周仲旺 孫建安 （濰坊學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，山東 濰坊 261061）

一、廣義勾股定理和三角形的秩

廣義勾股定理1對(duì)正實(shí)數(shù)a，b，c，若滿足a≤b＜c，則必存在唯一的正實(shí)數(shù)n，使a+b＝c，且當(dāng)n＜1 時(shí)，a，b，c不構(gòu)成三角形；當(dāng)n＝1 時(shí)，a，b，c 構(gòu)成平角三角形，當(dāng)1＜n＜2 時(shí)，a，b，c 構(gòu)成鈍角三角形；當(dāng)n ＝2 時(shí)，a，b，c 構(gòu)成直角三角形；當(dāng)n＞2 時(shí)，a，b，c 構(gòu)成銳角三角形.這個(gè)定理中的n 就稱為三角形的秩.

以橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為極點(diǎn)建立極坐標(biāo)系，則橢圓的極坐標(biāo)方程為ρ+c＝（a-ρ）、ρ+（a-ρ）＝c，其中a 是長(zhǎng)軸，c 是焦距，ρ 是橢圓上一點(diǎn)的極坐標(biāo)的極徑，n 是橢圓上這點(diǎn)和橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的秩.

橢圓的頂點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形是平角三角形或等腰三角形，這些三角形很特殊，四個(gè)頂點(diǎn)就很特殊，它們所在的位置就很好.據(jù)此，當(dāng)橢圓（指第二個(gè)方程）上有點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形為直角三角形時(shí)，就得到橢圓上這樣的四個(gè)點(diǎn)，這四個(gè)點(diǎn)很特殊，位置也很好，在橢圓的這四個(gè)位置上擺放東西肯定很好看、很美觀.譬如一個(gè)舞臺(tái)的邊緣是個(gè)橢圓，則主持人站在這些位置報(bào)幕最好.

二、三角形秩的理論意義

所以f（r，a，b）在a＞0，b＞0 上，當(dāng)1＜r＜2 時(shí)，必有最小值f（r），最大值的上確界為0；當(dāng)r＞2 時(shí)，必有最大值f（r），最小值的下確界為0，且若r＜r，則f（r）＜f（r），f（r）＜f（r）.

像直角三角形那樣，對(duì)任意實(shí)數(shù)r＞1 和任意銳角α，必有一個(gè)三角形，它的秩為r，一個(gè)較小角為α，且另外兩個(gè)角唯一確定，這一結(jié)論的前半部分，由三角形秩的理論意義能推出.據(jù)此，引入廣義三角函數(shù).

三、廣義三角函數(shù)理論

注：此定理不難推廣到區(qū)間（-∞，+∞）上，由①②③式，不難得到.

當(dāng)x 是銳角且r＞2 時(shí)，

所以，當(dāng)r＞2 時(shí)，cos（r，x），sin（r，x）的單調(diào)性很清楚了.sin′（r，x）是cos（r，x）乘一個(gè)因子，cos′（r，x）是-sin（r，x）乘這個(gè)因子，當(dāng)r ＝2 時(shí)，這個(gè)因子是1，即得sin′x ＝cos x，cos′x＝-sin x.至此，r＞2 時(shí)的廣義三角函數(shù)cos（r，x），sin（r，x）已基本搞清楚，接下來請(qǐng)大家研究1＜r＜2 時(shí)的廣義三角函數(shù).

證由①②③式不難得：

根據(jù)洛必達(dá)法則知：

值得一提的是：根據(jù)②式，在原來基本初等函數(shù)的意義下，新余弦函數(shù)、新正弦函數(shù)基本沒有顯示式，但反新余弦函數(shù)、反新正弦函數(shù)都有顯示式.

經(jīng)過簡(jiǎn)單計(jì)算得：sin（3，0.3）＝0.297，sin（3，0.75）＝0.69，sin（3，1.25）＝0.96，sin（3，1.5）＝0.999，cos（3，0.3）＝0.99，cos（3，0.75）＝0.87，cos（3，1.25）＝0.48，cos（3，1.5）＝0.111.再根據(jù)單調(diào)性，不難作出sin（3，x）、cos（3，x）的圖像，它們與sin x、cos x 的圖像差不多.

上面我們研究了當(dāng)r＝3，1.5 時(shí)，sin（r，x）、cos（r，x）的圖像，請(qǐng)大家自行研究r 取其他值時(shí)，sin（r，x）、cos（r，x）的圖像.

