施佳瑩 喻平

摘要：從有意義學(xué)習(xí)的本質(zhì)特征、認(rèn)知同化理論的基本要義、有意義學(xué)習(xí)的教學(xué)原則、實(shí)現(xiàn)遷移的條件等四個(gè)方面，解讀奧蘇伯爾的認(rèn)知同化理論，梳理出對(duì)當(dāng)下中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示。一是建構(gòu)有意義學(xué)習(xí)的教學(xué)環(huán)境，包括設(shè)置恰當(dāng)情境、連通知識(shí)序列。二是制訂完善學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的教學(xué)策略，包括活用先行組織、突出漸進(jìn)分化、強(qiáng)調(diào)綜合貫通、提倡遷移訓(xùn)練。

關(guān)鍵詞：認(rèn)知同化理論;有意義學(xué)習(xí);中學(xué)數(shù)學(xué);認(rèn)知結(jié)構(gòu)

本文系喻平教授團(tuán)隊(duì)的“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)研究及其教學(xué)啟示”（中學(xué)）系列文章之十二。從本文開始，系列文章的主題從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)的基本概念（方面）變?yōu)榻?jīng)典理論（思想）。學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)新知識(shí)，需要將認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的舊知識(shí)與其相互作用，這個(gè)過程稱為同化;當(dāng)新知識(shí)被納入認(rèn)知結(jié)構(gòu)，又會(huì)對(duì)舊的認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行改組，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這個(gè)過程稱為順應(yīng)。這是源自皮亞杰的結(jié)構(gòu)主義、發(fā)展于奧蘇伯爾的有意義學(xué)習(xí)理論的知識(shí)建構(gòu)觀。本文嘗試解讀奧蘇伯爾的認(rèn)知同化理論，并談?wù)勥@一理論對(duì)當(dāng)下中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的幾點(diǎn)啟示。

一、奧蘇伯爾認(rèn)知同化理論的主要觀點(diǎn)

美國(guó)著名教育心理學(xué)家奧蘇伯爾系統(tǒng)研究了課堂教學(xué)中有意義學(xué)習(xí)的類型、結(jié)果及條件，深入探究了影響學(xué)習(xí)的內(nèi)因和外因，提出了以言語(yǔ)符號(hào)為媒介、以學(xué)習(xí)者原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)為核心、以接受學(xué)習(xí)為主要學(xué)習(xí)方法的有意義學(xué)習(xí)理論。有意義學(xué)習(xí)的過程是認(rèn)知同化過程，因此該學(xué)習(xí)理論又可稱為認(rèn)知同化理論。

（一）有意義學(xué)習(xí)的本質(zhì)特征

有意義學(xué)習(xí)的過程，本質(zhì)上即符號(hào)所代表的新知識(shí)以非任意的方式，在實(shí)質(zhì)上同學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的適當(dāng)觀念相互作用、產(chǎn)生聯(lián)系的過程。D.P.奧蘇伯爾等.教育心理學(xué)——認(rèn)知觀點(diǎn)[M].佘星南，宋鈞，譯.北京：人民教育出版社，1994：45。奧蘇伯爾認(rèn)為，新知識(shí)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)的原有成分之間的聯(lián)結(jié)是有意義學(xué)習(xí)與機(jī)械學(xué)習(xí)的主要差異：機(jī)械學(xué)習(xí)中，聯(lián)結(jié)是簡(jiǎn)單的、任意的、非實(shí)質(zhì)性的;而有意義學(xué)習(xí)中，聯(lián)結(jié)是“非任意的”和“實(shí)質(zhì)性的”。

