王國安 楊 劉 （合肥師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，安徽 合肥 230601）

1 引 言

初中數(shù)學課程內(nèi)容中的圖形與幾何是一個全新的分支，在起始課教學中如何讓學生更好更快地入門，并對幾何的學習有整體的把握，幾何起始課的教學設計十分重要.工欲善其事，必先利其器，本文將立足課標，基于HPM 對初中幾何起始課的教學進行設計，為起始課的設計提供獨特視角和豐富資源.

2 起始課和HPM

起始課作為單元教學中的第一種基本課型，是讓學生在學習新知時有初步的整體感知，有先行組織者的作用.起始課教學中應讓學生明白該學習內(nèi)容的整體框架、思想方法.起始課的設計目標主要以理解記憶為主，主要任務應包括對數(shù)學內(nèi)容和方法結(jié)構(gòu)的整體理解記憶.

本文起始課要解決以下幾個問題：

（1）為何學——感受學習的必要性及重要性；

（2）學什么——體會知識整體結(jié)構(gòu)和核心概念；

（3）怎么學——明白本單元的研究思路及學習要求；

（4）學如何——理解學習該知識的應用性和價值.

HPM 全稱為“History and Pedagogy of Mathematics ”，它的含義為數(shù)學史與數(shù)學教育的關(guān)系.從1972 年誕生至今，數(shù)學史融入數(shù)學教學的實踐是HPM 所研究的重要方向之一，其中數(shù)學史料選擇的五項原則及其所具有的教育價值如下：

（1）趣味性：能激發(fā)學生的學習興趣和動機，具有德育之效；

（2）可學性：符合學生的認知基礎(chǔ)，具有知識之諧；

（3）有效性：有助于學生理解、掌握和運用相應知識，具有知識之諧、方法之美、探究之樂和能力之助；

（4）人文性：與數(shù)學家相關(guān)聯(lián)，反映數(shù)學背后的人文精神，具有文化之魅和德育之效；

（5）科學性：符合史實且有明確的文獻出處，具有知識之諧、方法之美、文化之魅和德育之效.

由于學生剛步入初中，前面學習的內(nèi)容均為“數(shù)與代數(shù)”，剛過渡到幾何會感到有些突然.在既往的七年級數(shù)學教學中，存在著起始課內(nèi)容相對簡單、可有可無的錯誤認知，教師在起始課教學設計方面也不夠重視，只注重形式上的起始課教學，導致學生參與度不高，也無法調(diào)動學生的積極性.

因此本文教學設計定位于數(shù)學史方面的起始課，基于HPM 視角，從學生的認知角度出發(fā)，發(fā)掘幾何的淵源，展示幾何發(fā)展中的故事，并以凝練的語言揭示幾何學研究的目的、內(nèi)容和方法.

3 各版本教科書中的編排

初中7—9 年級學段的圖形與幾何課程內(nèi)容主要包括：圖形的性質(zhì)、圖形的變化、圖形與坐標，表1 為“幾何起始課”在人教版、蘇科版、滬科版、北師大版和華師大版教科書中所處的位置、呈現(xiàn)方式以及后續(xù)知識的順序.

表1 五個版本教科書中的“幾何起始課”

從表1 可見，人教版和滬科版的相似度較高，兩個版本均將幾何起始課安排在七年級上學期，且都在學習有理數(shù)、整式、一元一次方程之后，順應義務教育數(shù)學課程標準中教材編寫的要求，在準確表達數(shù)學含義的前提下，可隨數(shù)學學習、語言學習的深入，呈現(xiàn)第三學段學生的年齡特征，進而幫助他們理解數(shù)學中的幾何語言.現(xiàn)今教科書中數(shù)學知識的編排，往往按照特定的邏輯體系，但學生卻并不理解為什么要學習某一知識點.其實每個知識點的背后都蘊含著歷史中其發(fā)生和發(fā)展的緣起，而這些緣起常與當時要解決的問題密切相關(guān)，所以在歷史上促使某一數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展的事件就成了起始課的理想素材.兩版本也在章節(jié)末給出幾何的起源這一數(shù)學史，幫助學生了解人類文明中幾何學的作用，激發(fā)學生學習幾何知識的興趣.

