孫旭峰

（揚(yáng)州大學(xué)建筑科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225127）

在結(jié)構(gòu)力學(xué)的動(dòng)力學(xué)一章中，振型分解法（或振型疊加法）是求解任意動(dòng)力荷載作用下線性體系響應(yīng)的一種基本方法，其基本思路是利用結(jié)構(gòu)主振型之間關(guān)于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正交關(guān)系，將具有n個(gè)振動(dòng)自由度的動(dòng)力方程組解耦，從而基于主振型的正則坐標(biāo)線性組合求解結(jié)構(gòu)響應(yīng)[1][2]。

但在振型分解法中，僅假設(shè)動(dòng)力荷載作用于質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)自由度方向，而對(duì)于存在非質(zhì)點(diǎn)及非自由度方向動(dòng)力荷載作用的求解（如圖1所示）則鮮有涉及。

圖1 動(dòng)力荷載不作用于振動(dòng)自由度方向的情形

文獻(xiàn)[3]通過(guò)算例指出，如果將動(dòng)力荷載作用的無(wú)質(zhì)點(diǎn)位置計(jì)入振動(dòng)自由度參與計(jì)算，則該自由度方向由振型分解法求得的位移結(jié)果是不正確的，其原因是零質(zhì)量導(dǎo)致了無(wú)窮大的頻率分量。

事實(shí)上對(duì)于此類問(wèn)題，在振型分解法中引入柔度影響系數(shù)的概念即可解決。

1 引入柔度系數(shù)影響矩陣后的振型分解法

由結(jié)構(gòu)力學(xué)中的柔度法可知，當(dāng)不計(jì)阻尼的影響時(shí)，n個(gè)振動(dòng)自由度結(jié)構(gòu)在任意動(dòng)力荷載作用下的振動(dòng)微分方程為

由式（4）可知，在引入柔度影響系數(shù)后，只需將傳統(tǒng)振型分解法方程的右端項(xiàng)左乘即可。若所有激振力均作用于質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)自由度方向，則，此時(shí)即退化為傳統(tǒng)振型分解法的情形。

引入柔度影響系數(shù)矩陣后，振型分解法的求解步驟如下：

（2）計(jì)算廣義質(zhì)量和廣義荷載

（4）計(jì)算幾何坐標(biāo)（質(zhì)點(diǎn)位移）

2 算例

圖2所示結(jié)構(gòu)在12桿及結(jié)點(diǎn)2處分別受到突加均布荷載及突加集中力偶作用

圖2 算例

試求質(zhì)點(diǎn)m的位移響應(yīng)，設(shè)桿件的抗彎剛度EI為常數(shù)，不計(jì)桿件的質(zhì)量及軸向變形。

對(duì)于該算例，若不計(jì)質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，則可知質(zhì)點(diǎn)m存在水平和豎直兩個(gè)方向的振動(dòng)自由度y1和y2，而突加均布荷載及突加集中力偶均不作用于質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)自由度方向。若令，則由圖 3（a）、（b）的彎矩圖與圖4（a）、（b）的彎矩圖分別圖乘，即可求得柔度影響系數(shù)矩陣為

圖3 單位激振力

而由圖4（a）、（b）的彎矩圖圖乘可求得結(jié)構(gòu)的柔度矩陣為

圖4 振動(dòng)自由度方向的單位力

其逆矩陣即為結(jié)構(gòu)的剛度矩陣

利用柔度法或剛度法可求得結(jié)構(gòu)的自振頻率及主振型分別為

因此，該結(jié)構(gòu)的廣義質(zhì)量和廣義荷載分別為

利用杜哈梅積分求解正則坐標(biāo)的振動(dòng)微分方程，可得

最終，可求得兩個(gè)振動(dòng)自由度方向的位移解為

3 總結(jié)

振型分解法（或振型疊加法）可用于求解線性體系在任意荷載作用下的響應(yīng)，但是在用剛度法推導(dǎo)其基本方程時(shí)，一般都是假設(shè)動(dòng)力荷載作用于質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)自由度方向，而對(duì)于存在非自由度方向荷載，特別是分布動(dòng)力荷載的情形則鮮有論述。

針對(duì)這一問(wèn)題，本文基于柔度法，利用柔度影響系數(shù)的概念對(duì)振型分解法進(jìn)行了修正，該方法只需在傳統(tǒng)振型分解法方程的右端項(xiàng)左乘即可，而其求解過(guò)程與傳統(tǒng)振型分解法基本一致。算例表明，經(jīng)修正后振型分解法即可用于存在任意非質(zhì)點(diǎn)非振動(dòng)自由度方向荷載情形的精確計(jì)算。