劉道玉

我非數(shù)學(xué)科班出身，對數(shù)學(xué)的了解僅僅限于化學(xué)系大一的《普通高等數(shù)學(xué)》的啟蒙知識，照說我是沒有資格談?wù)摂?shù)學(xué)猜想這樣高深的學(xué)問。但是，作為一個教育工作者，我只是想從教育的角度，回顧數(shù)學(xué)猜想發(fā)展的簡況，也許能夠說明人才培養(yǎng)的的重要性。

什么是數(shù)學(xué)？這是一個涵蓋十分廣泛的概念，要給數(shù)學(xué)下一個永恒的定義，幾乎是不可能的。數(shù)學(xué)是隨著時代的變遷而變化的，因此行家們認(rèn)為，只能從歷史的角度說明什么是數(shù)學(xué)的問題。公元前6世紀(jì)時，數(shù)學(xué)主要是關(guān)于數(shù)的研究，主要是計數(shù)。關(guān)于數(shù)學(xué)的定義，多得不勝枚舉，但比較認(rèn)同的是19世紀(jì)恩格斯給出的定義，即“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實空間形式與數(shù)量關(guān)系的科學(xué)”。

數(shù)學(xué)猜想的緣起

在人類尚處于蒙昧狀態(tài)下，他們對于自己生存的地球、宇宙和自身的認(rèn)識，都是從猜想或者假設(shè)出發(fā)的。廣義上說，一切科學(xué)都需要假設(shè)，但數(shù)學(xué)猜想可能是其獨特的現(xiàn)象，因為它們是不能通過實驗予以證明的假設(shè)，而是純數(shù)學(xué)的演算，也即思維活動的推理。

數(shù)學(xué)猜想究竟是怎么出現(xiàn)的呢？從科學(xué)史發(fā)展來看，數(shù)學(xué)猜想與數(shù)學(xué)產(chǎn)生是密切相聯(lián)系的，它們幾乎是同時出現(xiàn)的。第一個數(shù)學(xué)猜想是公元前3世紀(jì)的歐式第五公設(shè)想，它是由古希臘數(shù)學(xué)家、幾何學(xué)之父歐幾里得（Ouclid，公元前330-前275）提出的，這一猜想產(chǎn)生了非歐式幾何理論。

數(shù)學(xué)猜想的緣起，大致有三個因素：第一是好奇心，許多數(shù)學(xué)猜想大都與“數(shù)”有關(guān)，它是數(shù)學(xué)起源之一。畢達(dá)哥拉斯是公元前6世紀(jì)古希臘的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家，畢達(dá)哥拉斯主義的創(chuàng)立者。他認(rèn)為數(shù)理解世界上的一切事物，反映了他對數(shù)的好奇、癡迷與崇拜。在數(shù)學(xué)界，富有好奇心與怪癖的數(shù)學(xué)家比比皆是，正是這些特點，使他們登上一座又一座的數(shù)學(xué)頂峰。

第二是興趣與愛好，這使他們執(zhí)著地去專研數(shù)學(xué)，以超級想象力和洞察力提出誘惑數(shù)學(xué)家或數(shù)學(xué)愛好者去求證的猜想。皮耶·德·費馬是17世紀(jì)法國業(yè)余數(shù)學(xué)家，他的主業(yè)是律師，在業(yè)余時間他全部精力都投入到數(shù)學(xué)之中，被稱為業(yè)余數(shù)學(xué)玩家。他最喜歡的是古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖的《算術(shù)》一書，不僅看而且還在空白處留下了大量的評注。1637年，他提出了一個被稱為費馬大定律的數(shù)學(xué)猜想，它是留在《算術(shù)》空白處的一條評注：“不可能將一個立方數(shù)寫成兩個立方數(shù)之和，或者將一個四次冪寫成兩個四次冪之和。總的來說，不可能將一個n=2次冪寫成兩個同樣次冪的和。我有一個對這個命題的十分美妙的證明，這里空白太小，寫不下。”

他死后，兒子用5年的時間整理和出版了帶有他評注的《算術(shù)》這本書，結(jié)果他的評注很快引起了數(shù)學(xué)界的廣泛關(guān)注，而且紛紛投入到求證這一猜想之中。這是一個接力的數(shù)學(xué)求證，在數(shù)百年期間，證明的高潮迭起，傳奇不斷，真真假假。功夫不負(fù)有心人，在經(jīng)過了358年以后，這道耗費了十代數(shù)學(xué)家精力的數(shù)學(xué)難題，終于在1994年由美國普林斯頓高等研究院安德魯·懷爾斯（英國人）獲得完全證明。信息傳出后，美國《紐約時報》在頭版報道稱：“終于歡呼：我發(fā)現(xiàn)了！永久數(shù)學(xué)之謎獲解?！?/p>

