袁桂春

【摘要】在解答平面幾何問題時(shí)，作輔助線是經(jīng)常使用的方法，但是由于輔助線的使用過于復(fù)雜，導(dǎo)致學(xué)生在解題過程中往往無法正確使用，使得學(xué)生即花費(fèi)了時(shí)間，又沒有好的效果.為了讓學(xué)生正確的認(rèn)識(shí)到輔助線的使用方法，本文結(jié)合實(shí)際情況，對輔助線的使用進(jìn)行系統(tǒng)性的分析.

【關(guān)鍵詞】輔助線;平面幾何;解題效率

1 在三角形中的運(yùn)用

三角形的圖象題目中，當(dāng)題目中出現(xiàn)角平分線、平行線、垂直平分線及線段之間的關(guān)系等諸多信息點(diǎn)時(shí)，學(xué)生在解答問題時(shí)，則往往需要借助輔助線.根據(jù)題目中給出的內(nèi)容及最終的問題，通過輔助線構(gòu)造全等三角形、相似三角形、相等線段等諸多策略，以此解答問題.

例1 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，E為AB中點(diǎn)，以BE為邊作等邊△BDE，連接AD，CD，BC=3，AC邊上是否存在一點(diǎn)H，使BH+EH值最小，并求出最小值.

分析 根據(jù)題意，直接進(jìn)行求解是十分困難的，此時(shí)則需要作出相應(yīng)的輔助線幫助分析題目.首先，點(diǎn)B，E在AC左側(cè)，同側(cè)的兩點(diǎn)并不能確定二者之間的最短距離，此時(shí)，則需要找到B，E其中一個(gè)的對稱點(diǎn)，進(jìn)而解答問題.

解 作E關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)E′，連接BE′交AC于點(diǎn)H，如圖2所示.

此時(shí)則有AE=AE′，HE=HE′，

所以BH+EH=BH+E′H=BE′，

因?yàn)椤螧AC=30°，

所以∠BAE′=60°.

因?yàn)锳E=AE′，

所以△AEE′為等邊三角形.

因?yàn)镋是AB中點(diǎn)，∠ACB=90°，∠BAC=30°，

所以，EE′=12AB=BC=3.

可得∠AE′B=90°.

根據(jù)AE′=EE′=3，∠AE′B=90°，∠BAE′=60°，則可以得到BE′=33，

即BH+EH的最小值為33.

2 輔助線在四邊形中的應(yīng)用

在面對四邊形的相關(guān)問題時(shí)，學(xué)生則需要進(jìn)一步分析總結(jié)輔助線的使用技巧.如當(dāng)題目中出現(xiàn)平行四邊形、梯形、長方形及其它特殊圖象時(shí)，而又無法直接解答問題時(shí)，此時(shí)學(xué)生就需要考慮根據(jù)各種圖形的基本性質(zhì)以及題目中給出的信息與圖象之間的關(guān)系進(jìn)行分析，畫出相應(yīng)的輔助線，幫助解答問題.

例2 如圖3所示，在四邊形ABCD中，AB∥CD，過點(diǎn)C作CE⊥BC，交AD于點(diǎn)E，連接BE，∠BEC=∠DEC，若AB=6，求CD的長度.

分析 分析題目可以發(fā)現(xiàn)，解答本題不能直接進(jìn)行計(jì)算，而是需要作出相應(yīng)的輔助線，找出AB與CD的數(shù)量關(guān)系，最后得到CD的長度.

解 延長BC，AD交于F，

因?yàn)椤螧EC=∠DEC，CE⊥BC，CE=CE，

所以，△ECF≌△ECB，

進(jìn)一步可得FC=BC，

又因?yàn)锳B∥CD，根據(jù)其定理得到AD=FD，

所以CD是△FAB的中位線，

則可得CD=12AB=3.

3 在圓形中的應(yīng)用

與圓相關(guān)的平面圖形問題是中招考試中的一個(gè)重點(diǎn)題型，同時(shí)其計(jì)算比較復(fù)雜，需要學(xué)生同時(shí)兼顧圓的基本性質(zhì)與其結(jié)合圖象的性質(zhì)，所以，輔助線的使用更加的多變.

當(dāng)題目中出現(xiàn)關(guān)于弦的問題時(shí)，學(xué)生就可以作弦心距及弦半徑的輔助線.當(dāng)出現(xiàn)計(jì)算弦長及半徑、直徑的問題時(shí)，學(xué)生就可以作過圓心垂直于切線的輔助線.

圓與其它圖象相結(jié)合的題目中，則需要學(xué)生利用二者之間的關(guān)系作出適當(dāng)?shù)妮o助線.

例3 如圖5所示，AB為圓Ο的直徑，弦CD交AB垂足為P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，求CD的長度.

分析 通過分析可以得到，首先需要根據(jù)直徑求弦的長度，而后作垂直于弦的線段，從而求出結(jié)果.

解 作OH⊥CD于點(diǎn)H，連接OC，如圖6所示.

因?yàn)锳P=2，BP=6，

所以可得圓的半徑r=4，進(jìn)一步可得OP=2，

因?yàn)椤螦PC=30°，

所以∠HPO=30°.

因?yàn)椤鱄PO是直角三角形，

所以，OH=12OP=1，

在Rt△HCO中，OH=1，OC=4，

所以CH=OC2-OH2=15，

所以CD=2CH=215.

4 結(jié)語

輔助線作為解答平面問題的重要方法，需要學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中，多進(jìn)行習(xí)題練習(xí)，積極進(jìn)行總結(jié)歸納，如此才能在考試中取得好的成績.