◎張 薇

(江蘇省奔牛高級(jí)中學(xué)，江蘇 常州 213131)

一、背景描述

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出：新課程的目標(biāo)之一為通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，發(fā)展自主學(xué)習(xí)的能力；樹(shù)立敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神；不斷提高實(shí)踐能力，提升創(chuàng)新意識(shí)；認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值課程的設(shè)計(jì)依據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，關(guān)注數(shù)學(xué)邏輯體系、內(nèi)容主線、知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，重視數(shù)學(xué)實(shí)踐和數(shù)學(xué)文化數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、語(yǔ)言、方法、觀點(diǎn)，以及它們的形成和發(fā)展，還包括數(shù)學(xué)在人類(lèi)生活、科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動(dòng)，而數(shù)學(xué)的價(jià)值與數(shù)學(xué)文化密切相關(guān)

英國(guó)數(shù)學(xué)史學(xué)家福韋爾認(rèn)為數(shù)學(xué)史讓學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)文化的多元性，提供了社會(huì)和文化因素決定數(shù)學(xué)發(fā)展的例子，他總結(jié)了數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)史的15條理由：(1)增加學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)；(2)改變學(xué)生的數(shù)學(xué)觀；(3)因?yàn)橹啦⒎侵挥兴麄冏约河欣щy，因而得到安慰；(4)使數(shù)學(xué)不那么可怕；(5)有助于保持對(duì)數(shù)學(xué)的興趣；(6)給予數(shù)學(xué)人文的一面；(7)有助于解釋數(shù)學(xué)在社會(huì)中的作用；(8)有助于發(fā)展多元文化進(jìn)路；(9)歷史發(fā)展有助于安排課程內(nèi)容順序；(10)告訴學(xué)生概念如何發(fā)展，有助于他們對(duì)概念的理解；(11)通過(guò)古今方法的對(duì)比，確立現(xiàn)代方法的價(jià)值；(12)提供探究的機(jī)會(huì)；(13)過(guò)去的發(fā)展障礙有助于解釋今天學(xué)生的學(xué)習(xí)困難；(14)培養(yǎng)優(yōu)秀生的遠(yuǎn)見(jiàn)卓識(shí)；(15)提供跨學(xué)科合作的機(jī)會(huì)由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中有重要作用

以下給出“基本不等式”一節(jié)在四版教科書(shū)中的位置、呈現(xiàn)方式以及前后知識(shí)順序

教科書(shū)版本位置呈現(xiàn)方式前后知識(shí)順序人教版A版必修五3.4基本不等式探究趙爽弦圖,引出基本不等式,利用作差法證明基本不等式,利用圓中的線段給出基本不等式的幾何解釋.先學(xué)習(xí)不等式關(guān)系與不等式(含重要不等式),再學(xué)習(xí)基本不等式,最后學(xué)習(xí)一元二次不等式和二元一次不等式人教版B版必修一2.2.4均值不等式及其應(yīng)用從等周問(wèn)題及等面積問(wèn)題引出基本不等式,列舉表格,利用特值判斷大小關(guān)系,利用圓中的線段給出基本不等式的幾何解釋.先學(xué)習(xí)不等式的基本性質(zhì),然后學(xué)習(xí)一元二次不等式的解法與其他不等式的解法,最后學(xué)習(xí)基本不等式及其應(yīng)用.滬教版高一第一學(xué)期2.4基本不等式從等周問(wèn)題引出基本不等式,通過(guò)作差法證明基本不等式,利用弦圖和直角三角形模型給出基本不等式的幾何模型.先學(xué)習(xí)不等式的基本性質(zhì),然后學(xué)習(xí)一元二次不等式的解法與其他不等式的解法,最后學(xué)習(xí)基本不等式及其應(yīng)用.蘇教版必修一3.2基本不等式通過(guò)不等臂天平問(wèn)題引出基本不等式,給出基本不等式的三種證明方法,利用圓中的線段給出基本不等式的幾何模型,趙爽弦圖作為課后習(xí)題出現(xiàn).先學(xué)習(xí)不等關(guān)系,然后學(xué)習(xí)基本不等式,最后學(xué)習(xí)從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程和一元二次不等式.

