姜恩華，朱 旋，陳東華

（淮北師范大學 物理與電子信息學院，安徽 淮北 235000）

0 引言

數字信號處理教材中常常把FIR（Finite Impulse Response）數字濾波器設計與數字濾波網絡基本結構內容放在不同章節(jié)講解，這樣導致關于FIR 數字濾波器的知識點比較分散［1-2］，不利于學生系統(tǒng)掌握FIR數字濾波網絡方面的知識.本文借助Matlab軟件，以FIR數字濾波器設計與數字濾波網絡為線索，開展FIR數字濾波器章節(jié)內容的課堂輔助教學.根據單位脈沖響應h(n)關于（N-1）/2的對稱性和FIR數字濾波器的線性相位，借助Matlab函數，通過FIR數字濾波器設計方法，求解單位脈沖響應h(n)；通過單位脈沖響應h(n)得到FIR 數字濾波器的直接型濾波網絡結構；對h(n)進行Z變換，得到系統(tǒng)函數H(z)，對H(z)進行因式分解，把H(z)分解為若干個一階或二階因式相乘的形式，得到FIR數字濾波器的級聯(lián)型濾波網絡結構.通過MATLAB范例，把FIR數字濾波器設計和數字濾波網絡結構作為一個整體進行輔助教學［3-4］，有助于學生加深對該部分知識的掌握和理解.

在Matlab軟件中，一方面提供FIR數字濾波器設計函數，例如：窗函數法、頻率采樣法和等波紋逼近法的設計函數，通過函數調用，設計FIR數字濾波器的單位脈沖響應h(n)；另一方面，也提供FIR數字濾波網絡的直接型結構和級聯(lián)型濾波函數，借助它們完成FIR數字濾波的輔助教學.把FIR數字濾波器設計與數字濾波網絡兩方面的知識作為一個整體講解，豐富輔助教學的內容，使得教學思路清晰，教學內容完整飽滿［5-6］，形象直觀地展現FIR數字濾波器設計與數字濾波網絡的理論知識，激發(fā)學生的學習興趣，起到較好的教學示范作用.

1 FIR數字濾波器

1.1 FIR數字濾波器的類型

單位脈沖響應h(n)關于（N-1）/2的對稱性和N的奇偶性決定設計的FIR數字濾波器的類型；FIR數字濾波器的傳輸函數H(ejω)決定其幅頻特性，系統(tǒng)函數H(z)決定其零極點分布，當z=ejω，表示系統(tǒng)函數H(z)在單位圓上取值，即傳輸函數H(ejω)的值，對ω取0和π 時，對應的z值為1和-1.系統(tǒng)函數H(z)如式（1）所示：

若單位脈沖響應h(n)偶對稱且N為奇數，把z值為1和-1代入式（1）中，式（1）的值可能為零也可能不為零，與幅頻特性曲線 ||H(ejω) 比較，該情況可以設計FIR數字低通、高通、帶通和帶阻濾波器；若單位脈沖響應h(n)偶對稱且N為偶數，把z值為-1代入式（1）中，式（1）為零，該情況可以設計FIR數字低通和帶通濾波器，不能設計高通和帶阻濾波器；若單位脈沖響應h(n)奇對稱且N為奇數，把z值為1和-1代入式（1）中，式（1）都為零，該情況只能設計FIR數字帶通濾波器；若單位脈沖響應h(n)奇對稱且N為偶數，把z值為1 代入式（1）中，式（1）為零，該情況只能設計FIR 數字高通和帶通濾波器，不能設計低通和帶通濾波器.

1.2 基于MATLAB的FIR數字濾波器的設計

由于FIR數字濾波器的歸一化傳輸函數H(ejω)能夠根據線性相位特性直接得出，其歸一化的幅頻特性曲線 ||H(ejω) 和幅度響應函數Hg(ω)曲線也很容易表示出來.

FIR數字濾波器的設計方法主要包括窗函數法、頻率采樣法和等波紋最佳逼近法等，每種設計方法都能實現FIR數字低通、高通、帶通和帶阻濾波器的設計，求得單位脈沖響應h(n).

在Matlab 軟件中，提供窗函數設計法函數fir1（N，wp，’ftype’，win）及其窗函數win，頻率采樣法函數fir2（N-1，F，A，win），其中F表示邊界頻率，等波紋最佳逼近法函數［N，fo，mo，W］=remezord（f，m，dev，Fs）和remez（N，fo，mo，W），借助Matlab軟件提供的設計函數，根據FIR數字濾波器的技術指標，按照FIR數字濾波器的設計方法，求得FIR濾波器的單位脈沖響應h(n)［7］.

2 FIR數字濾波網絡

FIR數字濾波網絡基本結構主要為直接型和級聯(lián)型結構，通過FIR濾波器的單位脈沖響應h(n)，可以得到直接型網絡結構.對h(n)進行Z變換，求得FIR濾波器的系統(tǒng)函數H(z)，通過對H(z)進行因式分解，分解為若干個一階或二階因式相乘的形式，如式（2）所示，可以得到FIR數字濾波網絡的級聯(lián)型結構［8］.

在Matlab軟件中，調用函數filter2（hn，x），采用直接型濾波網絡進行濾波；調用函數［s，g］=tf2sos（hn，1），把FIR 濾波器的系統(tǒng)函數H（z）轉換為級聯(lián)型的形式，調用函數y（n）=filtfilt（s，g，x），采用級聯(lián)型濾波網絡進行濾波［9］.

2.1 FIR直接型數字濾波網絡

2.1.1 FIR直接型數字濾波網絡結構

由FIR 數字濾波器的單位脈沖響應h(n)可以得到FIR 直接型數字濾波網絡，其網絡結構如圖1所示［1-2］.

