山東省青島市教育科學(xué)研究院 劉仍軒

在空間與圖形領(lǐng)域的第二、三學(xué)段，增加了尺規(guī)作圖的有關(guān)要求。除保留傳統(tǒng)的“用圓規(guī)畫圓”之外，分別在“內(nèi)容要求”“學(xué)業(yè)要求”“教學(xué)提示”中多次出現(xiàn)“用直尺和圓規(guī)……”的有關(guān)描述。何為尺規(guī)作圖？在小學(xué)引入尺規(guī)作圖有哪些教育價(jià)值？學(xué)生以什么樣的方式開啟尺規(guī)作圖體驗(yàn)之旅？又如何將積累的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)應(yīng)用到后續(xù)的學(xué)習(xí)中？本文以四節(jié)課的教學(xué)實(shí)踐為例，闡述學(xué)生玩轉(zhuǎn)尺規(guī)作圖、積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的新嘗試。

一、課程標(biāo)準(zhǔn)的新要求

（一）尺規(guī)作圖

尺規(guī)作圖是起源于古希臘的一個(gè)古老的研究課題，指用沒有刻度的直尺和圓規(guī)，在有限次數(shù)的前提下，解決不同的平面幾何作圖問題。2022年版數(shù)學(xué)課標(biāo)在案例26“用直尺和圓規(guī)作等長(zhǎng)線段”中也明確指出，這里的直尺是指“無刻度的直尺（或不看直尺的刻度）”。

數(shù)學(xué)教育家傅種孫曾指出，直尺，既直又長(zhǎng)；圓規(guī)，腿長(zhǎng)而且開閉靈活。它們有定線、作圓、求交點(diǎn)三種功能。尺規(guī)作圖將工具限定為無刻度直尺和兩腳可開合的圓規(guī)，雖有限制，兩種工具卻能相互結(jié)合發(fā)揮其效能，主要體現(xiàn)在：①過兩個(gè)已知點(diǎn)作一條直線；②確定兩條已知直線的交點(diǎn)；③已知圓心和半徑作圓；④確定已知直線和已知圓（弧）的交點(diǎn)；⑤確定兩個(gè)已知圓（弧）的交點(diǎn)。上述幾條也稱為作圖公法。運(yùn)用有限工具，探索無限可能，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科對(duì)培養(yǎng)人的邏輯思維能力和理性精神的重要作用。

（二）課標(biāo)變化

與2011年版數(shù)學(xué)課標(biāo)相比，2022年版數(shù)學(xué)課標(biāo)關(guān)于尺規(guī)作圖的有關(guān)內(nèi)容主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：用直尺和圓規(guī)作一條線段等于已知線段；用直尺和圓規(guī)畫三角形，探索三角形任意兩邊之和大于第三邊。

二、教材修訂的新設(shè)想

基于課程標(biāo)準(zhǔn)的新變化，我們需要考慮知識(shí)結(jié)構(gòu)順序的調(diào)整問題，具體包括以下幾個(gè)方面。

（一）“周長(zhǎng)”相關(guān)內(nèi)容移至“線段、射線、直線”之后

在2011年版數(shù)學(xué)課標(biāo)中，“結(jié)合實(shí)例認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)”安排在第一學(xué)段（1~3年級(jí)），而“結(jié)合實(shí)例了解線段、射線和直線”則安排在第二學(xué)段（4~6年級(jí)）。2022年版課標(biāo)關(guān)于“周長(zhǎng)”和“線段”的內(nèi)容都安排在第二學(xué)段（3~4年級(jí)），但由于在“認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)”內(nèi)容中增加了尺規(guī)作圖的有關(guān)內(nèi)容，而尺規(guī)作圖首次出現(xiàn)在“作等長(zhǎng)線段”中，因此針對(duì)第二學(xué)段的教材結(jié)構(gòu)，需要先學(xué)習(xí)有關(guān)“線段”的內(nèi)容，后學(xué)習(xí)有關(guān)“周長(zhǎng)”的內(nèi)容，并在相應(yīng)的單元分別增加有關(guān)尺規(guī)作圖的內(nèi)容。

