劉玉娟 黃曉菲 宋瑩 劉顏達(dá) 朱楊 徐洋 仲志成

摘? 要? 利用MATLAB GUI軟件設(shè)計(jì)物理光學(xué)仿真實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，建立兩種孔徑的楊氏干涉現(xiàn)象、五種孔徑的夫瑯禾費(fèi)衍射現(xiàn)象以及菲涅爾衍射現(xiàn)象的模擬算法，通過設(shè)置各個(gè)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的參數(shù)模擬相應(yīng)的圖樣及光強(qiáng)分布圖，具有模擬結(jié)果可保存、圖形縮放和數(shù)據(jù)游標(biāo)等功能。利用該實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的物理光學(xué)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象模擬，可以靈活設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)參數(shù)和結(jié)構(gòu)，加深學(xué)生對(duì)物理光學(xué)實(shí)際系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)和實(shí)際實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)的理解，提升學(xué)生的工程實(shí)踐能力。

關(guān)鍵詞? MATLAB GUI；物理光學(xué)；夫瑯禾費(fèi)衍射；菲涅爾衍射；仿真實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

中圖分類號(hào)：G642.423? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

文章編號(hào)：1671-489X（2022）09-0139-05

0? 引言

物理光學(xué)是工程光學(xué)的重要組成部分，涉及基本概念、基本理論和實(shí)際解決工程光學(xué)問題等諸方面，其綜合性、靈活性和實(shí)踐性很強(qiáng)。物理光學(xué)部分相對(duì)抽象，實(shí)驗(yàn)所需干涉儀等設(shè)備價(jià)格昂貴，傳統(tǒng)的物理光學(xué)實(shí)驗(yàn)受教學(xué)內(nèi)容、實(shí)驗(yàn)儀器以及安全性等方面的限制，無法在教學(xué)中開展與實(shí)施，影響了教學(xué)質(zhì)量。基于仿真平臺(tái)的實(shí)驗(yàn)?zāi)芨纳苽鹘y(tǒng)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的不足，與實(shí)際實(shí)驗(yàn)有機(jī)結(jié)合，可以有效地增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，結(jié)合實(shí)際實(shí)驗(yàn)靈活設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)參數(shù)和結(jié)構(gòu)，豐富學(xué)生對(duì)物理光學(xué)實(shí)際系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，提升學(xué)生的工程實(shí)踐能力。

基于MATLAB GUI可以有效實(shí)現(xiàn)物理光學(xué)實(shí)驗(yàn)仿真，具有效率高、參數(shù)靈活可變、實(shí)驗(yàn)結(jié)果直觀等優(yōu)點(diǎn)。近年來，針對(duì)物理光學(xué)實(shí)驗(yàn)仿真平臺(tái)的研究也越來越多[1-8]，但是在可仿真實(shí)驗(yàn)類型的選擇、實(shí)驗(yàn)結(jié)果的保存等方面存在不足。鑒于此，本文采用MATLAB GUI進(jìn)行物理光學(xué)仿真實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的設(shè)計(jì)，主要研究的是物理光學(xué)中光的干涉現(xiàn)象、光的衍射現(xiàn)象的模擬，通過設(shè)計(jì)GUI界面，可以直接在界面上輸入?yún)?shù)，操作方便，直觀對(duì)比不同情況下實(shí)驗(yàn)結(jié)果，有效解決教學(xué)過程中物理光學(xué)現(xiàn)象觀察與實(shí)驗(yàn)仿真設(shè)計(jì)方面的問題。

1? 物理光學(xué)基礎(chǔ)

1.1? 光的干涉

在介質(zhì)中傳播的兩列或者多列光波在傳播過程中相遇會(huì)發(fā)生光的疊加現(xiàn)象，在疊加區(qū)域光強(qiáng)分布形成穩(wěn)定強(qiáng)弱分布的物理現(xiàn)象即光的干涉。若兩列振動(dòng)方向夾角為α的單色光波和在P點(diǎn)相遇，兩列光波方程如公式（1）和公式（2）所示[9]：