“非任意的”亦稱“非人為的”，指新知識(shí)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)觀念之間存在著某種合理的或邏輯基礎(chǔ)上的聯(lián)系。陳琦，劉儒德.當(dāng)代教育心理學(xué)（第三版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2019：116。奧蘇伯爾認(rèn)為，具有非任意性的學(xué)習(xí)材料是學(xué)習(xí)者開展有意義學(xué)習(xí)的先決條件。若知識(shí)點(diǎn)之間沒有邏輯關(guān)系，即便學(xué)習(xí)者采用特殊方法（如諧音聯(lián)想法），人為地為其創(chuàng)造“意義”，這類學(xué)習(xí)也是機(jī)械的。若新知識(shí)是在舊知識(shí)的基礎(chǔ)上增添、限制、變化某些條件或結(jié)論演變而來的，或新知識(shí)與較為普遍的觀念有一般的吻合關(guān)系，學(xué)習(xí)者就有足夠的依據(jù)將兩者以非任意的形式聯(lián)系起來。

“實(shí)質(zhì)性”亦稱“非字面性”，指能用同義詞或其他等值符號(hào)替代而不改變意義或內(nèi)容。教育大辭典編篡委員會(huì).教育大辭典（第5卷）：教育心理學(xué)[Z].上海：上海教育出版社，1990：267。奧蘇伯爾指出，學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)結(jié)果要符合實(shí)質(zhì)性標(biāo)準(zhǔn)，如果使用同義詞或其他等值符號(hào)替代概念或者命題中的部分詞匯，學(xué)習(xí)者要能判斷其意義或內(nèi)容是否發(fā)生變化。例如，“三角形的內(nèi)角和為180°”與“三角形的內(nèi)角和為平角”是等價(jià)的。如果學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)只停留于字面意義，沒有深入思考、挖掘知識(shí)本質(zhì)，則認(rèn)知結(jié)構(gòu)不穩(wěn)固，后續(xù)學(xué)習(xí)過程中也很容易受到以前學(xué)過的類似材料的干擾。

（二）認(rèn)知同化理論的基本要義

其一，認(rèn)知結(jié)構(gòu)在學(xué)習(xí)中起著決定性作用。在奧蘇伯爾看來，認(rèn)知結(jié)構(gòu)就是個(gè)體頭腦中的知識(shí)結(jié)構(gòu)。廣義地說，它是學(xué)習(xí)者已有觀念的全部?jī)?nèi)容及其組織;狹義地說，它是學(xué)習(xí)者在某一學(xué)科的特殊知識(shí)領(lǐng)域內(nèi)的觀念的全部?jī)?nèi)容及其組織。皮連生.智育心理學(xué)[M].北京：人民教育出版社，1996：220。形成優(yōu)良的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是學(xué)習(xí)達(dá)成的關(guān)鍵。奧蘇伯爾認(rèn)為，良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)取決于三個(gè)因素：（1）可利用性。當(dāng)學(xué)習(xí)者面對(duì)新的學(xué)習(xí)任務(wù)時(shí)，他的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中具備可以用來同化新知識(shí)的較一般的、概括的、包攝程度高的觀念。（2）可辨別性。當(dāng)原有觀念同化新知識(shí)時(shí)，可以清晰地辨別新舊觀念的異同點(diǎn)。（3）穩(wěn)定性。原有的、起固定作用的觀念穩(wěn)定地貯存于認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。

其二，知識(shí)同化存在三種樣態(tài)。奧蘇伯爾認(rèn)為，同化是新舊觀念相互作用、兩者意義雙向變化的過程，新知識(shí)獲得心理意義，原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生改組。新舊知識(shí)之間的同化有三種方式：（1）下位學(xué)習(xí)。在原有觀念基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)包攝性更低的觀念。下位學(xué)習(xí)又分為派生歸屬學(xué)習(xí)（新觀念可視為原來認(rèn)知結(jié)構(gòu)中上位概念的具體例子）和相關(guān)歸屬學(xué)習(xí)（新觀念是對(duì)原來上位概念的精細(xì)化）。（2）上位學(xué)習(xí)。在原有觀念基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)包攝性更高的觀念，即原有觀念是新觀念的具體例子。（3）并列組合學(xué)習(xí)。新舊知識(shí)有聯(lián)系，但它們之間沒有包含關(guān)系。

