劉旭光 馮心怡 張雅男

(南京信息工程大學(xué)，江蘇 南京 210044)

引體向上是克服自身重量的一種力量練習(xí)方法和能力，其鍛煉價(jià)值高，通過練習(xí)，能夠增強(qiáng)人的上肢肌肉力量、懸垂和攀爬能力，在生活中有很高的實(shí)用價(jià)值[1]。它是衡量男性上肢力量素質(zhì)的重要參考標(biāo)準(zhǔn)，因此一直作為中學(xué)和大學(xué)男生的測試項(xiàng)目之一。引體向上的動(dòng)作發(fā)力主要是依靠胸大肌、背闊肌和肱二頭肌(包括肱肌和肱橈肌)的肌肉力量。長期練習(xí)引體向上，不僅可以通過鍛煉胸大肌、背闊肌和肱二頭肌來擁有健美的體型，且在控制體重、矯正因久坐而引起的各種脊柱問題和提高心肺功能等方面也具有一定的幫助[2]。

但在實(shí)際的體育教學(xué)中，由于學(xué)生體態(tài)、力量等諸多因素，引體向上一直是我國中學(xué)與大學(xué)男生最為薄弱的項(xiàng)目，許多學(xué)生甚至無法獨(dú)立完成引體練習(xí)。表1是2020年和2021年江蘇省南京籍大學(xué)一年級新生引體向上成績[3]，表2是廣西某高校2019年體質(zhì)測試抽測的引體向上成績[4]。表3列出我國高校男生引體向上的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。從上述列舉的數(shù)據(jù)可知，我國男生引體向上成績普遍較弱，無法達(dá)到基本要求。對此，專家學(xué)者給出了許多有助于提高引體向上成績的技巧與方法。如：江玉芬在《有效提高高中男生引體向上成績的方法研究》[5]一文中，提出可通過大小臂多角度懸垂、彈力帶下拉、單杠劃船等輔助動(dòng)作來體會(huì)發(fā)力從而幫助引體向上的練習(xí);馮鵬在《“引體向上”的學(xué)練方法探討》[6]中提出通過針對性的輔助訓(xùn)練來逐漸提升上肢及肩帶力量，并制定了訓(xùn)練方法，幫助學(xué)生從易到難、循序漸進(jìn)來增強(qiáng)上肢肌肉群力量，從而提高引體向上成績。

表1 2020、2021 年江蘇省南京籍大學(xué)一年級新生引體向上等級情況統(tǒng)計(jì)表

表2 廣西某高校男生體質(zhì)測試抽測引體向上成績

表3 國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)(大學(xué)男生引體向上)

此類文章一般是由從事多年體育教學(xué)的工作者，根據(jù)其教學(xué)經(jīng)驗(yàn)提出訓(xùn)練方案。他們嘗試改變傳統(tǒng)的訓(xùn)練方法，提倡通過循序漸進(jìn)并兼顧多樣性和趣味性的方式來幫助學(xué)生提高引體向上成績。該方法具有一定的實(shí)踐意義，但是往往是以說教的形式闡述，憑借經(jīng)驗(yàn)總結(jié)給出方法，缺乏理論證明，沒有科學(xué)依據(jù)[7]。筆者查閱文獻(xiàn)，發(fā)現(xiàn)很多運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的研究，已與現(xiàn)代化技術(shù)相結(jié)合，從而得出更為科學(xué)的結(jié)論來指導(dǎo)和改進(jìn)運(yùn)動(dòng)方案。因此，筆者與物理專業(yè)學(xué)生組成團(tuán)隊(duì)，從生物力學(xué)模型出發(fā)，研究引體向上過程中的肌肉發(fā)力做功、發(fā)力變化和肌肉“沖量”等情況，并且通過數(shù)值求解矩陣進(jìn)行優(yōu)化，最后利用Adam算法給出引體向上過程中的最優(yōu)策略，從科學(xué)的角度為學(xué)生在練習(xí)引體向上的實(shí)踐中提供一些參考。

