劉勇華 楊琳

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》將數(shù)的認識和數(shù)的運算整合在一起，有助于學生從整體上理解數(shù)與運算的一致性——計數(shù)單位是建構(gòu)數(shù)的基礎(chǔ)，所有運算都可以還原成計數(shù)單位的運算。教師抓住“計數(shù)單位”這個統(tǒng)領(lǐng)性概念展開教學，能引領(lǐng)學生整體把握知識，理解知識之間的關(guān)聯(lián)，實現(xiàn)算理貫通、算法統(tǒng)整。

一、調(diào)查筆算整數(shù)除法的學習基礎(chǔ)

人教版小學數(shù)學教材中，整數(shù)除法豎式計算教學內(nèi)容編排如下：二年級下冊有表內(nèi)除法、有余數(shù)的除法，三年級下冊有除數(shù)是一位數(shù)的除法，四年級上冊有除數(shù)是兩位數(shù)的除法等。其他版本數(shù)學教材中整數(shù)除法相關(guān)內(nèi)容也大致分布在二至四年級。為了了解學生對除法運算本質(zhì)的理解程度，找準學生認知的起點和難點，在教學《兩位數(shù)除以一位數(shù)的筆算除法》前，教師對三年級3個班的學生做了前測。

前測卷包含五道大題。第一大題考查學生對除法意義的掌握情況，設(shè)置了3道基礎(chǔ)練習——給出三幅圖片，讓學生通過畫一畫、圈一圈、填一填、看圖寫算式等形式回顧除法的意義。第二大題給出題目背景“把14根棒棒糖平均分給4個小朋友”，以及相應(yīng)的情境圖和不完整的除法豎式，以填空形式考查學生對豎式中每個數(shù)的含義的理解。第三大題是畫圖表明“60÷3=20”的含義，考查學生對除法意義的理解程度。第四大題是說說怎樣計算“42÷2”，可以用算式表示，也可以用文字說明。第五大題給出4道豎式計算題，包括“9÷2、25÷4”兩道僅需一步計算的有余數(shù)的除法，以及“48÷4、72÷3”兩道需要兩步計算的兩位數(shù)除以一位數(shù)的除法。

分析前測結(jié)果，教師發(fā)現(xiàn)第一大題的正確率為100%，說明學生對除法的意義掌握得很好。第二大題的正確率為98%，說明學生對除法豎式各部分的含義掌握得比較好。對于第三大題，學生一邊倒地把“60÷3=20”理解成“把60（有的理解為60個一，有的理解為6個十）平均分成3份”，僅有一名學生用包含除來理解，即理解為“60里面包含多少個3”。從整體上看，對于除法表達平均分的過程和結(jié)果，學生是比較清楚的。第四大題作答情況反映出學生基本掌握了口算方法，一部分學生可以直接看出答案。第五大題的前兩道題，學生基本沒有問題;后兩道題，沒有學生能寫出標準的豎式。

從前測來看，學生對除法豎式的計算有認知基礎(chǔ)，基本掌握了兩位數(shù)除以一位數(shù)的口算方法，對除法豎式計算的基本步驟“先商—再乘—最后減”比較清楚。但是，學生對于豎式計算的實質(zhì)——用除數(shù)去除被除數(shù)每一個數(shù)位上的數(shù)，也就是對于依次平均分被除數(shù)所包含的計數(shù)單位的個數(shù)理解不深入。基于此，教師將平均分作為教學基礎(chǔ)，將均分計數(shù)單位的個數(shù)作為教學主線，以促進學生對整數(shù)除法算理一致性的理解。

二、強調(diào)筆算整數(shù)除法算理的一致性

學生學習《兩位數(shù)除以一位數(shù)的筆算除法》的關(guān)鍵是在掌握除法意義的基礎(chǔ)上，理解兩位數(shù)除以一位數(shù)的計算需要兩步完成，先除被除數(shù)的十位，再除被除數(shù)的個位;明確對應(yīng)的算理——先平均分幾個十，再平均分幾個一，也就是逐步均分計數(shù)單位的個數(shù)。這一點在整數(shù)除法筆算中具有一致性。教學時，教師要抓住學生知識的生長點，引導學生經(jīng)歷一位數(shù)除兩位數(shù)豎式形成的過程，發(fā)現(xiàn)豎式記錄的就是算的過程，從而貫通算理與算法。

