李 巖，隨歲寒

(1．商丘工學(xué)院 教育與現(xiàn)代藝術(shù)學(xué)院，河南 商丘476000; 2．商丘工學(xué)院 機械工程學(xué)院，河南 商丘476000)

在機械工程中傳動帶、帶鋸和纜索等皆可模型化為軸向運動梁，受到電機振動的影響，這些軸向運動構(gòu)件在工作中也不可避免地發(fā)生振動。軸向運動速度與這些裝備的工作效率息息相關(guān)，且軸向速度對振動又有重要影響，過快的軸向速度會導(dǎo)致振動失穩(wěn)而對裝備造成破壞，因而有必要對軸向運動系統(tǒng)振動特性展開研究。近年來，軸向運動梁振動及其穩(wěn)定性的研究成果被大量報道。劉金建等[1]采用多尺度法和微分求積法研究了軸向運動黏彈性Euler梁自由振動的穩(wěn)定性。王波等[2]利用微分求積法研究軸向運動黏彈性Rayleigh梁的非線性受迫振動。林鵬程等[3]基于Timoshenko梁理論研究了3種不同邊界條件下軸向運動功能梯度材料梁在熱沖擊載荷作用下的自由振動響應(yīng)。周遠等[4]研究了黏彈性阻尼作用下軸向運動Timoshenko梁的振動特性。Lee等[5]在經(jīng)典梁理論的基礎(chǔ)上建立了傳遞矩陣方法，研究軸向拉伸載荷和移動速度對3種不同端部條件下軸向移動梁固有頻率的影響。Wang等[6]基于非局部應(yīng)變梯度理論，考慮兩種尺度效應(yīng)，利用Galerkin方法研究了軸向運動納米梁的分叉和混沌。Liu等[7]對軸向加速黏彈性Timoshenko梁的參數(shù)穩(wěn)定性進行了分析和數(shù)值研究。Hao等[8]結(jié)合Timoshenko梁理論研究了帶有形狀記憶合金層合梁的軸向運動非線性動力特性。Sarparast等[9]采用非局部應(yīng)變梯度Rayleigh梁模型，研究了黏彈性基礎(chǔ)上軸向小尺度運動梁在濕熱環(huán)境下的振動行為和動力穩(wěn)定性。劉慧賢等[10]基于Euler梁模型研究了中間支撐條件下軸向運動微梁的自由振動問題。

需要指出的是，現(xiàn)有文獻多是研究基于Euler-Bernoulli梁模型[1,5,10-11]和Rayleigh梁模型[2,9,12-13]的細梁，也有部分文獻研究了基于Timoshenko梁模型的粗梁[3,4,7-8]，但利用三階剪切梁模型研究軸向運動梁振動及其穩(wěn)定性的文獻鮮有報道。相對于Timoshenko梁模型，三階剪切梁模型不需要剪力修正系數(shù)，且無論細梁還是粗梁在三階剪切模型下都能獲得很好的求解精度。由于軸向運動梁系統(tǒng)中科氏加速度的存在，使得特征值難以解析求解，故諸多數(shù)值方法被用于求解該類問題，如微分求積法[2]、傳遞矩陣法[5]、Galerkin法[6]等。有限元法作為一種應(yīng)用廣泛的數(shù)值方法，擁有標(biāo)準(zhǔn)化的操作流程，推導(dǎo)系統(tǒng)有限元方程的過程中不需要導(dǎo)出系統(tǒng)控制方程，故利用有限元法分析軸向運動系統(tǒng)特性具備一定優(yōu)勢。目前，利用有限元法研究軸向運動梁的文獻多集中在軸向運動懸臂梁方面[12-14]。在實際應(yīng)用中，軸向運動結(jié)構(gòu)往往在兩端受到支承，本研究正是針對這一應(yīng)用形式開發(fā)了對應(yīng)的有限元動力學(xué)模型。目前在商業(yè)計算軟件(如ANSYS、ABAQUS等)中尚無針對軸向運動梁類問題的專用模塊，本研究建立的通用有限元模型可同時適用于細梁和粗梁，是一種簡便的建模方法。

