程明春

[摘? 要] 事件的獨(dú)立性是一個(gè)相對(duì)抽象的概念，文章借助韋恩圖直觀分析事件獨(dú)立性的本質(zhì)，并進(jìn)一步分析互斥事件與獨(dú)立事件的關(guān)系，以及兩兩獨(dú)立與相互獨(dú)立的區(qū)別.

[關(guān)鍵詞] 獨(dú)立事件;韋恩圖;直觀想象

在概率的學(xué)習(xí)中，如何判斷和理解事件的獨(dú)立性是一個(gè)難點(diǎn).部分情況可以憑直覺去判斷[1]，大多數(shù)時(shí)候則需要用概率關(guān)系去判斷. 但因?yàn)楦怕赎P(guān)系較抽象，使得學(xué)生對(duì)事件獨(dú)立性的理解不夠深刻，甚至出現(xiàn)了錯(cuò)誤. 本文借助韋恩圖，讓事件獨(dú)立性直觀地呈現(xiàn)出來，并借此去分析互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系，以及相互獨(dú)立與兩兩獨(dú)立的區(qū)別.

相互獨(dú)立事件

定義[2]：對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，如果P（AB）=P（A）P（B）成立，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱為獨(dú)立.

所以事件A與B相互獨(dú)立？圳P（AB）=P（A）P（B）.

相互獨(dú)立事件與互斥事件的關(guān)系

命題1：對(duì)于事件A與B，若P（A）>0，P（B）>0，則有：（1）若A與B獨(dú)立，則A與B不互斥;（2）若A與B互斥，則A與B不獨(dú)立.

下面我們思考：如果事件A與B不互斥，那么A與B獨(dú)立嗎？

對(duì)立事件的兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)

1. 將互斥事件理解為獨(dú)立事件

例1 一個(gè)袋子中有標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)球，除標(biāo)號(hào)外沒有其他差異. 從中摸取一個(gè)球，設(shè)事件A=“摸到1號(hào)球”，B=“摸到2號(hào)球”. 試分析A與B是否獨(dú)立.

解析：容易錯(cuò)誤地認(rèn)為，在韋恩圖（圖2）中，表示事件A與事件B的區(qū)域不相交，故覺得它們是獨(dú)立的. 錯(cuò)因在于：A與B在韋恩圖中不相交，描述的是在一次試驗(yàn)中A與B不能同時(shí)發(fā)生，即A與B是互斥關(guān)系;而A與B獨(dú)立，描述的是A的發(fā)生與否不影響B(tài)發(fā)生的概率. 在該例中，若A發(fā)生，則B必然不發(fā)生，即A的發(fā)生會(huì)影響B(tài)發(fā)生的概率，所以A與B不獨(dú)立.

2. 將兩個(gè)事件看成兩個(gè)試驗(yàn)

例2 一個(gè)袋子中有標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)球，除標(biāo)號(hào)外沒有其他差異. 從中有放回地摸球兩次，設(shè)事件A=“第一次摸到1號(hào)球”，B=“第二次摸到2號(hào)球”，試分析事件A與B的關(guān)系.

事件A，B，C兩兩獨(dú)立與P（ABC）=P（A）P（B）P（C）的關(guān)系

教材中提到：當(dāng)三個(gè)事件A，B，C兩兩獨(dú)立時(shí)，等式P（ABC）=P（A）P（B）P（C）一般不成立.用以下兩個(gè)例子來說明該結(jié)論.

通過上面兩個(gè)例子，可以看出事件A，B，C兩兩獨(dú)立與P（ABC）=P（A）P（B）P（C）沒有蘊(yùn)含關(guān)系. 下面結(jié)合韋恩圖給予一種直觀解釋.

因?yàn)槭录嗀與B獨(dú)立時(shí)，P（ABC）=P（AB）P（CAB）=P（A）P（B）P（CAB），故P（ABC）=P（A）P（B）P（C）等價(jià)于P（C）=P（CAB）=P（ABCAB），即得如下結(jié)論：

命題3：當(dāng)P（A）>0，P（B）>0，P（C）>0時(shí)，若事件A，B，C兩兩獨(dú)立，則P（ABC）=P（A）P（B）P（C）等價(jià)于P（C）=P（CAB），等價(jià)于事件C與AB獨(dú)立，等價(jià)于事件C在樣本空間Ω中的概率與事件ABC在樣本空間AB中的概率相等.

一般地，事件A，B，C兩兩獨(dú)立是指P（AB）=P（A）P（B），P（BC）=P（B）P（C），P（AC）=P（A）P（C）;事件A，B，C相互獨(dú)立是指A，B，C兩兩獨(dú)立，且P（ABC）=P（A）P（B）P（C）. 從上面的例子可以看出，三個(gè)事件兩兩獨(dú)立不能推出它們是相互獨(dú)立的.

數(shù)學(xué)上有很多較為抽象的概念，通過某種工具或者某種方法讓其更直觀地表達(dá)出來，有利于降低初學(xué)者學(xué)習(xí)概念的難度，有利于初學(xué)者理解概念的含義和本質(zhì)，提高其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 金天壽. 對(duì)事件獨(dú)立性的再認(rèn)識(shí)[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2012，51（03）：24-26.

[2]? 人民教育出版社課程教材研究所.普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)（A版）[M]. 北京：人民教育出版社，2019.