陳燕

[摘 要]畫(huà)圖策略與幾何直觀聯(lián)系緊密，可以有效鏈接形象思維和抽象思維，在二者之間形成一條連接邏輯空間的紐帶，讓學(xué)生在探究和理解數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)不斷提升幾何直觀能力。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際情況靈活運(yùn)用畫(huà)圖策略，使之成為學(xué)生理解概念內(nèi)涵、詮釋算理本質(zhì)、拓展解題思路、創(chuàng)新思維方法、助力經(jīng)驗(yàn)積累的重要武器，于無(wú)形中滲透數(shù)形結(jié)合這一數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率。

[關(guān)鍵詞]畫(huà)圖策略;數(shù)學(xué)教學(xué);運(yùn)用

[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2022）21-0008-03

著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬(wàn)事休。”“數(shù)”與“形”反映了事物兩個(gè)方面的屬性。數(shù)形結(jié)合，指數(shù)與形之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái)，通過(guò)“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”（即抽象思維與形象思維的結(jié)合），將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化，從而實(shí)現(xiàn)優(yōu)化解題思路的目的。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際學(xué)情，適時(shí)滲透數(shù)形結(jié)合這一數(shù)學(xué)思想方法，引導(dǎo)學(xué)生巧妙運(yùn)用畫(huà)圖策略解決問(wèn)題。這樣既可以豐富學(xué)生的解題思路，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，又能提升課堂教學(xué)效率和學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上得到更好的發(fā)展。

一、畫(huà)圖策略揭示概念內(nèi)涵

小學(xué)生的思維正處于由形象思維向抽象思維過(guò)渡的時(shí)期，所以抽象的數(shù)學(xué)概念令他們感覺(jué)晦澀難懂，進(jìn)而影響對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。因此，教師要想深刻地揭示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，僅靠單純的口頭講授往往收效甚微，而借助數(shù)形結(jié)合的直觀性，可以深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解。

例如，教學(xué)人教版數(shù)學(xué)教材第七冊(cè)《倍的認(rèn)識(shí)》這一內(nèi)容時(shí)，“倍”本身就是一個(gè)比較抽象的概念，所以學(xué)生解題時(shí)經(jīng)常因?yàn)殄e(cuò)誤理解而出錯(cuò)，即使教師反復(fù)糾正，學(xué)生也不知道自己錯(cuò)在哪里。面對(duì)這樣抽象的數(shù)學(xué)概念，僅靠教師的口頭講授，很難讓學(xué)生理解。因此，筆者教學(xué)時(shí)另辟蹊徑，借助幾何直觀，先出示兩組圖（見(jiàn)圖1），讓學(xué)生觀察對(duì)比，再分析兩種圖形的數(shù)量關(guān)系。這樣，學(xué)生就能直接觀察得出：橢圓形和三角形的數(shù)量之間存在倍數(shù)關(guān)系，即把2個(gè)三角形視為一份（虛線打圈），那么6個(gè)橢圓形就有這樣的三份（三個(gè)虛線圈）。在學(xué)生初步感知“倍”的外在形式后，筆者讓他們?nèi)σ蝗?，將“倍”的外在形式用分堆?jì)數(shù)的方法表示出來(lái)，從而巧妙地轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)上“倍”的概念。在學(xué)生掌握“倍”的概念后，筆者仍借助三角形和橢圓形，隨機(jī)舉出若干倍數(shù)的例子，讓學(xué)生嘗試在作業(yè)本上畫(huà)出示意圖。這樣反復(fù)通過(guò)幾何直觀，先后揭示和展示倍數(shù)，鞏固和加深了學(xué)生對(duì)“倍”的概念的理解。

由此可見(jiàn)，教學(xué)數(shù)學(xué)概念時(shí)，教師如能借助幾何直觀，從“數(shù)”和“形”兩個(gè)維度詮釋數(shù)學(xué)概念，讓學(xué)生進(jìn)行切實(shí)有效的體驗(yàn)感知，建立正確的概念表象，就能深化學(xué)生對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)概念的理解和掌握。

二、畫(huà)圖策略詮釋算理本質(zhì)