1 研究對象與方法

1.1 研究對象

本研究以大學(xué)生引體向上練習(xí)的優(yōu)化模型構(gòu)建為研究對象，以某大學(xué)一年級新生為實(shí)驗(yàn)對象，根據(jù)實(shí)測數(shù)據(jù)建模計(jì)算，分析計(jì)算結(jié)果，得到最優(yōu)策略。被測試者體重為70kg，身高為1.75 m，測試期間，平均可做引體向上個(gè)數(shù)為5個(gè)。

1.2 研究方法

1.2.1 牛頓定律

牛頓第一定律：任何物體(質(zhì)點(diǎn))如果沒有受到其他物體的作用，都將保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，即：物體如果不受其他物體的作用，它的速度將保持不變。

牛頓第二定律：當(dāng)某一物體(質(zhì)點(diǎn))受到外力作用時(shí)，該物體所獲得的加速度和外力成正比，和物體本身的質(zhì)量成反比，加速度方向和外力的方向一致。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(1)

1.2.2 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理：

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量為

(2)

則其動(dòng)量定理為：

(3)

質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：

質(zhì)心，即質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量中心，它是質(zhì)點(diǎn)系中恒存在的一個(gè)特殊點(diǎn)，它的運(yùn)動(dòng)很容易被確定。分析問題時(shí)，取用質(zhì)心為參考系，有時(shí)可使問題大大簡化。

質(zhì)心的位置按如下定義確定：假設(shè)有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，它們的質(zhì)量是m1,m2…mn位于P1,P2…PN諸點(diǎn)，這些點(diǎn)對某一參考點(diǎn)O的位矢是r1,r2…rn則質(zhì)心對此同一點(diǎn)的位矢rc滿足如下關(guān)系：

(4)

由上式，可知

(5)

(6)

其中vc是質(zhì)心的速度，由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理可得

(7)

1.2.3 沖量

力和力的作用時(shí)間的乘積(力為常量)或力對作用時(shí)間t的積分(力為變量)

(8)

1.2.4 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律

剛體是一種特殊的質(zhì)點(diǎn)系，該質(zhì)點(diǎn)系中任何兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的距離，不因力的作用而發(fā)生改變。

它是一種抽象、理想的模型，在所研究的問題中，當(dāng)物體的大小和形狀變化可以忽略不計(jì)時(shí)，可以將其視為剛體。

剛體的運(yùn)動(dòng)一般分為平動(dòng)、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)、平面平行運(yùn)動(dòng)定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)和一般運(yùn)動(dòng)。在本模型的受力中，我們將運(yùn)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的相關(guān)理論來進(jìn)行分析。

力矩：力F對空間某點(diǎn)的矩。若F為作用在B點(diǎn)的力，則F對于另一定點(diǎn)A的力矩定義為

M=r×F=rFsinθ

(9)

其中r為B點(diǎn)對A點(diǎn)的位矢,θ為r和F間的夾角。

動(dòng)量矩：動(dòng)量對空間某點(diǎn)的矩。B點(diǎn)上的動(dòng)量p對另一定點(diǎn)A的動(dòng)量矩定義為

J=r×p=rpsinθ

(10)

若剛體繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，由固定軸的動(dòng)量矩定理知：

(11)

其中Jz是剛體對z軸的動(dòng)量矩。Mz是剛體對z軸的力矩。即剛體對某一固定軸的力矩等于其對定軸動(dòng)量矩的時(shí)間微分。

剛體繞固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定律表示為：

Mz=Izzβ

(12)

其中，β是剛體繞定軸運(yùn)動(dòng)的角加速度，Izz為剛體繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，其定義為

(13)

剛體的形狀、質(zhì)量分布以及固定軸確定后，剛體繞定軸運(yùn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為一常量。

當(dāng)選取過質(zhì)心的軸為定軸時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)定律改寫為

Mc=Icβc

(14)

其中βc和Ic分別就是剛體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。[8]

1.2.5 蒙特卡洛方法

蒙特卡洛方法是指，當(dāng)所求解問題是某種隨機(jī)事件出現(xiàn)的概率，或者是某個(gè)隨機(jī)變量的期望值時(shí)，通過某種“實(shí)驗(yàn)”的方法，以這種事件出現(xiàn)的頻率估計(jì)這一隨機(jī)事件的概率，或者得到這個(gè)隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征，并將其作為問題的解。

