李 凱，杜長慎，柳軍修，余 勇，葛大麗

(安徽建筑大學土木工程學院,安徽合肥 230601)

0 引言

教育部自2019年起開始全面實施一流本科課程建設，一流課程(金課)建設引領著全國高校教育教學改革的發(fā)展方向.一流課程的主要特征概括為“兩性一度”，即高階性、創(chuàng)新性和挑戰(zhàn)度，其核心在于以“創(chuàng)新性”為方法，通過具有“挑戰(zhàn)度”的訓練，達到培養(yǎng)“高階性”思維的目的[1].培養(yǎng)高階性思維作為一流課程建設的首要目標，其不同于傳統(tǒng)的知識識記、理解和應用的培養(yǎng)目標.高階性思維培養(yǎng)目標要求學生通過對挑戰(zhàn)性問題進行獨立思考和深入探究，提出獨立個性化的見解和認識，以訓練形成創(chuàng)新性和批判性思維模式.高階性思維訓練案例是實現(xiàn)一流課程建設目標的重要途徑和關鍵環(huán)節(jié).案例設計時，內容上應反映學科前沿性和時代性，難度上應具有一定挑戰(zhàn)度，形式上應能有效引導和激發(fā)學生思考、討論和探究，最終培養(yǎng)學生解決復雜問題的創(chuàng)新能力和高階性思維[2].

“材料力學”是土木、機電、材化和航空等多個工科專業(yè)的一門專業(yè)基礎課，對后續(xù)專業(yè)課的學習至關重要.材料力學作為獨立學科是以意大利科學家伽利略在1638年發(fā)表《關于力學和局部運動的兩門新科學的對話和數(shù)學證明》一書為標志，現(xiàn)已發(fā)展成為一門古老、經(jīng)典且理論框架成熟的學科[3].傳統(tǒng)材料力學課程注重基本概念和公式推導，難以調動學生學習興趣并且容易束縛學生思維.近年在“材料力學”課程的講授內容、教學方法和考查手段等方面已有不少改革和創(chuàng)新，如實物演示[4]以及引入力學史[5]等.目前這些嘗試也已取得不少效果，但還需不斷探索以達到一流課程建設要求.

“材料力學”一流課程打造的關鍵在于圍繞“兩性一度”特征做好高階思維訓練的案例設計.力學及相關學科在近幾十年不斷涌現(xiàn)各種新成果，為培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識與批判精神提供豐富優(yōu)秀素材，可用于激發(fā)學生的學習興趣和探究熱情.為此本文選擇趣味性強、課程內容相關度高和具有一定挑戰(zhàn)度的“熱響應性預應力圓環(huán)自持續(xù)翻滾”問題[6]作為案例進行重構整合，從材料力學基本問題出發(fā)逐步推進到科學前沿問題，展示問題升階和啟發(fā)思考的高階思維訓練案例設計過程.

1 基本問題

本案例從材料力學中梁的彎曲基本問題出發(fā)進行設計[7].如圖1(a)所示，一根初始長度為L、橫截面半徑為R的圓柱細桿首先被純彎曲成圓環(huán)狀，接著細桿兩端面被相互粘結在一起，并形成一封閉圓環(huán).此時，封閉圓環(huán)處于純彎曲狀態(tài)且其內部存在預應力.假設L>>R，細桿彎曲成圓環(huán)過程中材料變形較小，仍屬于彈性變形階段，不考慮屈服后塑性變形階段，圓環(huán)的拉壓彈性模量為E.細桿彎曲成圓環(huán)后，圓環(huán)橫截面上的環(huán)向應力和環(huán)向應變屬于拉壓應力和拉壓應變，不屬于切應變.求此預應力圓環(huán)橫截面上的環(huán)向拉壓應變及拉壓應力.

圖1 圓柱細桿被純彎曲為預應力圓環(huán)Fig.1 A thin cylindrical rod is purely bent into a prestressed torus

該基本問題涉及梁理論中的橫截面正應力計算.首先，截取半圓環(huán)進行受力分析，根據(jù)對稱性和平衡條件易得預應力圓環(huán)橫截面上的軸力為零.因此，預應力圓環(huán)軸線的周長等于細桿的初始長度L.設彎曲后圓環(huán)曲率半徑為Rp，則L=2πRp.在圓環(huán)橫截面內建立如圖1(b)所示的極坐標系，并進一步求解圓環(huán)橫截面任意位置(r,θ)處的環(huán)向拉壓應變.

