何建余 李婉玥 唐恒鈞

【摘? ?要】關(guān)注起始課在單元教學和知識板塊中的價值，基于整體性思維反思起始課的教學，對新課改背景下的小學數(shù)學教學具有重要意義。以北師大版教材三年級下冊除法單元起始課《分桃子》為例，提出起始課要挖掘與后續(xù)學習的基本共通點，夯實與后續(xù)學習共通的抓手，進而奠基學生整體性知識網(wǎng)絡(luò)。

【關(guān)鍵詞】起始課;基礎(chǔ)性;發(fā)展性;共通性;整體性思維

“數(shù)學知識的教學，要注重知識的‘生長點與‘延伸點，把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識與整體知識的關(guān)系，引導學生感受數(shù)學的整體性……”那么，如何引導學生感受數(shù)學知識的整體性？筆者以起始課為研究對象，從整體性思維的角度對起始課教學進行了初步的探索，以此文與大家討論交流。

一、起始課的重要性及學習現(xiàn)象

起始課往往安排在數(shù)學教材每個單元的第一課，是本單元或者同板塊知識學習的基礎(chǔ)，所以它具有基礎(chǔ)性，同時它對學生后續(xù)學習起著知識、經(jīng)驗、方法等方面的奠基作用，因而它又具有發(fā)展性。教材在起始課中安排的內(nèi)容往往是描述性知識，學生通過語言描述進行識記。例如《分桃子》一課的重點是除法的豎式計算，難點是理解除法豎式每一步的意義，學生可以通過死記硬背、模仿等方式習得知識。因此，學生能正確列出除法豎式，但未必明白除法豎式這么寫的原因;學生能說出除法豎式每一步的意思，卻未必真理解。在日常教學中，確實有部分學生對于除法豎式的正確書寫和意義描述，靠的是死記硬背和大量重復性練習。這樣的學習過程讓學生的思維只是停留在知識的表面，他們看似掌握了知識，實則沒有真正理解知識的來龍去脈，未能感受到數(shù)學知識間的聯(lián)系，不能由此及彼。因此，如何關(guān)注起始課的基礎(chǔ)性和發(fā)展性，以整體性思維進行起始課教學，值得我們研究與探討。

二、起始課以挖掘與后續(xù)學習的共通性為設(shè)計關(guān)鍵

數(shù)學學習的共通性指相關(guān)數(shù)學內(nèi)容在理解上具有相通點，它是單元學習的基礎(chǔ)，貫穿于單元學習的始終。學生對數(shù)學知識內(nèi)容的理解和學習具有一致性、連貫性和階段性的特點。教師在單元學習的起始階段，要從學生理解的角度發(fā)掘單元學習內(nèi)容的共通性，為整個系列內(nèi)容的學習奠定基礎(chǔ)。如北師大版教材三年級下冊“兩、三位數(shù)除以一位數(shù)的筆算除法”的知識、技能和數(shù)學思想方法與四年級上冊“三位數(shù)除以兩位數(shù)的筆算除法”是相通的，兩者具有一致性，這種在前后知識學習中相近或相通的知識、技能和數(shù)學思想方法體現(xiàn)了學習的共通性。本單元的學習重點是兩、三位數(shù)除以一位數(shù)，商是兩位數(shù)的除法豎式計算。在此之前，學生在二年級已經(jīng)學習了兩位數(shù)除以一位數(shù)，商是一位數(shù)的除法豎式。本單元的除法豎式，要兩步求商，在列除法豎式的過程中要思考“先寫哪步，后寫哪步”，即本課是學生探究“除法豎式從高位算起”的起始課，而學生后續(xù)學習兩位數(shù)甚至更多位數(shù)除以一位數(shù)以及三位數(shù)除以兩位數(shù)的豎式計算，均要運用“除法豎式從高位算起”這一運算法則。可見，本課探究的運算法則與今后將學的所有除法豎式具有共通性。