蒙特卡羅方法的解題過程可以歸結(jié)為三個(gè)主要步驟：構(gòu)造或描述概率過程；實(shí)現(xiàn)從已知概率分布抽樣；建立各種估計(jì)量。

使用蒙特卡洛方法求解問題，首先要構(gòu)造或描述概率過程，實(shí)現(xiàn)從已知概率分布抽樣。最后，建立各種估計(jì)量。一般說來，構(gòu)造了概率模型并能從中抽樣后，即實(shí)現(xiàn)模擬實(shí)驗(yàn)后，就要確定一個(gè)隨機(jī)變量，作為所要求的問題的解，稱之為無偏估計(jì)。建立各種估計(jì)量，相當(dāng)于對模擬實(shí)驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行考察和登記，從中得到問題的解。

1.3 模型的建立

1.3.1 Adam算法的起源

Adam(Adaptive Moment Estimation)是深度學(xué)習(xí)中的一種隨機(jī)梯度優(yōu)化算法。深度學(xué)習(xí)是指機(jī)器學(xué)習(xí)樣本數(shù)據(jù)的內(nèi)在規(guī)律和表示層次，以達(dá)到能夠像人一樣具有分析學(xué)習(xí)和識別文字、圖像和聲音等數(shù)據(jù)的能力。[9]深度學(xué)習(xí)的模型中往往含有大量參數(shù)，為了修正這些參數(shù)，人們提出了許多的優(yōu)化算法。其中包括Adam算法在內(nèi)的一階優(yōu)化算法，主要是通過目標(biāo)函數(shù)的梯度或梯度的無偏估計(jì)來更新模型參數(shù)不斷迭代從而達(dá)到逼近目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值的目的。[10]

Adam利用梯度的一階矩估計(jì)值和二階矩估計(jì)值來動(dòng)態(tài)地調(diào)整每個(gè)參數(shù)的學(xué)習(xí)率，本質(zhì)上是帶有動(dòng)量項(xiàng)的Adagrad，故而結(jié)合了均方根傳播(RMSprop)算法和適應(yīng)性梯度(AdaGrad)算法的優(yōu)勢。

適應(yīng)性梯度(Adagrad)算法是為每一個(gè)參數(shù)保留一個(gè)學(xué)習(xí)率以提升在稀疏梯度(即自然語言和計(jì)算機(jī)視覺問題)上的性能。均方根傳播(RMSProp)是基于權(quán)重梯度最近量級的均值為每一個(gè)參數(shù)適應(yīng)性地保留學(xué)習(xí)率。而Adam算法不僅如RMSProp算法那樣基于一階矩均值計(jì)算適應(yīng)性參數(shù)學(xué)習(xí)率，它同時(shí)還充分利用了梯度的二階矩均值(即有偏方差)，[11-12]并且經(jīng)過偏置校正，使得每一步的有效學(xué)習(xí)率都在一定的范圍內(nèi)變動(dòng)。

1.3.2 動(dòng)力學(xué)分析

Adam算法的動(dòng)力學(xué)分析如下，下式是梯度的一階矩估計(jì)值和二階矩估計(jì)值，它們是以移動(dòng)平均值的形式表現(xiàn)：

mt=β1mt-1+(1-β1)gt

(15)

(16)

其中，mt是有偏置的梯度一階矩估計(jì)值，vt是梯度的有偏二階矩估計(jì)值，gt是第t步的一階梯度。β1和β2分別是梯度一階矩估計(jì)值(mt)和二階矩估計(jì)值(vt)的指數(shù)衰減速率，也可稱為動(dòng)量系數(shù)和自適應(yīng)學(xué)習(xí)系數(shù)，其值范圍是：β1，β2∈[0,1]。[13]其中系數(shù)β1控制著動(dòng)量的大小，其值設(shè)置需要權(quán)衡加速收斂和穩(wěn)定性。當(dāng)其越接近1時(shí)，加速效果越好，但與此同時(shí)，動(dòng)量將變得很大，參數(shù)更新方向?qū)H僅依賴于最近幾個(gè)隨機(jī)梯度，可能會(huì)發(fā)生震蕩。為了使每一步的有效學(xué)習(xí)率都在一定范圍內(nèi)變動(dòng)，參數(shù)的計(jì)算更平穩(wěn)，故需計(jì)算更正偏置后的梯度一階矩估計(jì)值和二階矩估計(jì)值：