P點(diǎn)光振動(dòng)的合成矢量如公式（3）所示，合成光強(qiáng)I如公式（4）和公式（5）所示：

式中，和分別是兩列光波單獨(dú)在P點(diǎn)處的光強(qiáng)。

楊氏雙縫干涉原理如圖1所示，光源發(fā)出的光經(jīng)過狹縫S后入射至同一平面上的狹縫S1和S2，S1和S2之間的距離為d，且S1和S2與S的距離相等，距離雙縫所在平面為D的觀察屏上有某點(diǎn)P，S1、S2到P點(diǎn)的距離分別為r1、r2，P點(diǎn)到雙縫對(duì)稱軸的距離為x。

根據(jù)疊加原理，在d?D以及觀察點(diǎn)坐標(biāo)x，y?D的前提下，假設(shè)I0=I1=I2，可得觀察屏上P點(diǎn)的光強(qiáng)I如公式（6）所示[9]：

式中I0為光在通過S1和S2后所發(fā)出的兩列光波分別在觀察屏P點(diǎn)處的光強(qiáng)。

楊氏雙孔干涉是指楊氏雙縫干涉裝置中光源為點(diǎn)光源，狹縫S形狀變換為圓形小孔，狹縫S1和S2的位置不變，形狀變換為兩個(gè)大小完全相等的圓形小孔，根據(jù)光的干涉原理，同時(shí)考慮到兩列波傳播到觀察點(diǎn)處的振動(dòng)幅度變化，觀察點(diǎn)P處的光強(qiáng)Ip如公式（7）所示[9]：

式中波矢量k=2π/λ，E0為S1、S2兩孔處的振幅，r1、r2分別為S1、S2與P點(diǎn)之間的距離。

1.2? 光的衍射

光波在傳播過程中遇到障礙物時(shí)會(huì)發(fā)生衍射現(xiàn)象。按照光源、衍射屏和觀察屏三者之間距離的大小，分為菲涅爾衍射、夫瑯禾費(fèi)衍射。當(dāng)光源與觀察屏都在離衍射屏無限遠(yuǎn)處時(shí)為夫瑯禾費(fèi)衍射。當(dāng)光源和觀察屏或二者之一到衍射屏的距離都比較小時(shí)為菲涅爾衍射。

1.2.1? 夫瑯禾費(fèi)衍射? 夫瑯禾費(fèi)單縫衍射原理如圖2所示，光源S發(fā)出的光經(jīng)準(zhǔn)直鏡L1準(zhǔn)直后平行入射至寬度為b的狹縫處，發(fā)生衍射現(xiàn)象，衍射角為θ，衍射光線經(jīng)成像鏡聚焦后成像于觀察屏上P點(diǎn)。

觀察點(diǎn)P處的振幅Ap如公式（8）所示[10]：

其中A0為狹縫衍射光線在衍射角為零的方向上的總振幅。令u=（8πbsinθ）/λ，根據(jù)三角函數(shù)變換可得P點(diǎn)的光強(qiáng)Ip如公式（9）所示：

Ip=I0sinc2u? ? ? ? ? ? （9）

將圖2所示夫瑯禾費(fèi)單縫衍射裝置中的狹縫變?yōu)榘霃綖镽圓孔即為夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射，其原理圖如圖3所示。

圓孔衍射在觀察點(diǎn)P處光強(qiáng)如公式（10）所示[10]：

式中，m=（πRsinθ）/λ。用一階貝塞爾函數(shù)表

示公式（10），可得IP如公式（11）所示[10]：

如果將圓孔衍射中的圓孔改為矩形孔，即可在觀察屏上得到矩孔衍射圖樣。矩孔衍射在觀察點(diǎn)P處的光強(qiáng)Ip如公式（12）所示[10]：

Ip=I0sinc2α×sinc2β? ? ? （12）

式中，α=（πasinθx）/λ，β=（πbsinθy）/λ，a為矩孔沿x方向的寬度，b為矩孔沿y方向的寬度，θx是相對(duì)于P點(diǎn)x坐標(biāo)的衍射角，θy是相對(duì)于P點(diǎn)y坐標(biāo)的衍射角。