（二）“三角形的認(rèn)識(shí)”和“三邊關(guān)系”需安排在不同的學(xué)段

2011年版數(shù)學(xué)課標(biāo)中，“認(rèn)識(shí)三角形，通過觀察、操作，了解三角形兩邊之和大于第三邊”安排在第二學(xué)段（4~6年級(jí)），現(xiàn)行各版本數(shù)學(xué)教材將三角形的認(rèn)識(shí)和三邊關(guān)系也大都安排在同一個(gè)單元。而在2022年版數(shù)學(xué)課標(biāo)中，“認(rèn)識(shí)三角形和四邊形，會(huì)根據(jù)圖形特征對(duì)三角形和四邊形進(jìn)行分類”安排在第二學(xué)段（3~4年級(jí)），“知道三角形任意兩邊之和大于第三邊”則安排在第三學(xué)段（5~6年級(jí)）。因此，現(xiàn)行教材有關(guān)“三角形”的單元需要拆分，分別安排在兩個(gè)學(xué)段，在相應(yīng)的單元分別增加有關(guān)尺規(guī)作圖的內(nèi)容。

（三）“周長(zhǎng)”的教學(xué)安排在“三角形的認(rèn)識(shí)”之后

2011年版數(shù)學(xué)課標(biāo)中，由于“認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)”和“認(rèn)識(shí)三角形”分別安排在第一學(xué)段（1~3年級(jí)）和第二學(xué)段（4~6年級(jí)），現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材通常在三年級(jí)安排“周長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)”，在四年級(jí)安排“三角形的認(rèn)識(shí)”。

2022年版數(shù)學(xué)課標(biāo)中，兩部分內(nèi)容均在第二學(xué)段（3~4年級(jí)）呈現(xiàn)。關(guān)于“周長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)”“學(xué)業(yè)要求”“教學(xué)提示”均指出，要讓學(xué)生經(jīng)歷用直尺和圓規(guī)將三角形的三條邊畫到一條直線上的過程，引導(dǎo)學(xué)生自主探索三角形的周長(zhǎng)，對(duì)此，教材中也有相應(yīng)的呈現(xiàn)。

筆者建議教學(xué)時(shí)可將“三角形的認(rèn)識(shí)”安排在“周長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)”之前。關(guān)于“三角形的認(rèn)識(shí)”，2022年版數(shù)學(xué)課標(biāo)在“學(xué)業(yè)要求”和“教學(xué)提示”中均有如下相關(guān)描述：根據(jù)角的特征對(duì)三角形分類，認(rèn)識(shí)直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形；根據(jù)邊相等的關(guān)系，認(rèn)識(shí)等腰三角形和等邊三角形。所有這些特征中，并未提到有關(guān)“高”的內(nèi)容。馬云鵬老師認(rèn)為，“圖形的認(rèn)識(shí)”的重點(diǎn)是認(rèn)識(shí)圖形本身的特征，底和高是否是三角形本身的特征需要思考。因此，筆者建議在“三角形的認(rèn)識(shí)”單元只學(xué)習(xí)三角形的定義、分類等內(nèi)容，而有關(guān)“高”的內(nèi)容后移至第三學(xué)段（5~6年級(jí)）“多邊形的面積”單元。這樣，一是解決了“三角形的認(rèn)識(shí)”前移而有關(guān)“垂線”的內(nèi)容尚未學(xué)習(xí)的問題；二是在學(xué)習(xí)周長(zhǎng)時(shí)可深化認(rèn)識(shí)三角形“首尾相接”的特征；三是在探究多邊形面積的過程中產(chǎn)生認(rèn)識(shí)“高”的必要性，體現(xiàn)了學(xué)習(xí)“高”的價(jià)值。

三、教學(xué)實(shí)踐的新探索

教師在小學(xué)數(shù)學(xué)尺規(guī)作圖的教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)充分思考四個(gè)作圖內(nèi)容之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。首先，在尺規(guī)作圖的教學(xué)實(shí)踐中，以“作等長(zhǎng)線段”為尺規(guī)作圖的開啟，讓學(xué)生在初步嘗試中感受“尺”和“規(guī)”的相互作用。其次，“作等邊三角形”及“認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)”中的尺規(guī)作圖都可以看作是“作等長(zhǎng)線段”的應(yīng)用。用尺規(guī)作等邊三角形，是把“作等長(zhǎng)線段”由一維拓展到二維空間，學(xué)生感受到畫出一條等長(zhǎng)線段后，只有借助直尺和圓規(guī)，才能找到等邊三角形的另一個(gè)頂點(diǎn)，進(jìn)而作出等邊三角形，也可以進(jìn)一步感受三角形的特征；在認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)時(shí)，則需要經(jīng)歷三次“作等長(zhǎng)線段”的過程，直觀理解周長(zhǎng)的概念，也可以進(jìn)一步鞏固三角形的特征。最后，運(yùn)用尺規(guī)作圖探索三角形的三邊關(guān)系時(shí)，學(xué)生不僅可以借助尺規(guī)作三角形，還可以結(jié)合尺規(guī)作圖的過程進(jìn)行推理，該過程可視為學(xué)生對(duì)尺規(guī)作圖的深化應(yīng)用。

