的方法，接下來就是要建立模型. 教師可引導(dǎo)學(xué)生從以下幾步著手：

第一步：如表1，利用數(shù)形結(jié)合思想，將圖形轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的數(shù)，建立表格，尋找“數(shù)量”之間存在的規(guī)律.

第二步：如圖2所示，從“形”的角度觀察，分析每個圖形擺放的結(jié)構(gòu)特征，對前后圖形之間存在的規(guī)律加以分析.

從不同視角出發(fā)，會發(fā)現(xiàn)圖形存在不同的規(guī)律. 不論用哪種眼光去分析，只要探尋出它的一般模型，即可實現(xiàn)解題. 本題若在學(xué)生有函數(shù)基礎(chǔ)的條件下解題，也可將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)類的問題進行思考. 因此，視角不同，解題方法也不一樣，如從“數(shù)”的角度去分析，4，7，10，…，后一個數(shù)均比前一個數(shù)大3，那么第n個圖則是關(guān)于n的一次函數(shù)，設(shè)y=kn+b（k≠0），所對應(yīng)的棋子坐標則為（1，4），（2，7）等，點坐標代入解析式則可獲得y=3n+1，那么擺放第n個圖應(yīng)用掉（3n+1）枚棋子.

遇到解決圖形規(guī)律類問題，教師可讓學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合思想，將圖形轉(zhuǎn)化成數(shù)，并將轉(zhuǎn)化后的數(shù)列成表格，以便觀察其中存在的內(nèi)在關(guān)系，從而猜想出相應(yīng)的數(shù)學(xué)規(guī)律，并用合適的代數(shù)式表示. 除此之外，教師還可引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度去分析圖形的形狀，找出其中存在的內(nèi)在規(guī)律等.

若一個問題涉及較復(fù)雜的情況時，教師可引導(dǎo)學(xué)生從問題的簡單形式著手進行研究，從簡單或特殊形式中獲得啟發(fā)，形成某種猜想，為得到問題的一般形式作鋪墊. 這種猜想、歸納的方法也是研究數(shù)學(xué)重要的策略之一.

總之，探尋規(guī)律性問題的基本思路不外乎從特殊情形中觀察、探索、猜想、總結(jié)出一般模型，再以一般模型來解決特殊的問題. 這一類問題具有題型新、形式多樣化等特征，這也對學(xué)生的思維提出了較高的要求，并為學(xué)生提供了較為廣闊的思考空間. 因此，探尋規(guī)律類問題對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識具有重要的促進作用.