要想提高學(xué)生的計(jì)算能力，就要讓學(xué)生理解算理，因?yàn)槔斫馑憷硎抢碚撝魏头椒ūＵ?。但是，算理不像算法那樣具體可感，因?yàn)樗憷硎浅橄蟮?，甚至沒(méi)有準(zhǔn)確的科學(xué)語(yǔ)言來(lái)定義，只能靠學(xué)生去領(lǐng)悟。如果學(xué)生沒(méi)有深刻理解算理，或者根本無(wú)視算理的存在，甚至把算理當(dāng)成兒戲，每次都是重復(fù)例題的演算步驟，就極易形成僵化思維和機(jī)械行為，導(dǎo)致解決問(wèn)題時(shí)束手束腳，計(jì)算時(shí)呆板、生硬。那么，如何讓學(xué)生理解算理呢？畫(huà)圖是一條捷徑。圖形能夠直觀反映計(jì)算過(guò)程的細(xì)節(jié)，并演繹出每一步計(jì)算的邏輯原理，其推理過(guò)程都記錄在圖形中，這些優(yōu)勢(shì)能協(xié)助學(xué)生理解算理。

例如，運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算時(shí)，學(xué)生常常出錯(cuò)，根本原因是學(xué)生沒(méi)有真正理解乘法分配律的原理，出錯(cuò)在所難免。透析代數(shù)公式（a+b）×c=a×c+b×c的計(jì)算原理，不妨先賦值，再把它移植到兩個(gè)等寬的長(zhǎng)方形中，通過(guò)計(jì)算兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積和來(lái)理解這個(gè)公式的計(jì)算原理。如，賦值為（8+7）×5=8×5+7×5，那么第一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)賦值為8，第二個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)賦值為7，兩個(gè)長(zhǎng)方形的寬一律賦值為5;先分別求出兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積，再求和，那么列式為8×5+7×5（見(jiàn)圖2）。這里，因?yàn)閮蓚€(gè)長(zhǎng)方形的寬相等，所以不妨將兩個(gè)長(zhǎng)方形以寬邊重合拼接，拼組成一個(gè)大長(zhǎng)方形，從幾何變換上理解，此時(shí)拼組而成的大長(zhǎng)方形面積等于兩個(gè)小長(zhǎng)方形的面積和。這樣，大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)變成（8+7），寬仍為5，根據(jù)長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式列式為（8+7）×5。前后用不一樣的方法計(jì)算出的面積相等，于是就有了（a+b）×c= a×c+b×c。雖然前后意義不一樣，但是結(jié)果一致。所以，通過(guò)數(shù)形結(jié)合這一數(shù)學(xué)思想方法，乘法分配律的計(jì)算原理便在幾何圖形組合這個(gè)維度上站穩(wěn)了腳跟，巧妙地突出教學(xué)重點(diǎn)、突破教學(xué)難點(diǎn)。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，有些算理如能融入幾何圖形的變換中，利用幾何圖形的拆分、組合進(jìn)行面積與長(zhǎng)度的運(yùn)算變換，將圖形上的直觀變化轉(zhuǎn)化成數(shù)字計(jì)算上的變化，那么算理就可以被揭示得淋漓盡致，易于學(xué)生理解和掌握。學(xué)生一看到相關(guān)算式腦海里就會(huì)浮現(xiàn)出圖形，邊回顧圖形變換邊推演算式，進(jìn)行雙重思考。這樣通過(guò)數(shù)形結(jié)合，學(xué)生既理解了算理，也掌握了算法，真正達(dá)到形神兼具的目標(biāo)。

三、畫(huà)圖策略拓展解題思路

畫(huà)圖是數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的重要策略，它利用圖形展現(xiàn)和記錄問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，從而簡(jiǎn)化題意，便于找到解題思路。同時(shí)，畫(huà)圖又是一個(gè)抽象、提煉的過(guò)程，即刪去情境枝葉，提取數(shù)量關(guān)系主干，并進(jìn)行簡(jiǎn)練轉(zhuǎn)述。

1.畫(huà)圖，可以有效突出解題線索

例如，人教版數(shù)學(xué)教材第十二冊(cè)《圓柱與圓錐的認(rèn)識(shí)》的練習(xí)中有這樣一道題：“一個(gè)圓錐形沙堆，底面積是28.26平方米，高為2.5米。將其鋪在10米寬的便道上，施工要求鋪成2厘米厚，能鋪多少米？”教學(xué)時(shí)，部分學(xué)生無(wú)法進(jìn)行等體積轉(zhuǎn)換，不知道如何將圓錐形沙堆轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方體。于是，教師先引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)思如下動(dòng)圖（見(jiàn)圖3），再予以點(diǎn)撥：“解題主線是什么？”（沙子的體積始終不變，只是形狀發(fā)生了變化）“解題的過(guò)程是怎樣的？”（先求出圓錐形沙堆的體積，再用沙堆的體積除以長(zhǎng)方體沙層的橫截面面積，就能求出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)）