本課時教材安排的題型有兩種：（1）被除數(shù)十位、個位上的數(shù)都是除數(shù)的整數(shù)倍，如68÷2;（2）被除數(shù)十位上的數(shù)是除數(shù)的整數(shù)倍，個位上的數(shù)不是除數(shù)的整數(shù)倍，如68÷3。這兩類除法算式看起來不一樣，但它們的計算過程具有很強的相似性，不管先從被除數(shù)高位算起還是先從被除數(shù)低位算起，難易程度都是一樣的，這是由于這兩類被除數(shù)的十位數(shù)都是除數(shù)的整數(shù)倍，計算過程中不會產(chǎn)生“被除數(shù)的十位數(shù)有剩余，與個位數(shù)合一起繼續(xù)除”的情況，從而導致學生在動手“分小棒”求商的過程中，無法區(qū)分是“從高位分到低位”還是“從低位分到高位”的情況，這對學生體驗“除法豎式從高位算起”的必要性造成很大干擾。因此，為引導學生充分體驗“除法豎式從高位算起”這一看似人為規(guī)定的運算法則的合理性，筆者對本課教材中的“分一分”環(huán)節(jié)進行了調(diào)整，把第二課時“被除數(shù)的十位數(shù)有剩余，與個位數(shù)合一起繼續(xù)除（48÷3）”的類型整合到本課的“分一分”環(huán)節(jié)中，引導學生在兩種類型的“分一分”中發(fā)現(xiàn)“先分個位數(shù)再分十位數(shù)”的局限性以及“先分十位數(shù)再分個位數(shù)”的合理性，進而為理解“除法豎式從高位算起”建立具體、直觀的表象。

教師設(shè)計了以下教學步驟。首先，借助情境圖引出兩個問題：（1）有68個桃子，平均分給2只猴子，每只猴子分到多少個？（2）有48根胡蘿卜，平均分給3只兔子，每只兔子分到多少根？讓學生獨立思考。接著，請兩位學生用分小棒的方式展示68÷2的不同過程：一位學生先分十位再分個位;另一位學生先分個位再分十位。學生發(fā)現(xiàn)兩種分法結(jié)果相同。最后，引導學生用分小棒的方式展示48÷3的過程，組織全班交流，總結(jié)得出：對于48÷3這一算式，先分十位上的數(shù)，再分個位上的數(shù)會更簡單，因此，我們在分小棒時一般都從被除數(shù)的高位開始分。教師板書展示分物過程（如圖1），突出不同方法之間的差異。

由此，學生在接下來的探究除法豎式的過程中，便能較為容易地明白“除法豎式從高位算起”的合理性。這樣，對于“除法豎式從高位算起”這一運算法則，學生不是被動接受的，而是在經(jīng)歷了鮮明對比、充分體驗的過程后，自然而然地接受并運用這一運算法則的。

三、起始課的落實以夯實與后續(xù)學習共通的學習活動為關(guān)鍵

除法豎式是除法求商的基本方法，可減輕學生計算過程中的思維負擔。《分桃子》一課是學生第一次學習兩步求商的除法豎式，雖然學生不借助除法豎式也能用口算求出商，但他們后續(xù)需要學習借助除法豎式求商的除法。為此，學生是否真正理解兩步求商除法豎式的法則，影響著他們后續(xù)對除法豎式理解與掌握的程度。學生理解了除法豎式計算從“高位算起”這一運算法則后，并不代表他們就能正確列出除法豎式。圖2呈現(xiàn)的豎式較為普遍。

圖2中的除法豎式，把口算過程“安裝”到了豎式中，這在被除數(shù)的十位數(shù)剛好能平均分完的情況下才成立，而在被除數(shù)的十位數(shù)不能平均分完有剩余的情況下，就沒法這樣表示了。另外，這樣的豎式并不能很好地表示“先分十位數(shù)再分個位數(shù)”的平均分物過程。除法豎式在四則運算中是較難的一種法則。歷史上出現(xiàn)過許多現(xiàn)在看起來極其煩瑣的計算方法，但不論是中國古代的“算籌計算法”、中世紀歐洲的“帆船除法”，還是現(xiàn)代的“短除法”“長除法”，都將除法計算按一定順序分解為更簡單的步驟，并將中間結(jié)果和最終結(jié)果記錄下來，具體表現(xiàn)為“分層書寫”，這也是這方面內(nèi)容學習的重要抓手?？梢?，除法豎式是程序性運算，反映了“平均分”的過程。53C3CCE4-6F79-4661-9CCB-61C30CC11F70