本課例基于滬科版教材而開發(fā)，為七年級上冊“圖形與幾何”起始課的第一課時，選取第四章第一節(jié)“幾何圖形”，教學內(nèi)容包括：先通過多媒體介紹幾何的起源，幾何的研究對象.然后通過介紹歐幾里得的故事，講述學習幾何的要求，同時介紹本章的主要框架.再觀察教室、生活中的物體，分析其形狀，簡單介紹幾何圖形的分類.最后利用多媒體展示幾何的作用.

4 基于HPM 的起始課教學設計

環(huán)節(jié)一 追根溯源 以史明鑒

師：在我們的身邊有許多的圖形，而研究這些圖形的數(shù)學分支就是幾何學.可見幾何與人們的生活息息相關(guān)，那么幾何是如何產(chǎn)生和發(fā)展的呢？（教師展示以下三幅圖片并講解）

1.展示圖1：古埃及地圖（圖片中標出尼羅河在埃及中的位置）

圖1

公元前3000 年，幾何的起源地古埃及，橫穿其中的尼羅河時常泛濫兩岸土地，古埃及人每年需要對地界重新進行測量，積累了許多測量土地的知識.因此幾何學形成的主要原因是測量活動.“幾何”的英文單詞為“geometry”，意思為土地測量，音譯為“幾何”，有“多少”之意.音意并譯，有異曲同工之妙.

2.展示圖2：黑陶文物

圖2

公元前1000 年前，黑陶是誕生于中國新石器時代晚期的制品，觀察圖片中精美的陶器，會發(fā)現(xiàn)上面雕刻著許多幾何圖形，有三角形、正方形、菱形等.說明當時我國就將幾何圖形運用到陶藝中，使其更加美觀.

3.展示圖3：“幾何之父”——歐幾里得

圖3

公元前300 年前，希臘數(shù)學家歐幾里得結(jié)合自己的思想，融入前人的幾何學知識，以縝密的演繹邏輯，進行系統(tǒng)的匯總和整理，寫出一部包含13 卷的論文集——《幾何原本》，這是一本幾何學上具有劃時代意義的書.

師：接下來，我們跟隨著古人的足跡，一起進入到“幾何圖形”的學習中來.

【設計意圖】從數(shù)學史實出發(fā)：介紹幾何學起源的歷史背景、詞源考證，揭示了早期幾何學的形成緣由.展示我國文物運用幾何圖形的歷史，介紹歐幾里得及其著作，讓學生了解幾何來源于實際問題，激發(fā)學生的興趣，為幾何的學習拉開序幕.

環(huán)節(jié)二 明晰內(nèi)容 建構(gòu)框架

活動1：請同學們觀察圖形（如圖4），教師說明以下五種幾何體的名稱，請同學們列舉在日常生活中形狀與下列幾何體類似的物體.

圖4

生：快遞包裝盒是長方體，生日帽是圓錐體，茶杯是圓柱體，乒乓球是球體，四面體不常見，交通路錐是四面體.

師：同學們善于發(fā)現(xiàn)，找到許多幾何體，也知道幾何的起源和發(fā)展，認識了實際生活中的幾何體，那么幾何要學習的內(nèi)容是什么呢？

生：幾何起源于測量土地，跟它的位置、面積有關(guān)；文物中的圖形有黑色、圓形的，跟它的顏色、形狀有關(guān).

師：回答得很好！但還有一部分未考慮到，我們從實物中抽象出數(shù)學圖形，幾何的研究對象為幾何圖形，無需考慮它們的其他性質(zhì)（如質(zhì)量、顏色、材料），只需注意它們的形狀（如方、圓）、大?。ㄈ缑娣e、長短）、位置（如平行、垂直、相交）即可.

【設計意圖】給出幾個幾何圖形，聯(lián)系生活實際，激發(fā)學生的學習興趣，調(diào)動學生的積極性.使學生以最佳狀態(tài)投入到學習中去.綜合以上活動，讓學生明確幾何中研究對象只需考慮圖形的形狀、大小以及相互的位置關(guān)系，而不去考慮物質(zhì)構(gòu)成、顏色等.

