史嘉

【摘 要】文章基于問題解決和《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》發(fā)展“三會”數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求，以問題鏈的形式設(shè)計“綜合與實(shí)踐”主題活動教學(xué)。研究者建議教師應(yīng)挖掘初中數(shù)學(xué)教材“折紙”內(nèi)容，開展“紙折正五邊形”主題學(xué)習(xí)活動，并根據(jù)教學(xué)過程和學(xué)生的課后反饋進(jìn)行思考總結(jié)。

【關(guān)鍵詞】綜合與實(shí)踐；問題解決；主題活動教學(xué)；紙折正五邊形

一、引言

2022年4月教育部頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“義教課標(biāo)”）界定了初中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵，主要由三個方面構(gòu)成：會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界（簡稱“三會”）［1］。這和《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“高中課標(biāo)”）所界定的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有整體性和一致性。其中“三會”的表述略有變化，義教課標(biāo)把高中課標(biāo)中的“世界”改為“現(xiàn)實(shí)世界”，其目的是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)是人們認(rèn)識、理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的語言［2］?？梢娏x務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)教學(xué)更加關(guān)注我們的現(xiàn)實(shí)生活，強(qiáng)調(diào)用數(shù)學(xué)解決現(xiàn)實(shí)問題。義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程內(nèi)容由“數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實(shí)踐”四個領(lǐng)域組成，前三個領(lǐng)域?qū)W習(xí)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容和基本思想，而“綜合與實(shí)踐”則不同，它以培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識和方法解決實(shí)際問題的能力為目標(biāo)，通過數(shù)學(xué)實(shí)踐活動積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，體會數(shù)學(xué)的科學(xué)價值，提高發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析與解決問題的能力，發(fā)展應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力。因此，落實(shí)好“三會”，正是要培養(yǎng)會解決問題的學(xué)生，發(fā)展學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識與方法發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力（簡稱“四能”）。鑒于以上分析，筆者依托學(xué)生社團(tuán)開展“綜合與實(shí)踐”主題活動教學(xué)，以期為教師教學(xué)提供參考。

二、主題活動教學(xué)設(shè)計

“紙折正五邊形”活動主題源自人教版八年級下冊的“數(shù)學(xué)活動”，涉及的思想方法分散在八年級上冊、八年級下冊和九年級上冊三本書四個章節(jié)中。而本次“綜合與實(shí)踐”主題活動，通過“紙折正五邊形”把它們整合起來，基于問題解決設(shè)計成“紙折正五邊形”活動方案（見表1）。

張紫屏認(rèn)為，問題解決是在質(zhì)疑與試錯的過程中，通過批評與反思來監(jiān)控和調(diào)整解決問題的過程［3］。何睦認(rèn)為，問題解決是學(xué)習(xí)的一種方式與手段，學(xué)生通過問題解決自主建構(gòu)數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，掌握數(shù)學(xué)研究的一般方法，獲得基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)［4］?；趩栴}解決的理念，為盡可能減少學(xué)生自主探究的盲目性，提高探究性學(xué)習(xí)的可行性和有效性，依據(jù)義務(wù)課標(biāo)“主題活動的設(shè)計可以考慮問題引領(lǐng)的方式”的建議，筆者借鑒透明紙折疊和對打結(jié)動作的逆向分析，根據(jù)折疊和拆解順序設(shè)計活動方案［5］。除了要求學(xué)生動手折疊，筆者還利用幾何畫板模擬透明紙折疊五邊形紙結(jié)，畫出虛線，標(biāo)注字母，方便演示和表達(dá)。

三、教后思考與實(shí)施建議

（一）教后思考

1.從教材中確立“綜合與實(shí)踐”學(xué)習(xí)主題

義教課標(biāo)指出，“綜合與實(shí)踐”主要以主題活動教學(xué)和項目學(xué)習(xí)教學(xué)的形式進(jìn)行，其學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是發(fā)掘合適的學(xué)習(xí)主題和項目，確立的主題不僅要關(guān)注問題是否是現(xiàn)實(shí)的，還要關(guān)注問題是否綜合，學(xué)生是否能夠解決等。那么，學(xué)習(xí)項目的主題如何確立？筆者認(rèn)為，確立主題要特別注意貼合性，與教材貼合，與學(xué)生貼合。比如，教材中“實(shí)驗與探究”“閱讀與思考”“觀察與猜想”“數(shù)學(xué)活動”，包括習(xí)題最后的“拓廣探索”等欄目都是確立學(xué)習(xí)主題的素材源。

2.明確探究“紙折正五邊形”的數(shù)學(xué)教育價值

學(xué)生折疊、探究對稱圖形彩色幸運(yùn)星（正五邊形紙結(jié)的變形）具有以下教育價值。

（1）欣賞正五邊形的對稱性，感悟探究的樂趣和數(shù)學(xué)的優(yōu)美

正五邊形與圓有著密切的關(guān)系，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形。用透明塑料紙折疊正五邊形能非常清晰地看到五角星。紙結(jié)中有美學(xué)黃金分割比，隱藏著菱形、特殊的等腰三角形和等腰梯形等圖形。學(xué)生探索的過程是在不斷經(jīng)歷、體驗思考的樂趣，欣賞紙折正五邊形的奇異美和紙結(jié)的對稱美。