在此基礎(chǔ)上，根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特性，可以提出同位學(xué)習(xí)的概念。喻平.數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)（第2版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2018：262。所謂同位學(xué)習(xí)，是指對(duì)等價(jià)可同構(gòu)命題的學(xué)習(xí)。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，除了上位與下位的關(guān)系外，許多概念、命題之間存在等價(jià)關(guān)系，概念域、命題域的形成就是一個(gè)同位學(xué)習(xí)的過程。

（三）有意義學(xué)習(xí)的教學(xué)原則

奧蘇伯爾提出了有意義學(xué)習(xí)的四條教學(xué)原則：漸進(jìn)分化原則、綜合貫通原則、序列組織原則和鞏固性原則。

漸進(jìn)分化指首先呈現(xiàn)最一般和包容范圍最廣的觀念，然后由這些觀念依照細(xì)節(jié)、特例和具體項(xiàng)目逐步展開。在下位學(xué)習(xí)中，歸屬過程一次或多次出現(xiàn)，便會(huì)導(dǎo)致起歸屬作用的概念或命題的漸進(jìn)分化。奧蘇伯爾認(rèn)為，按包容性、抽象水平逐漸下降的縱向方式建立認(rèn)知結(jié)構(gòu)的層級(jí)組織，有利于新知識(shí)的同化和保持。

綜合貫通指加強(qiáng)知識(shí)橫向與縱向的聯(lián)系。在上位學(xué)習(xí)或并列組合學(xué)習(xí)中，發(fā)現(xiàn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有觀念之間的聯(lián)系，對(duì)其進(jìn)行重新組合的過程，就是綜合貫通。奧蘇伯爾指出，綜合貫通能促進(jìn)原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的橫向分化，是漸進(jìn)分化的一種形式。當(dāng)教學(xué)材料沒有實(shí)質(zhì)上的序列相依關(guān)系時(shí)，綜合貫通原則也是適用的，可以橫向加強(qiáng)學(xué)科知識(shí)點(diǎn)、章節(jié)內(nèi)容之間的聯(lián)系。

序列組織亦稱先行組織，指學(xué)習(xí)新知識(shí)之前，給學(xué)習(xí)者提供一個(gè)引導(dǎo)性材料，它比學(xué)習(xí)任務(wù)本身有更高的抽象、概括和綜合水平，并能使學(xué)習(xí)者清晰地辨認(rèn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的觀念和新學(xué)習(xí)任務(wù)的關(guān)聯(lián)。序列組織強(qiáng)調(diào)學(xué)科知識(shí)內(nèi)部的邏輯結(jié)構(gòu)，新學(xué)的知識(shí)被同化后可以作為后續(xù)學(xué)習(xí)的先行組織者，促進(jìn)后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)與同化。為了防止認(rèn)知框架雜亂無序，學(xué)習(xí)任務(wù)的排列需要以學(xué)習(xí)者認(rèn)知功能的發(fā)展水平、固著觀念的可利用性和教材的序列組織為依據(jù)。

鞏固性強(qiáng)調(diào)在學(xué)習(xí)新內(nèi)容之前，要確保學(xué)生對(duì)已授知識(shí)的掌握程度較高。奧蘇伯爾認(rèn)為，清晰穩(wěn)固的認(rèn)知結(jié)構(gòu)能為新知識(shí)的學(xué)習(xí)提供堅(jiān)實(shí)的固著點(diǎn)，是有意義學(xué)習(xí)的先決條件。學(xué)習(xí)者可以通過反復(fù)接觸學(xué)習(xí)材料，經(jīng)歷證明、分析、比較和反饋的過程，來明確新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，構(gòu)成組織完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