(17)

(18)

Adam的更新規(guī)則為：

(19)

其中，η是Adam算法的步長，θt和θt+1是第t步和第t+1步的權(quán)重值[10]。

綜上而言，Adam算法善于處理稀疏梯度且對內(nèi)存需求較小，為不同的權(quán)重參數(shù)分配不同的自適應(yīng)學(xué)習(xí)率，適用于大多非凸環(huán)境的優(yōu)化，比如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，同時(shí)適用于高維空間和比較大的數(shù)據(jù)集，是目前最流行的算法。[13]本文中的模型，計(jì)算時(shí)包含多個(gè)參數(shù)，若使用傳統(tǒng)的求導(dǎo)來計(jì)算極值，無疑十分復(fù)雜，故而選擇使用Adam算法，雖然計(jì)算時(shí)間稍慢，但計(jì)算結(jié)果更為精確。

1.3.3 根據(jù)算法建立模型

一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的引體向上包括預(yù)備姿勢和動(dòng)作階段兩個(gè)過程。預(yù)備姿勢時(shí)，雙手位置與肩同寬固定于單杠上,上肢伸直, 肩胛骨處于上旋位, 軀干與下肢處于懸垂,身體處于相對靜止?fàn)顟B(tài)。而動(dòng)作階段又分為拉引和還原兩個(gè)環(huán)節(jié)。在拉引過程中，上臂應(yīng)在肩關(guān)節(jié)處后伸, 稍內(nèi)收, 拉軀干靠近臂, 同時(shí)肘關(guān)節(jié)屈曲, 上臂肘關(guān)節(jié)處靠近前臂, 變直臂懸垂為屈臂懸垂, 將人體拉近握點(diǎn), 身體保持垂直上升, 使橫杠在胸部位。還原過程中，軀干離開上臂, 同時(shí)上臂在肩關(guān)節(jié)處屈, 肘關(guān)節(jié)伸, 變屈臂懸垂為直臂懸垂, 使人體下降回到預(yù)備姿勢。由于下降動(dòng)作方向與重力方向一致, 拉引動(dòng)作與重力作用方向相反, 故引體向上的主要作用在第一環(huán)節(jié)。[14]

現(xiàn)根據(jù)對引體向上發(fā)力關(guān)節(jié)及動(dòng)作要領(lǐng)，采用了鉸鏈[15]手臂模型對其進(jìn)行分析。模型示意圖如圖1所示。以A、D為活動(dòng)節(jié)點(diǎn)，BC,CE,BE代替手臂彎曲時(shí)肌群(如肱二頭肌、肱三頭肌)，不論在壓縮時(shí)還是拉伸時(shí)均可根據(jù)情況產(chǎn)生拉力或者推力，使手臂發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)。

圖1 鉸鏈模型示意圖

為了簡化模型，本文作如下假設(shè)：

a)假設(shè)OB，CF為質(zhì)量均勻分布的剛體，AD為忽略質(zhì)量的剛體。

b)在規(guī)定的xOy坐標(biāo)系中，AD始終與y軸平行。

c)代表肩膀處肌群的BC,CE,BE三塊肌肉不會(huì)彎曲，但會(huì)如彈簧一般伸長收縮，且只能發(fā)出延自身方向的拉力或者彈力。

d)節(jié)點(diǎn)A，B，C，D，E在運(yùn)動(dòng)時(shí)均無摩擦力。

模型中符號較多，因此在表4進(jìn)行統(tǒng)一規(guī)定。

表4 符號規(guī)定

1.4 模型的求解

引體向上動(dòng)作圖如圖2(a)所示，手臂與肩膀連接處會(huì)受到軀干因重力而產(chǎn)生的向下的拉力，對應(yīng)受力模型中為F點(diǎn)所受的重力。手掌與器械接觸部位會(huì)有器械給予向上的支持力，對應(yīng)受力模型中，O點(diǎn)會(huì)受到向上的支持力[16]。據(jù)此，可以給出等效受力圖，如圖2(b)。

