裘迪波 王孫君

[摘? 要] “運(yùn)算定律”單元學(xué)習(xí)的是運(yùn)算體系中具有普遍意義的規(guī)律，其中乘法分配律是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。為讓學(xué)生在大概念的統(tǒng)攝下，系統(tǒng)學(xué)習(xí)加減乘除中的三大定律，突破難點(diǎn)，在梳理前期學(xué)習(xí)內(nèi)容、調(diào)研生情的基礎(chǔ)上，對(duì)本單元學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行了適度整合與實(shí)踐。借助“重構(gòu)模型化數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)湊整性簡(jiǎn)算意識(shí)，感受數(shù)學(xué)思考價(jià)值”等策略，助推學(xué)生系統(tǒng)建模，發(fā)展學(xué)力，培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力。

[關(guān)鍵詞] 運(yùn)算定律;梳理分析;整合重構(gòu);發(fā)展學(xué)力

“運(yùn)算定律”（人教版四年級(jí)下冊(cè)第三單元）編排了兩節(jié)內(nèi)容：先學(xué)習(xí)加法運(yùn)算定律及其應(yīng)用，內(nèi)含連減的簡(jiǎn)便計(jì)算;再學(xué)習(xí)乘法運(yùn)算定律及其應(yīng)用，練習(xí)中包括連除的應(yīng)用。教材共安排了8個(gè)例題和2個(gè)專項(xiàng)練習(xí)。筆者用心研讀本單元教材的編排體系，結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，覺得看似清晰、系統(tǒng)的知識(shí)脈絡(luò)似有碎片化之感，而且每個(gè)定律平均用力，難點(diǎn)無法突破。為此，引發(fā)了筆者思考，筆者在梳理前期學(xué)習(xí)內(nèi)容、調(diào)研生情的基礎(chǔ)上，對(duì)本單元學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行了適度整合與實(shí)踐。

[?]一、筆者的思考

1. 能否建立“運(yùn)算定律”大概念統(tǒng)攝教學(xué)

運(yùn)算定律是數(shù)的運(yùn)算體系中具有普遍意義的規(guī)律，如果將“運(yùn)算律”作為大概念，那么交換律、結(jié)合律、分配律都從屬于它。在運(yùn)算定律大概念統(tǒng)攝下，我們是否可以探索加減乘除運(yùn)算中，哪些數(shù)的運(yùn)算存在著交換律、結(jié)合律、分配律？能否從大概念角度進(jìn)行系統(tǒng)教學(xué)？

2. 如何突破“乘法分配律”這一核心定律

三個(gè)乘法運(yùn)算定律中，乘法分配律是學(xué)生最難理解的，也是數(shù)的運(yùn)算中應(yīng)用最廣泛、最能體現(xiàn)簡(jiǎn)算性的運(yùn)算定律，教材編排了例7作為一課時(shí)進(jìn)行教學(xué)。如何才能突破這一難點(diǎn)，讓學(xué)生真正理解乘法分配律的內(nèi)涵，并能正確地拓展應(yīng)用？

3. 怎樣結(jié)合“問題解決”錘煉簡(jiǎn)算意識(shí)

教材注重運(yùn)算定律與簡(jiǎn)便計(jì)算技巧的訓(xùn)練，采用“一例一練”的方式對(duì)應(yīng)編排。如何很好地將運(yùn)算定律的學(xué)習(xí)和解決生活中的實(shí)際問題相結(jié)合，從而更好地培養(yǎng)學(xué)生的“簡(jiǎn)算意識(shí)”？

[?]二、前置內(nèi)容梳理和學(xué)情分析

（一）教材內(nèi)容，前有孕伏

通過梳理前面七冊(cè)教學(xué)內(nèi)容，筆者發(fā)現(xiàn)：一上一圖四式和二上乘法口訣對(duì)交換律有了提前滲透，三上、三下和四上通過學(xué)習(xí)多位數(shù)乘法初步體會(huì)乘法分配律、結(jié)合律以及相關(guān)的連乘、連除性質(zhì)。教材整體編排對(duì)加法、乘法運(yùn)算定律有了一定的孕伏。

（二）學(xué)情調(diào)測(cè)，提供依據(jù)

1. 前測(cè)分析

筆者對(duì)城區(qū)、城郊和鄉(xiāng)鎮(zhèn)三個(gè)層面的四年級(jí)6個(gè)班學(xué)生進(jìn)行了學(xué)情前測(cè)，從學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)、知識(shí)結(jié)構(gòu)兩方面進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)。