前沿論壇（四）實(shí)現(xiàn)遷移的條件

遷移指先前學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)對(duì)當(dāng)前學(xué)習(xí)的影響。與形式訓(xùn)練說、相同要素說、概括說等傳統(tǒng)的遷移理論不同，奧蘇伯爾認(rèn)為，認(rèn)知結(jié)構(gòu)在學(xué)習(xí)遷移中起著決定作用。首先，先前學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)是經(jīng)過若干知識(shí)的學(xué)習(xí)逐步積累而成的。遷移不能理解為某個(gè)知識(shí)點(diǎn)對(duì)當(dāng)前學(xué)習(xí)的影響，而應(yīng)是一組知識(shí)點(diǎn)對(duì)當(dāng)前學(xué)習(xí)的影響。其次，先前經(jīng)驗(yàn)的特征是指認(rèn)知結(jié)構(gòu)的組織特征，如清晰性、穩(wěn)定性等。學(xué)習(xí)課題A得到的最新信息并不是直接同課題B的刺激反應(yīng)成分發(fā)生相互作用，而只是由于它影響原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的有關(guān)特征，從而間接影響新的學(xué)習(xí)。再次，遷移的效果主要不是指提高將一般原理運(yùn)用于特殊事例的能力（下位學(xué)習(xí)的能力），而是指提高上位學(xué)習(xí)和并列學(xué)習(xí)的能力。因此，無論是知識(shí)學(xué)習(xí)還是問題解決，只要認(rèn)知結(jié)構(gòu)影響新的認(rèn)知功能，都存在著遷移。

二、對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示

通過對(duì)認(rèn)知同化理論的簡(jiǎn)單梳理，可以得到幾個(gè)關(guān)鍵詞：有意義學(xué)習(xí)、同化、認(rèn)知結(jié)構(gòu)。這幾個(gè)詞似乎有濃郁的傳統(tǒng)觀念色彩，與當(dāng)下的教育理念有相悖之嫌。其實(shí)，每一種教學(xué)理論的創(chuàng)立及其具有的長(zhǎng)久生命力，都足以說明它們存在的合理性。有意義學(xué)習(xí)與接受學(xué)習(xí)并蒂，這是事實(shí)，但是人類的學(xué)習(xí)不可能離開接受學(xué)習(xí)，而且接受學(xué)習(xí)還是學(xué)校教育的一種主要形式。況且，奧蘇伯爾提出的有意義接受學(xué)習(xí)有別于傳統(tǒng)意義上的接受學(xué)習(xí)，因?yàn)檫@種學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)了同化與順應(yīng)的學(xué)習(xí)機(jī)制。同化事實(shí)上與知識(shí)建構(gòu)的觀念同出一轍，同化與順應(yīng)本質(zhì)上就是個(gè)人對(duì)知識(shí)的建構(gòu)過程，激進(jìn)建構(gòu)主義的觀點(diǎn)與其一脈相承。認(rèn)知結(jié)構(gòu)的概念，無論是對(duì)建構(gòu)主義還是對(duì)情境認(rèn)知理論，都是認(rèn)可的學(xué)習(xí)元素。因此，充分挖掘認(rèn)知同化理論，對(duì)核心素養(yǎng)背景下的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有直接的指導(dǎo)意義。

（一）建構(gòu)有意義學(xué)習(xí)的教學(xué)環(huán)境

1.設(shè)置恰當(dāng)情境，激發(fā)學(xué)習(xí)心向

“積極的學(xué)習(xí)心向”和“有邏輯意義的教材”是有意義學(xué)習(xí)的兩個(gè)先決條件。

要激發(fā)學(xué)生積極的學(xué)習(xí)心向，教學(xué)情境的設(shè)計(jì)十分重要。奧蘇伯爾認(rèn)為，動(dòng)機(jī)與學(xué)習(xí)是雙向影響的，即便學(xué)生缺乏動(dòng)機(jī)，若其滿意初始學(xué)習(xí)的過程，也會(huì)產(chǎn)生極高的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。因此，在課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)，教師可以暫時(shí)不理睬學(xué)生的動(dòng)機(jī)，而關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知，盡可能有效地將他們帶入教學(xué)情境：根據(jù)教學(xué)內(nèi)容創(chuàng)設(shè)有效的問題情境，提供能引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突、質(zhì)疑思考的信息，激發(fā)其好奇心和求知欲。