把此預應力圓環(huán)分割成無數(shù)根環(huán)向纖維，環(huán)向纖維彎曲前的長度為細桿的長度L.細桿彎曲成圓環(huán)后，圓環(huán)橫截面(r,θ)處的環(huán)向纖維周長變?yōu)?π(Rp+rsinθ)，如圖1(b)所示.根據(jù)拉壓應變定義，則環(huán)向拉壓應變可以計算為

(1)

注意到細桿長度與圓環(huán)曲率半徑之間的關系為L=2πRp，則公式(1)可進一步化簡為

(2)

從公式(2)可看出，圓環(huán)橫截面上環(huán)向拉壓應變隨角度周期性變化，且上下對稱.特別地，圓環(huán)橫截面上環(huán)向拉壓應變在內側區(qū)域為壓縮應變，在外側區(qū)域為拉伸應變.

利用梁理論中的單向受力假設，圓環(huán)橫截面上任意點處的環(huán)向拉壓應力與環(huán)向拉壓應變成正比.因此，環(huán)向拉壓應力可計算為

(3)

從公式(3)可看出，與環(huán)向拉壓應變對應，圓環(huán)橫截面上環(huán)向拉壓應力在內側區(qū)域為壓縮應力，在外側區(qū)域為拉伸應力.

2 進階問題一

在基本問題的基礎上，進一步進階求解此預應力圓環(huán)在給定非均勻溫度作用下的環(huán)向拉壓應力.如圖2所示，將上述預應力圓環(huán)置于一平面熱臺上，且圓環(huán)以角速度ω穩(wěn)定翻轉.此時，在預應力圓環(huán)內會形成一非均勻溫度場，此非均勻溫度場由文獻[8]直接給出.求此時預應力圓環(huán)在非均勻溫度場下橫截面上的彎矩分量Mx.

圖2 置于熱臺上的預應力圓環(huán)Fig.2 A prestressed torus placed on a hot surface

此題為熱力耦合問題，我們首先根據(jù)文獻給出的溫度場求解得到橫截面上的環(huán)向拉壓應變和拉壓應力，然后將環(huán)向拉壓應力對x軸取矩計算預應力圓環(huán)橫截面上的彎矩分量Mx.

2.1 預應力圓環(huán)橫截面的溫度場

預應力圓環(huán)在平面熱臺上穩(wěn)定翻轉時，其內部的溫度場由文獻[8]直接給出，這里不進行詳細推導.計算內部溫度場時，假設預應力圓環(huán)與平面熱臺間接觸傳熱，且熱流量為Q.假設預應力圓環(huán)表面其余部分以熱對流的形式向空氣散熱,且不考慮流體力學中氣體流動的傳熱系數(shù).計算溫度時，以環(huán)境溫度為參考溫度計算圓環(huán)內各點處的相對溫度，則圓環(huán)橫截面上的相對溫度分布可寫為[8]

(4)

式中的bern、bein分別為開爾文函數(shù)的實部和虛部，A0、An、Bn分別表示為

(5)

式中的h為傳熱系數(shù)，k為材料的熱傳導系數(shù)，D的表達式為

(6)

根據(jù)公式(4)，圖3繪制了不同角速度下預應力圓環(huán)橫截面上的溫度分布.數(shù)值計算中，參數(shù)根據(jù)文獻中已有實驗選擇典型數(shù)值，分別為R=5×10-4m，Q=10×103W/m2，h=10 W/m2/oC，c=103J/kg/oC，k=0.1 W/m，ρ=103kg/m3和ω0=0.25/s[6].從圖3可見，圓環(huán)橫截面上的溫度場大小和分布受到翻轉角速度的明顯影響.一般地，翻轉角速度越大，圓環(huán)橫截面上溫度場的頂部與底部溫度差越小.