1.2.2? 菲涅爾衍射? 菲涅爾矩孔衍射的原理圖如圖4所示，從點(diǎn)光源S發(fā)出的波長(zhǎng)λ的光被距離p0處尺寸為a×b的矩形孔衍射，在距離q0的屏幕上觀察到衍射圖樣。觀察點(diǎn)P處的光強(qiáng)Ip如公式（13）所示[11]：

式中，

和分別為菲涅爾余弦、正弦積分公式。

當(dāng)衍射屏上為一沿y0軸方向的單縫時(shí)，即b→∞，觀察點(diǎn)P處的光強(qiáng)Ip分布如公式（14）所示[11]：

當(dāng)衍射屏上為雙縫時(shí)，設(shè)兩縫寬度均為a，兩縫間距為c，觀察點(diǎn)P處的光強(qiáng)Ip如公式（15）

所示[11]：

式中：

當(dāng)衍射屏上為多縫時(shí)，觀察點(diǎn)P處的光強(qiáng)Ip如公式（16）所示[12-13]：

式中，，α2k對(duì)應(yīng)的x0為各縫位于x軸上的較大坐標(biāo)值，α2k-1對(duì)應(yīng)的x0為各縫位于x軸上的較小坐標(biāo)值。

如果在觀察矩孔衍射的裝置中，衍射屏上為圓孔，觀察屏上即為圓孔衍射圖樣，其原理圖如圖5所示。觀察點(diǎn)P處的光波振動(dòng)復(fù)振幅如公式（17）所示，光強(qiáng)Ip如公式（18）所示[13]：

式中：A=D12+ρ2，B=（ρcosφ-x′）2，C=（ρsinφ-y′）2+

D22，ρ的積分范圍為0～R，φ的積分范圍為0～2π。

2? GUI仿真平臺(tái)界面設(shè)計(jì)

利用MATLAB GUI進(jìn)行物理光學(xué)仿真實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的設(shè)計(jì)，需要根據(jù)物理光學(xué)相關(guān)的理論公式編寫不同的函數(shù)，學(xué)生通過單選按鈕和文本框分別進(jìn)行實(shí)驗(yàn)類型選擇和參數(shù)的輸入。該平臺(tái)設(shè)置保存功能，學(xué)生可以自行選擇數(shù)據(jù)及圖片的保存路徑，同時(shí)設(shè)置圖形縮放、數(shù)據(jù)游標(biāo)功能，方便學(xué)生觀察圖樣中的細(xì)節(jié)。物理光學(xué)仿真實(shí)驗(yàn)平臺(tái)主界面如圖6所示，光的干涉現(xiàn)象模擬實(shí)驗(yàn)界面如圖7所示，光的衍射現(xiàn)象模擬實(shí)驗(yàn)界面如圖8所示。

3? 模擬實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果

物理光學(xué)模擬實(shí)驗(yàn)在界面選擇干涉或衍射現(xiàn)象模擬實(shí)驗(yàn)，隨后可進(jìn)行界面中所列類型的模擬仿真實(shí)驗(yàn)。干涉部分以波長(zhǎng)λ為632.8 nm，干涉孔到觀察屏距離D為1 m，雙縫間距d為0.02 mm的楊氏雙縫干涉為例，仿真結(jié)果如圖9所示。

可見屏幕兩側(cè)相鄰亮條紋或暗條紋之間的間距與中間部分并不相等，通常所說的相鄰兩個(gè)亮條紋或暗條紋間的距離為條紋間距，如公式（19）所示：

公式（19）是在衍射孔到觀察屏的距離遠(yuǎn)大于觀測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)的前提下得到的，本實(shí)驗(yàn)結(jié)果觀察屏范圍取得較大，所以可以看到中間區(qū)域滿足上述規(guī)律，但兩側(cè)亮條紋或暗條紋間距與中間不相等的現(xiàn)象。

衍射部分分別以夫瑯禾費(fèi)單縫衍射、平行光入射菲涅爾矩孔衍射以及點(diǎn)光源入射菲涅爾圓孔衍射為例進(jìn)行演示。夫瑯禾費(fèi)單縫衍射設(shè)置波長(zhǎng)λ為632.8 nm，焦距f為1 000 mm，縫寬b為1 mm，仿真結(jié)果如圖10所示。