第三，應(yīng)用催生出數(shù)學(xué)猜想。從創(chuàng)造學(xué)的角度來看，引起創(chuàng)造的動因是多方面的，其中出于應(yīng)用目的的發(fā)明創(chuàng)造多得不勝枚舉，例如電腦、手機、汽車、火車、直升飛機、核潛艇、導(dǎo)彈、宇宙飛船、機器人，等等。在諸多的數(shù)學(xué)猜想中，四色定理的提出，就是典型的出于應(yīng)用的目的。英國數(shù)學(xué)家弗朗西斯·格斯里（Francis Guthrie），于1852年從倫敦大學(xué)畢業(yè)，來到一個科研單位搞地圖著色工作，他發(fā)現(xiàn)每張地圖都可以只用四種顏色，這個現(xiàn)象能否從數(shù)學(xué)上予以證明？這就是四色定理（或猜想）最初的提出。

他就這個問題與其在倫敦大學(xué)學(xué)習(xí)的弟弟討論，但無法解決。隨后，他們又先后向多位著名的數(shù)學(xué)家請教，這些教授認(rèn)真地研究了他的問題，但也不能給予證明。于是，1872年，他們將這一問題正式提到倫敦數(shù)學(xué)學(xué)會上，這就成了世界關(guān)注的數(shù)學(xué)難題，許多著名的數(shù)學(xué)家紛紛參與了四色定理證明的大會戰(zhàn)。在此后的兩年中，有幾位數(shù)學(xué)家發(fā)表提交論文，宣布證明了四色定理，但經(jīng)過其他人核實，他們并沒有證明，并且指出了他們求證中的漏洞。

時隔124年以后，即1976年美國伊利諾大學(xué)的沃爾夫·哈肯（W·Haken，1928-）和凱尼斯·阿佩爾（K·Appel，1932-），借用電子計算機的幫助，用了1200個小時編制了一個程序，最終完成了四色定理的證明。為此，他們榮獲了由美國數(shù)學(xué)學(xué)會頒發(fā)的富爾克森獎。

數(shù)學(xué)猜想的作用

數(shù)學(xué)的發(fā)展與數(shù)學(xué)猜想是互相緊密聯(lián)系在一起的，數(shù)學(xué)猜想源于數(shù)學(xué)的誕生，沒有數(shù)學(xué)猜想就不可能使數(shù)學(xué)得到蓬勃的發(fā)展。夏茹冰先生是中國著名的楹聯(lián)專家，他于上世紀(jì)80年代中期撰寫一副對聯(lián)：“水嘗無華，相蕩方現(xiàn)漣漪;石本無火，相擊而發(fā)靈光。”數(shù)學(xué)猜想就像是一塊石頭，將它拋向靜靜的水面，就會蕩起漣漪;將它們互相碰撞，就會發(fā)出靈光。我們試想，假如沒有數(shù)學(xué)猜想，那么數(shù)學(xué)就會顯得毫無生氣。

縱觀數(shù)學(xué)猜想發(fā)展的歷史，它們在數(shù)學(xué)發(fā)展史上的作用，大致有三個方面：首先是豐富了數(shù)學(xué)學(xué)科的內(nèi)容，促進(jìn)了數(shù)學(xué)分支學(xué)科的誕生。20世紀(jì)是數(shù)學(xué)飛速發(fā)展的時期，特別是后50年，數(shù)學(xué)知識出現(xiàn)了爆炸式的增長，大量的重大問題得到了解決或取得了突破性的進(jìn)展。據(jù)知，數(shù)學(xué)已經(jīng)發(fā)展到擁有26個分支學(xué)科，其中大部分都是在證明數(shù)學(xué)猜想中誕生的。如今，在人類所有知識中，數(shù)學(xué)成為最難懂和博大精深的一門學(xué)問，惟有抽象思維能力極強，耐得住寂寞和具有堅韌不拔的精神的人，才能夠從事數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與研究。

其次，催生出了一大批最杰出的數(shù)學(xué)家。數(shù)學(xué)猜想是從假設(shè)到求證的漫長求索過程，是一個數(shù)學(xué)接力賽跑，是馬拉松式的思維競賽。從哲學(xué)上來看，是一個否定之否定的漫長過程。用恩格斯的話來說：“在科學(xué)上沒有平坦的大道，只有不畏艱苦，沿著陡峭山路攀登的人，才能達(dá)到光輝的頂點。”數(shù)學(xué)猜想就是一座長滿荊棘的陡峭的懸崖，沒有熱愛數(shù)學(xué)的初心，沒有堅如磐石的毅力，是難以堅持到底的。B4EF8048-D6D6-49DB-93A8-A6CA705BA9D0

