劉永強(qiáng)

【摘要】數(shù)形結(jié)合思想是解決數(shù)學(xué)問題的重要數(shù)學(xué)思想之一，它“以形助數(shù)”，化抽象為直觀，“以數(shù)解形”，將“形”的特征用“數(shù)”的嚴(yán)密性和準(zhǔn)確性表示出來。抽象思維與形象思維的結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了優(yōu)化解題途徑的目的，有效幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)問題，有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識獲得過程及理論來源的理解。本文以實(shí)際例子論述數(shù)形結(jié)合思想在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，并給出了數(shù)形結(jié)合方法的教學(xué)建議。

【關(guān)鍵詞】中職數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合思想；應(yīng)用；建議

【中圖分類號】G718.3【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A【文章編號】1004—0463（2022）10—0061—04

新《中等職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》課程任務(wù)指出：“使中等職業(yè)學(xué)校學(xué)生獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)和職業(yè)發(fā)展所必須的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)技能、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想和活動經(jīng)驗(yàn)?！睌?shù)形結(jié)合思想是其中重要的數(shù)學(xué)思想之一，能有效幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)問題，優(yōu)化解題途徑?！皵?shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中兩個最古老、最基本的研究對象，主要研究數(shù)字、算術(shù)、數(shù)量關(guān)系等與圖形知識之間的關(guān)系，它們相輔相成，緊密結(jié)合，在一定條件下又可以相互轉(zhuǎn)化。我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休。”諸多數(shù)學(xué)研究者和數(shù)學(xué)教師對這一課題的研究頗多，但其側(cè)重點(diǎn)不同。丁杭纓認(rèn)為：“數(shù)形結(jié)合既是教師教學(xué)的重要目標(biāo)，也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的?！盵1]李雪認(rèn)為：“數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)是把抽象的代數(shù)與形象的圖形結(jié)合起來，代數(shù)問題與圖形問題彼此轉(zhuǎn)化?！盵2]顧越嶺認(rèn)為：“考慮問題時數(shù)、形兼顧，將其直觀性與抽象性有機(jī)結(jié)合起來，使我們的認(rèn)識更加全面、更加深刻。”[3]筆者搜索知網(wǎng)，查閱大量關(guān)于數(shù)形結(jié)合思想的研究資料，發(fā)現(xiàn)研究者們的觀點(diǎn)基本一致，認(rèn)為數(shù)形結(jié)合就是把代數(shù)問題與幾何圖形結(jié)合起來，“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，化抽象為具體，達(dá)到事半功倍的效果[4]。

絕大多數(shù)中等職業(yè)學(xué)校的學(xué)生是中考后分?jǐn)?shù)未能過普高錄取線的考生，他們文化課底子差、基礎(chǔ)弱，尤其在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上困難重重。很多學(xué)生在小學(xué)階段就落下了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，基本數(shù)學(xué)概念不清；常用公式、運(yùn)算法則及性質(zhì)理解不透，相互混淆；基本運(yùn)算能力差，有學(xué)生甚至連計(jì)算2-（-8）這樣簡單的運(yùn)算都要考慮很長時間，學(xué)習(xí)上心有余而力不足，嚴(yán)重影響了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。為此，教師改變傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)思想和方法，注重?cái)?shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)在的、學(xué)科素養(yǎng)——“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，化抽象為直觀，優(yōu)化解題路徑，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

可見，處理集合問題，用數(shù)形結(jié)合的方法，可以使集合之間的關(guān)系及運(yùn)算直觀化，更容易求解問題的結(jié)果。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，很多教師受“高考模式”影響，沿用傳統(tǒng)的教學(xué)思想，重結(jié)果輕過程，學(xué)生獲得的數(shù)學(xué)知識比較死，增加了記憶量，還容易混淆。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，使學(xué)生對數(shù)學(xué)結(jié)論獲得本源性的過程體會，從實(shí)質(zhì)上理解了知識的來龍去脈，化抽象為具體，直觀呈現(xiàn)，降低了學(xué)生的理解難度。

3.以數(shù)解形，將“形”的特征用“數(shù)”的嚴(yán)密性和準(zhǔn)確性表示出來?！靶巍彪m然在直觀性上有很多優(yōu)勢，能把抽象的問題形象地表示出來，但在定量上，無論是簡單的還是復(fù)雜的圖形，都必須借助于“數(shù)”，用“數(shù)”精準(zhǔn)地描述“形”的特征、數(shù)量關(guān)系，兩者之間的完美結(jié)合，使得數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)不斷向縱深方向發(fā)展。例如，函數(shù)y=f（x）的圖象如圖4所示，觀察圖形，讓學(xué)生把從圖上看到的所有圖形特征說出來。這就需要用數(shù)學(xué)語言完整地描述圖形特征，匯總?cè)缦拢?/p>

（1）函數(shù)y=f（x）的定義域[-3，3]，值域[-1，2]；

（2）當(dāng)x=-1時，函數(shù)有最大值2，當(dāng)x=2時，函數(shù)有最小值-1；

（3）在整個定義域上，函數(shù)不具有單調(diào)性，但在定義域的某些區(qū)間上具有單調(diào)性，如在區(qū)間[-3，-1]∪[2，3]上函數(shù)單調(diào)遞增，在區(qū)間[-1，2]上單調(diào)遞減；