所有的新正弦函數(shù)、新余弦函數(shù)都應(yīng)看成基本初等函數(shù)，sin x、cos x 其實(shí)就是sin（2，x）、cos（2，x），將sin x、cos x 寫為sin（2，x）、cos（2，x）更科學(xué).cos（r，x）和cos x 之間滿足②式的關(guān)系，所以新增加的基本初等函數(shù)實(shí)際上只有兩個(gè)，即對(duì)一個(gè)固定的r 只有sin（r，x）和cos（r，x）.根據(jù)②式，cos（r，x）一般不能由cos x 表示，但cos x 都可由cos（r，x）表示.所以，凡是能用正弦、余弦表示的函數(shù)，必能用新正弦、新余弦表示，但是能用新余弦、新正弦表示的函數(shù)，一般不能用余弦、正弦表示，這說明廣義三角函數(shù)是比三角函數(shù)更基本的函數(shù).三角函數(shù)跟廣義三角函數(shù)的圖像有時(shí)差不多，有時(shí)差別很大，所以，凡是能用三角函數(shù)研究的實(shí)際問題都能用廣義三角函數(shù)研究，不能用三角函數(shù)研究的實(shí)際問題也能用廣義三角函數(shù)研究.因此，只要把三角函數(shù)中隱含的秩2 改成廣義三角函數(shù)中的秩r 即可，這樣修改后，解決實(shí)際問題能否更精確、更便捷需要實(shí)踐的檢驗(yàn)，遺憾的是這不是我們數(shù)學(xué)工作者所研究的問題.

四、解三角形的快捷方法

文獻(xiàn)［1］中引入了三角形的秩r＞1 和三角形的較小銳角α 的新余弦x ＝cos（r，α），給出了建立電子數(shù)學(xué)用表查cos（r，α）＝x、cos（x，r）＝α、cos（x，α）＝r 的方法，現(xiàn)對(duì)新正弦y ＝sin（r，α）作同樣處理，即也建電子數(shù)學(xué)用表查sin（r，α）＝y(tǒng)、sin（y，r）＝α、sin（y，α）＝r，并再增加三個(gè)新電子數(shù)學(xué)用表：①r（α，β）＝r，即已知三角形的兩較小銳角α，β可以查出它的秩r，這個(gè)表根據(jù)公式sinα+sinβ ＝sin（α+β）提出；②r（r，α）＝β，即已知三角形的秩r 和一個(gè)較小銳角α 可以查出它的另一較小銳角β，這個(gè)表也根據(jù)公式sinα+sinβ＝sin（α+β）提出；③r（x，y）＝r，即已知三角形的較小銳角α 的新余弦、新正弦x，y 可以查出它的秩r，這個(gè)表根據(jù)公式x+y＝1 提出.用與三角形的秩有關(guān)的上面這九個(gè)新函數(shù)取代電子計(jì)算器上的八個(gè)三角函數(shù)，則解三角形基本上查查計(jì)算器上的電子數(shù)學(xué)用表就行！由此可知，建坐標(biāo)系不一定必須建直角坐標(biāo)系，采用仿射坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系也有其優(yōu)點(diǎn).以下說“查表得”實(shí)際上是用matlab 算出的，因?yàn)樯厦嬷v的電子數(shù)學(xué)用表到目前為止還沒建起來.

建立如圖所示的仿射坐標(biāo)系xOy，兩坐標(biāo)軸的夾角為35°，A，B，C，D 四點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（4，1），B（2，1.5），C（-1，y），D（-3，y），直線CD 的傾斜角是20°，試求：A，B兩點(diǎn)間的距離和C，D 兩點(diǎn)間的距離.

注1：在實(shí)際問題中，測(cè)量出的一般是角的度數(shù)，采用此法有明顯的優(yōu)勢(shì).

注2：三角形的秩是三角形的一個(gè)非常重要的參數(shù)，這一重要參數(shù)應(yīng)寫進(jìn)教材.

五、三角形的最大角的度數(shù)和它的秩數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系表及其應(yīng)用

根據(jù)上面的表格，已知斜三角形的最大角和一邊就能解三角形.給出了三角形的最大角，在上面表格中查出它的秩，再結(jié)合第四部分給出的方法就可以解三角形了，這樣解三角形所得結(jié)果與其精確值基本一樣.這種解斜三角形的方法比解直角三角形的經(jīng)典方法需要的條件要少，因此采用仿射坐標(biāo)系就比采用直角坐標(biāo)系要好，特別是仿射坐標(biāo)系兩坐標(biāo)軸的夾角較小（大）時(shí).