例如，《勾股定理》一課的導(dǎo)入環(huán)節(jié)，教師創(chuàng)設(shè)了如下情境：2500年前，畢達(dá)哥拉斯在朋友家做客時(shí)，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面中反映出了直角三角形（如圖1）三邊的某種數(shù)量關(guān)系，便很快用畫圖形的方法表示出這種數(shù)量關(guān)系。接下來，教師把這個(gè)問題拋給學(xué)生，讓他們嘗試用數(shù)學(xué)的眼光觀察圖形，在準(zhǔn)備好的紙上畫出與該等腰直角三角形三邊有關(guān)的幾何圖形。

勾股定理是平面幾何中最重要的定理之一，融合了數(shù)形結(jié)合的思想方法。課例中，教師首先引用數(shù)學(xué)史，試圖還原并讓學(xué)生體驗(yàn)畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理的過程。該情境的創(chuàng)設(shè)能有效激發(fā)學(xué)生的好奇心，讓學(xué)生躍躍欲試，挑戰(zhàn)自己能否得出與大數(shù)學(xué)家一樣的結(jié)論。通過操作，可能有的學(xué)生畫出的圖形與教師的要求毫無關(guān)系（如圖2），有的學(xué)生畫出的圖形與勾股定理較為接近（如圖3），有的學(xué)生畫出的圖形與畢達(dá)哥拉斯的畫法完全一致（如圖4）。圍繞學(xué)生的畫法學(xué)習(xí)該圖形與勾股定理的關(guān)系，不僅能增強(qiáng)學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)的動(dòng)力、信心，還能加深學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解與感知。

2.連通知識(shí)序列，促進(jìn)同化順應(yīng)

教材通常都是按照知識(shí)之間的邏輯關(guān)系編排的，教師的任務(wù)是引導(dǎo)學(xué)生把這種邏輯關(guān)系清晰地表達(dá)出來。其中一個(gè)好的做法就是單元設(shè)計(jì)，因?yàn)橹R(shí)的邏輯關(guān)系不是體現(xiàn)在知識(shí)點(diǎn)上，而是體現(xiàn)在知識(shí)群中，單元設(shè)計(jì)可以很好地揭示這種邏輯關(guān)系。喻平.數(shù)學(xué)單元結(jié)構(gòu)教學(xué)的四種模式[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2020（5）：18。

既然同化是先前知識(shí)對(duì)新學(xué)知識(shí)的作用，順應(yīng)是新學(xué)知識(shí)對(duì)原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的改造，那么厘清知識(shí)的生成順序就顯得非常重要，因?yàn)椤白钹徑钡闹R(shí)最利于同化，有序的知識(shí)利于形成結(jié)構(gòu)。

例如，“四邊形”單元的教學(xué)設(shè)計(jì)：

第一步，教師給出一般四邊形的概念，讓學(xué)生舉出現(xiàn)實(shí)生活中四邊形的實(shí)例。

第二步，教師引入“平行”概念，讓學(xué)生思考問題：（1）是否存在兩組對(duì)邊分別平行的四邊形？（2）是否存在只有一組對(duì)邊平行的四邊形？學(xué)生通過畫圖證實(shí)這兩類圖形都存在。于是，教師引導(dǎo)學(xué)生給第一類圖形命名為平行四邊形，第二類圖形命名為梯形。

第三步，教師引入“相等”概念，引導(dǎo)學(xué)生分兩條線探究：（1）是否存在一組鄰邊相等的平行四邊形？（2）是否存在兩條不平行邊相等的梯形？學(xué)生通過畫圖證實(shí)這兩類圖形都存在。于是，教師引導(dǎo)學(xué)生給這兩類圖形分別命名為菱形、等腰梯形。

第四步，教師引入“垂直”概念，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生探究：（1）是否存在一組鄰邊相互垂直的平行四邊形？（2）是否存在一組鄰邊相互垂直的梯形？學(xué)生通過畫圖證實(shí)存在這兩類圖形。于是，教師引導(dǎo)學(xué)生給它們分別命名為矩形、直角梯形。