Stylianou等[12]首創(chuàng)利用Lagrangian方程得到軸向運動懸臂梁有限元動力學(xué)方程，后來用有限元法研究軸向運動懸臂梁的文獻也多采用這一方法[13]。國內(nèi)也有學(xué)者利用Lagrangian方程得到兩端支承軸向運動梁的有限元方程[14]，但該研究僅限于細梁。Hamilton原理[15]和虛功原理[16]常被用來建立動力學(xué)系統(tǒng)的有限元方程，且虛功原理便于明確速度相關(guān)項的物理意義，進而深入揭示軸向運動梁動力學(xué)特性的成因。本研究從虛功原理出發(fā)，考慮三階剪切理論下的位移場并結(jié)合幾何方程和物理方程，經(jīng)推導(dǎo)得到了軸向運動梁系統(tǒng)的有限元方程，并探討了軸向運動速度的衍生項即離心力和科氏力對系統(tǒng)動力學(xué)規(guī)律的貢獻。

1 動力學(xué)模型

為得到軸向運動梁系統(tǒng)有限元方程，利用虛功原理表達式

δU=δW+δF，

(1)

式中：δU、δW和δF分別為系統(tǒng)勢能變分、慣性力虛功、科氏力與離心力虛功。

采用一種2節(jié)點梁單元，沿梁長度方向?qū)⒘簞澐譃槿舾蓚€單元，單元橫向位移和截面轉(zhuǎn)角利用形函數(shù)表達[17]如下：

(2)

(3)

式中：N1和N2是拉格朗日形函數(shù)；H1～H4是Hermite形函數(shù)。

首先，利用Reddy三階梁理論的位移場[18]

(4)

w(x,z)=w(x)，

(5)

式中：α=4/3h2。利用式(4)、(5)并結(jié)合式(2)、(3)，得慣性力虛功

(6)

為得到應(yīng)變能變分，利用如下幾何方程：

(7)

(8)

然后，利用式(2)、(3)，將幾何方程整理成矩陣形式

(9)

式(9)可簡化為

ε=[B]syggg00，

(10)

及物理方程

(11)

將方程(11)簡化為

σ=[D]ε。

(12)

利用式(10)、(12)，可得應(yīng)變能變分

(13)

最后，給出科氏力和離心力虛功[19-20]：

(14)

將式(6)、(13)、(14)代入虛功原理表達式(1)，得到軸向運動梁系統(tǒng)有限元平衡方程

(15)

2 數(shù)值驗證

將方程(15)結(jié)合兩端固支的邊界條件，可求解得到軸向運動梁系統(tǒng)的各階固有頻率。這一頻率通常為復(fù)數(shù)，虛部代表固有頻率的數(shù)值，實部用于表征系統(tǒng)穩(wěn)定性，實部為0或者為負值代表系統(tǒng)穩(wěn)定，實部為正值代表系統(tǒng)失穩(wěn)。所需材料的物理參數(shù)如表1所示。

表1 物理參數(shù)Tab.1 Physical parameters

為驗證本研究建立的有限元模型的可靠性，在軸向速度為0的條件下，分別給出3種典型細長比對應(yīng)的系統(tǒng)前三階固有頻率，并將其與ANSYS軟件所得結(jié)果進行了對比(表2至表4)。由表2至表4可知，從細梁到粗梁的變化過程中，前三階固有頻率的最大誤差不超過1.7%，證明所建立的有限元模型有效。

表2 本研究解與ANSYS軟件解對比(h/L=0.01)Tab.2 Solution of this study and comparison with ANSYS (h/L=0.01)

表3 本研究解與ANSYS軟件解對比(h/L=0.1)Tab.3 Solution of this study and comparison with ANSYS (h/L=0.1)

表4 本研究解與ANSYS軟件解對比(h/L=0.2)Tab.4 Solution of this study and comparison with ANSYS (h/L=0.2)