圖3 不同角速度時圓環(huán)橫截面上的溫度場Fig.3 Temperature fields on the cross section of a torus for different angular velocities

2.2 預應力圓環(huán)橫截面上的拉壓應變和拉壓應力

下面計算上述溫度場下預應力圓環(huán)橫截面上的環(huán)向拉壓應變和環(huán)向拉壓應力.熱應力問題是材料力學中的難點，準確理解總應變、熱應變和彈性應變三個重要概念是求解熱應力問題的關鍵.總應變一般由幾何條件可以直接確定，而熱應變與溫度相關.彈性應變?yōu)榭倯兣c熱應變之差,且與彈性應力成線性關系.

由于預應力圓環(huán)橫截面上的溫度場是非均勻的，因此圓環(huán)受熱后其曲率半徑會發(fā)生變化.假設圓環(huán)受熱后其曲率半徑從Rp變?yōu)镽c，則環(huán)向總拉壓應變可類似于公式(2)由幾何條件計算為

(7)

從公式(7)可見，預應力圓環(huán)橫截面上的環(huán)向總拉壓應變仍隨角度周期性變化，且上下對稱，在內側區(qū)域為壓縮應變，在外側區(qū)域為拉伸應變.

假設預應力圓環(huán)受熱后，其橫截面上的拉壓熱應變與溫度成正比，則圓環(huán)橫截面內的拉壓熱應變可計算為

εT(r,θ)=CTT(r,θ)

(8)

其中CT為材料的熱膨脹系數(shù).

由總應變等于熱應變與彈性應變之和，代入公式(7)和(8)，拉壓彈性應變可計算為

(9)

進一步地，利用單向受力假設，預應力圓環(huán)受熱后其橫截面上的環(huán)向拉壓應力σ(r,θ)可計算為

(10)

從公式(10)可見，環(huán)向拉壓應力與橫截面上的溫度相關.

2.3 預應力圓環(huán)橫截面上的彎矩分量Mx

由公式(10)中已給出的環(huán)向拉壓應力分布可進一步計算橫截面上的彎矩分量Mx.根據(jù)材料力學梁彎曲理論，橫截面上的環(huán)向拉壓應力σ(r,θ)對x軸取矩并進行積分即得橫截面上的彎矩分量

(11)

聯(lián)立公式(2)、(4)-(11)可得Mx的解析形式為

(12)

從公式(12)可看出，橫截面上的彎矩分量Mx的大小與翻轉角速度相關.

3 進階問題二

下面，進一步進階求解預應力圓環(huán)的熱驅自持續(xù)翻轉問題.如圖4所示，將上述預應力圓環(huán)置于一平面熱臺上，圓環(huán)內部會形成非均勻溫度場，則其橫截面上彎曲力偶Mx能驅動預應力圓環(huán)發(fā)生自持續(xù)翻轉.假設預應力圓環(huán)穩(wěn)定翻轉的角速度為ω，求圓環(huán)與熱臺之間的滑動摩擦系數(shù).

此問題是個動力學平衡問題.首先求解施加在圓環(huán)微段兩端面上的彎曲力偶的合力偶，其是驅動圓環(huán)翻轉的驅動力.然后建立圓環(huán)穩(wěn)定翻轉時驅動力與摩擦阻力之間的平衡方程，再根據(jù)已知的角速度反向推算圓環(huán)與熱臺之間的滑動摩擦系數(shù).

3.1 預應力圓環(huán)穩(wěn)定翻轉時的驅動力偶

選取預應力圓環(huán)微段dx為研究對象，圓環(huán)微段兩端橫截面上分別受彎曲力偶Mx作用，如圖4所示.注意到小曲率假設條件下,sin(α/2)≈α/2=dx/2Rc.則兩端面橫截面上的彎曲力偶的合力偶為兩端面力偶矢量Mx的矢量和，方向沿環(huán)向，大小可計算為

(13)

注意到M合作用在圓環(huán)微段dx上，則預應力圓環(huán)每單位長度上的驅動力偶可計算為

(14)

公式(14)表明，驅動力偶為橫截面上彎曲力偶Mx與圓環(huán)曲率之積.彎曲力偶Mx越大，驅動力偶越大.驅動力偶也隨曲率增加或曲率半徑減小而增加.