第五步，教師進(jìn)一步提出問題：（1）是否存在一組鄰邊垂直而且相等的平行四邊形？（2）是否存在一組鄰邊垂直而且相等的梯形？學(xué)生通過畫圖證實(shí)也存在這兩類圖形。于是，教師引導(dǎo)學(xué)生給它們分別命名為正方形、正方梯形。

第六步，教師引導(dǎo)學(xué)生畫出上述概念的體系圖（如圖5），并指出正方梯形的研究意義不大，可以不予考慮。

第七步，教師根據(jù)概念體系圖指出本單元要學(xué)習(xí)的內(nèi)容、要研究的問題：（1）如何從數(shù)學(xué)角度而不是僅用直觀的方法，準(zhǔn)確判定某些圖形是平行四邊形、菱形、矩形、正方形、梯形、等腰梯形、直角梯形？（2）這些特殊的圖形具有什么性質(zhì)？（3）這些圖形的性質(zhì)能夠解決什么數(shù)學(xué)問題？能夠解決哪些現(xiàn)實(shí)生活中的問題？

這樣的設(shè)計(jì)就為本單元的知識(shí)教學(xué)做了鋪墊，有助于學(xué)生在接下來的學(xué)習(xí)中實(shí)現(xiàn)知識(shí)的同化;同時(shí)又為形成知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)而轉(zhuǎn)化為認(rèn)知結(jié)構(gòu)做了準(zhǔn)備，使順應(yīng)得以完成。

（二）制訂完善學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的教學(xué)策略

1.活用先行組織，激活認(rèn)知結(jié)構(gòu)

每堂課在講授新知識(shí)之前，教師通常都會(huì)先引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)舊知識(shí)。其實(shí)，復(fù)習(xí)舊知識(shí)就是一種先行組織。但是，如果只考慮舊知識(shí)，就窄化了先行組織者的概念。先行組織者是教學(xué)之前提供的一組輔助材料，可以把這種材料理解為幾種情形：（1）它比新學(xué)習(xí)的知識(shí)概括性高，即提供一種上位概念，這是奧蘇伯爾提出的先行組織者的原意;（2）它比新學(xué)習(xí)的知識(shí)概括性低，是新知識(shí)的特例，即提供一個(gè)下位概念;（3）它與新學(xué)習(xí)的知識(shí)成并列組合關(guān)系;（4）它與新學(xué)習(xí)的知識(shí)是等價(jià)關(guān)系;（5）它是包含新學(xué)習(xí)知識(shí)的一種情境——現(xiàn)實(shí)情境或科學(xué)情境。

例如，《完全平方公式》一課，教師首先出示圖6，讓學(xué)生根據(jù)圖中的邊長(zhǎng)關(guān)系，抽象出（a+b）（p+q）=ap+aq+bp+bq，分別用圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言描述多項(xiàng)式乘法法則;然后將圖形做特殊化處理，將p變?yōu)閍，將q變?yōu)閎，引導(dǎo)學(xué)生得出完全平方公式。這個(gè)先行組織者就是上述情形（1）。

又如，如果在講授余弦函數(shù)y=cos x時(shí)，由正弦函數(shù)y=sin x引入，那么先行組織者就是上述情形（3）。

2.突出漸進(jìn)分化，擴(kuò)充認(rèn)知結(jié)構(gòu)

漸進(jìn)分化主要是指梳理知識(shí)的縱向邏輯關(guān)系。按照奧蘇伯爾的觀點(diǎn)，概括性、抽象性高的知識(shí)應(yīng)當(dāng)放到前面，然后依次呈現(xiàn)概括性、抽象性遞減的知識(shí)。其實(shí)，一般的數(shù)學(xué)教材中，許多知識(shí)體系都是遵循這個(gè)原則來編排的。例如，高中“函數(shù)”的知識(shí)體系，首先用映射定義函數(shù)概念，介紹函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等一般概念，然后研究具體的函數(shù)：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)等。這是典型的漸進(jìn)分化。教學(xué)中，教師的一項(xiàng)重要工作，就是幫助學(xué)生梳理知識(shí)，并通過一定量的解題練習(xí)將這種外部的知識(shí)體系轉(zhuǎn)化為學(xué)生頭腦中的知識(shí)結(jié)構(gòu)，使學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到不斷的擴(kuò)充。

