任 軍，吳正虎，曹秋玉

（湖北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)器人技術(shù)研究中心，湖北 武漢 430068）

1 引言

工業(yè)機(jī)器人廣泛的應(yīng)用于焊接、噴涂、裝配、包裝等領(lǐng)域，代替人完成了各種復(fù)雜、繁重、危險(xiǎn)的工作，不斷優(yōu)化人類的生產(chǎn)生活方式，對(duì)當(dāng)今社會(huì)的發(fā)展起著至關(guān)重要的作用［1］。工業(yè)機(jī)器人的軌跡規(guī)劃是自動(dòng)化系統(tǒng)整體性能的一個(gè)重要方面。目前國內(nèi)外已有一些學(xué)者對(duì)不同類型的機(jī)器人的軌跡規(guī)劃進(jìn)行了相關(guān)研究。文獻(xiàn)［2］以Stanford機(jī)械手為研究對(duì)象，通過MATLAB對(duì)機(jī)械手運(yùn)動(dòng)模型進(jìn)行了軌跡規(guī)劃仿真的相關(guān)研究。文獻(xiàn)［3］通過對(duì)SCARA機(jī)器人進(jìn)行軌跡規(guī)劃與仿真的研究，驗(yàn)證了運(yùn)動(dòng)參數(shù)的正確性。文獻(xiàn)［4］通過對(duì)FANUC機(jī)器人軌跡規(guī)劃的研究，證明了該機(jī)器人具有良好的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能。文獻(xiàn)［5］針對(duì)UR5機(jī)器人建立了完整的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，通過運(yùn)動(dòng)學(xué)分析證明了模型的正確性，為機(jī)器人在MATLAB環(huán)境下仿真提供了可視化效果。上述主要針對(duì)國際上比較典型的一些機(jī)器人進(jìn)行了軌跡規(guī)劃相關(guān)的研究。近年來，隨著2025年“智能制造”主題的提出，國內(nèi)機(jī)器人行業(yè)得到迅速發(fā)展［6］。因此，國產(chǎn)相關(guān)型號(hào)機(jī)器人軌跡規(guī)劃的研究十分必要。

ER50機(jī)器人是南京埃斯頓機(jī)器人工程有限公司的一款6軸串聯(lián)機(jī)器人產(chǎn)品，該機(jī)器人結(jié)構(gòu)緊湊、精度高、動(dòng)態(tài)響應(yīng)快、過載能力強(qiáng)，適用于搬運(yùn)、激光切割、打磨拋光等場(chǎng)合。不同的應(yīng)用場(chǎng)合需要對(duì)機(jī)器人進(jìn)行不同方式的改裝。例如，改裝為打磨機(jī)器人需在機(jī)器人的末端執(zhí)行器上安裝打磨頭，但由于機(jī)器人的價(jià)格昂貴，盲目的改裝會(huì)造成經(jīng)濟(jì)浪費(fèi)，所以在試驗(yàn)前對(duì)其進(jìn)行仿真可以更加直觀的了解機(jī)器人的工作空間和運(yùn)動(dòng)性能，由此為機(jī)器人的改裝試驗(yàn)提供了技術(shù)支持。這里以ER50機(jī)器人為研究對(duì)象，基于D-H 參數(shù)法對(duì)機(jī)器人的正、逆運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行求解，然后使用MATLAB Robotics 工具箱對(duì)其正、逆運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行仿真驗(yàn)算，最后結(jié)合五次多項(xiàng)式插值法對(duì)機(jī)器人末端執(zhí)行器進(jìn)行任意兩點(diǎn)的關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃仿真，驗(yàn)證了機(jī)器人軌跡規(guī)劃的合理性。

2 ER50機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

2.1 機(jī)器人的基本結(jié)構(gòu)

ER50機(jī)器人屬于串聯(lián)關(guān)節(jié)式機(jī)器人，擁有六個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，通過六個(gè)關(guān)節(jié)的自由度來確定末端參考點(diǎn)的位置和姿態(tài)，結(jié)構(gòu)模型，如圖1所示。