在求證數(shù)學(xué)猜想的過程中，參與的國家有中國、法國、德國、英國、美國、瑞士、俄羅斯、匈牙利、印度、葡萄牙等，這是一個國際數(shù)學(xué)猜想的大聯(lián)盟，數(shù)學(xué)群英大會戰(zhàn)。就數(shù)學(xué)家個人來看，我們可以列出一大串名字，如畢達(dá)哥拉斯、歐幾里得、費馬、高斯、歐拉、希爾伯特、魏爾斯 、特拉斯、懷爾斯、格羅斯、哈肯、阿佩爾、羅巴切夫斯基、佩雷爾曼，等等。在數(shù)學(xué)猜想的大軍中，不乏中國人（包括美籍華裔）的身影，如陳省身、丘成桐、陳景潤、柯召、孫琦、張益唐等數(shù)學(xué)家。中國作為世界五大數(shù)學(xué)大國之一，在提出與證明數(shù)學(xué)猜想中，做出了應(yīng)有的貢獻(xiàn)。尤其是，陳景潤院士經(jīng)過20多年的潛心研究，于1973年發(fā)表論文，完成了哥德巴赫猜想的1+2證明，因而被世界數(shù)學(xué)界公認(rèn)，并冠以“陳式定理”。哥德巴赫猜想是德國數(shù)學(xué)家哥德巴赫于1742年提出的，271年后于2013年 ，法國高師的研究員哈羅德和賀歐夫發(fā)表了兩篇論文，宣布徹底證明了哥德巴赫猜想。至此，世界公認(rèn)的三大數(shù)學(xué)猜想的證明，即哥德巴赫、費馬大定理和四色定理就此都畫上了句號。引以自豪的是，在證明這三大定理中，中國數(shù)學(xué)家貢獻(xiàn)了一己之力。

再次，激勵了千千萬萬的青少年們熱愛數(shù)學(xué)，勇攀數(shù)學(xué)高峰。在數(shù)學(xué)界早就流傳一句美麗的箴言：“數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的皇后，數(shù)論是皇冠，數(shù)學(xué)猜想是皇冠上的明珠?！倍嗝疵利惖捏鹧裕÷牭竭@些美麗的箴言，沒有一個不躍躍欲試的，誰不想去摘取那皇冠上的明珠呢？

我清楚地記得，著名的報告文學(xué)大師徐遲先生關(guān)于《哥德巴赫猜想》的一篇杰作，它就像是文學(xué)領(lǐng)域里的“一聲春雷”，預(yù)示著文學(xué)與科學(xué)的春天已經(jīng)到來了。這篇報告文學(xué)有16000多字，文情并茂，青少年們非常喜歡閱讀。編輯部一再加印，但仍不能滿足讀者需求，那時復(fù)印機尚沒有普及，大學(xué)生們不得不手抄傳閱，盛況空前。

這股熱潮從文學(xué)迅速轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)領(lǐng)域，不少數(shù)學(xué)家、業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者和青少年們都躍躍欲試，參與哥德巴赫的猜想之中。我身處那股熱潮之中，幾乎每天都收到讀者的信件，他們都宣布證明或部分證明了某個數(shù)學(xué)猜想，真有千軍萬馬爭過“猜想”橋之勢。蘇步青院士是我國數(shù)學(xué)界的大師，他對我說：“現(xiàn)在數(shù)學(xué)熱是好事，但數(shù)學(xué)猜想有點熱過了頭，有一些人搞數(shù)學(xué)猜想就夠了，做學(xué)問需要冷環(huán)境，不能一哄而起。”

對于摯愛數(shù)學(xué)的人來說，摘取皇冠上的明珠，是他們?nèi)松鷥r值的體現(xiàn)。英國數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯天資過人，他在10歲的時候，對費馬大定理就產(chǎn)生了濃厚的興趣，所以他選擇了數(shù)學(xué)作為自己的終身職業(yè)，1974年畢業(yè)于牛津大學(xué)沃頓學(xué)院，1977年獲得劍橋大學(xué)博士學(xué)位，1981年到美國普林斯頓高等研究院任研究員。他從1986年開始向費馬大定理沖刺，在7年的時間里足不出戶，成為一個隱身人，最終于1993年宣布證明了費馬大定理。為此，他獲得了菲爾茨特別銀質(zhì)獎?wù)?、沃爾夫獎和阿貝爾獎?/p>

