謝星恩

數(shù)學(xué)運(yùn)算是高中數(shù)學(xué)學(xué)科重要的核心素養(yǎng)，其不同于簡單的計(jì)算，包含理解運(yùn)算對象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算思路等諸多內(nèi)容。教學(xué)實(shí)踐中，做好運(yùn)算素養(yǎng)的滲透，不僅有助于學(xué)習(xí)者更好地理解與掌握所學(xué)，而且對提高學(xué)習(xí)者的解題能力意義重大，因此應(yīng)結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)踐，從整體上把握教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，積極探尋有效的途徑，做好運(yùn)算素養(yǎng)在教學(xué)活動中的滲透，促進(jìn)課堂教學(xué)效率有效提升，學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)得到很好的鍛煉與發(fā)展。

一、做好理論灌輸

高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)較多，其中部分知識點(diǎn)的運(yùn)算不同于實(shí)數(shù)運(yùn)算，需要充分理解與掌握相關(guān)運(yùn)算法則。為使學(xué)習(xí)者牢固地掌握所學(xué)，提高運(yùn)算能力，應(yīng)做好運(yùn)算素養(yǎng)的良好滲透，尤其應(yīng)認(rèn)真灌輸相關(guān)理論，使學(xué)習(xí)者腳踏實(shí)地，靈活將所學(xué)知識運(yùn)用于解題中。

一方面，講解相關(guān)的運(yùn)算法則時，要注重列舉具體案例，使學(xué)習(xí)者更好地把握運(yùn)算的思路，深化其對運(yùn)算法則的理解，更好地把握運(yùn)算法則的本質(zhì)。同時，講解理論知識時，應(yīng)鼓勵學(xué)生，注重運(yùn)用思維導(dǎo)圖，將所學(xué)知識串聯(lián)起來，在頭腦中留下深刻印象，提高在解題時應(yīng)用的正確率。

另一方面，為使學(xué)習(xí)者能夠透過現(xiàn)象看本質(zhì)，把握運(yùn)算的相關(guān)細(xì)節(jié)，避免走進(jìn)理解的誤區(qū)，應(yīng)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)相關(guān)的判斷性題目，要求學(xué)習(xí)者結(jié)合自身的理解進(jìn)行分析和判斷，使其更加全面地認(rèn)識相關(guān)運(yùn)算理論。

例1已知非空集合M滿足：對于任意的x、y沂M，均有x+y沂M，x-y沂M，則稱M為“優(yōu)集”。若A、B為優(yōu)集，則以下命題中正確的有：____。淤A疑B為優(yōu)集；于A胰B為優(yōu)集；盂若A胰B為優(yōu)集，則A哿B或B哿A；榆若A胰B為優(yōu)集，則A疑B為優(yōu)集。

該問題以集合為背景，考查學(xué)習(xí)者對集合運(yùn)算法則的理解深度及靈活應(yīng)用程度。要想正確分析該題，不僅需要理解與掌握集合的交、并運(yùn)算法則，而且需要充分理解給出的新概念。課堂上預(yù)留空白時間，要求學(xué)習(xí)者分析和判斷，通過列出反例推出矛盾，能更好地鍛煉學(xué)習(xí)者在運(yùn)算過程中思維的縝密性、嚴(yán)謹(jǐn)性。這對提升學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)有積極的促進(jìn)作用。

該題較為抽象，有一定的難度，但是只要認(rèn)真推理，正確運(yùn)用集合的交、并運(yùn)算法則，不難判斷結(jié)論的正誤。課堂上展示該問題，給學(xué)習(xí)者提供分析問題的機(jī)會，既深化其理解，又鍛煉其數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。

二、講解典型例題

課堂例題講解不僅是教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，而且在幫助學(xué)習(xí)者理解與掌握所學(xué)上起著畫龍點(diǎn)睛的重要作用。高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)注重將運(yùn)算素養(yǎng)滲透至例題講解中，促進(jìn)學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)更好地提升。

一方面，積極轉(zhuǎn)變思想認(rèn)識。例題講解不能滿足于學(xué)習(xí)者掌握相關(guān)的運(yùn)算法則，尋找到解題的切入點(diǎn)，還應(yīng)認(rèn)真分析例題能否鍛煉學(xué)習(xí)者的運(yùn)算素養(yǎng)，以及是如何鍛煉學(xué)習(xí)者的運(yùn)算素養(yǎng)的，在此基礎(chǔ)上，做好課堂例題的精心挑選。

另一方面，講解例題時，注重與學(xué)習(xí)者一起回顧所學(xué)的運(yùn)算法則，為學(xué)習(xí)者展示例題，并適當(dāng)預(yù)留一定的空白時間，先要求學(xué)習(xí)者嘗試著解答例題，而后與學(xué)習(xí)者一起剖析例題，詳細(xì)板書例題的求解過程。同時，為了更好地激活課堂，應(yīng)注重給予學(xué)習(xí)者引導(dǎo)與啟發(fā)，使其認(rèn)識到在進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算時先不要動筆，應(yīng)做好充分準(zhǔn)備，對給出的已知條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃闻c轉(zhuǎn)化，為順利運(yùn)算做好鋪墊。