基于此，在教學(xué)實(shí)踐中，以尺規(guī)作圖四個(gè)內(nèi)容之間的聯(lián)系為切入點(diǎn)，以螺旋上升的結(jié)構(gòu)進(jìn)行整體架構(gòu)，讓學(xué)生在玩一玩、比一比、畫一畫的活動(dòng)中，拾級(jí)而上，打通關(guān)聯(lián)，形成思維鏈，不斷積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，循序漸進(jìn)地促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升。

（一）初探尺規(guī)，作等長(zhǎng)線段

在“認(rèn)識(shí)線”一課中，當(dāng)學(xué)生認(rèn)識(shí)了線段之后，教師引導(dǎo)學(xué)生用直尺和圓規(guī)作給定線段的等長(zhǎng)線段，感知線段長(zhǎng)度與兩點(diǎn)間距離的關(guān)系。這是學(xué)生在小學(xué)階段第一次接觸尺規(guī)作圖，是后續(xù)學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)尺規(guī)作圖的起始和基礎(chǔ)。

教學(xué)片段1：

師：你能想辦法畫一條與已知線段AB長(zhǎng)度相等的線段嗎？

生：可以用尺子測(cè)量線段AB的長(zhǎng)度，然后再畫與它相等的線段。

師：大家都想到了用有刻度的直尺測(cè)量、描畫。如果我們手中沒有測(cè)量的工具，可以怎么畫呢？請(qǐng)同學(xué)們開動(dòng)腦筋，試一試。

生：我用本子比著這條線段，然后在本子邊緣處標(biāo)上線段端點(diǎn)的記號(hào)，把本子移到空白處，借助記號(hào)標(biāo)出兩個(gè)端點(diǎn)，再把兩個(gè)端點(diǎn)連起來，這條線段就與已知線段一樣長(zhǎng)。

師：你的方法很巧妙。老師剛才看到，有的同學(xué)用本子，還有的同學(xué)用鉛筆，用了做標(biāo)記的方法畫出了等長(zhǎng)線段。我們還可以借助一對(duì)“好朋友”來幫忙——直尺和圓規(guī)。不過這把尺子可沒有刻度，敢挑戰(zhàn)嗎？把你的想法在小組里交流一下。

（學(xué)生嘗試探索，玩圓規(guī)，了解圓規(guī)構(gòu)造、特性等）

師：哪位同學(xué)和大家交流一下？

生：我先用直尺畫一條直線，在直線上先畫出線段的其中一個(gè)端點(diǎn)。然后把圓規(guī)的兩腳分別放在已知線段的A和B兩個(gè)端點(diǎn)上，保持圓規(guī)兩腳尖距離不變，把圓規(guī)的針尖對(duì)準(zhǔn)剛剛畫出的那個(gè)端點(diǎn)上，然后用圓規(guī)鉛筆在直線上畫一道弧，弧線與直線相交的這個(gè)位置就是線段的另一個(gè)端點(diǎn)，這樣，這條線段就與給出的線段一樣長(zhǎng)了。

師：用直尺測(cè)量、用物體作記號(hào)和尺規(guī)作圖，這些不同的方法之間，有什么聯(lián)系？

生1：它們都可以畫出與已知線段等長(zhǎng)的線段。

生2：都是先確定了線段的端點(diǎn)再連接。

師：確定了線段的兩個(gè)端點(diǎn)，這條線段也就確定了。那么，在作圖過程中，直尺和圓規(guī)都有什么作用呢？

生：直尺可以幫助我們確定直線或線段，圓規(guī)可以幫助我們確定給定線段的長(zhǎng)度。

上述教學(xué)片段中，由于學(xué)生缺乏尺規(guī)作圖的經(jīng)驗(yàn)，教師引導(dǎo)學(xué)生在操作中不斷地過渡和深化，感受“尺規(guī)作圖”的優(yōu)勢(shì)和價(jià)值。在拋出“想辦法畫與已知線段相等的線段”問題后，教師引導(dǎo)學(xué)生從用有刻度的直尺畫，到借助本子做標(biāo)記畫，再到探究“尺規(guī)作圖”，層層遞進(jìn)地進(jìn)行探究，讓學(xué)生感受尺規(guī)作圖的簡(jiǎn)潔和作用。

教學(xué)片段2：

師：現(xiàn)在只給一個(gè)點(diǎn)，如果以這個(gè)點(diǎn)作為線段的一個(gè)端點(diǎn)，你能再次借助圓規(guī)和直尺畫出與它等長(zhǎng)的線段嗎？

