蔡少毅

王平華（福建省泉州師范學(xué)院數(shù)計學(xué)院競賽數(shù)學(xué)研究中心362000）

【摘要】探討鐘表上時針和分針關(guān)于整點的對稱問題，對原有時針和分針的夾角公式作進(jìn)一步拓展，推導(dǎo)出的對稱問題的求解公式并舉例應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】時針;分針;夾角;對稱

公務(wù)員考試的行測試題中經(jīng)常出現(xiàn)關(guān)于鐘表的問題，例如：“當(dāng)5點剛過多少分時，時針和分針離“5”的距離相等，并且在“5”的兩邊？”（下稱例1），等等.這就是鐘表上時針和分針的“對稱”問題.本文借助時針和分針的夾角公式，作進(jìn)一步拓展，得出用于解決鐘面問題中的時針和分針對稱的一般的求解公式，并舉例應(yīng)用.

在鐘表上，時針與分針是同時作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動.每小時時針轉(zhuǎn)過30°，同時分針轉(zhuǎn)過360°，時針與分針的轉(zhuǎn)速比為1：12.本文中把時間的h點m分記為h：m，并且當(dāng)m≥60時，h：m=（h+1）：（m-60）;

當(dāng)m<0時，h：m=（h-1）：（m+60）.

首先介紹夾角公式.

公式1設(shè)時間h：m時，分針相對于時針的夾角為θ°，則

事實上，如果定義了夾角的方向，即按順時針方向旋轉(zhuǎn)時針位于分針前面時，該關(guān)系式可改寫為

60h-5.5m=θ，②

30h-5.5m=m.③

把h=5代入式③得

1關(guān)于水平線對稱

例2早晨7點到晚上7點的12個小時內(nèi).

①鐘面上時針與分針第一次關(guān)于水平線（“3”與“9”的連線）對稱是幾點幾分？

②時針與分針有幾次關(guān)于水平線對稱？

解從9點到7點，即時針倒退2小時，相應(yīng)分針增加120分鐘，把式③改寫為

30（h-2）-5.5m+120=m，④

并把h=9代入式④得

依照上述方法，本文可依次倒退若干小時（0小時至12小時），得到13個關(guān)于與水平線相應(yīng)的對稱時間.

2對稱公式

受上面的例子和公式的啟發(fā)，本文進(jìn)一步探討時針和分針關(guān)于整點對稱問題，給出求解公式.

公式2設(shè)時針和分針關(guān)于整點刻度線l（l=0，1，2，…，11）對稱，則分m和時h有關(guān)系式：

時旋轉(zhuǎn)至為兩針關(guān)于l為對稱位置時的時間是h：m.下面分別討論分針與時針的相對位置兩種情況：

由于時針和分針旋轉(zhuǎn)的速度比為1：12，則

[30×（l-h）-θ]°+30l°.

例1的解：把h=5，l=5代入式⑤得

例2的解：①把l=9，h=7代入公式②，得

②把l=3，h=0，1，2，3，…，12.這13個數(shù)依次代入公式②，得到13次水平對稱依次為：

例3有一天課間休息時，小明看了一下墻上的掛鐘，時間是9點多，他發(fā)現(xiàn)時針和分針正好處在關(guān)于鉛垂線對稱位置，則此時是9點________分.（要精確值）.

由于6點和12（0）點都在鉛垂線上，所以可求關(guān)于l=12（0）或求關(guān)于l=6的對稱.

解①把l=12，h=8代入式（7）

②把l=0，h=10代入式（7）

③把l=6，h=9代入式（7）