又如，教學(xué)人教版數(shù)學(xué)二年級(jí)的乘法內(nèi)容后，學(xué)生計(jì)算時(shí)常常在加法和乘法之間不知如何抉擇。這時(shí)，教師可以通過(guò)即時(shí)畫(huà)圖，輔助學(xué)生理解。如“大頭兒子買(mǎi)了3瓶胃動(dòng)力，又買(mǎi)了5瓶王老吉，一共有幾瓶飲料？”，可畫(huà)示意圖4;“大頭兒子買(mǎi)了3提胃動(dòng)力，每提5瓶，一共有多少瓶胃動(dòng)力？”，可畫(huà)示意圖5。學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖就能直觀感知，加法和乘法都是對(duì)數(shù)量的合并，只是加法是將不同的數(shù)量合并，乘法是針對(duì)相同的數(shù)合并，從而很快弄清加法和乘法的異同點(diǎn)，能正確區(qū)分二者的定義。

2.畫(huà)圖，可以迅速厘清數(shù)量關(guān)系

畫(huà)圖作為一種解題策略，從原先的輔助工具轉(zhuǎn)型升級(jí)為課程目標(biāo)，是抽象問(wèn)題直觀化處理的典型模式，能夠快速厘清題中的數(shù)量關(guān)系，從而找到解題思路。例如，人教版數(shù)學(xué)教材第九冊(cè)《稍復(fù)雜的方程》中有這樣一道例題：“足球表面分為黑白兩色外皮，白皮20塊，比黑皮的2倍少4塊，試問(wèn)黑皮幾塊？”這道題的文字表述比較煩瑣，難以找到其中的數(shù)量關(guān)系，但通過(guò)畫(huà)線段圖（見(jiàn)圖3）分析，就能一目了然。借助線段圖，題中足球表面白皮和黑皮的數(shù)量關(guān)系就直觀地呈現(xiàn)在眼前，即白皮數(shù)=黑皮數(shù)×2-4。此外，此題還可以通過(guò)倒序厘清數(shù)量關(guān)系，即白皮數(shù)加上4等于黑皮數(shù)的2倍。這樣題中的數(shù)量關(guān)系直觀明了，解題思路也就自然呈現(xiàn)出來(lái)了。

四、畫(huà)圖策略創(chuàng)新思維方法

數(shù)形結(jié)合是一種數(shù)學(xué)思想方法，需要教師在教學(xué)中適時(shí)滲透，使學(xué)生遇到相關(guān)問(wèn)題時(shí)能靈活運(yùn)用，正確地分析與解決問(wèn)題。數(shù)形結(jié)合也屬于一種解題技巧，可以直接通過(guò)畫(huà)圖來(lái)解決問(wèn)題;數(shù)形結(jié)合還屬于一種能力，可借助圖形分析問(wèn)題，創(chuàng)新解題方法，提高解決問(wèn)題的能力。當(dāng)學(xué)生遇到抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，能不能熟練地構(gòu)圖、制圖、用圖，通過(guò)畫(huà)圖突破思維瓶頸，尋找到巧妙的解題方法，考驗(yàn)著學(xué)生的思維能力。

例如，教學(xué)人教版數(shù)學(xué)教材第十二冊(cè)《數(shù)學(xué)思考》的這道題“6個(gè)點(diǎn)可以連成多少條線段？8個(gè)點(diǎn)呢？”時(shí)，就可以通過(guò)畫(huà)圖降低難度，總結(jié)規(guī)律。又如，人教版數(shù)學(xué)教材第十二冊(cè)中的“擺一擺，找規(guī)律”這道題（見(jiàn)圖7）。