（學(xué)生嘗試操作）

生：我先用圓規(guī)的針尖和鉛筆分別對(duì)準(zhǔn)已知線段的兩個(gè)端點(diǎn)，保持圓規(guī)兩腳不動(dòng)，把針尖對(duì)準(zhǔn)給出的這個(gè)點(diǎn)畫弧，用鉛筆在弧上找一個(gè)點(diǎn)，把兩個(gè)點(diǎn)連接起來，這樣，這條線段就和已知線段的長(zhǎng)度相等了。

師：用圓規(guī)畫出了小弧線，在小弧線上找到一個(gè)點(diǎn)，連接起來畫出等長(zhǎng)線段。那弧線上還能找出這樣的點(diǎn)嗎？

生：弧線上能找到無數(shù)個(gè)點(diǎn)。

師：這樣的線段能找到多少條？你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：所有這條弧上的點(diǎn)與已知點(diǎn)之間的線段長(zhǎng)度都是一樣的。

上述教學(xué)片段中，學(xué)生經(jīng)歷了給出一個(gè)點(diǎn)畫等長(zhǎng)線段的探索過程，隨著探究的不斷深入，學(xué)生逐漸感受到圓弧上任意一點(diǎn)與已知點(diǎn)的距離都相等，將“作等長(zhǎng)線段”的內(nèi)涵進(jìn)行了深化，為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下了良好的基礎(chǔ)。

（二）應(yīng)用拓展，作等邊三角形

在“三角形的認(rèn)識(shí)”一課中，學(xué)生學(xué)習(xí)了什么是三角形和三角形的分類以后，教師可以嘗試讓學(xué)生運(yùn)用尺規(guī)畫一個(gè)等邊三角形。教師給定幾條線段供學(xué)生選擇，引導(dǎo)學(xué)生基于“作等長(zhǎng)線段”的經(jīng)驗(yàn)，從一維到二維，探索作等邊三角形的方法。

教學(xué)片段：

師：這里有幾條線段，可以選擇它們其中的一條為邊長(zhǎng)作一個(gè)等邊三角形。請(qǐng)你先想象你要作的等邊三角形的樣子，再動(dòng)手操作（見圖1）。

圖 1 用給定線段作等邊三角形

（學(xué)生嘗試動(dòng)手操作，教師組織學(xué)生進(jìn)行交流）師：還有其他的畫法嗎？

師：為什么只用直尺測(cè)量長(zhǎng)度后畫的不標(biāo)準(zhǔn)？

生：只用直尺很難正好找到三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)，用圓規(guī)可以畫弧，就很容易找到第三個(gè)點(diǎn)了。

師：觀察用尺規(guī)畫出的這些不同的等邊三角形，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：我發(fā)現(xiàn)這些三角形都是首尾相接的三條線段圍成的。

生2：我發(fā)現(xiàn)盡管這些等邊三角形的大小不同，但它們的形狀都是一樣的。

上述教學(xué)片段中，學(xué)生在會(huì)用尺規(guī)作等長(zhǎng)線段的基礎(chǔ)上，從給定的不同線段中選擇一條線段為邊作等邊三角形。在交流其他畫法的尺規(guī)作圖的過程中，學(xué)生用圓規(guī)截取等長(zhǎng)線段畫弧，尋找三角形的三個(gè)頂點(diǎn)進(jìn)而用直尺連接三角形的三條邊，在動(dòng)手操作中進(jìn)一步感受三角形是由三條線段首尾相接圍成的圖形，感受尺規(guī)作圖的優(yōu)勢(shì)。在學(xué)生呈現(xiàn)出用尺規(guī)作的邊長(zhǎng)不等的等邊三角形后，教師組織學(xué)生進(jìn)行討論，感受這些等邊三角形雖然大小不同但形狀唯一，幫助學(xué)生鞏固等邊三角形的特征。

（三）再探尺規(guī)，明晰周長(zhǎng)本質(zhì)

“周長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)”一課中，在學(xué)生初步感知圖形一周邊線的長(zhǎng)度就是它的周長(zhǎng)這一概念后，教師出示一個(gè)三角形，布置動(dòng)手操作任務(wù)，讓學(xué)生借助積累的“作等長(zhǎng)線段”的經(jīng)驗(yàn)，探究三角形的周長(zhǎng)。