圖1 ER50機(jī)器人結(jié)構(gòu)模型Fig.1 Structure Model of ER50 Robot

2.2 機(jī)器人的D-H參數(shù)

基于D-H參數(shù)法建立機(jī)器人連桿坐標(biāo)系［7］，如圖2所示。已知機(jī)器人各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角范圍和兩相鄰連桿的夾角為θi，各連桿長(zhǎng)度為ai，兩法線的夾角為αi，兩法線的距離為di，由此確定機(jī)器人的D-H參數(shù)表，如表1所示。

圖2 ER50機(jī)器人連桿坐標(biāo)系Fig.2 Linkage Coordinate System of ER50

表1 D-H參數(shù)表Tab.1 D-H Parameter Table

2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)正解

已知機(jī)器人的幾何參數(shù)和關(guān)節(jié)變量，對(duì)機(jī)器人末端執(zhí)行器相對(duì)于基座標(biāo)的位姿進(jìn)行求解是機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的主要思想［8］。將表1中的D-H參數(shù)代入式（1）中可以得到6個(gè)關(guān)于兩連桿間的齊次坐標(biāo)變換矩陣。

則機(jī)械人末端執(zhí)行器坐標(biāo)相對(duì)于基座標(biāo)的總體變換為：

其中：

其中：si=sinθi；ci=cosθi；sij=sin（θi+θj）；cij=cos（θi+θj）。

2.4 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解

機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解是已知機(jī)器人的幾何參數(shù)和末端位姿0T6，反向?qū)C(jī)器人的各關(guān)節(jié)變量θ1、θ2、θ3、θ4、θ5、θ6進(jìn)行求解［9］。通過式（3）可對(duì)θ1進(jìn)行求解：

則有：

將式（4）左右兩邊展開，且令矩陣左右兩邊第三行第三列元素、第三行第四列元素相等可得：

可得θ1：

θ2和θ3可以通過式（7）進(jìn)行求解：

則有：

可得θ2+θ3：

令式（4）等式兩邊第一行第四列和第三行第四列的元素相等，則有：

可得θ2：

已知θ2，則可以求解出θ3。

依此方法依次移項(xiàng)求解θ4、θ5、θ6，可得到：

其中，k=0、1、2、3、4。

3 機(jī)器人的MATLAB仿真

3.1 機(jī)器人的MATLAB模型仿真

通過使用MATLAB Robotics 工具箱中的Link 函數(shù)對(duì)ER50機(jī)器人進(jìn)行模型仿真［10］，其程序如下：

得到ER50機(jī)器人仿真圖，如圖3所示。并可以通過左側(cè)的滑塊驅(qū)動(dòng)機(jī)器人各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)。

圖3 ER50機(jī)器人仿真圖Fig.3 Simulation Diagram of ER50

3.2 機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真

現(xiàn)任意選取一組ER50機(jī)器人的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角，設(shè)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角參數(shù)q=［π∕2 π∕3 π∕4 π∕5 π∕6 π∕7］，在MATLAB 中調(diào)用fkine 函數(shù)T=fkine（robot，q）可得：

式中：T—ER50機(jī)器人在向量q時(shí)機(jī)器人末端執(zhí)行器的位姿。

3.3 機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真

已知目標(biāo)位姿T，反求各個(gè)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，在MATLAB中調(diào)用ikine函數(shù)qi=ikine（robot，T）可得：

qi是ER50機(jī)器人末端執(zhí)行器位姿為T時(shí)各關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角，與前文正運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真中假定的關(guān)節(jié)變量參數(shù)q結(jié)果一致（即qi=q），表明MATLAB中建立的ER50機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型正確。