在呈現(xiàn)方式上，四版教科書(shū)分別從趙爽弦圖、等周問(wèn)題、等周問(wèn)題、不等臂天平問(wèn)題引出基本不等式，在順序上都是先學(xué)習(xí)不等關(guān)系再學(xué)習(xí)基本不等式

二、案例展示

以下就“基本不等式的證明”的幾種不同教學(xué)設(shè)計(jì)略談一孔之見(jiàn)

設(shè)計(jì)一：從不等臂天平引入

1片段1——設(shè)置問(wèn)題情境

【設(shè)計(jì)意圖】給不等臂天平賦予趣味性的背景，激發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，激發(fā)學(xué)生解決問(wèn)題的強(qiáng)烈愿望

2片段2——組織探究活動(dòng)

問(wèn)題1：用這個(gè)不等臂的天平，你能不能求出珠寶的實(shí)際質(zhì)量？

問(wèn)題2：你是否贊同珠寶商的方案？

師：非常好！同學(xué)們已經(jīng)走出了得到數(shù)學(xué)真理的第一步：實(shí)驗(yàn)—猜想—?dú)w納數(shù)學(xué)是一門(mén)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，我們不能滿(mǎn)足于直觀獲得的結(jié)論，而要用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评韥?lái)證明這個(gè)結(jié)論你能給出它的證明嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生從案例出發(fā)，有了解決問(wèn)題的迫切需要

3片段3——展開(kāi)科學(xué)論證

學(xué)生獨(dú)立證明并板書(shū)，教師總結(jié)

≤0

∴4≤+2+，

∴-2+≥0，

即(-)≥0,顯然成立

師：觀察兩位同學(xué)的證明過(guò)程，說(shuō)說(shuō)你的看法

生6：第一種方法是作差比較法，也可以平方以后作差；第二種方法把要證明的結(jié)論當(dāng)條件用了，需要把順序顛倒一下

∵(-)≥0，∴-2+≥0，

生7：老師，你看這樣改可以嗎？

因?yàn)?-)≥0成立，所以等式成立

師：非常好！雖然第二種方法有點(diǎn)小問(wèn)題，但是我們稍微改動(dòng)一下就得到兩種不同的方法，其中學(xué)生7的方法我們稱(chēng)之為分析法，學(xué)生6的方法我們稱(chēng)之為綜合法我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生6的方法并不是一眼就能看出來(lái)的，而是建立在先對(duì)題目進(jìn)行分析，也就是分析法的基礎(chǔ)上書(shū)寫(xiě)的所以，一般我們可以先用分析法進(jìn)行分析，再用綜合法證明看來(lái)珠寶商還是多賺錢(qián)的，只有=時(shí)他才是一個(gè)守法的商人啊!

【設(shè)計(jì)意圖】本環(huán)節(jié)請(qǐng)同學(xué)板演，選一位從結(jié)論開(kāi)始證明的同學(xué)，在同學(xué)們的分析中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，經(jīng)過(guò)自己的思考得到正確的結(jié)果學(xué)生經(jīng)歷了猜想—嘗試—修正—得到結(jié)論的過(guò)程，收獲了成功的喜悅，對(duì)問(wèn)題有了更深層次的理解

這是學(xué)生進(jìn)行的一次深度學(xué)習(xí)，經(jīng)歷了一次從舊知到新知的過(guò)程學(xué)生對(duì)自己猜想的結(jié)果進(jìn)行證明，獲得了新的知識(shí)，激發(fā)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，完成了一次科學(xué)探究的過(guò)程：“提出問(wèn)題”—“猜想與假設(shè)”—“實(shí)驗(yàn)和論證”