教學(xué)片段：

師：你準(zhǔn)備怎樣測(cè)量下面這個(gè)三角形的周長(zhǎng)（見圖2）？

圖2

生：可以分別量出線段AB、BC、CA的長(zhǎng)度，再把它們的長(zhǎng)度加起來，結(jié)果就是三角形的周長(zhǎng)。

師：你能試著用沒有刻度的直尺和圓規(guī)把三角形的三條邊畫在一條直線上嗎？

（學(xué)生嘗試動(dòng)手操作，教師組織學(xué)生進(jìn)行交流）

生：我先畫一條直線，再用圓規(guī)截取線段AB的長(zhǎng)度，在直線上畫線段AB，再繼續(xù)以B為端點(diǎn)，截取線段BC的長(zhǎng)度畫線段BC，再以C點(diǎn)為端點(diǎn)，以線段AC的長(zhǎng)度畫線段CA＇，弧線與直線的交點(diǎn)為點(diǎn)A＇，線段AA＇的長(zhǎng)度就是三角形的周長(zhǎng)，我量得三角形的周長(zhǎng)是10厘米（見圖3）。

圖3 “認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)”作圖

師：為什么線段AA＇的長(zhǎng)度就是三角形的周長(zhǎng)？

生：因?yàn)橛脠A規(guī)作出的線段AB、BC、CA＇的長(zhǎng)度與三角形的三條邊對(duì)應(yīng)相等，而且AB、BC、CA＇三條線段是首尾相接的，也就是AB+BC+CA＇=AA＇，所以AA＇的長(zhǎng)度就是三角形的周長(zhǎng)。

師：作圖的時(shí)候，你有什么要提醒大家的嗎？

生：把三條邊畫在直線上的時(shí)候一定要首尾相接，只有首尾相接，畫出來的線段的長(zhǎng)度才是三角形的周長(zhǎng)。

師：你的思維真嚴(yán)謹(jǐn)，說得有理有據(jù)。除了可以以點(diǎn)A為起點(diǎn)畫出三角形的三條邊，還可以怎樣畫？

生：還可以從點(diǎn)B和點(diǎn)C展開。

師：這三種方法有什么不同點(diǎn)和相同點(diǎn)？

生：起點(diǎn)位置不一樣，畫的邊的順序也不一樣，但都把三條邊首尾相接畫在了一條直線上，他們的總和是不變的，都是三角形的周長(zhǎng)。

師：無論選擇哪個(gè)起點(diǎn)展開作圖，三角形的周長(zhǎng)都等于它三條邊的和，與邊的前后順序無關(guān)。

師：再來對(duì)比一開始測(cè)量周長(zhǎng)的方法和尺規(guī)作圖的方法，又有什么不同？

生：一開始測(cè)量周長(zhǎng)的方法是先分段測(cè)量然后再求和，尺規(guī)作圖的方法是先展開后測(cè)量。

師：是呀，不管哪種方法都是把三條邊的長(zhǎng)度加起來，就是它的周長(zhǎng)。

上述教學(xué)片段中，在核心問題“你能試著用沒有刻度的直尺和圓規(guī)把三角形的三條邊畫在一條直線上嗎”的引領(lǐng)下，學(xué)生借助尺規(guī)作圖，將三角形三條邊的長(zhǎng)度之和轉(zhuǎn)化為一維的線段長(zhǎng)度，可以使學(xué)生深刻地感悟周長(zhǎng)的本質(zhì)，又進(jìn)一步加深了對(duì)三角形“首尾相接”的理解。在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生思考“還可以從哪個(gè)頂點(diǎn)展開”“這幾種方法有什么不同點(diǎn)和相同點(diǎn)”等問題，學(xué)生在手腦并用做數(shù)學(xué)、想數(shù)學(xué)的過程中進(jìn)一步豐富了對(duì)“周長(zhǎng)”概念的理解。

（四）深化明理，探索三邊關(guān)系

在“三角形的三邊關(guān)系”一課中，針對(duì)“能圍成三角形的三根小棒，它們的長(zhǎng)度之間有怎樣的關(guān)系”的問題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生先嘗試畫一個(gè)三角形，在此基礎(chǔ)上，借助尺規(guī)進(jìn)一步探究三角形的三邊關(guān)系。

教學(xué)片段1：

師：要想研究三角形三條邊的關(guān)系，我們先畫一個(gè)三角形。這里有三條線段，請(qǐng)你以這三條線段為邊，用無刻度直尺和圓規(guī)畫一個(gè)三角形，邊畫邊體會(huì)三角形三條邊的關(guān)系（見圖4）。

