摘要：本文對(duì)一道直線過(guò)定點(diǎn)的質(zhì)檢試題進(jìn)行推廣，并將相關(guān)結(jié)論引申到橢圓和拋物線中.

關(guān)鍵詞：直線;定點(diǎn);中點(diǎn);垂直;斜率

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）16-0011-03

1 試題呈現(xiàn)

題目（2021年8月廣東省新高三階段性質(zhì)檢）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到點(diǎn)

F2，0的距離與它到直線x=32的距離之比為233.記點(diǎn)P的軌跡為曲線C.

（1）求曲線C的方程;

（2）過(guò)點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線l1，l2，l1交曲線C于A，B兩點(diǎn)，l2交曲線C于S，T兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，線段ST的中點(diǎn)為N.證明：直線MN過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

答案（1）x23-y2=1;

（2）直線MN過(guò)定點(diǎn)3，0.

2 結(jié)論推廣

試題中點(diǎn)F為雙曲線的右焦點(diǎn)，對(duì)第（2）問(wèn)進(jìn)行一般化推廣得到：

命題1設(shè)Fc，0為雙曲線x2a2-y2b2=1a>0，b>0的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線l1，l2.若l1交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，l2交雙曲線于S，T兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，線段ST的中點(diǎn)為N，則當(dāng)a=b時(shí)，直線MN的斜率為0，當(dāng)a≠b時(shí)，直線MN過(guò)定點(diǎn)a2ca2-b2，0.

將右焦點(diǎn)變?yōu)閤軸上異于坐標(biāo)原點(diǎn)的一點(diǎn)，則命題1進(jìn)一步推廣為：

命題2已知點(diǎn)Et，0t≠0與雙曲線x2a2-y2b2=1a>0，b>0，過(guò)點(diǎn)E作兩條互相垂直的直線l1，l2.若l1交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，l2交雙曲線于S，T兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，線段ST的中點(diǎn)為N，則當(dāng)a=b時(shí)，直線MN的斜率為0，當(dāng)a≠b時(shí)，直線MN過(guò)定點(diǎn)a2ta2-b2，0.

當(dāng)直線l1，l2的斜率都存在時(shí)，將垂直關(guān)系變?yōu)樾甭手e為定值λ，則命題2再推廣為：

命題3已知點(diǎn)Et，0t≠0與雙曲線x2a2-y2b2=1a>0，b>0，過(guò)點(diǎn)E作兩條斜率之積為λ的直線l1，l2.若l1交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，l2交雙曲線于S，T兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，線段ST的中點(diǎn)為N，則當(dāng)λ=-b2a2時(shí)，直線MN的斜率為0，當(dāng)

λ≠-b2a2時(shí)，直線MN過(guò)定點(diǎn)a2tλa2λ+b2，0.

當(dāng)直線l1或l2的斜率不存在時(shí)，易知命題2成立，當(dāng)直線l1，l2的斜率都存在時(shí)，命題3更具一般性，故只證命題3.

證明（1）若λ≠0，設(shè)直線l1的方程為

y=kx-t，

則直線l2的方程為y=λkx-t.

聯(lián)立直線l1與雙曲線的方程，消去y得

b2-a2k2x2+2a2tk2x-a2b2+t2k2=0.

則b2-a2k2≠0，Δ>0，且

xM=xA+xB2=a2tk2a2k2-b2，

yM=kxM-t=b2tka2k2-b2.

同理可得xN=a2tλ2a2λ2-b2k2，

yN=b2tλka2λ2-b2k2.

易知λ≠k2.

當(dāng)λ=-b2a2時(shí)，xMxN<0，yM=yN，

故直線MN的斜率為0.

當(dāng)λ≠-b2a2時(shí)，

①若λ≠-k2，則

kMN=b2tka2k2-b2-b2tλka2λ2-b2k2a2tk2a2k2-b2-a2tλ2a2λ2-b2k2

=a2b2λkλ-k2+b4kλ-k2a2b2λ2-k4

=ka2λ+b2a2λ+k2，

故直線MN的方程為

y-b2tka2k2-b2=ka2λ+b2a2λ+k2x-a2tk2a2k2-b2.

即y=ka2λ+b2a2λ+k2x-a2tλa2λ+b2.

此時(shí)直線MN過(guò)定點(diǎn)a2tλa2λ+b2，0.

②若λ=-k2，則

xM=xN=a2tλa2λ+b2，yMyN<0.

故直線MN的方程為

x=a2tλa2λ+b2.

此時(shí)直線MN也過(guò)點(diǎn)a2tλa2λ+b2，0.

（2）若λ=0，則直線l1，l2中有一條斜率為0，另一條斜率不為0，即M，N兩點(diǎn)中其中一個(gè)坐標(biāo)為0，0，此時(shí)直線MN過(guò)定點(diǎn)0，0，顯然命題成立.

綜上，命題得證.

3 類比引申

受文＼[1＼]＼[2＼]啟發(fā)，筆者將命題2和命題3引申到了橢圓和拋物線中.

命題4已知點(diǎn)Et，0t≠0與橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0，過(guò)點(diǎn)E作兩條互相垂直的直線l1，l2.若l1交橢圓于A，B兩點(diǎn)，l2交橢圓于S，T兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，線段ST的中點(diǎn)為N，則直線MN過(guò)定點(diǎn)a2ta2+b2，0.

命題5已知點(diǎn)Et，0t≠0與橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0，過(guò)點(diǎn)E作兩條斜率之積為λ的直線l1，l2.若l1交橢圓于A，B兩點(diǎn)，l2交橢圓于S，T兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，線段ST的中點(diǎn)為N，則當(dāng)λ=b2a2時(shí)，直線MN的斜率為0，當(dāng)λ≠b2a2時(shí)，直線MN過(guò)定點(diǎn)a2tλa2λ-b2，0.

命題4、命題5的證明方法分別同命題2、命題3，略.

命題6已知點(diǎn)Et，0與拋物線y2=2pxp>0，過(guò)點(diǎn)E作兩條斜率之積為λ的直線l1，l2.若l1交拋物線于A，B兩點(diǎn)，l2交拋物線于S，T兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，線段ST的中點(diǎn)為N，則直線MN過(guò)定點(diǎn)t-pλ，0.

證明顯然λ≠0，設(shè)直線l1的方程為

y=kx-t，

則直線l2的方程為y=λkx-t.

聯(lián)立直線l1與拋物線的方程，消去y得

k2x2-2tk2+px+t2k2=0.

則Δ>0，且

xM=xA+xB2=t+pk2，

yM=kxM-t=pk.

同理可得

xN=t+pk2λ2，yN=pkλ.

易知λ≠k2.

若λ≠-k2，則

kMN=pk-pkλt+pk2-t+pk2λ2=λkλ-k2λ2-k4

=λkλ+k2.

故直線MN的方程為

y-pk=λkλ+k2x-t-pk2.

即y=λkλ+k2x-t+pλ.

此時(shí)直線MN過(guò)定點(diǎn)t-pλ，0.

若λ=-k2，則

xM=xN=t-pλ，yMyN<0.

故直線MN的方程為

x=t-pλ.

此時(shí)直線MN也過(guò)點(diǎn)t-pλ，0.

綜上，命題得證.

參考文獻(xiàn)：

[1] 高繼浩.一道武漢市質(zhì)檢試題的探究與變式＼[J＼].數(shù)學(xué)通訊，2021（15）：32-33.

[2] 高繼浩.一道雙曲線題的探究＼[J＼].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2021（07）：33-34.

[責(zé)任編輯：李璟]