1.分析問題，口算解決問題

課堂上，教師先引導學生回顧已經(jīng)掌握的問題：三年級有2個班，要植樹42棵，平均每個班植樹多少棵？怎么列式呢？學生回答：“42÷2=？”教師追問：“為什么用除法計算？”學生回答：“把42棵樹苗平均分給兩個班，就是將42平均分成兩份?！比缓螅處熞髮W生口算后把口算過程寫下來，并說一說自己是怎樣算的。學生回答：“先用40除以2得到20，再用2除以2得到1，最后用20加1得到21。”

除法豎式記錄的是兩次平均分的過程，因為有位值，不同數(shù)位上的數(shù)代表的數(shù)的大小不同，所以列豎式計算不需要將兩次平均分的結(jié)果加起來這一步。對比看，豎式計算與口算具有一致性。

2.動手操作，擺小棒解決問題

此環(huán)節(jié)，教師引導學生用擺小棒計算：如果用手中的小棒代替小樹苗，你能把42根小棒平均分成兩份嗎？分完后跟同桌說一說你是怎么分的。學生操作并交流后，教師讓學生在展臺上演示、講解分的過程。一名學生說：“我拿出4捆加2根小棒，先將4捆小棒平均分成2份，每份是2捆小棒，也就是2個十;再將2根小棒平均分成2份，每份是1個一。這樣，把42根小棒平均分成2份，每份就得到2個十和1個一，也就是21根小棒?！苯又?，教師提問：“平均分4捆小棒和2根小棒，對應(yīng)平均分的計數(shù)單位及其個數(shù)是多少？”學生回答：“4個十和2個一?！苯處熞龑В骸鞍?個十和2個一平均分成2份，你們分了幾次？”學生回答：“兩次，第一次是平均分4個十，每份得到2個十，第二次是平均分2個一，每份得到1個一。”學生在操作中明確了42根小棒表示4個十和2個一，將42根小棒平均分成2份，需要先分4個十，再分2個一，得到2個十和1個一，即每份分得21根。這個環(huán)節(jié)揭示了豎式計算與擺小棒計算具有一致性。

3.對比算法，統(tǒng)整算法與算理

教師先引導學生嘗試用豎式將兩次平均分的計算過程表示出來。然后，教師出示了3份典型作業(yè)（如下圖），讓這幾名學生分別說一說自己的想法。

第一名學生說：“我是直接商21，再用21×2得出分掉了42，最后減，發(fā)現(xiàn)沒有剩余。”第二名學生說：“我是先用一個除法豎式表示分十位上的4，它是4個十，每份分得2個十;再用一個除法豎式表示分個位上的2，它是2個一，每份分得1個一;最后用一個加法豎式將20和1加起來，這樣每份就是21?！钡谌麑W生說：“我是先除十位上的4，得出2個十，就在十位上寫2;再除2個一，得出1個一，就在個位上寫1。這樣，商就是21了?！弊詈?，教師提問：“這幾個豎式有沒有表示出兩次平均分的計算過程？哪種方法更簡潔？”通過對比，學生發(fā)現(xiàn)方法③既表達了兩次平均分計數(shù)單位個數(shù)的過程，又比較簡潔。

這樣教學，學生自主建構(gòu)豎式，體會到本節(jié)課所學的兩位數(shù)除以一位數(shù)的豎式筆算是分兩步計算的，即兩次平均分計數(shù)單位的個數(shù)，感悟到除法豎式的完整、簡潔。

三、注重整數(shù)除法筆算教學的整體性

在“最優(yōu)”豎式得到學生認可后，教師要引導學生將豎式和口算、擺小棒計算進行關(guān)聯(lián)、對比，讓學生充分體會豎式計算的步驟就是表達口算和擺小棒計算的過程，是將現(xiàn)實生活中的平均分計算符號化的過程，以培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

為溝通口算、擺小棒計算和豎式計算之間的關(guān)聯(lián)，教師借助課件演示分兩步平均分42根小棒的過程，同步呈現(xiàn)每一步對應(yīng)的豎式書寫過程，并提問：這三種計算有什么相同點嗎？通過分析，學生明確了筆算除法就是把口算、擺小棒計算的過程用豎式形式寫下來，三者本質(zhì)上是一樣的，都在依次均分計數(shù)單位的個數(shù)。將豎式的建構(gòu)建立在理解除法意義之上的做法，讓學生深入理解了除法豎式中每個數(shù)的含義，實現(xiàn)了整數(shù)除法算法與算理的貫通。

（作者單位：咸寧市實驗小學）