圖4 三角形給定線段

（學(xué)生借助尺規(guī)畫三角形）

師：你是怎么畫的？

生：先用直尺畫一條射線，用圓規(guī)截取線段c的長(zhǎng)度，畫出一條邊，標(biāo)上字母BC，再用圓規(guī)量出線段a的長(zhǎng)度，從B點(diǎn)出發(fā)畫弧線，再截取線段b的長(zhǎng)度，從C點(diǎn)出發(fā)畫弧線，找到它們的交點(diǎn)，再用直尺連接交點(diǎn)，就作出了三角形ABC（見圖5）。

圖5

師：為什么這兩條弧的交點(diǎn)是三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)呢？

生：因?yàn)檫@一點(diǎn)既滿足到B點(diǎn)是線段AB的長(zhǎng)度，又滿足到C點(diǎn)是線段AC的長(zhǎng)度。

師：觀察一下自己和同伴畫出的三角形，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我們畫出的三角形的大小和形狀都是相同的。

師：結(jié)合畫的過程，你認(rèn)為圍成三角形的三條邊的長(zhǎng)度有什么關(guān)系？

生1：上面的兩條邊要搭起來，才能作出三角形。

生2：搭起來的這兩條邊的長(zhǎng)度之和一定要比另一條邊長(zhǎng)。

師：是這樣嗎？請(qǐng)你用喜歡的方法驗(yàn)證，然后將驗(yàn)證的方法和同伴交流一下。

生1：我把相交的兩條弧落下來，發(fā)現(xiàn)它們中間有重合，說明上面兩條邊加起來比下面這條邊長(zhǎng)。

生2：我借助圓規(guī)，把AB與AC的長(zhǎng)度連在一起，和BC比較，發(fā)現(xiàn)AB+AC＞BC。

（教師轉(zhuǎn)動(dòng)三角形，使AB邊在最下面）

生3：AB和BC加起來也比AC長(zhǎng)。

生4：我畫的三角形和老師轉(zhuǎn)過來的一樣，下面本來就是最短的線段，那兩條邊之和當(dāng)然大于下面這條邊了，所以BC+AC＞AB。

師：你能概括地說一說，這個(gè)三角形三邊之間有什么關(guān)系嗎？

生：三角形任意兩邊之和大于第三邊。

學(xué)生已經(jīng)有用尺規(guī)作等邊三角形的經(jīng)驗(yàn)，教師放手讓學(xué)生借助已有的三條線段作一般的三角形，在作圖的過程中初步感受三角形的三邊關(guān)系。教師進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生基于作圖進(jìn)行思考，直觀地感受三角形上面的兩條邊搭起來的長(zhǎng)度之和大于底下的邊。教師又進(jìn)一步組織學(xué)生交流，引導(dǎo)學(xué)生多角度思考，引發(fā)學(xué)生提出“三角形任意兩邊之和大于第三邊”的猜想。

教學(xué)片段2：

師：剛才，我們?cè)谶@一個(gè)三角形中有了發(fā)現(xiàn)，是不是所有的三角形都是這樣呢？

師：這里有幾組線段，你們可以借助這幾組線段進(jìn)行研究，也可以在剛才作的三角形的基礎(chǔ)上進(jìn)行驗(yàn)證（見圖6）。

圖 6 六組給定線段

（學(xué)生進(jìn)行探索和研究）

師：你們剛剛從三條線段能圍成和圍不成三角形兩個(gè)角度進(jìn)行了驗(yàn)證，現(xiàn)在能解決我們開始提出的問題了嗎？能圍成三角形的三根小棒，它們的長(zhǎng)度之間有什么關(guān)系呢？

生：三角形任意兩邊之和大于第三邊。

學(xué)生提出初步的猜想以后，教師引導(dǎo)學(xué)生借助尺規(guī)進(jìn)行驗(yàn)證，學(xué)生可以根據(jù)教師提供的線段進(jìn)行研究，也可以借助已有的三角形進(jìn)行研究。交流中，有的學(xué)生借助教師提供的線段嘗試作三角形，驗(yàn)證圍成、圍不成的情況；有的學(xué)生從已有三角形出發(fā)，固定其中一條邊不變，在不斷縮短另外兩條邊的過程中，體會(huì)當(dāng)兩條邊長(zhǎng)度之和大于第三邊時(shí)，能圍成三角形，在直觀的變化中進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證規(guī)律。

綜上所述，學(xué)生歷經(jīng)四次尺規(guī)作圖的活動(dòng)，從“作等長(zhǎng)線段”到“作等邊三角形”中將一維拓展為二維，再到“認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)”中將二維轉(zhuǎn)化為一維，繼而在“三角形的三邊關(guān)系”中借助尺規(guī)在三角形一邊固定不變而另兩邊不斷變化中探尋、感受規(guī)律，學(xué)生將作圖經(jīng)驗(yàn)不斷應(yīng)用到后續(xù)的探索中，在變與不變中明晰原理、厘清本質(zhì)，認(rèn)知從膚淺走向深刻、從單一走向豐滿、從粗略過渡到精準(zhǔn)。