問(wèn)題4：對(duì)于基本不等式，你有哪些認(rèn)識(shí)？

生8：不等式左邊是積的形式，右邊是和的形式

生9：要注意不等式成立的前提條件是非負(fù)數(shù)，等號(hào)成立的條件是兩式相等

幾何直觀能啟迪思路、幫助理解，因此，借助幾何直觀學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要方面，只有做到了直觀上的理解才是真正的理解

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)對(duì)基本不等式結(jié)構(gòu)的再分析，使學(xué)生對(duì)基本不等式有更深層次的理解

設(shè)計(jì)二：從趙爽弦圖引入，設(shè)置問(wèn)題情境

師：同學(xué)們，請(qǐng)欣賞一下趙爽弦圖趙爽，又名嬰，字君卿，東漢末至三國(guó)時(shí)代吳國(guó)人,是我國(guó)歷史上著名的數(shù)學(xué)家與天文學(xué)家，代表作品《勾股圓方圖注》

問(wèn)題1：你能在這個(gè)圖中找到一些相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎？

圖1

生1：四個(gè)直角三角形全等，對(duì)應(yīng)的邊角都是相等的

生2：直角三角形的直角邊小于斜邊，小正方形的邊長(zhǎng)小于直角三角形的邊長(zhǎng)

師：研究一個(gè)圖形，除了研究邊角關(guān)系外，還研究它的周長(zhǎng)與面積從這個(gè)方面看，你還能得到哪些不等關(guān)系？

生3：每個(gè)三角形的面積小于大正方形的面積

生4：四個(gè)三角形的面積之和小于大正方形的面積

問(wèn)題2：正方形中有4個(gè)全等的直角三角形，設(shè)直角三角形的直角邊分別為,，你能用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表示這個(gè)結(jié)論嗎？

生5：2<+(>0,>0)

師：該不等式能否成為等式？,的范圍能否擴(kuò)大？

生6：當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切渭?時(shí)，2=+(∈,∈)

師：這就是我們今天要學(xué)習(xí)的基本不等式

下同設(shè)計(jì)一

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)趙爽弦圖研究面積關(guān)系，引入重要不等式與基本不等式學(xué)生通過(guò)趙爽弦圖了解數(shù)學(xué)家趙爽，燃起了強(qiáng)烈的民族自豪感

設(shè)計(jì)三：從等周問(wèn)題引入，設(shè)置問(wèn)題情境

師：海島很大，古人既沒(méi)有航拍圖，也無(wú)法測(cè)算精確的島嶼面積，他們是怎么確定面積的呢？公元前5世紀(jì)，雅典人修昔底德測(cè)量西西里島大小的時(shí)候，乘船繞海岸線一周，記錄航行時(shí)間在修昔底德看來(lái)，繞島一周所花費(fèi)的時(shí)間越長(zhǎng)，海岸線越長(zhǎng)，也就說(shuō)明該島的面積越大同學(xué)們，你們覺(jué)得這個(gè)方法有數(shù)學(xué)依據(jù)嗎？

生1：有數(shù)學(xué)依據(jù)繞島時(shí)間越長(zhǎng)，說(shuō)明海岸線越長(zhǎng)，意味著島越大

師：公元前2世紀(jì)，歷史學(xué)家波利比烏斯曾說(shuō)，有人對(duì)于等諸城的兩個(gè)營(yíng)地可以容納不同數(shù)量的人感到困惑不解.公元1世紀(jì)，博物學(xué)家老普林尼根據(jù)周長(zhǎng)來(lái)估算不同地區(qū)的面積.公元5世紀(jì)，古希臘哲學(xué)家普羅克拉斯提到，在他所生活的時(shí)代，在某些公有制社會(huì)里，有人將周長(zhǎng)更大但面積更小的土地分配給別人，而把周長(zhǎng)更小面積更大的土地分給自己，還被視為大公無(wú)私那么，海岸線越長(zhǎng)，就意味著島越大嗎？