（4）這是一個非奇非偶函數(shù)。

用“數(shù)”把“形”所表現(xiàn)出的所有特征、性質(zhì)進(jìn)行總結(jié)，訓(xùn)練了學(xué)生觀察、分析、總結(jié)問題的邏輯能力，加深了對函數(shù)性質(zhì)等相關(guān)知識的理解。

中職數(shù)學(xué)教材在編寫上以學(xué)生的年齡特點(diǎn)、心理特征及學(xué)習(xí)基礎(chǔ)為出發(fā)點(diǎn)，突出職業(yè)性和基礎(chǔ)性，依照“實(shí)例”“觀察”“新知識”“知識鞏固”“練習(xí)”“現(xiàn)代信息技術(shù)應(yīng)用”“閱讀與欣賞”等板塊組織教學(xué)。對學(xué)生而言，數(shù)學(xué)知識的呈現(xiàn)很明確，而數(shù)學(xué)知識中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想?yún)s是看不見、摸不到的，這就需要教師在課堂教學(xué)中潛移默化地滲透。中職數(shù)學(xué)教學(xué)思想包含很多種，知識化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法之間既密切聯(lián)系又各具特色。在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想探究或解決問題時，需要把握以下幾點(diǎn)。

1.概念教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)學(xué)概念猶如法律條文，其基礎(chǔ)性地位特別高，是數(shù)學(xué)重要知識點(diǎn)的濃縮。學(xué)生對概念的認(rèn)知過程要經(jīng)過分析、比較、抽象、提煉、概括和歸納等思維加工，而不是簡單的記憶和理解。實(shí)際教學(xué)過程中，教師要盡量把抽象的理性知識通過“形”直觀表示，加深學(xué)生對概念的理解，從而提升學(xué)習(xí)效果。如小學(xué)的分?jǐn)?shù)概念，初中數(shù)學(xué)中的絕對值、相反數(shù)等概念性知識的講解都可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想完美闡釋。中職數(shù)學(xué)基礎(chǔ)模塊上冊第五章學(xué)習(xí)任意角的概念時，需要大量滲透數(shù)形結(jié)合思想，使抽象的概念具體化。如理解正負(fù)角的概念，從圖5的三個圖形中直觀觀察出它們都是角，記作∠AOB，但意義不同：圖①和圖②是正角，圖③是負(fù)角，教師在講述概念時要結(jié)合圖形緊扣角是由始邊繞著頂點(diǎn)按照順時針方向還是逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的這一關(guān)鍵點(diǎn)，學(xué)生就會心領(lǐng)神會。

2.公式、定理教學(xué)中感悟數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，涉及到的公式和定理很多，也比較抽象，記憶起來比較困難，尤其數(shù)學(xué)公式容易混淆、記錯。其主要原因在于學(xué)生對公式、定理的本源性理解不到位，這就需要教師在講解知識時合理利用數(shù)形結(jié)合思想，幫助學(xué)生從“形”中領(lǐng)悟公式、定理的幾何意義，加深理解，記憶公式、定理。如中職數(shù)學(xué)誘導(dǎo)公式、直線與圓的方程等數(shù)學(xué)知識，都可以通過圖形幫助記憶理解。

3.解題方法中突出數(shù)形結(jié)合思想。只有在解題過程中突出數(shù)形結(jié)合思想方法，才是最好的運(yùn)用。雖然數(shù)形結(jié)合思想方法貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究的始終，但運(yùn)用于解題方法教學(xué)中要注意把握度和適用性原則。中職學(xué)生數(shù)學(xué)底子薄弱，在教學(xué)過程中要關(guān)注問題中涉及的“數(shù)”與潛在的“形”之間是否具有等價性，能否使問題簡單化。

總之，數(shù)形結(jié)合既是“數(shù)”與“形”的等價結(jié)合，也是數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)研究及學(xué)習(xí)方法的有機(jī)結(jié)合，在運(yùn)用過程中要注重由“數(shù)”的抽象到“形”的直觀轉(zhuǎn)化以及由“形”到“數(shù)”的精準(zhǔn)描述。

[1]丁杭纓.給學(xué)生一個立體的“數(shù)學(xué)”——例談“數(shù)形結(jié)合”[J].人民教育，2010（07）：39-42.

[2]李雪.初中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)研究與案例分析[D].河北：河北師范大學(xué)，2014：63.

[3]顧越嶺.數(shù)學(xué)解題通論[M].桂林：廣西教育出版社，2000：120.

[4]游雪峰.數(shù)形結(jié)合在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究[A].教學(xué)應(yīng)用就業(yè)，2016.

[5]徐文龍.“數(shù)形結(jié)合”的認(rèn)知心理研究[D].桂林：廣西師范大學(xué)，2005：06-08.

（本文系2020年度甘肅省“十三五”教育科學(xué)規(guī)劃一般課題“‘三教’改革背景下中職文化課教學(xué)困境及對策研究”的研究成果，課題立項(xiàng)號：GS[2020]GHB3125）

編輯：徐春霞