如果真要付諸實(shí)踐，就要準(zhǔn)備火柴棒，這顯然有難度，且不便于展示，但不擺火柴棒只看圖，又不夠直觀。這時(shí)，可通過(guò)連續(xù)畫(huà)圖分析解題：先畫(huà)1個(gè)正方形，接著往下畫(huà)第2個(gè)、第3個(gè)、第4個(gè)……當(dāng)學(xué)生畫(huà)到第4、第5個(gè)正方形時(shí)，隱含的規(guī)律已經(jīng)昭然若揭：除去第一個(gè)正方形需要4條線段，后續(xù)的正方形只需要3條線段。有了這個(gè)規(guī)律，再來(lái)解決“擺10個(gè)正方形所需要的火柴棒數(shù)”“301根火柴棒圍成的正方形個(gè)數(shù)”等問(wèn)題就輕而易舉了。即使要求擺n個(gè)正方形所需要的火柴棒數(shù)，也不在話下。

五、畫(huà)圖策略助力經(jīng)驗(yàn)積累

學(xué)習(xí)畫(huà)圖策略，目的是讓學(xué)生能靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合這一數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題，這與“四基”培養(yǎng)的目標(biāo)是一致的。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師既要關(guān)注畫(huà)圖策略在概念內(nèi)涵學(xué)習(xí)、算理本質(zhì)解讀、思維方法拓展等方面的運(yùn)用，又要重視學(xué)生基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中實(shí)現(xiàn)知識(shí)與技能的發(fā)展，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

例如，教學(xué)人教版數(shù)學(xué)教材第五冊(cè)《長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)與面積》的練習(xí)課時(shí)，教師可通過(guò)畫(huà)圖幫助學(xué)生更好地理解長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)、面積等概念，讓他們?cè)趩?wèn)題探究中更有效地積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，提高解決問(wèn)題的能力。

師：看著屏幕上的畫(huà)面，你獲得了什么數(shù)學(xué)信息？

生1：米老鼠在用竹籬笆圍庭院，用了96米的竹籬笆，問(wèn)有哪些不一樣的圍法、怎樣圍面積最大。

生2：這個(gè)簡(jiǎn)單，圍成正方形的面積是最大的，這在前面已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)，即96÷4=24（米）、24×24=576（平方米）。

生3：這樣解答是對(duì)的！但是，還有一個(gè)問(wèn)題沒(méi)有解決，就是有哪些不一樣的圍法。

生4：剛才的談?wù)摱加玫搅恕伴L(zhǎng)+寬”這個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，它是從“（長(zhǎng)+寬）×2=長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)”得來(lái)的，所以記好、記牢長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)計(jì)算公式非常重要。

生5：這些思考都有一定的道理，但它們都不是米老鼠要圍成的庭院吧？用竹籬笆圍成庭院，難道必須要圍4個(gè)面嗎？

生6：哎呀！還真是的。圍庭院可以只圍3個(gè)面，靠墻的那一面是不用圍起來(lái)的。

生7：對(duì)呀！那3個(gè)面共長(zhǎng)96米，一條邊的長(zhǎng)度就是96÷3=32（米），面積最大應(yīng)該是32×32=1024（平方米）。

……

積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)雖然是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要任務(wù)之一，但是教師在教學(xué)中不能忘卻新課程強(qiáng)調(diào)的一個(gè)重要理念，那就是“數(shù)學(xué)教學(xué)必須立足于兒童生活的現(xiàn)實(shí)”。筆者以為，這也是智慧教學(xué)的一種體現(xiàn)。因此，教師在教學(xué)中既要重視學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的習(xí)得，又要關(guān)注他們數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。上述教學(xué)，教師意在促進(jìn)學(xué)生關(guān)于長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)、面積等知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的激活，并引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系生活實(shí)際解決問(wèn)題，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)更理性、更高效。

總之，畫(huà)圖策略是數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的基本策略。在數(shù)學(xué)課堂中，教師應(yīng)根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容，利用數(shù)與圖之間的對(duì)應(yīng)和轉(zhuǎn)化，適時(shí)滲透數(shù)形結(jié)合這一數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生的思維在抽象思維和形象思維之間靈活轉(zhuǎn)換，將數(shù)學(xué)問(wèn)題化抽象為直觀、化難為易，從而豐富學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生的思維品質(zhì)。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 葉心慧.從形象到抽象? 構(gòu)建學(xué)生優(yōu)良的思維品質(zhì)：論畫(huà)圖策略在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].新智慧，2020（30）：127-128.

[2] 孫樹(shù)通.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中畫(huà)圖策略的應(yīng)用分析[J].新課程導(dǎo)學(xué)，2020（8）：20.

[3] 彭芝萍.畫(huà)圖策略在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].江西教育，2019（26）：60-61.

（責(zé)編 杜 華）