四、教育價(jià)值的新思考

尺規(guī)作圖植根于幾何圖形的內(nèi)在特征和圖形之間的聯(lián)系，作圖的過程不僅僅是一種操作，更是數(shù)學(xué)探究和思維的過程，是聯(lián)系、重構(gòu)、內(nèi)化幾何知識(shí)的過程，是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀、推理意識(shí)和數(shù)學(xué)品格的有效載體。上述四節(jié)課中對(duì)尺規(guī)作圖的實(shí)踐應(yīng)用，體現(xiàn)了教師對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育。

（一）以尺規(guī)作圖育幾何直觀

史寧中教授指出：“平面幾何的教育價(jià)值何在？我以為除了公認(rèn)的幾何證明外，就是培養(yǎng)幾何直觀能力了?！睅缀沃庇^主要是指運(yùn)用圖表描述和分析問題的意識(shí)與習(xí)慣，能夠感知各種幾何圖形及其組成元素，依據(jù)圖形的特征進(jìn)行分類；根據(jù)語言描述畫出相應(yīng)的圖形，分析圖形的性質(zhì)；建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型；利用圖表分析實(shí)際情境與數(shù)學(xué)問題，探索解決問題的思路。幾何直觀有助于學(xué)生把握問題的本質(zhì)，明晰思維的路徑。

在“認(rèn)識(shí)線”的教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生思考：“如果沒有測(cè)量工具，可以怎么畫？”在探索不同工具的過程中，學(xué)生感受到尺規(guī)作圖的簡(jiǎn)潔、直觀，巧妙地解決了“作等長(zhǎng)線段”的問題，從形象的思維視角逐步向抽象的空間形式轉(zhuǎn)化，有助于學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)。

在“三角形的認(rèn)識(shí)”教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生自主選擇線段作為邊長(zhǎng)作等邊三角形，學(xué)生借助尺規(guī)，根據(jù)已有線段逐步構(gòu)建出等邊三角形，經(jīng)歷了“想象—操作—說理—比較”的過程，發(fā)展了學(xué)生的幾何直觀能力。

在“周長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)”教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生借助尺規(guī)依次度量三角形的三條邊，并將其首尾相接連成一條長(zhǎng)線段，學(xué)生直觀地理解了周長(zhǎng)概念的本質(zhì)，將抽象的關(guān)系與外在可感的圖式建立有力的聯(lián)結(jié)，促進(jìn)思維由具體直觀逐步向更高級(jí)、更抽象的空間形式轉(zhuǎn)化，發(fā)展了學(xué)生的幾何直觀能力。

在“三角形的三邊關(guān)系”教學(xué)中，教師先是引導(dǎo)學(xué)生借助尺規(guī)作一般的三角形，學(xué)生直觀地感受到只要三角形的三邊確定，三角形的形狀就是唯一的，直觀地感受了三角形的穩(wěn)定性。接著，學(xué)生在用尺規(guī)探究三角形的三邊關(guān)系時(shí)，直觀地感受“圍成”和“圍不成”的情況，發(fā)展了學(xué)生的幾何直觀能力。

（二）以尺規(guī)作圖育推理意識(shí)

推理意識(shí)主要是指對(duì)邏輯推理過程及其意義的初步感悟，知道可以從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題或結(jié)論；能夠通過簡(jiǎn)單的歸納或類比，猜想或發(fā)現(xiàn)一些初步的結(jié)論；通過法則運(yùn)用，體驗(yàn)數(shù)學(xué)從一般到特殊的論證過程；對(duì)自己及他人的問題解決過程給出合理解釋。推理意識(shí)有助于學(xué)生養(yǎng)成有條理的思維習(xí)慣，增強(qiáng)其交流能力，是學(xué)生形成推理能力的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。

在“認(rèn)識(shí)線”的教學(xué)中，教師給定一個(gè)點(diǎn)，讓學(xué)生再次嘗試畫等長(zhǎng)線段，進(jìn)而引發(fā)學(xué)生思考“這樣的點(diǎn)在弧上還能找到嗎？能找到多少個(gè)”，學(xué)生依據(jù)“作等長(zhǎng)線段”的規(guī)則，通過邏輯思考和推理，推出“只要在弧上任意選一個(gè)點(diǎn)和給出的點(diǎn)連接，都能得到等長(zhǎng)線段，這樣的線段有無數(shù)條”的結(jié)論。如此，學(xué)生的推理意識(shí)得以發(fā)展。