(a) (b)圖2 (a)引體向上動(dòng)作圖(b)等效受力圖

以正手引體向上為例，動(dòng)作分為垂吊、軀干向上運(yùn)動(dòng)和軀干向下運(yùn)動(dòng)3個(gè)環(huán)節(jié)。本文只分析軀干向上運(yùn)動(dòng)過程中的肌肉發(fā)力情況。軀干向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，肱橈肌、肱二頭肌、胸大肌、背闊肌等肌群共同的收縮產(chǎn)生力量，克服自重將身體往上拉起，當(dāng)下頜超過單杠時(shí)方可向下還原[7]。根據(jù)等效受力圖可以進(jìn)行受力分析，剛體CF、AD、OB所受合外力為零，由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可知，其質(zhì)心所受合外力即為零，故質(zhì)心無加速度及角加速度。分別取其質(zhì)心為轉(zhuǎn)軸，由轉(zhuǎn)動(dòng)定理知質(zhì)心的合外力矩為零。應(yīng)用牛頓定律以及剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律列出下列方程：

(20)

CF以D點(diǎn)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)，應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律可以得：

(21)

同理，對AD列出受力方程：

(22)

AD以E為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)，應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律得到：

(23)

對OB列出受力方程：

(24)

OB以O(shè)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)，應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律得到：

(25)

為了能夠進(jìn)行仿真計(jì)算，表5中給出了各點(diǎn)的坐標(biāo)表達(dá)式。

表5 各點(diǎn)坐標(biāo)

1.5 模型的數(shù)值計(jì)算

上述給出6個(gè)方程，需要聯(lián)立為線性方程組才能求解，但方程中給出的是矢量，因此，將方程中的矢量轉(zhuǎn)換為標(biāo)量，轉(zhuǎn)換關(guān)系如下表：

表6 力的矢量與標(biāo)量轉(zhuǎn)換關(guān)系

表7 方程組系數(shù)矩陣

利用計(jì)算機(jī)求解上述九元線性方程組，可以得到某一時(shí)刻，給定θ,φ時(shí)各肌肉的發(fā)力情況，根據(jù)不同解討論引體向上最優(yōu)策略。

2 引體向上最優(yōu)策略研究

2.1 引體向上完成的限制條件

一個(gè)正規(guī)的引體向上的完成條件是手臂完全下垂，拉動(dòng)手臂至下巴經(jīng)過杠桿。本文不考慮下身輔助動(dòng)作，只分析手臂發(fā)力對完成動(dòng)作的影響。引體向上動(dòng)作開始時(shí)：

θ=0,φ=0

(26)

結(jié)束時(shí)：

ADcosθend+DFcosφend≤H

(27)

上式中，H為肩膀距離單杠的規(guī)定高度，θend,φend為結(jié)束時(shí)的θ,φ值。

2.2 引體向上評價(jià)指標(biāo)的選擇

做引體向上時(shí)，人會(huì)感覺到肌肉的疲勞，但并不能明確地描述做功情況。本文的模型中，將其簡化，假設(shè)θ,φ均為先勻加速變化，后勻減速變化，角速度分別為ω1,ω2，且開始時(shí)與結(jié)束時(shí)θ,φ的角速度均為0。

加速階段的加速度大小分別為α1,β1，減速階段的加速度大小為α1，β2。且當(dāng)θend,φend確定時(shí)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)定律，可以得到θ,φ的加速時(shí)間t1,t3，減速時(shí)間t2,t4有以下關(guān)系：

α1t2-α2t2=0

β1t3-β2t4=0

(28)

