摘要：圓錐曲線的離心率是高考的重要考點(diǎn)，題型靈活多變，解法總體可以從代數(shù)和幾何兩個(gè)角度入手，但不同解法的運(yùn)算量差距很大，一題多解研究離心率問題很重要，往往可以發(fā)現(xiàn)最優(yōu)解，巧妙解.

關(guān)鍵詞：雙曲線；離心率；解法

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）28-0027-04

收稿日期：2022-07-05

作者簡(jiǎn)介：徐健（1970-），女，江蘇省海安人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

2022年3月23日下午，烏魯木齊地區(qū)全體高三學(xué)生和部分高中數(shù)學(xué)老師參加了本地高度重視的高三第二次質(zhì)量檢測(cè)考試，題目較以往有明顯的變化：新穎但偏易！但是第11題大家一致反映不好做，花了很多時(shí)間卻無果而終，甚至影響了后續(xù)答題，這種反應(yīng)老師中也存在.因此，我第一時(shí)間展開了研究，先分享于此，以饗讀者.

1 題目呈現(xiàn)

題目（烏魯木齊地區(qū)2022年高三年級(jí)第二次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)理科第11題） 已知雙曲線方程為x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P位于第一象限的漸近線上，滿足PF1⊥PF2，PF1與另一條漸近線交于點(diǎn)Q，若PQ∶QF1=3∶2，則雙曲線的離心率為（）.

A.54B.43C.53D.2

2 總體把握

要求雙曲線的離心率，本質(zhì)就是尋求其參數(shù)a，c的關(guān)系，進(jìn)而要尋找建立關(guān)系的條件.顯然點(diǎn)P，Q在雙曲線的漸近線上就是突破口，那么這兩點(diǎn)的坐標(biāo)必須被雙曲線的參數(shù)a，b，c表達(dá)，所以問題歸結(jié)為探究點(diǎn)P，Q的坐標(biāo).由幾何位置關(guān)系知，點(diǎn)P制約著點(diǎn)Q，因此突破點(diǎn)P的坐標(biāo)是關(guān)鍵，我們嘗試著用a，b，c來表達(dá).

3 解法探究

策略1估算速解.

解法1如圖1，記坐標(biāo)原點(diǎn)為O，顯然OP是Rt△PF1F2斜邊上的中線，于是OP=c.

又因?yàn)辄c(diǎn)P在漸近線y=bax上，且c2=a2+b2，所以猜測(cè)P（a，b）.

由已知PQ∶QF1=3∶2，得PQ=35PF1.

設(shè)Q（m，n），則

（m-a，n-b）=35（-c-a，-b）.

所以m-a=35（-c-a），n-b=35（-b）.

解得m=25a-35c，n=25b.（*）

將（*）代入y=-bax，得

2b5=-ba（25a-35c）.

整理，得45=35·ca.

所以e=43.

故選B.

評(píng)注作為考試，又快又準(zhǔn)答題是非常重要的.估算猜想可以實(shí)現(xiàn)速解.猜想當(dāng)然需要解題經(jīng)驗(yàn)和正確的理論支持.本解法就是依據(jù)曲線與方程的關(guān)系和參數(shù)的數(shù)量關(guān)系c2=a2+b2合理推理后猜想而得.

策略2利用直線和圓的方程求交點(diǎn).

解法2因?yàn)镻F1⊥PF2，所以點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=c2（除去點(diǎn)F1，F(xiàn)2）.

由x2+y2=c2，y=bax，得

x2+（bax）2=c2.

整理，得（a2+b2）x2=a2c2.

因?yàn)閍2+b2=c2，

所以c2x2=a2c2.

解得x=a.

所以y=ba×a=b.

因此點(diǎn)P的坐標(biāo)P（a，b）.

以下同解法1.

策略3利用向量垂直建立方程.

解法3因?yàn)镻F1⊥PF2，

所以PF1⊥PF2.

于是PF1·PF2=0.

設(shè)P（s，t），

則（-c-s，-t）·（c-s，-t）=0.

整理，得s2+t2=c2.①

又P（s，t）在直線y=bax上，

所以t=bas.②

有①②解得P（a，b）.

以下同解法1.

策略4依托斜率關(guān)系式建立方程.

解法4因?yàn)镻F1⊥PF2，

所以kPF1·kPF2=-1.

設(shè)P（u，v），

則v-0u+c·v-0u-c=-1.

整理，得u2+v2=c2.③

又P（u，v）在直線y=bax上，

所以u(píng)=bav.④

由③④解得P（a，b）.

以下同解法1.

策略5依托兩直線方程求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

解法5由前文知點(diǎn)P（a，b），又F1（-c，0），

所以F1（-c，0）.

所以kPF1=ba+c.

故PF1所在直線方程為y=ba+c（x-c）.

聯(lián)立y=ba+c（x+c），y=-bax，得

點(diǎn)Q（-ac2a+c，bc2a+c）.

由已知得F1Q=25F1P.

所以（-ac2a+c+c，bc2a+c）=25（a+c，b）.

由bc2a+c=25b，

得4a=3c.

從而離心率e=ca=43.

故選B.