另一方面，對(duì)問題進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪交蛲茝V，體現(xiàn)知識(shí)之間的縱向聯(lián)系，可以使知識(shí)縱向發(fā)展，擴(kuò)充學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

例如，一個(gè)與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)有關(guān)的線段長(zhǎng)度（關(guān)系）問題及其變式：

原問題線段AB長(zhǎng)為12 cm，P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2 cm/s的速度沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，表示出t（s）后AP與PB的長(zhǎng)度。

變式1在原問題的條件下，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)C，使BC=6 cm。點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B后繼續(xù)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，表示出t（s）后AP與PC的長(zhǎng)度。

變式2在變式1的條件下，將線段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°（如圖7所示），表示出t（s）后AP與PC的長(zhǎng)度。

變式3在變式2的條件下，添加另外兩邊，構(gòu)成長(zhǎng)方形ABCD（如圖8所示）。點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C后繼續(xù)向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過t（s）后，PC怎么表示？點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D后繼續(xù)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過t（s）后，AP怎么表示？t為何值時(shí)，AP=PD？

變式4在變式3的基礎(chǔ)上，添加動(dòng)點(diǎn)Q，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以1 cm/s的速度沿DA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)。P、Q同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，t為何值時(shí)，下列等式成立？

（1）AQ=AP;

（2） AQ-AP=1/4CABCD。

變式5在變式4的情境中，點(diǎn)P、Q持續(xù)運(yùn)動(dòng)，直到點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)。t為何值時(shí)，等式AQ=1/2PC成立？

變式6在變式5的情境中，點(diǎn)P、Q向相反方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P能否追上點(diǎn)Q？如果能，求出t的值;如果不能，說明理由。

3.強(qiáng)調(diào)綜合貫通，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)

通過綜合貫通，可以建立更加穩(wěn)固的外部知識(shí)結(jié)構(gòu)，從而使學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到完善。對(duì)于知識(shí)之間的橫向聯(lián)系，很多情形在教材中不是以顯性的形式表述的，需要教師去挖掘。例如，圖5所示的“四邊形”知識(shí)體系展示了知識(shí)之間的縱向聯(lián)系，教師可以進(jìn)一步挖掘知識(shí)之間的橫向聯(lián)系：平行四邊形與梯形之間可以用中位線定理聯(lián)系;菱形與矩形有共同的性質(zhì)——中心對(duì)稱圖形;矩形與等腰梯形有共同性質(zhì)——對(duì)角線相等;等等。

綜合貫通不僅表現(xiàn)為搭建一個(gè)章節(jié)、一個(gè)單元知識(shí)之間縱向和橫向的聯(lián)系，還表現(xiàn)在建立不同章節(jié)或不同單元知識(shí)之間的聯(lián)系。其中，通過數(shù)學(xué)思想方法打通知識(shí)之間的關(guān)系，是一條有效的途徑。事實(shí)上，這也就是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中十分強(qiáng)調(diào)的“通性”“通法”。

例如，可以用函數(shù)思想方法解決下列問題，從而串聯(lián)有關(guān)知識(shí)。

問題1解方程3x+4x=5x。

顯然方程有一個(gè)根x=2，但它是否還有其他根呢？將方程變形為35x+45x=1。引入函數(shù)f（x）=35x+45x，由于35x、45x是單調(diào)遞減函數(shù)，則f（x）也是單調(diào)遞減函數(shù)。易知x>2時(shí)，f（x）<1;x<2時(shí)，f（x）>1，所以方程僅有一個(gè)根x=2。