將公式(12)中的彎曲力偶Mx帶入公式(14)，得到驅動力偶的解析形式為

(15)

從公式(15)可見，驅動力偶Md也與圓環(huán)的翻轉角速度相關.特別地，驅動力偶與膨脹系數(shù)和拉壓彈性模量成正比.這個結果意味著，提高膨脹系數(shù)和拉壓彈性模型是提升驅動力偶的重要途徑.

3.2 平衡方程及滑動摩擦系數(shù)

預應力圓環(huán)在穩(wěn)定翻轉過程中，除了受到熱致驅動力偶的作用外，其還受到熱臺表面對其施加的滑動摩擦力.由于圓環(huán)處于動力學平衡狀態(tài)，可建立微段的平衡方程來求得滑動摩擦系數(shù).首先取圓環(huán)的任意微段作為研究對象，由圓環(huán)微段重力為G=ρgπR2dx，故單位長度的圓環(huán)受到的滑動摩擦力大小可計算為[9]

Ff=CfρgπR2

(16)

其中，Cf為預應力圓環(huán)與平面熱臺間的滑動摩擦系數(shù).

當圓環(huán)穩(wěn)定翻轉時，圓環(huán)處于平衡狀態(tài).選取單位長度圓環(huán)為研究對象，并對y軸建立力矩平衡方程，可得

Md=FfR

(17)

聯(lián)立公式(15)-(17)并化簡可得預應力圓環(huán)與平面熱臺之間的滑動摩擦系數(shù)為

(18)

值得注意的是，公式(18)中圓環(huán)曲率半徑Rc應受到滑動摩擦力和橫截面上非均勻溫度場的雙重影響，其可由圓環(huán)橫截面上的軸力條件進行確定.選取半圓環(huán)作為研究對象進行受力分析，根據(jù)半圓環(huán)在軸力與滑動摩擦力的共同作用下的平衡條件，易得軸力為FN=LCfρgπR2/2，則

(19)

將公式(10)中的環(huán)向拉壓應力代入(19)可得預應力圓環(huán)穩(wěn)定翻轉時的曲率半徑為

(20)

公式(20)表明，預應力圓環(huán)在熱驅穩(wěn)定翻轉時，其曲率半徑與受熱及滑動摩擦都相關.對于熱膨脹材料，受熱膨脹和滑動摩擦都導致圓環(huán)曲率半徑增大.

通過公式(18)和(20)進行數(shù)值計算，圖5繪制了預應力圓環(huán)熱驅穩(wěn)定翻轉時的角速度與相應滑動摩擦系數(shù)間的依賴關系.計算中，參數(shù)根據(jù)文獻中已有實驗選取了典型數(shù)值，分別為R=5×10-4m，κ=20 m-1，CT=3×10-3/oC，E=10 MPa，ρ=103kg/m3，Q=3×103W/m2，k=0.1 W/m，h=5 W/m2/oC，ρ=103kg/m3和g=10 N/kg[6,10].從圖5可見，隨著預應力圓環(huán)翻轉角速度的增加，對應的滑動摩擦系數(shù)是單調減小的，此結果符合物理直覺.一般地，滑動摩擦系數(shù)減小，圓環(huán)穩(wěn)定翻轉所需的驅動力偶也減小.又因驅動力偶隨著圓環(huán)翻轉角速度增大而減小.這樣，熱流不變的情況下，圓環(huán)可以獲得更大的翻轉角速度.

4 小結

本文以“預應力圓環(huán)熱驅自持續(xù)翻滾”問題為例，將現(xiàn)代力學前沿研究成果巧妙嫁接到“材料力學”課程教學中，通過遞進式、創(chuàng)新型和啟發(fā)性的案例設計方式，展示了高階思維訓練案例設計模式.此教學案例已被應用于“材料力學”示范課項目，初步成果表明可加強學生對書本原有基礎知識的理解，開闊學生的學術視野，以及培養(yǎng)他們的創(chuàng)新精神和批判意識.在教育教學改革探索實踐中，還可根據(jù)各學校及專業(yè)特點進行個性化設計，最終達成知識結構與能力兩方面的專業(yè)培養(yǎng)核心目標.