評(píng)注解法2，3，4，5均在交點(diǎn)上做文章，只是曲線（直線）方程產(chǎn)生的渠道不同而

已，殊途同歸.可以根據(jù)自己的喜好進(jìn)行選擇，運(yùn)算量差距不大.多角度思考，有助于提高學(xué)生的應(yīng)試能力，拓廣思維.而考生思維受阻的原因是引入變量太多，將點(diǎn)P，Q的橫縱坐標(biāo)均看作相互獨(dú)立的4個(gè)變量，未準(zhǔn)確把握它們之間的數(shù)量關(guān)系.

策略6依托三角函數(shù)關(guān)系式建立方程.

解法6由已知得kOP=ba.

設(shè)∠POx=α，α是銳角，那么tanα=ba.

由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，得

sinα=bc，cosα=ac.

由直角三角形中的三角函數(shù)，得

Px=c×ac=a，Py=c×bc=b.

因此點(diǎn)P的坐標(biāo)P（a，b）.

以下同解法1.

評(píng)注解析幾何中恰當(dāng)引入三角函數(shù)往往可以減少變量，降低運(yùn)算量.本題的相關(guān)點(diǎn)不

在雙曲線上，不易引入三角函數(shù)，需要綜合考慮，從直線傾斜角的角度引入角，然后才有三角運(yùn)算，解題過程十分簡(jiǎn)潔.

策略7幾何法，構(gòu)造相似形直接得解.

解法7如圖2，設(shè)點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為P′，結(jié)合前文得P′（-a，b）.

同時(shí)，PP′∥OF1.

所以△QPP′∽△QOF1.

于是PQ∶QF1=PP′∶OF1.

因?yàn)镻Q∶QF1=3∶2，

所以PP′∶OF1=2a∶c=3∶2.

解得e=ca=43.

評(píng)注解析幾何的本質(zhì)是幾何，能夠?qū)⒔馕鰩缀螁栴}的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為幾何位置關(guān)系，通常會(huì)大大降低運(yùn)算量，使解題顯得簡(jiǎn)潔明了.當(dāng)然，這種轉(zhuǎn)化還是很不容易的，縱觀以上解法，本解法最為巧妙便捷.

4 追蹤溯源

題1（2017年烏魯木齊地區(qū)教師業(yè)務(wù)考試卷第11題）已知雙曲線C∶x2a2-y2b2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，在雙曲線上存在一點(diǎn)P，使得PF1與漸近線平行，∠F1PF2=π2，則雙曲線C的離心率為（）.

A.3B.5C.5D.2

參考答案C.

題2（2018年全國(guó)高考Ⅲ卷理科卷第11題） 設(shè)F1 ，F(xiàn)2是雙曲線C∶x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)P.若PF1=6OP，則C的離心率為（）.

A.5B.2C.3D.2

參考答案C.

題3（2019年全國(guó)高考Ⅰ卷理科卷第16題）已知雙曲線C∶x2a2-y2b2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1 ，F(xiàn)2，過點(diǎn)F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn).若F1A=AB，F(xiàn)1B·F2B=0，則C的離心率為.

參考答案e=2.

評(píng)注以上三個(gè)題目均是直角背景下求雙曲線的離心率問題，解法多樣，但最簡(jiǎn)潔還是幾何法，限于篇幅，請(qǐng)數(shù)學(xué)同仁自行探究，感悟其中的樂趣.

5 變式拓展

變式1已知雙曲線方程為x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P位于雙曲線第一象限的圖象上，滿足PF1⊥PF2，PF1與斜率為負(fù)值的漸近線交于點(diǎn)Q，若PQ∶QF1=

3∶2，則雙曲線的離心率為.

變式2已知雙曲線方程為x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F2作直線l⊥x軸，l與雙曲線的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為P，PF1與另一條漸近線交于點(diǎn)Q，若PQ∶QF1=3∶2，則雙曲線的離心率為.

變式3已知雙曲線方程為x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F2作直線l⊥x軸，l與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為P，PF1與另一條漸近線交于點(diǎn)Q，若PQ∶QF1=3∶2，則雙曲線的離心率為.

評(píng)注直角背景下的離心率問題很活，以上僅從直角頂點(diǎn)的位置在漸近線上、在曲線上、在坐標(biāo)軸上進(jìn)行了改裝 ，問題就變得耳目一新.事實(shí)上還可變換曲線，將雙曲線換成橢圓，這類問題也很受高考命題專家的青睞，有興趣的同仁可以查閱歷年高考題.

6 題型綜述

直角背景下的離心率問題通常應(yīng)從以下角度思考：圓錐曲線的第一定義式，正余弦定理，焦點(diǎn)三角形面積，三角換元，直線與直線的關(guān)系，直線與曲線的關(guān)系，向量的數(shù)量積，直線的斜率，互補(bǔ)角的誘導(dǎo)公式，互余角的誘導(dǎo)公式，相似形等，再輔以代數(shù)運(yùn)算技巧，一般可以解決問題.其中最優(yōu)解法是構(gòu)造相似形的純幾何法，同時(shí)也是思維量最大的解法.多從幾何角度思考研究此類問題有助于提高解題速度和正確率.

參考文獻(xiàn)：

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