該例題較為典型。通過該例題的講解，給學(xué)習(xí)者帶來良好啟發(fā)，即在運(yùn)算過程中，應(yīng)注重轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，構(gòu)建已知條件與要求解問題之間的邏輯關(guān)系，以確定正確的思考方向，并借助對數(shù)、指數(shù)運(yùn)算法則的正確運(yùn)用得出結(jié)果。

三、開展課堂訓(xùn)練

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，很多教師往往會跟著例題的講解組織學(xué)習(xí)者開展課堂訓(xùn)練活動，以更好地檢驗(yàn)其是否真正聽懂并理解所學(xué)，甚至為了使學(xué)習(xí)者系統(tǒng)地掌握所學(xué)及相關(guān)解題技巧，還會組織學(xué)習(xí)者開展專題訓(xùn)練活動。課堂訓(xùn)練在整個教學(xué)工作中占有較多時間，重要性可想而知，因此，為獲得良好的數(shù)學(xué)運(yùn)算培養(yǎng)效果，應(yīng)注重將培養(yǎng)工作滲透至課堂訓(xùn)練環(huán)節(jié)中，給學(xué)習(xí)者帶來潛移默化的影響。

一方面，結(jié)合學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)實(shí)際，圍繞其不易掌握的知識點(diǎn)，做好課堂訓(xùn)練習(xí)題的精心設(shè)計(jì)與安排。通過訓(xùn)練，使學(xué)習(xí)者搞清楚相關(guān)運(yùn)算法則之間的區(qū)別與聯(lián)系，提高其記憶的準(zhǔn)確度，避免在解題的過程中張冠李戴。

另一方面，課堂訓(xùn)練中，不能滿足于學(xué)習(xí)者得出正確答案，還應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生回顧整個解題過程，分析在哪些運(yùn)算環(huán)節(jié)容易出錯，在哪些運(yùn)算環(huán)節(jié)需要挖掘隱含條件，以避免掉進(jìn)出題人設(shè)計(jì)的陷阱中，如此一來，既能很好地鞏固所學(xué)，又能使學(xué)習(xí)者把握不同題型運(yùn)算過程中的注意事項(xiàng)。

該題的題干較為簡單，但考查的知識點(diǎn)并不少，主要有三角函數(shù)、三角恒等變形、不等式等知識點(diǎn)。通過該訓(xùn)練習(xí)題的設(shè)計(jì)，能很好地檢驗(yàn)學(xué)習(xí)者能否正確地運(yùn)用三角恒等變形公式進(jìn)行變形，以達(dá)到化陌生為熟悉、順利解題的目的。教學(xué)實(shí)踐中，鼓勵學(xué)習(xí)者獨(dú)立思考，并在公布正確答案后，要求其認(rèn)真分析自身解題過程中的不足，真正地掌握相關(guān)運(yùn)算與解題技巧。

根據(jù)所給角度的關(guān)系，確定兩角度的正切值的取值范圍，而后運(yùn)用兩角和的正切公式進(jìn)行變形，并結(jié)合不等式知識求出最終結(jié)果。

該訓(xùn)練習(xí)題的難度不大，但具有較強(qiáng)的代表性。通過該習(xí)題的訓(xùn)練，進(jìn)一步鞏固了有關(guān)正切函數(shù)恒等變形運(yùn)算的法則。同時，使學(xué)習(xí)者認(rèn)識到進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算時，應(yīng)注重分析相關(guān)參數(shù)的取值范圍，以保證最終結(jié)果的正確性。

四、創(chuàng)新問題情境

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)時，應(yīng)注重提升學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，拓展學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)視野，給其帶來學(xué)習(xí)上的新鮮感。因此，教學(xué)活動中，應(yīng)注重創(chuàng)新相關(guān)問題情境，更好地吸引其注意力，激發(fā)其思考熱情及學(xué)習(xí)潛力。

一方面，圍繞教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)內(nèi)容，認(rèn)真查閱相關(guān)資料，創(chuàng)設(shè)既能很好地鞏固學(xué)習(xí)者所學(xué)，深化學(xué)習(xí)者的理解，又能給學(xué)習(xí)者帶來良好運(yùn)算氣氛的問題情境。通過學(xué)習(xí)者的思考作答，能夠在認(rèn)識上提升至一個新的高度，掌握新問題的分析及運(yùn)算思路，以后遇到類似問題時，能夠迅速破題。

另一方面，實(shí)踐中，為更好地了解學(xué)習(xí)者的解題過程，既可以走下講臺與學(xué)習(xí)者溝通交流，又可以要求學(xué)生代表到黑板上作答，及時發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)者解題中的不足，結(jié)合學(xué)習(xí)者實(shí)際給予針對性輔導(dǎo)，并在其運(yùn)算過程中給予提醒，確保其運(yùn)算的正確性，進(jìn)一步增強(qiáng)其解題的自信心。