圖1至圖3分別給出了3種典型細長比條件下，系統(tǒng)前三階復(fù)固有頻率隨軸向速度的變化趨勢。對比3組圖可見，固有頻率實部和虛部的變化規(guī)律類似，所不同的是特定位置的具體數(shù)值。以圖1為例，當(dāng)軸向速度增至94 m/s時，固有頻率虛部降低到0，這一速度為臨界速度。達到臨界速度后，若繼續(xù)增加速度，則固有頻率的實部開始出現(xiàn)正值，即系統(tǒng)失穩(wěn)，第一階失穩(wěn)速度為94～136 m/s。算例顯示，在軸向速度大于臨界速度后，速度的任何微小波動都會造成系統(tǒng)固有頻率的實部在正值和負值之間跳躍。如圖1顯示，每個橢圓形包含的速度范圍都是一個失穩(wěn)速度區(qū)域，速度繼續(xù)增加，超過了這一橢圓包含區(qū)后，系統(tǒng)又表現(xiàn)出穩(wěn)定性，即兩個橢圓之間的間隙區(qū)域所對應(yīng)的速度范圍系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，這一穩(wěn)定速度為137～147 m/s。第二個橢圓包含的速度區(qū)域代表第二階固有頻率的失穩(wěn)區(qū)域，第二階失穩(wěn)速度為148～186 m/s，與第一階頻率的第二次失穩(wěn)速度范圍重合。后續(xù)經(jīng)歷較短暫的穩(wěn)定區(qū)域后，緊接著出現(xiàn)第一階固有頻率的第三次失穩(wěn)區(qū)域。對比圖1的實部和虛部可以發(fā)現(xiàn)，第二階和第三階固有振動失穩(wěn)時，相應(yīng)階次固有頻率的虛部并不降低到0。同理，第三階固有頻率也有相應(yīng)的失穩(wěn)區(qū)域。

圖1 軸向運動梁固有頻率實部和虛部與速度的關(guān)系(h/L=0.01)Fig.1 The relationship between natural frequencies and axial velocity (h/L=0.01)

圖2 軸向運動梁固有頻率實部和虛部與速度的關(guān)系(h/L=0.1)Fig.2 The relationship between natural frequencies and axial velocity(h/L=0.1)

圖3 軸向運動梁固有頻率實部和虛部與速度的關(guān)系(h/L=0.2)Fig.3 The relationship between natural frequencies and axial velocity (h/L=0.2)

為探究速度增加則各階固有頻率降低的根源，考察方程(15)可以發(fā)現(xiàn)，相對于無軸向運動結(jié)構(gòu)，這一方程增加了離心力項和科氏力項，可以據(jù)此判定系統(tǒng)固有頻率降低是因為受到離心力和科氏力的共同作用。為深入揭示這兩項在多大程度上影響固有頻率，圖4至圖6分別給出了3種典型細長比條件下，系統(tǒng)第一階復(fù)固有頻率(虛部)與軸向速度的對應(yīng)關(guān)系，并給出了僅考慮離心力和僅考慮科氏力這兩種條件下的對比數(shù)據(jù)。可見，低速運動時3條線比較接近，因為此時離心力和科氏力都不大。當(dāng)速度較高時，僅考慮離心力的情形更接近實際，也就是說高速運動時離心力起主導(dǎo)作用?？剖狭κ禽S向速度和梁中面轉(zhuǎn)動角速度的乘積，由于離心力的主導(dǎo)作用，速度較高時梁中面轉(zhuǎn)動角速度較低，此時科氏力進一步被削弱。

圖4 離心力和科氏力對第一階固有頻率的影響(h/L=0.01)Fig.4 The impact of centrifugal force and Coriolis force on first natural frequencies(h/L=0.01)

圖5 離心力和科氏力對第一階固有頻率的影響(h/L=0.1)Fig.5 The impact of centrifugal force and Coriolis force on first natural frequencies(h/L=0.1)

圖6 離心力和科氏力對第一階固有頻率的影響(h/L=0.2)Fig.6 The impact of centrifugal force and Coriolis force on first natural frequencies(h/L=0.2)

3 結(jié)論

本研究針對軸向運動梁，基于三階剪切理論和虛功原理建立了一個對細梁和粗梁通用的有限元動力學(xué)模型，給出了3種典型細長比條件下的系統(tǒng)前三階復(fù)固有頻率，并通過與ANSYS軟件的計算結(jié)果對比，證實了本模型的準(zhǔn)確性。具體結(jié)論如下：

(1) 所建立的有限元模型對細梁和粗梁都有較高的計算精度。

(2) 第一階固有頻率進入失穩(wěn)區(qū)域的標(biāo)志是固有頻率的虛部降至0。

(3) 各階固有頻率都有特定的失穩(wěn)區(qū)域，相鄰兩階失穩(wěn)區(qū)域之間會有一段穩(wěn)定區(qū)域。

(4) 速度增加而各階固有頻率降低的原因是系統(tǒng)離心力和科氏力的共同作用，且離心力起主導(dǎo)作用。