（2）嚴(yán)謹(jǐn)證明紙結(jié)是正五邊形，提升數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識

折疊五邊形紙結(jié)突出了“拉緊、壓平”，其目的是讓學(xué)生從生活情境中抽象出數(shù)學(xué)模型。這個探究過程首先要求學(xué)生把紙結(jié)平面化，能抽象出五邊形、三角形、平行四邊形（菱形）等基本圖形，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)基本模型的性質(zhì)，經(jīng)過推理論證，最終證明紙結(jié)是正五邊形。

（3）在數(shù)學(xué)活動中積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

這節(jié)課學(xué)生研究的現(xiàn)實(shí)世界是五邊形紙結(jié)。教師通過學(xué)習(xí)活動單，引導(dǎo)學(xué)生用幾何直觀和數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)的眼光觀察五邊形紙結(jié)，用模型思維和推理論證等數(shù)學(xué)的思維思考五邊形紙結(jié)，用基本圖形和數(shù)學(xué)符號等數(shù)學(xué)語言表達(dá)、證明正五邊形紙結(jié)。“三會”數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)活動中，只要過程做好了，學(xué)生真正參與了，獲得適應(yīng)未來生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本經(jīng)驗便能水到渠成。

（二）實(shí)施建議

“綜合與實(shí)踐”可以認(rèn)為是數(shù)學(xué)建模的起始，具有思維含量的主題問題和臺階問題能夠充分調(diào)動學(xué)生利用所學(xué)知識設(shè)計問題解決策略，不僅能讓學(xué)生“知其所以然”，還能激發(fā)學(xué)生思考“知其若不然”。因此，教師應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容挖掘教材資源，科學(xué)設(shè)計，適當(dāng)拓展。根據(jù)教學(xué)實(shí)踐和學(xué)生的反饋，筆者提出以下實(shí)施建議。

1.基于問題解決設(shè)計問題鏈

選好學(xué)習(xí)主題后，教師要基于問題解決設(shè)計問題鏈（有序的主干問題序列和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)框架），利用主干問題及其關(guān)系驅(qū)動學(xué)生冷靜思考、充分表達(dá)，體現(xiàn)思維脈絡(luò)［9］。對于有難度的學(xué)習(xí)主題，每個問題要設(shè)置適切的提示性問題，比如學(xué)習(xí)活動單中的“活動3：兩個四邊形”的問題，通過架橋搭臺，引導(dǎo)學(xué)生拾級而上。

2.活動方案最好提前分階段布置

提前一周布置“課前活動主題”，讓有能力或愿意鉆研的學(xué)生有充足的時間自主探究。提前兩天發(fā)任務(wù)單，提前一天收任務(wù)單。教師批閱、記錄、分類，把證法相同或思路類似的學(xué)生分成一組，在課堂實(shí)施時以小組為單位展示研究成果，這樣既提高了課堂效率，又使得學(xué)生分享具有多樣性和代表性。

3.培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會規(guī)范的數(shù)學(xué)表達(dá)

學(xué)習(xí)是輸入，終究還要輸出。因此設(shè)置“閱讀與寫作”任務(wù)正是為了培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范的數(shù)學(xué)表達(dá)。主題學(xué)習(xí)不僅要“想清楚”“說明白”，還要“寫規(guī)范”，才能促使學(xué)生深度理解。當(dāng)然，實(shí)施時要循序漸進(jìn)，從三言兩語開始寫起，吾手寫吾心，寫真實(shí)的所學(xué)、所思、所得。為此，筆者設(shè)計了“文章結(jié)構(gòu)提示圖”（如圖1），要求學(xué)生先學(xué)習(xí)范文，然后根據(jù)提示問題仿寫。

四、結(jié)語

“綜合與實(shí)踐”主題活動教學(xué)能引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入真實(shí)的現(xiàn)實(shí)世界情境，沿著問題鏈的導(dǎo)引，綜合利用觀察、猜想、實(shí)驗、計算、推理、驗證、數(shù)據(jù)分析和直觀想象等進(jìn)行質(zhì)疑與試錯、批判與反思、監(jiān)控與調(diào)整，從而激發(fā)學(xué)生在問題解決中對所學(xué)的知識再認(rèn)識、再理解，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，體會數(shù)學(xué)思想方法的魅力，最終在問題解決中讓學(xué)生學(xué)會解決問題。正如常文武博士所言，如果說學(xué)生通過日常做練習(xí)題提升解題能力像是小獅子玩耍大獅子抓來的小兔子鍛煉捕獵能力，那么，這次探究“紙折正五邊形”則是小獅子有計劃、有合作地捕獲一只羚羊的實(shí)戰(zhàn)，激發(fā)其捕獵欲望，鍛煉獨(dú)立生存的關(guān)鍵能力。因此，以問題解決為導(dǎo)向的“綜合與實(shí)踐”是落實(shí)“三會”數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的抓手，將會成為今后的研究熱點(diǎn)。

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（責(zé)任編輯：陸順演）