教學中，教師可以在“平均分物”的基礎(chǔ)上，引導學生思考怎樣用豎式把剛才的分物過程一步一步記錄下來。如，十位上的6個十和個位上的8個一，分別是怎么分的，該怎么記錄，即要分成“幾個十”和“幾個一”兩部分，這是筆算的算理，從而加深對“先分高位，再分低位;數(shù)位對齊”的算法的體驗。

這樣，在教學列豎式計算前，先引導學生動手操作“擺小棒”，再通過語言表征，和同學說一說分物過程，最后進行抽象歸納。學生總結(jié)形成除法豎式的書寫格式，理解和掌握除法豎式的書寫過程。這樣，學生在學習后續(xù)的除法豎式時，能順利遷移相關(guān)經(jīng)驗、方法，增強后續(xù)學習的主動性。

四、起始課應基于整體知識脈絡(luò)將學生思維引向“遠方”

在面對一個新的數(shù)學研究對象時，教師首先要有“整體觀”，為學生構(gòu)建研究的整體框架，再在“獲得研究對象就是要讓學生理解相關(guān)數(shù)學概念的內(nèi)涵和外延”“研究數(shù)學對象的性質(zhì)就是探究它的要素，建立相關(guān)要素之間穩(wěn)定的聯(lián)系”“通過類比、推廣、特殊化等發(fā)現(xiàn)和提出值得研究的問題”“通過建立相關(guān)知識的聯(lián)系，使學生形成知識體系，更有效地解決問題”等具有普遍意義的一般觀念的指導下，展開學習和研究?？梢?，教師基于整體性思維構(gòu)建起始課的教學，將有效提升學生的系統(tǒng)思維，為學生建構(gòu)完整的認知結(jié)構(gòu)奠定基礎(chǔ)，并讓學生的思考得以自然拓展。

“分步求商的除法豎式”這一內(nèi)容，類型有很多種，但前后知識間的共通性較多，不管是兩、三位數(shù)除以一位數(shù)，還是三位數(shù)除以兩位數(shù)，甚至是多位數(shù)除以多位數(shù)，都要遵守基本的計算法則——“從高位算起”“除到哪一位，商就寫在那一位上面”“分層書寫”。因此，在單元起始課《分桃子》一課的教學中，教師可以將這些知識點及方法進行滲透。比如教師提出兩個問題引導學生反思提煉：“通過這節(jié)課有什么收獲？接下來的數(shù)學課，我們會研究什么呢？”這兩個問題不僅引導學生回憶了除法豎式的學習過程及每一步的意義，還由此打開了學生的思維。學生紛紛提出：除法豎式會不會有特殊情況？三位數(shù)甚至更多位數(shù)除以一位數(shù)、三位數(shù)除以兩位數(shù)、小數(shù)除法該怎樣計算？……有學生甚至提出要教師出幾道更多位數(shù)除以一位數(shù)的除法算式題，因為他們覺得可以把本課學到的知識、方法應用到難度更大的除法豎式中。在這樣的學習狀態(tài)下，學生不僅有所得，更能將“已所得”轉(zhuǎn)化成后續(xù)學習的出發(fā)點和動力，感受到數(shù)學知識之間的聯(lián)系和發(fā)展，為建立整體性知識網(wǎng)絡(luò)打下良好基礎(chǔ)。

從起始課的基礎(chǔ)性出發(fā)，思考起始課的發(fā)展性，是整體性思維運用于起始課教學的基礎(chǔ);進而，挖掘起始課與后續(xù)學習的基本共通性，夯實與后續(xù)學習共通的基礎(chǔ)，構(gòu)建學生的整體性知識脈絡(luò)，是充分發(fā)揮起始課價值的有效之舉。在數(shù)學課堂教學中，如何利用起始課引導學生形成以整體性思維學習數(shù)學的意識和能力，發(fā)揮起始課的價值，是值得我們深入研究的問題。

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