在“三角形的認(rèn)識(shí)”教學(xué)中，教師引發(fā)學(xué)生思考“你是怎樣找到三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)C的”，學(xué)生基于尺規(guī)作圖的過程進(jìn)行反思，明晰三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)只有與另外兩個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等才是等邊三角形，進(jìn)而確定兩弧的交點(diǎn)即為等邊三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)，發(fā)展了學(xué)生的推理意識(shí)。

在“周長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)”教學(xué)中，學(xué)生經(jīng)歷了把三角形的三條邊畫在一條直線上的過程之后，教師引發(fā)學(xué)生思考“為什么長(zhǎng)線段的長(zhǎng)度就是三角形的周長(zhǎng)”，引導(dǎo)學(xué)生明晰圖形的周長(zhǎng)等于圖形所有邊的和。學(xué)生思維從操作實(shí)驗(yàn)的直觀具象逐步向推理論證的嚴(yán)謹(jǐn)抽象過渡，豐富了學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)概念內(nèi)涵的深刻理解。

在“三角形的三邊關(guān)系”教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生從作出的已知三角形出發(fā)，先猜想三角形的三邊關(guān)系，進(jìn)而展開驗(yàn)證。有的學(xué)生選取教師提供的幾組線段進(jìn)行驗(yàn)證，有的學(xué)生在原有三角形的基礎(chǔ)上，固定一邊不變，逐漸縮短另外兩條邊，學(xué)生在動(dòng)手操作、驗(yàn)證猜想、歸納說理的過程中，感悟三角形的三邊關(guān)系，發(fā)展推理意識(shí)。

（三）以尺規(guī)作圖育數(shù)學(xué)品格

對(duì)數(shù)學(xué)教育而言，數(shù)學(xué)品格是比數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)意識(shí)更上位的價(jià)值追求，它是一種不斷生成、不斷累積并富有持久生機(jī)的知識(shí)，也是數(shù)學(xué)教育的原點(diǎn)，數(shù)學(xué)品格集中體現(xiàn)在思維嚴(yán)謹(jǐn)與理性精神兩個(gè)方面。尺規(guī)作圖以其直觀、簡(jiǎn)潔、細(xì)致的操作，以及嚴(yán)密的思考，凸顯了數(shù)學(xué)獨(dú)有的文化魅力，培育了學(xué)生的數(shù)學(xué)品格。

在“認(rèn)識(shí)線”的教學(xué)中，學(xué)生嘗試用自己的思維方法去解決問題，通過敘述作圖步驟將自己的想法充分表達(dá)，學(xué)生在獨(dú)立思考、探索創(chuàng)新的過程中，形成善于質(zhì)疑、善于反思的理性精神。

在“三角形的認(rèn)識(shí)”教學(xué)中，學(xué)生借助尺規(guī)作等邊三角形，進(jìn)而有理有據(jù)地說明怎樣確定三角形的三個(gè)頂點(diǎn)及三條邊，明晰作出的圖形為什么是等邊三角形的道理。這種追根溯源的說理有效地培養(yǎng)了學(xué)生思維的條理性和嚴(yán)謹(jǐn)性，有利于學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維品質(zhì)。

在“周長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)”教學(xué)中，學(xué)生運(yùn)用尺規(guī)將周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為一維的長(zhǎng)度，從直觀的思維視角觀察、思考、分析，在交流表達(dá)的過程中，感受邏輯推理的嚴(yán)謹(jǐn)美、 精準(zhǔn)表達(dá)的簡(jiǎn)潔美和精確刻畫的細(xì)致美，形成思維縝密、有理有據(jù)的思維品質(zhì)。

在“三角形的三邊關(guān)系”的教學(xué)中，學(xué)生借助尺規(guī)作圖畫出的三角形展開對(duì)三邊關(guān)系的合理猜想，進(jìn)而用不同的方法進(jìn)行驗(yàn)證，并“持之有故，言之有理”地表達(dá)驗(yàn)證的方法及過程，在求真求實(shí)中滋養(yǎng)理性精神。

尺規(guī)作圖是人類理性思維的瑰寶，是科學(xué)和藝術(shù)的完美結(jié)晶，體現(xiàn)了“真善美”。作為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的新增內(nèi)容，尺規(guī)作圖扎根幾何知識(shí)本質(zhì)，助力學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展，是學(xué)生幾何學(xué)習(xí)的有力抓手，教師應(yīng)充分探索其教學(xué)實(shí)施路徑，發(fā)掘其教學(xué)價(jià)值，以尺規(guī)作圖培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。