該題圍繞數(shù)列知識進(jìn)行創(chuàng)新，給出新的定義。看似問題較為新穎，但是考查的仍是學(xué)習(xí)者學(xué)過的知識點(diǎn)。要想正確解答該題，需要具備良好的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，能夠?qū)o出的已知條件進(jìn)行正確的轉(zhuǎn)化，通過積極聯(lián)系所學(xué)不難尋找到解題的切入點(diǎn)。教學(xué)實(shí)踐中，注重圍繞該題設(shè)計(jì)啟發(fā)性問題，尤其在運(yùn)算過程中，要求學(xué)習(xí)者注重聯(lián)系數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解方法，逐漸指引學(xué)生向著正確的方向思考，避免在解題的過程中走彎路。

根據(jù)給出的“美值”的新定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化變形，化陌生為熟悉，求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，而后根據(jù)題意構(gòu)建對應(yīng)的不等關(guān)系，求出t的取值范圍。

該題較為新穎，但難度并不大。通過該習(xí)題的作答，可使學(xué)習(xí)者積累解決新問題的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，把握相關(guān)運(yùn)算技巧的同時，增強(qiáng)其解題的自信心。

五、鼓勵學(xué)習(xí)總結(jié)

定期開展學(xué)習(xí)總結(jié)是一種良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。通過總結(jié)，有助于學(xué)習(xí)者正確審視自己，發(fā)現(xiàn)在學(xué)習(xí)中存在的問題，尋找到能夠提升的空間，在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，有針對性地發(fā)力，逐漸縮短與他人之間的距離，實(shí)現(xiàn)自身綜合能力的提升。高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，應(yīng)注重將數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)滲透至學(xué)習(xí)總結(jié)環(huán)節(jié)，使學(xué)習(xí)者通過總結(jié)使得數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)得到進(jìn)一步的提升。

一方面，結(jié)合教學(xué)難易程度及學(xué)習(xí)者的課堂表現(xiàn)，在課堂上專門預(yù)留一定時間，要求學(xué)習(xí)者做好總結(jié)?？偨Y(jié)內(nèi)容主要包括理論知識及運(yùn)算技能兩個方面，其中針對所學(xué)的理論知識，要求其結(jié)合學(xué)習(xí)的先后順序逐一進(jìn)行回顧；針對運(yùn)算技能，要求其總結(jié)不同題型的運(yùn)算思想、運(yùn)算思路、運(yùn)算技巧等。

另一方面，總結(jié)環(huán)節(jié)中，為了使學(xué)習(xí)者更加全面地考慮數(shù)學(xué)問題，提高運(yùn)算效率，仍應(yīng)注重要求學(xué)習(xí)者做好運(yùn)算訓(xùn)練，并啟發(fā)其在運(yùn)算過程中養(yǎng)成認(rèn)真、仔細(xì)的良好習(xí)慣。

該題以平面幾何為背景，考查學(xué)習(xí)者掌握向量的坐標(biāo)運(yùn)算的能力。根據(jù)題意畫出相關(guān)的輔助圖形，可知因點(diǎn)P的具體位置不確定，需要進(jìn)行分類討論。分類討論過程中，需要嚴(yán)格遵循向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則，結(jié)合所學(xué)的一元二次方程進(jìn)行推理和判斷。因習(xí)題中并未要求求出點(diǎn)P的具體坐標(biāo)，因此運(yùn)算時應(yīng)注重結(jié)合駐進(jìn)行判斷，避免不必要的計(jì)算。

根據(jù)題意，建立平面直角坐標(biāo)系，確定點(diǎn)的坐標(biāo)，借助向量的坐標(biāo)運(yùn)算，構(gòu)建一元二次方程，判斷駐與0的關(guān)系，便可確定點(diǎn)P的個數(shù)。

解答該問題的關(guān)鍵在于迅速判斷出需要進(jìn)行分類討論。通過該問題的解答，可啟發(fā)學(xué)習(xí)者在以后進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算時應(yīng)認(rèn)真思考，確定討論的分界點(diǎn)，而后進(jìn)行有針對性的運(yùn)算。

培養(yǎng)學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是當(dāng)前教育工作的重要內(nèi)容。其中數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)在高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中占有重要地位，是學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必備的關(guān)鍵能力。教學(xué)實(shí)踐中，應(yīng)做好相關(guān)理論學(xué)習(xí)，積極參與相關(guān)的教學(xué)研究活動，借鑒他人在培養(yǎng)工作中的具體做法，結(jié)合學(xué)生的實(shí)際探尋一條高效的滲透途徑，使學(xué)習(xí)者在掌握相關(guān)數(shù)學(xué)知識的同時，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)得到有效鍛煉與提升。

【本文是福建省福州市長樂區(qū)教育科學(xué)研究2021年度立項(xiàng)課題“信息技術(shù)環(huán)境下農(nóng)村高中數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)提升策略研究”（編號：CL2021KT035）的成果之一。】