生2：不一定一個(gè)圖形周長(zhǎng)確定的時(shí)候，面積不能確定

師：測(cè)量的時(shí)候還遇到一個(gè)問(wèn)題：有兩座島周長(zhǎng)相等，那么哪個(gè)面積大呢？聰明的你怎么解決這個(gè)問(wèn)題呢？

生3：我們將海島想象成矩形就可以做了

師：非常好的思路，為了讓這個(gè)問(wèn)題更利于我們現(xiàn)在解讀，可以簡(jiǎn)化，假設(shè)兩個(gè)圖形都是矩形

問(wèn)題1：你能證明“在周長(zhǎng)為定值的所有矩形中，面積最大的是正方形嗎”？

下同設(shè)計(jì)一

【設(shè)計(jì)意圖】從數(shù)學(xué)史上的等周問(wèn)題入手引入基本不等式，學(xué)生經(jīng)歷了一次生活—數(shù)學(xué)—生活的學(xué)習(xí)過(guò)程，把握了問(wèn)題的本質(zhì)，化繁為簡(jiǎn)，通過(guò)聯(lián)想已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)用現(xiàn)有知識(shí)解決問(wèn)題，并由此建構(gòu)了新知識(shí)，成為教學(xué)活動(dòng)的主體在這樣的深度教學(xué)下，學(xué)生發(fā)現(xiàn)高級(jí)知識(shí)都可以由低級(jí)知識(shí)而來(lái)，激發(fā)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的自信

三、稚化點(diǎn)評(píng)

課堂是教師、學(xué)生、教材三要素相互碰撞的場(chǎng)所，最大限度地調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性、充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位、讓學(xué)生深度學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要任務(wù)因此，創(chuàng)設(shè)一個(gè)好的課堂情境是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)“基本不等式”是一節(jié)典型的新授課，有很多的情境引入方式

設(shè)計(jì)一從學(xué)生感興趣的實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，對(duì)書(shū)中的情境進(jìn)行改編，使之更有趣味性，從學(xué)生原有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)中尋找新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，與物理知識(shí)的結(jié)合更是拓展了學(xué)生的思維

設(shè)計(jì)二從趙爽弦圖入手，問(wèn)題的設(shè)置引發(fā)學(xué)生積極思考，在追尋先人的腳步中獲得成功的喜悅

設(shè)計(jì)三從等周問(wèn)題入手，對(duì)書(shū)中比較簡(jiǎn)單的情境引入進(jìn)行史料的豐富，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)和解決問(wèn)題的愿望

筆者所在的教研組對(duì)“基本不等式的證明”進(jìn)行了同題異構(gòu)，三位教師分別采用了設(shè)計(jì)一、二、三進(jìn)行課堂教學(xué)從三節(jié)不同的課例實(shí)踐來(lái)看，設(shè)計(jì)三的學(xué)生上課反映及接受程度更好除了外在的一些原因，如學(xué)生本身的水平及執(zhí)教教師問(wèn)題的設(shè)置，更多在于情境的設(shè)置非常生動(dòng)有趣，直接將學(xué)生代入情境，使學(xué)生有了迫切解決問(wèn)題的愿望在數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史并不是為歷史而歷史，而是要使數(shù)學(xué)史發(fā)揮其獨(dú)特的作用，否則就毫無(wú)意義，只會(huì)擠占課堂時(shí)間任何一個(gè)主題的背后都有豐富的史料，但并非所有史料都適合課堂教學(xué)，這就需要執(zhí)教教師大量閱讀，有豐富的知識(shí)積累，化繁為簡(jiǎn)，設(shè)計(jì)適合學(xué)情的情境，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)中提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，在深度學(xué)習(xí)中發(fā)展興趣、培養(yǎng)自信、獲得成功

將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程，教師會(huì)遇到很多困難，如資料欠缺、學(xué)生無(wú)基礎(chǔ)等，但要明白在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史的價(jià)值與重要性，只有提高自己的數(shù)學(xué)史積累才能做到融會(huì)貫通、引入自然、潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