數(shù)學(xué)猜想的危機

統(tǒng)計幾百年間的數(shù)學(xué)猜想的數(shù)目，是一個十分困難的問題，見仁見智，莫衷一是。如果勉強地清數(shù)一下，迄今為止，全世界總共提出數(shù)學(xué)猜想60個。其中，17世紀(jì)是3個，18世紀(jì)是7個，19世紀(jì)是10個，20世紀(jì)是40個。經(jīng)過初步驗證，肯定的30個，否定的是5個，沒有定論的是25個。由此看出，無論是提出或是證明數(shù)學(xué)猜想，20世紀(jì)都是高峰時期，這與20世紀(jì)是科學(xué)發(fā)明創(chuàng)造成果豐碩時期相一致。21世紀(jì)已經(jīng)過去快四分之一的時間了，雖然數(shù)學(xué)猜想證明還在繼續(xù)進(jìn)行，但提出數(shù)學(xué)猜想的人似乎不再有了。這意味著什么呢？我以為，預(yù)示著數(shù)學(xué)猜想面臨著嚴(yán)峻的危機，這并非是偶然的，它與當(dāng)今天才絕滅的現(xiàn)象是一致的。

為什么會出現(xiàn)這種現(xiàn)象呢？我認(rèn)為，不是人類的遺傳基因退化了，總的來說人類的智能尚處于不斷進(jìn)化之中，但環(huán)境改變了，影響了人們的智慧的發(fā)揮。我們正處于一個極度浮躁、功利化和金錢萬能的時代，幾乎沒有人安貧樂道，也再沒有皓首窮經(jīng)的學(xué)癡了。提出一個深奧的數(shù)學(xué)猜想，需要有超越現(xiàn)實的想象力，需要有穿透時空的洞察力，需要有超強的頓悟與貫通能力。沒有了這一切，就不可能提出讓人們跨越幾世紀(jì)才能證明的思想猜想。

看似無用的純科學(xué)停滯了，但高新技術(shù)卻突飛猛進(jìn)，其區(qū)別是前者無利可圖，而后者能夠暴富。據(jù)報道，英國劍橋大學(xué)研究團(tuán)隊研發(fā)出了一臺拉馬努金機（Ramanujian Machine），他們通過人工智能和大量的計算機自動化來模仿“靠直覺來生成沒有證明的數(shù)學(xué)猜想”。過去，僅僅靠數(shù)學(xué)天才提出數(shù)學(xué)猜想，這就是為什么數(shù)百年間只提出了幾十個猜想公式的原因。與此同時，美國普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)教授費特洛維茨已經(jīng)編制出一套程序，可以在數(shù)學(xué)圖論中提出多種數(shù)學(xué)猜想。由他編制的Graffiti程序，很容易提出幾千種猜想。因此，他頗有體會地說：“發(fā)現(xiàn)好的猜想，確切地說就是完成一半工作?！?/p>

總的來說，無論是拉馬努金機或是Graffiti程序，是值得肯定的，畢竟它們使得數(shù)學(xué)猜想或證明多了一種選擇。但是，我認(rèn)為機器和程序不能完全替代數(shù)學(xué)家提出的猜想，也不能替代數(shù)學(xué)家孜孜以求的證明?？茖W(xué)研究重在過程，試問：機器能夠享受到求證過程中的樂趣嗎？機器能夠形成數(shù)學(xué)學(xué)科分支嗎？機器能夠培養(yǎng)出諸如費馬、哥德巴赫、高斯、歐拉、希爾百特、懷爾斯、陳景潤等這樣的數(shù)學(xué)家嗎？機器能夠代替以天才為中心形成的數(shù)學(xué)學(xué)派嗎？看來，它們都不能，所以從教育的角度，我們還必須重視數(shù)學(xué)杰出人才的培養(yǎng)，而且需要從幼兒開始，讓他們成為新知識的探索者！

英國天才理論物理學(xué)家史蒂芬·霍金在逝世前，曾經(jīng)預(yù)言，人工智能將會制造出“超人”，他們將毀滅人類。雖然人工智能具有強大的計算能力、記憶力，甚至也有思維與情感，但它們畢竟是人研制出來的。人是有理性和道德底線的，而機器沒有。因此，一旦人工智能威脅到人類的生命時，制造它們的人就會將其摧毀。所以，對于“超人”我是持謹(jǐn)慎的樂觀的態(tài)度。但是，我對提出與證明深奧的數(shù)學(xué)猜想數(shù)學(xué)家的缺失，卻是擔(dān)心的，未雨綢繆，提出應(yīng)有的措施才是萬全之策！

（責(zé)任編輯 劉第紅）B4EF8048-D6D6-49DB-93A8-A6CA705BA9D0