4 機(jī)器人軌跡規(guī)劃與仿真

為滿足相關(guān)作業(yè)要求，需要對(duì)機(jī)器人末端操作器在運(yùn)作過程中的位移、速度、加速度等運(yùn)動(dòng)參數(shù)進(jìn)行規(guī)劃［11］。目前常見的機(jī)器人軌跡規(guī)劃有梯形規(guī)劃、S型規(guī)劃和多項(xiàng)式規(guī)劃，多項(xiàng)式規(guī)劃中五次多項(xiàng)式規(guī)劃最為常用。由于梯形規(guī)劃的加速度不連續(xù)和S型規(guī)劃的加加速度不連續(xù)，會(huì)給機(jī)器人帶來機(jī)械上的沖擊，而五次多項(xiàng)式規(guī)劃在過渡規(guī)劃中應(yīng)用較多，其規(guī)劃方法較為成熟，可以保證規(guī)劃過程中位移、速度、加速度、加加速度的連續(xù)，使機(jī)器人平穩(wěn)運(yùn)動(dòng)［12］。因此，采用五次多項(xiàng)式插值法并調(diào)用MATLAB Robotics 工具箱對(duì)機(jī)器人末端執(zhí)行器空間任意兩點(diǎn)進(jìn)行關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃仿真。

設(shè)起點(diǎn)qa=［0 0 0 0 0 0］，終點(diǎn)qb=［pi∕2 -pi∕4 0-pi∕6pi∕3 -pi∕3］，仿真時(shí)間為3s，時(shí)間間隔為0.01s，得到ER50機(jī)器人的位移、角速度和角加速度曲線，如圖4～圖6所示。從圖4可以看出機(jī)器人關(guān)節(jié)（1～6）的位移變化趨勢(shì)：從t=0開始，隨時(shí)間增加而平穩(wěn)增大，最后趨于穩(wěn)定不變，位移范圍在（1.5～-1）rad之間，滿足各關(guān)節(jié)角的運(yùn)動(dòng)位移范圍。從圖5可以看出機(jī)器人關(guān)節(jié)（1～6）的速度變化趨勢(shì)：從t=0開始加速，在t=1.5s時(shí)達(dá)到速度最大值，然后減速至0，其加速和減速的時(shí)間段相等，速度變化范圍在（1～-0.65）rad∕s之間，表明機(jī)器人運(yùn)動(dòng)較為平穩(wěn)。從圖6 可以看出機(jī)器人關(guān)節(jié)（1～6）的加速度變化趨勢(shì)：在t=0s～t=1.5s區(qū)間先增大至最大值，在減小至0。t=（1.5～3）s區(qū)間負(fù)加速度先增大至最大值，再減小至0。加速度增加和減小階段的時(shí)間相等，變化范圍在（1～-1）rad∕s2之間，滿足機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)特性。速度曲線和加速度曲線平滑過度，無拐點(diǎn)、間斷、跳躍等現(xiàn)象，表明機(jī)器人運(yùn)行平穩(wěn)，避免過大的振動(dòng)、沖擊等其它不良情況的產(chǎn)生。

圖4 位移曲線Fig.4 The Displacement Curve

圖5 速度曲線Fig.5 The Speed Curve

圖6 加速度曲線Fig.6 The Acceleration Curve

5 結(jié)論

基于D-H參數(shù)法建立了ER50機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，并進(jìn)行了正、逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解。然后使用MATLAB Robotics工具箱對(duì)其正、逆運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行仿真驗(yàn)算，最后結(jié)合五次多項(xiàng)式插值法對(duì)機(jī)器人末端執(zhí)行器進(jìn)行任意兩點(diǎn)的關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃仿真，具體結(jié)論如下：（1）由正、逆運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真結(jié)果：q=qi。證明所建立的ER50工業(yè)機(jī)器人的仿真模型正確。（2）通過MATLAB Robotics工具箱的機(jī)器人關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)窗口，直觀的展示了機(jī)器人關(guān)節(jié)角的實(shí)時(shí)變化情況，在提高效率的同時(shí)降低了研究成本。（3）在關(guān)節(jié)空間內(nèi)使用五次多項(xiàng)式對(duì)ER50機(jī)器人進(jìn)行任意兩點(diǎn)的軌跡規(guī)劃仿真，得到關(guān)于位移、速度、加速度的平滑過渡曲線，表明機(jī)器人運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)，驗(yàn)證了軌跡規(guī)劃的合理性，為ER系列機(jī)器人的進(jìn)一步研究提供了參考依據(jù)。