葉 紫，馬文姣，孟子碩，陸振幫

(1.武漢紡織大學(xué) 電子與電氣工程學(xué)院，湖北 武漢 430200；2.武漢紡織大學(xué) 數(shù)理科學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430200)

利用牛頓環(huán)法測(cè)量平凸透鏡的曲率半徑是一個(gè)典型的等厚干涉實(shí)驗(yàn)。該實(shí)驗(yàn)原理清晰，現(xiàn)象直觀，裝置簡(jiǎn)單，能讓學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)光的波動(dòng)性，理解光學(xué)方法在長(zhǎng)度測(cè)量中的應(yīng)用。牛頓環(huán)實(shí)驗(yàn)原理中，有一個(gè)重要推導(dǎo)步驟是把理論公式變形為實(shí)際測(cè)量表達(dá)式，而變形原因一般用“中心和級(jí)次無(wú)法確定”一句帶過(guò)，未做詳述。很多學(xué)生在學(xué)習(xí)本實(shí)驗(yàn)時(shí)，通常會(huì)把它理解為“中心或級(jí)次無(wú)法確定”，因而會(huì)認(rèn)為教材上用的“和”字有誤。本文將詳細(xì)闡述為什么是“和”而不是“或”，以厘清部分學(xué)生的誤解。另外，通過(guò)對(duì)原理公式的分析，本文還指出了線(xiàn)性擬合法在本實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中的可行性。

1 實(shí)驗(yàn)原理簡(jiǎn)述

1.1 等厚干涉

如圖1所示，凸面AB是平凸透鏡的下表面，平面CD為平板玻璃的上表面，二者間有一空氣薄層。由光源S發(fā)出的光線(xiàn)，在AB上的點(diǎn)P處分為兩束：一束直接反射回平凸透鏡中；另一束折射后進(jìn)入空氣層，在下方CD面上的點(diǎn)R處反射回空氣層，最后在AB面上的點(diǎn)T處折射進(jìn)入平凸透鏡中。兩束光線(xiàn)在透鏡中一點(diǎn)Q相遇，從而發(fā)生干涉現(xiàn)象。由于待測(cè)凸面曲率半徑較大，因而面AB與CD近似平行，故實(shí)驗(yàn)中T、Q兩點(diǎn)與P點(diǎn)的水平位置基本一致，從而可認(rèn)為干涉點(diǎn)Q位于凸面AB上?？紤]到在CD面上的反射存在半波損失，兩束光線(xiàn)的光程差為

圖1 等厚干涉示意圖

(1)

(2)

1.2 幾何關(guān)系

如圖2所示，平凸透鏡的凸面所在球的圓心為O點(diǎn)，N點(diǎn)為其最低點(diǎn)，P點(diǎn)為凸面上一點(diǎn)，則半徑R=ON=OP。若P點(diǎn)處觀察到k級(jí)暗條紋，則條紋半徑rk=MP。H=MN為P點(diǎn)所在平面與頂點(diǎn)N的距離。由于△OMP為直角三角形，故有

(3)

當(dāng)凸面與平板玻璃相切于N點(diǎn)時(shí)，P點(diǎn)處空氣層厚度與P點(diǎn)所在平面到N點(diǎn)的距離相等，h=H。將形成k級(jí)暗紋的厚度條件(2)式與上式聯(lián)立，可得

(4)

若已知光的波長(zhǎng)λ，測(cè)出k級(jí)暗紋半徑rk即可算出平凸透鏡的曲率半徑R。

1.3 測(cè)量表達(dá)式

多數(shù)教材在此處都會(huì)提一句由于牛頓環(huán)的中心和級(jí)次無(wú)法測(cè)定，故(4)式無(wú)法直接用于測(cè)量[1-5]。需要將式中的半徑轉(zhuǎn)換為直徑、級(jí)次轉(zhuǎn)換為級(jí)次差，從而得到最終測(cè)量表達(dá)式

(5)

筆者所了解到的情況是，很多學(xué)生對(duì)“中心和級(jí)次無(wú)法測(cè)定”的理解是有偏差的。他們通常的理解是：若凸面懸空放置，不與平板玻璃接觸，則環(huán)中間的級(jí)次無(wú)法確定；若凸面與平板玻璃緊密接觸，則干涉圖案中心是一個(gè)大暗斑，從而導(dǎo)致中心無(wú)法測(cè)定。而凸面與平板玻璃要么不接觸，要么緊密接觸，兩種情形不可能同時(shí)發(fā)生，故而結(jié)論應(yīng)該是“中心或級(jí)次無(wú)法測(cè)定”。那么，是教材用字不嚴(yán)謹(jǐn)嗎？下面我們將對(duì)此做出詳細(xì)說(shuō)明。

