文|金雷杰 周 蕾

深度學(xué)習(xí)是與孤立記憶和非批判性接受知識的淺層學(xué)習(xí)相對的一個概念，強調(diào)學(xué)習(xí)者積極主動地學(xué)習(xí)，靈活熟練地運用知識解決實際問題。因此，深度學(xué)習(xí)的主要特征是關(guān)注本質(zhì)而非表面、實質(zhì)而非形式、聯(lián)系的而非孤立的理解，關(guān)注應(yīng)用與創(chuàng)新而非記憶與模仿，最終促進學(xué)生高階思維的發(fā)展。

數(shù)學(xué)課堂要實現(xiàn)真正的深度學(xué)習(xí)，一方面要尋求意義與知識、經(jīng)驗的鏈接，溝通概念間的聯(lián)系，探討共同的范式與原理，建立整體、全面、深刻的認(rèn)識；另一方面，不僅要知其然，還要知其所以然，強化證據(jù)的檢驗與討論的批判性，防止碎片化的學(xué)習(xí)內(nèi)容和簡單記憶與再現(xiàn)的學(xué)習(xí)方法，防止無意義、跟從式的學(xué)習(xí)。

基于以上觀點，下面來談?wù)劇度切巍穯卧虒W(xué)中的深度學(xué)習(xí)策略。

一、《三角形》單元教學(xué)中的主要問題

1.碎片化的內(nèi)容安排，缺乏知識間的內(nèi)在聯(lián)系。

四年級《三角形》單元是學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)三角形知識的開始。所涉及的知識點如下：

三角形的特性（三角形的概念、三角形各部分名稱、三角形的穩(wěn)定性、三角形任意兩邊之和大于第三邊）。

三角形的分類（按角分可以分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形；直角三角形中斜邊最長；認(rèn)識等腰三角形、等邊三角形）。

三角形的內(nèi)角和（三角形的內(nèi)角和是180 度、四邊形的內(nèi)角和是360 度）。

無論是教材編排還是實際教學(xué)中，“三角形認(rèn)識”的各知識點的學(xué)習(xí)都存在碎片化、孤立化的現(xiàn)象。比如三角形的各部分名稱：角、邊、頂點之間沒有建立必要的聯(lián)系；又如等腰三角形和等邊三角形中，邊與角對應(yīng)的相等關(guān)系也沒有建立必要聯(lián)系等。這種現(xiàn)象造成學(xué)生對這些概念和特征的淺層理解和孤立記憶，不利于學(xué)生形成對概念本質(zhì)的理解。

2.表面化地理解規(guī)律，缺少說理和論證。

教材的意圖是讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)直角三角形中斜邊最長。這個規(guī)律的發(fā)現(xiàn)是通過測量一個直角三角形的各條邊的長度發(fā)現(xiàn)的，即使測量多個直角三角形，所得的結(jié)論也仍不具有一般性和說服力。其實斜邊最長，學(xué)生通過直觀觀察就能感覺到，他們?nèi)鄙俚氖切边呑铋L的道理。本單元中還有三角形的穩(wěn)定性、三角形內(nèi)角和以及等腰、等邊三角形關(guān)系的理解，學(xué)生往往都停留在知識表面，缺少必要的推理和證明，也錯失了發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的好時機。

二、《三角形》單元教學(xué)中的深度學(xué)習(xí)

幾乎所有的平面圖形的認(rèn)識都是從研究圖形的邊和角開始，三角形也一樣。從小學(xué)階段的基礎(chǔ)認(rèn)識到初中學(xué)習(xí)全等、相似三角形，到高中的三角函數(shù)，探索的都是三角形邊和角之間的規(guī)律。因此，三角形的邊和角之間本身存在必然聯(lián)系，不能割裂。同時，作為系統(tǒng)學(xué)習(xí)三角形的起始內(nèi)容，《三角形》單元教學(xué)還肩負(fù)為后續(xù)深入學(xué)習(xí)三角形相關(guān)知識積累基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的任務(wù)。所以根據(jù)四年級學(xué)生特點適度溝通邊和角的聯(lián)系是必要的，也是可行的。