通過上述方程組(29)即可解出t1,t2,t3,t4。

結(jié)合肌肉的發(fā)力情況，定義肌肉發(fā)力“沖量”為：

(29)

做功為

(30)

三塊肌肉力的最大瞬時(shí)變化為：

(31)

將上述物理量代入前文模型，求解模型中BC，BE，CE收縮做功，即人體完成引體向上時(shí)總沖量I與總做功W。將其優(yōu)化得到最優(yōu)結(jié)果，即最小值。

經(jīng)過計(jì)算發(fā)現(xiàn)，當(dāng)完成引體向上的個(gè)體確定后，總做功相同，則只需討論總沖量。給出優(yōu)化目標(biāo)與限制條件：

(32)

優(yōu)化自變量：α1,β2,α2,β2,θend,φend

本文使用蒙特卡洛方法[17]隨機(jī)將α1,β1,α2,β2,θend,φend賦值，尋找滿足約束條件且其中Isum與V的最小值λ1,λ2，且規(guī)定優(yōu)化變量為比例之和，即：

(33)

這樣可以確保優(yōu)化過程中η最小，即可求得最優(yōu)的Isum,V。

2.3 使用Adam算法優(yōu)化求解

本模型中使用Adam算法，通過調(diào)整各個(gè)參數(shù)值，來獲得目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值。因此，采用Python的Pytorch庫中的Adam算法對上述模型進(jìn)行優(yōu)化求解。

帶入某一時(shí)刻測試學(xué)生的情況(見表8)，帶入模型計(jì)算。

表8 測試者情況

2.4 最優(yōu)結(jié)果及分析

通過2.3算法得到完成引體向上的最優(yōu)結(jié)果模型，見表9：

表9 算法優(yōu)化求得最終結(jié)果

由測試者的數(shù)據(jù)及上述模型和Adam算法求出的最終解，可知在平時(shí)訓(xùn)練學(xué)生完成引體向上動(dòng)作時(shí)，應(yīng)保持加速階段的加速度大小分別為0.0631和0.1911(rad/s2)；減速階段加速度大小分別為0.0445和0.1633(rad/s2)；且將引體向上過程中最終的θend,φend控制在0.13rad，1.43rad時(shí)，肌肉發(fā)力會(huì)有最小的沖量和最小的瞬間力變化，對于測試者更加省力。簡單來說，若一名體重70kg，身高1.75m的學(xué)生，其臂展也為1.75m。做引體向上需要通過手臂將身體向上提高的高度大約在55-65cm。根據(jù)本文提供模型計(jì)算得到結(jié)果，引體向上動(dòng)作完成時(shí)，小臂與豎直向下方向的夾角不能超過7.5度，而大臂與軀干之間的夾角不能超過82度，這樣可以保障肌肉發(fā)力最高效，更有利于學(xué)生完成引體向上。若訓(xùn)練者身高、體重發(fā)生變化，則可根據(jù)模型重新計(jì)算，得到新的適合訓(xùn)練者本人的數(shù)據(jù)。

本文通過生物力學(xué)鉸鏈模型的數(shù)值計(jì)算，結(jié)合實(shí)際條件，給出了優(yōu)化完成引體向上的方法，該方法可代入訓(xùn)練者自身?xiàng)l件的具體數(shù)值，從而快速求解完成引體向上動(dòng)作的最優(yōu)解，尤其是動(dòng)作結(jié)束時(shí)的角度，這樣更加科學(xué)合理地指導(dǎo)訓(xùn)練者訓(xùn)練。體育運(yùn)動(dòng)不能完全倚靠數(shù)據(jù)來進(jìn)行鍛煉，提高引體向上成績，需要肌肉力量的增長和肌肉橫斷面積增大、神經(jīng)調(diào)節(jié)功能改善、肌纖維數(shù)量增多等生理變化，這一過程需要長時(shí)間的鍛煉，逐步積累，但通過物理模型計(jì)算得到的數(shù)據(jù)，可以更有效地指導(dǎo)訓(xùn)練，更高效地完成動(dòng)作，對日常練習(xí)和提高訓(xùn)練效果提供了一種參考方法。