2 中心與級(jí)次問(wèn)題

2.1 中心無(wú)法測(cè)定的原因

為了弄清這個(gè)問(wèn)題，我們可以做出干涉情況下光強(qiáng)隨水平位置變化的圖。圖3顯示的是凸面與平板玻璃相切時(shí)的光強(qiáng)分布圖?？梢悦黠@看出，在中心處干涉相消的不是一個(gè)點(diǎn)，而是一個(gè)圓形區(qū)域。也就是說(shuō)，無(wú)論凸面與平板玻璃是否接觸，牛頓環(huán)中央都不會(huì)是一個(gè)暗點(diǎn)(或亮點(diǎn))，而只會(huì)是一個(gè)圓斑。這其實(shí)是由凸面的幾何特性決定的。

在凸面最低點(diǎn)(即圖2中N點(diǎn))處，曲面沿任意方向的斜率為零，要產(chǎn)生明顯的厚度變化需要較大的水平距離才行。這就導(dǎo)致了中間部分厚度變化小，干涉光強(qiáng)的變化不明顯，從而導(dǎo)致中央處只會(huì)是圓斑，而不會(huì)是圓點(diǎn)。因此，無(wú)論凸面與平板玻璃是相切、緊密接觸，還是懸空不接觸，牛頓環(huán)的中心都是無(wú)法確定的。

圖2 幾何關(guān)系圖

圖3 光強(qiáng)分布圖

2.2 級(jí)次無(wú)法確定的問(wèn)題

(6)

圖4 凸面與平板玻璃不相切時(shí)h與H的關(guān)系

與(4)式對(duì)照可知，不相切帶來(lái)的問(wèn)題是公式中的級(jí)次k變成了“有效級(jí)次”k-c。h0未知，即常數(shù)c未知，導(dǎo)致的是有效級(jí)次無(wú)法確定，也就無(wú)法使用(5)式計(jì)算出曲率半徑R的值。

綜合2.1和2.2可知，無(wú)論凸面與平板玻璃是懸空不接觸還是緊密接觸，都存在著牛頓環(huán)中心和級(jí)次無(wú)法確定的問(wèn)題。教材的表述并無(wú)不當(dāng)，認(rèn)為是“或”的同學(xué)需要加深對(duì)原理的理解。

3 問(wèn)題的解決方案

公式(6)中，在給定波長(zhǎng)λ時(shí)，需要知道rk和k-c才能算出曲率半徑R的值。當(dāng)中心無(wú)法確定時(shí)，由半徑的定義可知半徑無(wú)法直接測(cè)量。解決辦法是改測(cè)直徑(因?yàn)闇y(cè)量直徑并不需要知道圓心位置)，公式(6)變?yōu)?/p>

(7)

對(duì)于級(jí)次無(wú)法確定(即c未知)的問(wèn)題，解決方案有二種：消除法與線(xiàn)性擬合法。

圖5 直徑與弦長(zhǎng)關(guān)系

實(shí)際測(cè)量中，由于讀數(shù)顯微鏡的叉絲中心不一定經(jīng)過(guò)牛頓環(huán)的圓心，因而所測(cè)的dk可能并不是直徑，而是弦長(zhǎng)。由圖5可知，半徑OP與弦長(zhǎng)PT之間有如下關(guān)系

(OP)2=(PT/2)2+(OR)2，

(2OP)2=(PT)2+(2OR)2.

由于實(shí)驗(yàn)中叉絲中心沿直線(xiàn)移動(dòng)，故OR為一常數(shù)。即直徑平方與弦長(zhǎng)平方只相差一個(gè)常數(shù)項(xiàng)(2OR)2，這只會(huì)給(7)式右端增加一個(gè)常數(shù)項(xiàng)。無(wú)論是對(duì)消除法還是線(xiàn)性擬合法，這都不會(huì)影響到對(duì)曲率半徑的測(cè)量。

4 結(jié) 語(yǔ)

在本文中，我們介紹了牛頓環(huán)法測(cè)曲率半徑的原理，并詳細(xì)分析了實(shí)際過(guò)程中的中心和級(jí)次問(wèn)題，說(shuō)明了在懸空和不接觸兩種情形下中心和級(jí)次都無(wú)法確定的原因。另外，還分析了在本實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中應(yīng)用線(xiàn)性擬合法的可行性，證明了叉絲中心不過(guò)圓心并不會(huì)對(duì)測(cè)量結(jié)果帶來(lái)影響。