分析統(tǒng)計(jì)結(jié)果，筆者發(fā)現(xiàn)：1、2題各層面的正確率達(dá)到了80%左右，3題各層面的正確率在50%及以下，說明學(xué)生對(duì)加法交換律和乘法交換律在認(rèn)知上有了一定的感知。但大部分學(xué)生不能用文字或圖畫來表示，說明學(xué)生對(duì)交換律的內(nèi)涵不是很清楚，比較模糊。4、5兩題各層面的正確率在23%和38%之間，說明大部分學(xué)生對(duì)減法和除法是否有交換律存在疑惑，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)還缺乏完整性。

2. 后測(cè)分析

在對(duì)四年級(jí)學(xué)生進(jìn)行前測(cè)的基礎(chǔ)上，筆者還對(duì)城區(qū)五年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了后測(cè)統(tǒng)計(jì)（主要從學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解、應(yīng)用意識(shí)上進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)）：

分析發(fā)現(xiàn)：學(xué)生對(duì)加法、乘法的交換律、結(jié)合律掌握得比較好，應(yīng)用定律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算正確率很高;而乘法分配律的答題情況不容樂觀，還有近30%的學(xué)生沒有掌握，不能正確應(yīng)用;學(xué)生的湊整應(yīng)用意識(shí)不是很強(qiáng)。

[?]三、單元文本的整合嘗試

在潛心研讀分析教材編排和學(xué)生前后測(cè)學(xué)情的基礎(chǔ)上，筆者對(duì)這單元內(nèi)容進(jìn)行了適當(dāng)整合并確定了單元整體教學(xué)目標(biāo)。

（一）研析學(xué)情，精準(zhǔn)定位

1. 適當(dāng)整合，突出大概念，系統(tǒng)呈現(xiàn)

在“運(yùn)算定律”大概念統(tǒng)攝下，筆者將內(nèi)容相似、結(jié)構(gòu)相同的加法交換律和乘法交換律整合成一節(jié)交換律，把加法結(jié)合律和乘法結(jié)合律整合成一節(jié)結(jié)合律，把減法的簡(jiǎn)便運(yùn)算和連除的簡(jiǎn)便運(yùn)算整合成一節(jié)減法和除法的性質(zhì)，在此之后安排一節(jié)交換律、結(jié)合律性質(zhì)的綜合應(yīng)用。從學(xué)生的后測(cè)情況來看，學(xué)生對(duì)乘法分配律的應(yīng)用掌握不夠，所以筆者把乘法分配律分成兩節(jié)課加以突破：分別為意義的理解和應(yīng)用拓展兩課時(shí)，最后為單元復(fù)習(xí)。運(yùn)算定律的應(yīng)用、解決問題策略多樣化等分解在定律的應(yīng)用拓展以及單元復(fù)習(xí)課中。具體框架如下：

這樣整合，更有利于學(xué)生感悟知識(shí)之間的聯(lián)系與區(qū)別，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，同時(shí)突破模型結(jié)構(gòu)相對(duì)復(fù)雜的乘法分配律。

2. 延長(zhǎng)課時(shí)，突破難點(diǎn)，建構(gòu)模型

乘法分配律具有高度的抽象性和概括性，其模型結(jié)構(gòu)對(duì)學(xué)生來說很難建立。教材只安排了一個(gè)例題一課時(shí)來學(xué)習(xí)，大部分學(xué)生難以理解。筆者應(yīng)拉長(zhǎng)學(xué)習(xí)時(shí)空，拉長(zhǎng)乘法分配律的建構(gòu)過程，設(shè)計(jì)貼近生活的問題情境，充分展示思維過程來保證模型的建構(gòu)，讓學(xué)生在經(jīng)歷“猜想→驗(yàn)證→歸納→建?！敝姓嬲斫舛傻膬?nèi)核，培養(yǎng)學(xué)生高層次的數(shù)學(xué)思維能力。

3. 夯實(shí)基礎(chǔ)，靈活應(yīng)用，錘煉意識(shí)

常態(tài)教學(xué)中，教師往往偏向簡(jiǎn)便計(jì)算能力的訓(xùn)練，忽視學(xué)生湊整意識(shí)的培養(yǎng)。容易造成學(xué)生看題目要求簡(jiǎn)便計(jì)算，就進(jìn)行簡(jiǎn)算;一旦沒有這個(gè)要求，就按常規(guī)方法計(jì)算。因此，筆者應(yīng)按照“前有孕伏，提前滲透;中有突破，靈活簡(jiǎn)算;后有發(fā)展，錘煉意識(shí)”的整體性教學(xué)思路，有的放矢地錘煉學(xué)生的簡(jiǎn)算意識(shí)。