活動2：同學們觀察地圖中密密麻麻的城市能得到什么概念嗎？對于地圖中縱橫交錯的公路和河流湖泊有什么發(fā)現(xiàn)？

生：地圖上的城市是一個個點，公路是線，河流湖泊是面.

（以上活動由學生觀察、思考、交流討論，最后由老師總結(jié)）

師：在數(shù)學研究中，“點”是無大小、無面積的；“線”是無寬度、粗細的，可分為直線和曲線，包括線段、射線、直線；“面”可分為平面和曲面，注意數(shù)學中研究的面是無厚度、可以無限延伸的.點動成線，線動成面，面動成體，點、線、面、體這些基本圖形可幫助人們有效地刻畫錯綜復雜的現(xiàn)實世界，它們都稱為幾何圖形.這些就是我們本章節(jié)要學習的主要內(nèi)容.

【設計意圖】先通過問題讓學生思考幾何研究的對象及內(nèi)容，再對本章內(nèi)容進行整體的梳理，明確各部分之間的關(guān)聯(lián)性，具體的知識點可在后續(xù)精學課中進行詳細講解.

環(huán)節(jié)三 幾何無捷徑只要肯攀登

師：那幾何該如何學習呢？先讓我們一起回到歐幾里得的時代，看一下數(shù)學家的逸聞趣事.公元前300 年左右，埃及國王托勒密一世在學習《幾何原本》時，向歐幾里得詢問有沒有掌握幾何的快捷之路.歐幾里得直言道：“幾何無王者之路.”這句話告訴我們幾何的學習沒有捷徑，幾何的語言要嚴謹、規(guī)范.接下來，開始我們的幾何圖形學習.

師：請同學們觀察教室里的各種物體，說說它們都是什么圖形和形狀？哪些面是平的，哪些面是彎曲的？

生：黑板和課本都是長方體，它們的面是長方形，都是平的；喝水的茶杯、寫字的粉筆是圓柱體，它們的上面是圓形，正面也是長方形，但是是彎曲的；漏斗是圓錐體，它的正面是三角形的曲面，底面是圓形的平面；足球是球體，它從各面看都是圓形的曲面，上面還有五邊形和六邊形.

師：同學們觀察的都特別仔細，能從實物中抽象出各種物體的形狀、各面的平曲，這些幾何圖形可分為平面圖形和立體圖形，那你能發(fā)現(xiàn)它們的區(qū)別嗎？

生：平面圖形只能看到一個面，立體圖形在不同角度有很多面，且各個面都不在一個平面內(nèi).

師：考慮得很完善！在幾何圖形中，我們還可以用面上的點來描述，平面圖形其面上的各點都在同一個平面內(nèi)，立體圖形其面上的各點不都在同一個平面內(nèi).

教師板書平面圖形和立體圖形的特征.

【設計意圖】從數(shù)學家的故事中體會到幾何學習要有刻苦鉆研、認真勤奮的態(tài)度.然后通過觀察身邊的物品，讓學生從中抽象出幾何圖形，培養(yǎng)學生幾何直觀和抽象概括能力.

環(huán)節(jié)四 幾何魅力 學以致用

練習1：下列圖形：①三角形；②長方形；③平行四邊形；④立方體；⑤圓錐；⑥圓柱；⑦圓；⑧球體.其中平面圖形的序號有哪些？立體圖形的序號有哪些？

解析：根據(jù)平面圖形和立體圖形的定義：一個圖形的各部分都在同一個平面內(nèi)可判斷①②③⑦是平面圖形；一個圖形其面上的各個點不都在同一平面內(nèi)可判斷④⑤⑥⑧是立體圖形.

練習2：觀察長方體和圓錐體，回答下列問題：

長方體和圓錐體各由幾個面組成，這些面有什么特征？共有多少條線？這些線都是直的嗎？各有幾個頂點？

解析：長方體由6 個面組成，這些面都是平的面，共有12 條線，這些線都是直的，有8 個頂點.圓錐體由2 個面組成，1 個平的面和1 個曲的面，有1 條線，是曲線，只有1 個頂點.