1.加強邊和角的關(guān)聯(lián)。

（1）三角形各部分名稱教學(xué)中邊和角的關(guān)聯(lián)。

先來看一則教學(xué)案例：

……

師：有誰知道三角形各部分名稱？上來指一指、說一說。

（學(xué)生嘗試）

師：是的，三角形有3 個頂點，3 個角，3 條邊。

（板書：3 個頂點，3 個角，3 條邊）

師：用大寫字母A、B、C 表示這個三角形的3 個頂點，這就是三角形ABC 了。3 個頂點分別是頂點A、頂點B、頂點C，3 個角分別是∠A、∠B、∠C，3 條邊分別是AB、BC、AC。

大多數(shù)教師到這一步就把三角形各部分名稱的教學(xué)完成了，顯然這些概念之間是孤立的、不相關(guān)的，造成學(xué)生的機械記憶，也不利于后續(xù)學(xué)習(xí)。此時，正是教師對三角形的頂點、角和邊三者進行必要的溝通和關(guān)聯(lián)的好時機。

師：（在黑板上邊指邊說）請同學(xué)們繼續(xù)觀察這些頂點、角和邊，頂點A 所在的角是∠A，∠A 的對邊是BC，它們是一組好朋友。

（板書：點A ∠A BC）

師：你還能在三角形ABC 中找到這樣的對應(yīng)關(guān)系嗎？

根據(jù)學(xué)生回答，完整板書如下：

這樣，既為后續(xù)學(xué)習(xí)作“高”時的“對邊”提前鋪墊，也使三角形中的頂點、邊和角建立有機聯(lián)系，形成完整的知識鏈。

（2）特殊三角形教學(xué)中邊和角的關(guān)聯(lián)。

三角形按邊分類的教學(xué)環(huán)節(jié)一般是這樣設(shè)計的：

師：關(guān)于等腰三角形和等邊三角形的知識有哪些呢？請同學(xué)們自學(xué)課本第64 頁。

師：你能向大家介紹一下嗎？

學(xué)生介紹：

①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形，三條邊都相等的三角形是等邊三角形。

②等腰三角形各部分名稱、等邊三角形各部分名稱。

③等邊三角形是特殊的等腰三角形。

教師在黑板上的等腰三角形和等邊三角形上分別標(biāo)注各部分名稱。

師：等腰三角形和等邊三角形還有什么特點呢？請同學(xué)們量一量、折一折，看看有什么發(fā)現(xiàn)？

得出：等腰三角形兩個底角相等；等邊三角形三個角都相等；等腰三角形和等邊三角形都是軸對稱圖形。

教學(xué)到此結(jié)束，學(xué)生雖然已經(jīng)比較全面地知道了等腰、等邊兩種特殊三角形的特點，但這兩種特殊三角形邊和角的特點各自獨立，還是割裂開來的，邊是邊的特點、角是角的特點，邊和角之間沒有建立關(guān)聯(lián)。此時，教師只要稍微進行延伸和拓展，教學(xué)效果就完全不一樣了。

師：請同學(xué)們繼續(xù)觀察等腰三角形的腰和底角，你又有什么新的發(fā)現(xiàn)？

生1：腰和底角是相對的。

師：你能上來指一指嗎？

生2：我還發(fā)現(xiàn)，腰相等，所以相對的底角也相等。底邊和腰不相等，所以頂角和底角也不相等。

師：把邊和角聯(lián)系起來看是我們研究三角形的好方法，你能用這樣的眼光再來看看等邊三角形嗎？

生3：我知道了，因為等邊三角形的三條邊相等，所以三個角也全都相等了。

師：看來邊和角之間確實有緊密聯(lián)系，讓我們再回過頭來看看我們研究過的鈍角三角形和直角三角形吧。

生4：我發(fā)現(xiàn)鈍角三角形中鈍角所對的這條邊最長。

生5：我發(fā)現(xiàn)直角三角形中直角所對的斜邊最長。

生6：我發(fā)現(xiàn)三角形中長邊對大角，短邊對小角，它們是相互關(guān)聯(lián)的。

雖然只是在原來教學(xué)基礎(chǔ)上增加了一個邊和角溝通的小環(huán)節(jié)，但學(xué)生對三角形邊和角的認(rèn)識卻邁出了一大步。學(xué)生不僅認(rèn)識了各種特殊三角形的邊和角各自的特點，而且建立了邊和角的聯(lián)系，使邊和角之間產(chǎn)生因果關(guān)系，直接指向三角形特點的本質(zhì)，真正實現(xiàn)了融會貫通、深度理解。