圖1 FIR直接型數字濾波網絡結構

2.1.2 基于MATLAB的FIR直接型數字濾波輔助教學

采用窗函數法設計FIR數字帶阻濾波器，根據FIR數字帶阻濾波器的設計指標：邊界頻率：wp=［（wls+wlp）/2/pi，（wus+wup）/2/pi］，階數為N-1，調用Matlab函數hn=fir1（N，wp，‘stop’，blackman（N+1）），設計FIR數字帶阻濾波器，得到其單位脈沖響應h(n)；采用FIR直接型帶阻濾波網絡完成濾波.設計的輸入序列x(n)如式（3）所示；輸入序列x(n)通過FIR 直接型帶阻濾波網絡，即調用函數y（n）=filter2（hn，x）完成濾波［10］，得到輸出y(n).h(n)、x(n)和y(n)的時域波形及其頻譜如圖2所示，同理，采用窗函數法也可以設計FIR低通、高通和帶通數字濾波器及其直接型結構的數字濾波網絡［11-12］.

圖2 直接型FIR帶阻濾波網絡的輸入和輸出信號及其頻譜

比較圖2的子圖（b）和（f）可以看出，低頻和高頻信號被保留，帶通信號被濾除.通過MATLAB范例，基本完成了窗函數法設計FIR數字濾波器及其濾波過程的輔助教學.

2.2 FIR級聯(lián)型數字濾波網絡

2.2.1 FIR級聯(lián)型數字濾波網絡結構

對FIR數字濾波器的系統(tǒng)函數H（z）進行因式分解，分解為若干個一階或二階因式的相乘形式，可以得到FIR級聯(lián)型數字濾波網絡結構，如圖3所示［13］.采用等波紋最佳逼近法和頻率采樣法設計FIR數字濾波器，采用級聯(lián)型數字濾波網絡結構完成濾波.

圖3 FIR級聯(lián)型數字濾波網絡結構

2.2.2 基于MATLAB的FIR級聯(lián)型數字濾波網絡輔助教學

采用等波紋最佳逼近法設計FIR高通濾波器，其技術指標為：邊界頻率：f=［0.15，0.25］，階數為N-1，調用函數［N，fo，mo，W］=remezord（f，m，dev，Fs）和hn=remez（M，fo，mo，w），求得FIR 數字高通濾波器的單位脈沖響應h(n)；采用FIR級聯(lián)型高通濾波網絡完成濾波.設計的輸入序列x(n)如式（4）所示，輸入序列x(n)通過FIR高通濾波網絡，調用函數［s，g］=tf2sos（hn，1），把FIR數字濾波器的直接型結構轉換為級聯(lián)型結構，調用函數y（n）=filtfilt（s，g，x）完成級聯(lián)型高通濾波，得到輸出y(n).h(n)、x(n)和y(n)的時域波形及其頻譜如圖4所示，同理，采用等波紋最佳逼近法也可以設計FIR低通、帶通和帶阻數字濾波器及其級聯(lián)型結構的數字濾波網絡［14］.

圖4 級聯(lián)型FIR高通濾波網絡的輸入和輸出信號及其頻譜

從圖4的子圖（b）和（f）可以看出，高頻信號被保留，低頻信號被濾除.通過MATLAB范例，基本完成等波紋最佳逼近法設計FIR數字濾波器及其濾波過程的輔助教學.

采用頻率采樣法設計FIR 數字低通濾波器，其技術指標為：通帶截止頻率：ωc=π/4，過渡帶寬度Bt=π/16，階數為N-1，調用函數hn=fir2（N-1，F，A，win）完成FIR數字低通濾波器設計，win采用boxcar矩形窗函數，求得單位脈沖響應h(n).設計的輸入序列如式（5）所示，輸入序列x（n）通過級聯(lián)型FIR低通濾波網絡完成濾波.調用函數［s，g］=tf2sos（hn，1），把FIR低通濾波器的直接型結構轉換為級聯(lián)型結構，調用函數y（n）=filtfilt（s，g，x）完成級聯(lián)型低通濾波，得到輸出y(n).h(n)、x(n)和y(n)的時域波形及其頻譜如圖5所示，同理，采用頻率采樣法也可以設計FIR高通、帶通和帶阻數字濾波器及其級聯(lián)型結構的數字濾波網絡［15］.

圖5 級聯(lián)型FIR低通濾波網絡的輸入和輸出信號及其頻譜

從圖5中的子圖（b）和（f）可以看出，低頻信號被保留，高頻信號被濾除.通過MATLAB范例，基本完成頻率采樣法設計FIR數字濾波器及其濾波過程的輔助教學.

3 結論

本文借助MATLAB軟件，完成FIR數字濾波器設計和數字濾波網絡的輔助教學，借助Matlab函數，通過FIR數字濾波器設計，求得單位脈沖響應h(n).通過h(n)可以得到FIR數字濾波器直接型網絡結構，對系統(tǒng)函數H(z)因式分解為若干個一階和二階因式相乘的形式，可以得到FIR數字濾波器的級聯(lián)型濾波網絡結構.通過MATLAB 范例，把FIR 數字濾波器設計和數字濾波網絡基本結構作為整體進行輔助教學.借助Matlab函數，設計FIR數字濾波器，通過FIR數字濾波器直接型和級聯(lián)型濾波網絡結構，完成對輸入序列的濾波.形象直觀地展現了FIR濾波器的設計和濾波過程，使得教學思路清晰，教學內容完整飽滿，起到較好的教學示范作用.