（二）呈現(xiàn)價(jià)值，制定目標(biāo)

為了突出單元整體性，筆者預(yù)設(shè)了“強(qiáng)化意義、錘煉思維、體現(xiàn)價(jià)值”的單元目標(biāo)：

1. 強(qiáng)化運(yùn)算定律意義的理解，建構(gòu)“模型化”數(shù)學(xué)知識(shí)

讓95%以上的學(xué)生能識(shí)別和理解運(yùn)算定律和性質(zhì);85%以上的學(xué)生能選擇合適的算法模型，靈活運(yùn)用;70%以上的學(xué)生會(huì)運(yùn)用模型，創(chuàng)編合適情境。

2. 提升運(yùn)算定律應(yīng)用的能力，培養(yǎng)“湊整”簡(jiǎn)算意識(shí)

運(yùn)算定律教學(xué)不能簡(jiǎn)單等同于簡(jiǎn)便計(jì)算教學(xué)，運(yùn)用運(yùn)算定律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算的本質(zhì)是湊整，培養(yǎng)學(xué)生湊整的簡(jiǎn)算意識(shí)。

3. 不斷積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和思考經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力

讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、發(fā)現(xiàn)、猜想、舉例、驗(yàn)證、歸納等思考過程，感受數(shù)學(xué)思考的價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力。

[?]四、單元整合教學(xué)實(shí)施策略

為實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo)，筆者借助重構(gòu)“模型化”數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)“湊整”簡(jiǎn)算意識(shí)，感受“數(shù)學(xué)思考”價(jià)值等策略，幫助學(xué)生重構(gòu)建模、發(fā)展學(xué)力。

（一）數(shù)形交融，建構(gòu)“模型化”數(shù)學(xué)知識(shí)

1. 以形促數(shù)，豐富活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

教學(xué)定律時(shí)，筆者借助圖形表征，豐富學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，促使學(xué)生理解內(nèi)化。如教學(xué)交換律時(shí)，看圖算一算：★★★? ★★★★ 一共有多少個(gè)五角星？●●●●● ●●●●一共有多少個(gè)圓？借助計(jì)算圖形個(gè)數(shù)，得出3+4=4+3，5+4=4+5。這樣讓學(xué)生體會(huì)形中有數(shù)，以形促數(shù)，使學(xué)生更加深刻地理解運(yùn)算定律的意義。

2. 形中思數(shù)，強(qiáng)化運(yùn)算本質(zhì)

乘法分配律的理解和應(yīng)用是本單元教學(xué)的難點(diǎn)。筆者借助圖形表征、符號(hào)表征等不同方式來促進(jìn)學(xué)生理解定律的本質(zhì)。如讓學(xué)生計(jì)算長(zhǎng)方形的面積（如圖4），有的學(xué)生用101×50，有的用100×50+1×50。

101×50 100×50+1×50

=（100+1）×50 =5000+50

=100×50+1×50 =5050

=5000+50

=5050

通過兩種方法計(jì)算面積，讓學(xué)生“形中思數(shù)”，借助圖形的直觀性將抽象的運(yùn)算定律形象化、簡(jiǎn)單化，讓學(xué)生運(yùn)用多種感官充分感知，搭建數(shù)與形之間的橋梁，學(xué)生對(duì)“以形思數(shù)”的感悟會(huì)有更高層次的理解，從而強(qiáng)化運(yùn)算定律的本質(zhì)。

3. 數(shù)形互補(bǔ)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

筆者還嘗試借助圖形來進(jìn)行乘法分配律的教學(xué)（如圖5：媽媽各買了3盒兩種規(guī)格的口罩，媽媽總共買了多少個(gè)口罩？）讓學(xué)生結(jié)合點(diǎn)子圖表述所寫算式（5+7）×3=5×3+7×3的含義。

這樣借助圖形從分到合或從合到分進(jìn)行動(dòng)態(tài)展示，巧用圖形表征給學(xué)生一個(gè)“理解的支點(diǎn)”，一方面借助圖形可以探索出運(yùn)算定律，體現(xiàn)“數(shù)中有形”;另一方面利用圖形呈現(xiàn)的多樣性，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)的運(yùn)算規(guī)律，體現(xiàn)“形中有數(shù)”。這樣一種教學(xué)方式讓學(xué)生真正感受到數(shù)形結(jié)合的魅力。數(shù)形互補(bǔ)，促使學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)乘法分配律。

（二）一題巧用，培養(yǎng)“湊整性”簡(jiǎn)算意識(shí)