（3）不同分類標(biāo)準(zhǔn)下各類三角形之間的關(guān)聯(lián)。

三角形按角分，可分為三類，分別是銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形；按邊分，可分為兩大類，即三條邊都不相等的三角形（一般三角形）和等腰三角形，其中等腰三角形又可分為一般等腰三角形及等邊三角形。三角形的分類教學(xué)僅限于此是不夠的，應(yīng)用關(guān)聯(lián)的眼光看待不同分類標(biāo)準(zhǔn)下的各類三角形，結(jié)合邊與角的因素，邊想象邊連線，如下圖所示，在溝通不同類三角形之間關(guān)系的同時，豐富學(xué)生頭腦中三角形形狀的素材庫。同時，通過適時追問“等邊三角形會是直角三角形或鈍角三角形嗎？”“等腰直角三角形3 個角的度數(shù)有什么特殊之處？”進一步挖掘等腰直角三角形、等邊三角形這些特殊三角形邊、角的特點。

2.適度進行“所以然”的解釋。

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師往往只關(guān)注“是什么”，而不關(guān)注“為什么”，關(guān)注“為什么”就是深度學(xué)習(xí)的具體體現(xiàn)。適度的證明和解釋既能加深對知識的理解，又能培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。教學(xué)中把所要學(xué)習(xí)的知識與原有知識進行關(guān)聯(lián)，并加以解釋是開展深度學(xué)習(xí)的常用方法。

（1）三角形穩(wěn)定性的解釋。

用這樣的3 根小棒，搭三角形；用這樣的4 根小棒，搭平行四邊形。

你有什么發(fā)現(xiàn)？

……

三角形中，確定3 條邊的長度，只能得到一種形狀的三角形，形狀不會變，這就是人們常說的：三角形具有穩(wěn)定性。

而平行四邊形呢，確定4 條邊的長度，能得到無數(shù)種不同形狀的平行四邊形，形狀不能確定，所以我們常說，平行四邊形容易變形。

一般，教師到此就結(jié)束三角形穩(wěn)定性的研究，馬上進入穩(wěn)定性應(yīng)用的環(huán)節(jié)。其實利用學(xué)生搭三角形的經(jīng)驗繼續(xù)追問：為什么3 條邊確定了，三角形的形狀也就確定了呢？學(xué)生雖然不能規(guī)范說理，但通過操作和討論能夠得出：用兩條邊搭出的是角，開口是不確定的，有了第三條邊，就把原來的開口給固定了，因此三角形的形狀是唯一的、固定的。三角形的唯一性決定了三角形的穩(wěn)定性。這樣的教學(xué)可以使學(xué)生更深刻地理解三角形的唯一性，也能更好地理解在實際生活中穩(wěn)定性的應(yīng)用。

（2）直角三角形中斜邊最長的解釋。

前文中已提到過，課本是用測量的方法讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)直角三角形中斜邊最長，對四年級學(xué)生來說，略顯幼稚且不具說服力和一般性。其實完全可以利用四年級學(xué)過的“直線外一點向這條直線所作的垂直線段最短”這一性質(zhì)來解釋說明（如下圖）。

先讓學(xué)生觀察下圖，你覺得哪條邊最長？能利用原有的知識來說說為什么嗎？部分學(xué)生經(jīng)過思考能夠回答。

因為點A 與線段BC 所作的兩條連線AB 和AC，AB 是垂直線段，所以AC 比AB 長；同理,BC 是點C 向線段AB 所作的垂直線段，所以AC 比BC 長。由此得到直角三角形中斜邊最長。這樣得出的結(jié)論具有一般性，適用于任意直角三角形。