問題2已知e是自然對(duì)數(shù)的底，a、b為實(shí)數(shù)，且e<a<b，求證：ab>ba。

看到e，想到自然對(duì)數(shù)。要證明結(jié)論，就是要證明bln a>aln b，即要證明ln aa>ln bb。為此，構(gòu)造函數(shù)f（x）=ln xx，只需證明f（x）在[e，+∞）內(nèi)為減函數(shù)即可。求導(dǎo)，得f′（x）=1-ln xx2，因?yàn)閤>e，所以lnx>1，故f′（x）<0，即f（x）在[e，+∞）內(nèi)為減函數(shù)。

問題3求證：2C2n+2·3C3n+…+（n-1）nCnn=n（n-1）2n-2。

這是一個(gè)組合恒等式。聯(lián)想到二項(xiàng)展開式，可以構(gòu)造輔助函數(shù)f（x）=（1+x）n=C0n+C1nx+C2nx2+…+Cnnxn。求二階導(dǎo)數(shù)，得f″（x）=（n-1）n（1+x）n-2=1·2C2n+2·3C3nx+…+（n-1）nCnnxn-2。在上式中，令x=1，即得所要證明的恒等式。

在此例中，問題1建立了函數(shù)與方程的聯(lián)系，問題2建立了函數(shù)與不等式的聯(lián)系，問題3建立了函數(shù)與組合知識(shí)的聯(lián)系。

4.提倡遷移訓(xùn)練，穩(wěn)固認(rèn)知結(jié)構(gòu)

奧蘇伯爾認(rèn)為，優(yōu)良的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移的必要條件。反過來說，通過遷移訓(xùn)練，又能形成更加穩(wěn)固、清晰的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。用行為主義的觀點(diǎn)看，這是一種強(qiáng)化。通過強(qiáng)化，才能建立刺激與反應(yīng)之間穩(wěn)固的聯(lián)系。

關(guān)于遷移訓(xùn)練，張姝華等提出了一些策略，如模式識(shí)別的合理訓(xùn)練、源問題的恰當(dāng)設(shè)計(jì)、靶問題的變式訓(xùn)練等。張姝華，喻平.問題解決中遷移的心理學(xué)研究及其對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示[J].教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2019（9）：2632。這里，我們特別強(qiáng)調(diào)通過遷移訓(xùn)練，達(dá)到鞏固認(rèn)知結(jié)構(gòu)的目標(biāo)。其中一條有效的途徑就是解題后的反思，特別是反思能否采用多種路徑解決問題。因?yàn)椴捎枚喾N路徑解決問題，涉及的知識(shí)和方法自然會(huì)更多，需要解題者在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中激活、提取多種知識(shí)和方法。這就是一個(gè)鞏固認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。

例如，對(duì)于題目“已知|a|<1，|b|<1，求證：a+b1+ab<1”，羅增儒先生提出從知識(shí)鏈上展開、從轉(zhuǎn)化鏈上聯(lián)想、從數(shù)形結(jié)合上溝通等思路，從面積、方程、三角函數(shù)等方面思考，得到十幾種解法，最后還對(duì)問題做了推廣。羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社，1997：192200。這里列舉幾種解法：

（1）a+b1+ab<1a+b1+ab2<1……（在知識(shí)鏈上展開，與不等式性質(zhì)建立聯(lián)系）;

（2）|x|<1x在-1和1之間存在λ>0，使得x=1-λ1+λ函數(shù)f（x）=1-x1+x的性質(zhì)……（在轉(zhuǎn)化鏈上聯(lián)想，與函數(shù)建立聯(lián)系）;

（3）在平面直角坐標(biāo)系上取點(diǎn)A（1，a）、B（1，-b）、M（1-b，1-b）（a>0、b>0時(shí)的示意圖如圖9所示，其他情況可逐一討論），有|a+b|2=S△AOB<S△AOB+S△AOM=a+b2+（1-b）（1-a）2=1+ab2（在數(shù)形結(jié)合上溝通，與解析幾何建立聯(lián)系）。