【設計意圖】練習1 考查平面圖形和立體圖形的認知，讓學生根據(jù)其特征來區(qū)分；練習2 考查幾何圖形的構(gòu)成，讓學生根據(jù)長方體、圓錐的構(gòu)成特點解答，此類問題要聯(lián)系實物的形狀與面的形狀做對比判斷，平面與平面相交成直線，曲面與平面相交成曲線.

師：學習幾何對我們有哪些作用？我們一起欣賞下幾何帶給我們的魅力！

展示多媒體圖片：建筑類：江南建筑、故宮天壇；生活類：年畫剪紙；科技類：長征五號運載火箭；體育休閑類：水立方、2022 年北京冬季奧運會會徽等.

師：欣賞了幾何之美，帶給我們視覺的沖擊，其實它就在我們的身邊，和我們生產(chǎn)、生活息息相關(guān).

【設計意圖】通過多媒體的展示，讓學生發(fā)現(xiàn)在現(xiàn)實世界中，幾何與我們生活密不可分，培養(yǎng)學生觀察力、幾何直觀能力和空間想象能力，感受到幾何的價值和實用性，提高學生學習幾何的動力.

環(huán)節(jié)五：課堂小結(jié) 課后分享

師：今天的幾何探索即將結(jié)束，請同學回顧一下這堂課你的收獲有哪些.

生：學習了幾何圖形分為平面圖形和立體圖形以及它們的區(qū)別.

師：回答得很好，還有同學補充一下嗎？

生：幾何的起源、發(fā)展，還有幾何之父——歐幾里得的故事和他的書；幾何的學習要求和它在生活中的應用.

師：同學們回顧得都很全面，今天的學習讓我們踏入幾何學的大門，課后跟同伴分享你遇到新的幾何圖形，期待下一次幾何的相遇，下課！

【設計意圖】小結(jié)本節(jié)課所學內(nèi)容，要明確、具體，盡量圍繞本節(jié)課教學過程和板書，讓學生學會總結(jié)和提煉知識點.

5 結(jié) 語

汪曉勤教授將數(shù)學史對學生的教育價值分成以下六類：“知識之諧”“方法之美”“探究之樂”“能力之助”“文化之魅”和“德育之效”.除了傳授知識技能外，更重要的是其他三個方面目標（數(shù)學思考、問題解決、情感態(tài)度）也要相互結(jié)合、準確落實，才能對后續(xù)幾何的學習帶來事半功倍的效果.

在本文起始課教學設計中，運用數(shù)學史作為先行組織者，在知識技能方面，講解幾何學的淵源歷史，認識生活中的幾何圖形；在數(shù)學思考方面，讓學生借助圖形思考圖形表面的平曲，建立初步幾何直觀；在問題解決方面，讓學生學會在具體情境中，從數(shù)學的角度對平面圖形與立體圖形進行區(qū)分；在情感態(tài)度方面，激發(fā)學生積極參與數(shù)學活動，對后續(xù)幾何的學習產(chǎn)生好奇心和求知欲.展示了“文化之魅”，達到了“德育之效”.

在起始課教學中運用數(shù)學史，有利于教師對數(shù)學文化理念的認同和落實，幫助教師整體把握“教什么”，更重要的是明白“為何教”.同時有助于提高學生的數(shù)學文化素質(zhì)，知道“學什么”“為何學”，理清知識之間的整體性、關(guān)聯(lián)性.初一學生正處于形象思維向抽象思維過渡的階段，剛接觸幾何學習時，需要接受許多較抽象的語言，而此時恰當?shù)厝谌霐?shù)學史，讓學生不會感到枯燥，產(chǎn)生厭煩情緒，而是通過歷史趣味性來激發(fā)學生的學習興趣和求知欲.總之，良好的開端等于成功的一半，在幾何起始課中融入數(shù)學史，實施數(shù)學文化教育，能較好地提高學生的數(shù)學綜合能力.