通過說理，學(xué)生不僅深刻理解了直角三角形中斜邊最長的特點，而且培養(yǎng)了學(xué)生演繹推理的能力,發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（3）等邊三角形是特殊等腰三角形的再解釋。

早在三角形分類的教學(xué)中，學(xué)生就已經(jīng)基于定義知道了等邊三角形是特殊的等腰三角形，從邊的特點理解兩類三角形的關(guān)系：等腰三角形中如果第三條邊也相等就是等邊三角形。而這兩類三角形之間的關(guān)系，還可以從角的特點加以理解，在“三角形內(nèi)角和”的教學(xué)之后，教師設(shè)計了如下探究問題，引導(dǎo)學(xué)生證明說理。

師：我們知道等腰三角形僅兩條邊相等，而等邊三角形需三條邊都相等，也就是，若等腰三角形增加“第三條邊也相等”的條件，就是等邊三角形。這是從邊的特點說明了等邊三角形是特殊的等腰三角形。那么，從角的特點思考，等腰三角形增加什么條件，就能變成等邊三角形呢？

生：（脫口而出）三個角都是60°。

師：真要這么多嗎？少一些可以嗎？大膽猜想一下，最少增加幾個60°的角，等腰三角形就變成等邊三角形了？

通過推理計算，學(xué)生發(fā)現(xiàn)只需知曉一個角是60°即可，即有一個角是60°的等腰三角形，就是等邊三角形。分類思考可知：若60°角是等腰三角形的頂角，則兩底角度數(shù)為（180°－60°）÷2＝60°，三個角相等，都是60°，可知三條邊也相等，該三角形為等邊三角形；若60°角是等腰三角形的底角，則頂角度數(shù)為180°－60°×2＝60°，同樣可知該三角形為等邊三角形。在這個過程中，學(xué)生應(yīng)用已有的內(nèi)角和知識、三角形邊角之間的關(guān)系，不僅對等腰、等邊三角形的包含關(guān)系有了更深入的理解，更為重要的是經(jīng)歷了一次難得的推理與證明過程。

雖然小學(xué)階段大多是通過歸納、類比等合情推理方式讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，但像這樣適時地利用原有知識基礎(chǔ)或生活經(jīng)驗對發(fā)現(xiàn)的結(jié)論進行說理或解釋，進行必要的演繹推理，不僅能加深對知識的理解，發(fā)展學(xué)生的推理能力，而且還能主動與初中教學(xué)銜接，培養(yǎng)思維的邏輯性、條理性，提升思維品質(zhì)，減少小升初后的不適應(yīng)。

總之，加強知識間的關(guān)聯(lián)，用聯(lián)系的眼光來學(xué)習(xí)、觀察，學(xué)會用已有知識和經(jīng)驗來解釋發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，既是完整深刻掌握知識、學(xué)會學(xué)習(xí)的需要，也是開展深度學(xué)習(xí)、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的正確途徑。

欄目介紹

【教學(xué)策略】透視教學(xué)現(xiàn)象，探尋教學(xué)方法，求索教學(xué)規(guī)律。

【典型課例】展示經(jīng)典課例，領(lǐng)略名家風(fēng)采；推介成功教例，凸顯不同風(fēng)格。

【教案精選】突出自身教學(xué)特點，融合課程理念，讓讀者有所得、有所思。

【課堂再現(xiàn)】緊扣課標(biāo)理念，注重實踐過程，強調(diào)可操作性。

【磨課手記】典型課例的教學(xué)改進，一課多教的案例剖析。

【感悟名師】感悟名師教學(xué)的精彩設(shè)計，領(lǐng)悟課標(biāo)理念的靈活體現(xiàn)。

【教例反思】探究教學(xué)設(shè)計的成敗得失，反省教學(xué)過程的點點滴滴。

【教學(xué)一得】教研活動中形成的點滴心得或隨筆。