根據(jù)夫瑯禾費(fèi)單縫衍射光強(qiáng)公式[10]，單縫衍射中央為光強(qiáng)最大值的位置，第一級(jí)暗條紋對(duì)應(yīng)的衍射角正弦值為λ/b，本例中應(yīng)為±632.8×10-6 m，與仿真圖樣基本相符。

平行光入射菲涅爾矩孔衍射設(shè)置波長(zhǎng)λ為1 264 nm，衍射屏到觀察屏距離q0為400 mm，矩孔長(zhǎng)、寬a、b均為2 mm，仿真結(jié)果如圖11所示。

菲涅爾衍射相關(guān)定量計(jì)算較為復(fù)雜，將圖中運(yùn)行結(jié)果與Kazi Monowar Abedin等人[13]的研究成果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果相符。

點(diǎn)光源入射菲涅爾圓孔衍射設(shè)置波長(zhǎng)λ為500 nm，光源到衍射孔距離p0為500 mm，衍射屏到觀察屏距離q0為500 mm，圓孔半徑R為0.5 mm，仿真結(jié)果如圖12所示。

菲涅爾圓孔衍射實(shí)驗(yàn)可用半波帶法分析軸上點(diǎn)光強(qiáng)，帶數(shù)如公式（20）所示[10]：當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的合振幅較大；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的合振幅較??；若k不是整數(shù)，振幅介于最大值與最小值之間。在本模擬實(shí)驗(yàn)采用的參數(shù)前提下，對(duì)應(yīng)的k為2，軸上點(diǎn)即衍射圖樣中心應(yīng)為最小值，仿真結(jié)果與理論相符。

4? 結(jié)論

本文利用MATLAB GUI設(shè)計(jì)了一種物理光學(xué)仿真實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，建立了兩種孔徑的楊氏干涉現(xiàn)象、夫瑯禾費(fèi)衍射現(xiàn)象以及五種孔徑的菲涅爾衍射現(xiàn)象的模擬算法，學(xué)生可以通過設(shè)置各個(gè)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的參數(shù)觀察相應(yīng)的圖樣及光強(qiáng)分布圖，且設(shè)置結(jié)果保存、圖形縮放和數(shù)據(jù)游標(biāo)功能，便于學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)記錄以及不同條件下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比分析。學(xué)生可以在該實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上進(jìn)行物理光學(xué)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象模擬演示，并結(jié)合實(shí)際實(shí)驗(yàn)靈活設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)參數(shù)和結(jié)構(gòu)，加深對(duì)物理光學(xué)實(shí)際系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)和實(shí)際實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)的理解，提升工程實(shí)踐能力。

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*項(xiàng)目來源：吉林大學(xué)本科教學(xué)改革研究項(xiàng)目“基于MATLAB的工程光學(xué)仿真實(shí)驗(yàn)平臺(tái)開發(fā)”（項(xiàng)目號(hào)：2019XZC057。

經(jīng)費(fèi)來源：吉林大學(xué)）；吉林省自然科學(xué)基金項(xiàng)目“基于單頻激光干涉技術(shù)的球面同心光學(xué)成像光譜系統(tǒng)同心度標(biāo)定方法研究”（項(xiàng)目號(hào)：20200201205JC。經(jīng)費(fèi)來源：吉林省科技廳）。

作者：劉玉娟，吉林大學(xué)地球信息探測(cè)儀器教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，吉林大學(xué)儀器科學(xué)與電氣工程學(xué)院，博士，研究方向?yàn)楣庾V儀器開發(fā)；黃曉菲，吉林大學(xué)地球信息探測(cè)儀器教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室；宋瑩，通信作者，吉林大學(xué)地球信息探測(cè)儀器教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，吉林大學(xué)儀器科學(xué)與電氣工程學(xué)院；劉顏達(dá)、朱楊、徐洋、仲志成，吉林大學(xué)地球信息探測(cè)儀器教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，吉林大學(xué)儀器科學(xué)與電氣工程學(xué)院（130061）。