1. 一題多解，錘煉簡(jiǎn)算技能

如計(jì)算50+25×88，引導(dǎo)學(xué)生用不同的方法解決：50+25×（80+8），50+25×4×22，50+25×8×11，25×2+25×88=25×（2+88），既應(yīng)用了乘法分配律，又涉及了乘法結(jié)合律。通過一題多解，靈活簡(jiǎn)算，錘煉學(xué)生的簡(jiǎn)算技能。

2. 一題多變，激活簡(jiǎn)算意識(shí)

如在復(fù)習(xí)運(yùn)算定律時(shí)設(shè)計(jì)下題：

25×43_______，在橫線上填寫數(shù)與運(yùn)算符號(hào)，使式子能簡(jiǎn)便計(jì)算。

這題會(huì)呈現(xiàn)多種結(jié)果，如25×43×4、25×43+25×57等，既有應(yīng)用乘法交換律、乘法結(jié)合律的簡(jiǎn)算，又有應(yīng)用乘法分配律的簡(jiǎn)算。這樣的一題多變，可激活學(xué)生的簡(jiǎn)算意識(shí)和簡(jiǎn)算思維。

3. 一題多編，靈活簡(jiǎn)算應(yīng)用

如教學(xué)單元綜合應(yīng)用時(shí)，讓學(xué)生選取125、32、68、8、101中的任意幾個(gè)數(shù)，編寫一個(gè)能簡(jiǎn)便計(jì)算的式子，并說明用什么定律或性質(zhì)。學(xué)生可能會(huì)編出：125×32=125×8×4，68×101=68×1+68×100，等等。在經(jīng)歷自主編題、思考的過程中，進(jìn)一步錘煉了學(xué)生的簡(jiǎn)算意識(shí)和運(yùn)算技能。

（三）積累經(jīng)驗(yàn)，感受“數(shù)學(xué)思考”的價(jià)值

運(yùn)算定律的學(xué)習(xí)過程是后續(xù)代數(shù)知識(shí)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是后續(xù)學(xué)生靈活處理計(jì)算問題積累相應(yīng)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的過程。因此，教學(xué)時(shí)要盡可能拉長(zhǎng)、凸顯這個(gè)過程，讓學(xué)生在不斷經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程中積累經(jīng)驗(yàn)，感受數(shù)學(xué)思考的價(jià)值。

1. 從“探究嘗試”走向“猜想驗(yàn)證”

如學(xué)習(xí)交換律時(shí)，當(dāng)學(xué)生通過觀察引發(fā)猜想、自主驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)并歸納出加法交換律后，教師追問“加法中有交換律，其他運(yùn)算中是否也存在著這樣的定律呢？”由此引導(dǎo)學(xué)生從加法遷移到四則運(yùn)算，讓學(xué)生再次提出猜想：有的說乘法中可能也有交換律，有的認(rèn)為減法和除法中可能也有交換律。然后根據(jù)學(xué)習(xí)單讓學(xué)生自主舉例驗(yàn)證，交流反饋，得出結(jié)論。兩次猜想、驗(yàn)證，進(jìn)一步錘煉了學(xué)生的思考能力和學(xué)習(xí)能力，促使學(xué)生的思維從低階步入高階。

2. 從“歸納建?！弊呦颉皵?shù)學(xué)應(yīng)用”

如探究乘法分配律時(shí)，筆者設(shè)計(jì)了以下四個(gè)練習(xí)：

（1）在○里填上<、>或=。

（4+2）×25○4×25+2×25，8×（125+25）○8×125+8×25。

（2）請(qǐng)?jiān)倥e幾個(gè)這樣相等的例子。

（3）請(qǐng)用字母表示上述相等的式子。

（a+b）×c=___×___+___×___，a×（b+c）=____×____+____×____。

（4）用乘法分配律計(jì)算：125×（8+4），64×64+36×64。

筆者先讓學(xué)生判斷左右兩邊的式子是否相等，再根據(jù)等式兩邊的變化過程，歸納建模，用字母表示出定律，最后應(yīng)用定律進(jìn)行簡(jiǎn)算。一步步引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)到符號(hào)，從直觀到抽象，從歸納到應(yīng)用，推動(dòng)著學(xué)生思維向縱深發(fā)展。

這樣的單元整合學(xué)習(xí)，學(xué)生經(jīng)歷了一次次深入的探究活動(dòng)，建構(gòu)了一個(gè)個(gè)運(yùn)算定律模型，深度學(xué)習(xí)在探究驗(yàn)證、重構(gòu)建模中真實(shí)地發(fā)生著。