劉 玲, 苗澤宇, 劉 旭

(1. 沈陽師范大學 物理科學與技術(shù)學院, 沈陽 110034;2. 遼寧教育學院 基礎(chǔ)教育教學研究中心, 沈陽 110032)

0 引 言

近年來,合成超重核是核物理研究的熱點問題,原子核物理結(jié)構(gòu)理論預(yù)言[1-2]雙幻核208Pb后,下一個出現(xiàn)的雙幻核的中子數(shù)N=184,質(zhì)子數(shù)Z=114,在這附近會存在一批長壽命的新穩(wěn)定核素,即“超重核穩(wěn)定島”。合成超重核對探究原子核質(zhì)量極限有重要意義,重離子熔合反應(yīng)是目前合成超重核的唯一途徑。對于近似對稱的彈靶熔合反應(yīng)系統(tǒng),兩質(zhì)子數(shù)符合Z1*Z2>1 600,且接觸位置在條件鞍點之外時,彈靶熔合后會形成激發(fā)態(tài)的復合核,蒸發(fā)中子后形成超重核[3]。

目前,人們廣泛應(yīng)用Langevin方程[4-5]對彈核、靶核的熔合過程進行描述。原子核變形運動的動力學過程與布朗粒子的擴散運動相類比,如果把核內(nèi)核子的運動作一個熱浴處理,將單粒子自由度與變形自由度耦合來比為介子對布朗粒子的碰撞,通過解合適的Langevin方程就可以模擬布朗粒子隨時間的演化過程,并追蹤熔合的軌道[6]。在以往的Langevin模擬中,一旦一條Langevin軌道(試驗粒子)到達鞍點,則認為熔合事件已發(fā)生,便停止對該軌道的追蹤,稱之為定義在鞍點處的首次通過條件鞍點模型[3-11]。然而一個粒子躍過條件鞍點后在熱漲落的作用下,可能會再次返回條件鞍點,在鞍點處形成反復運動,引起所謂的回流效應(yīng)[12-14],熱漲落越強烈,回流也越強烈。通過記錄粒子最后一次通過條件鞍點的時間來定義在鞍點處的通過幾率,稱之為試驗粒子反復多次通過條件鞍點模型[3,6-7]。粒子最終到達基態(tài)位置,記錄到達基態(tài)位置的時間,可以定義在基態(tài)位置處的通過幾率,稱之為基態(tài)位置的模擬模型,這在以往的研究工作中較常見。

對于利用反復多次通過鞍點模型討論核裂變與熔合的相關(guān)課題較多,但均未考慮角動量這一因素的影響。而在實際物理問題中,重核熔合是一個復雜且困難的過程,角動量的影響是十分重要的,超重核合成的大部分理論研究均要考慮角動量的作用。本文在原有工作基礎(chǔ)上加入角動量,主要利用反復多次通過條件鞍點模型來研究角動量對核熔合的通過幾率的影響;研究并分析在不同的角動量下,通過幾率的變化機制;在考慮角動量的前提下,進一步探究溫度、入射能量對通過幾率的影響。

1 以前研究中的理論方法

描述重核熔合動力學過程通常可以用朗之萬方程來描述,兩熔合核的質(zhì)心距q(t)隨時間變化為

把隨機龍格—庫塔方法和單步迭代方法結(jié)合來求解方程(1)和(2),既能避免產(chǎn)生高階導數(shù),精度也比較高。朗之萬方程組的數(shù)值解為

式中

其中:q*(t)和v*(t)為單步迭代方法的模擬解;Ψ表示均值為0,方差為1的標準高斯隨機數(shù)[15-16]。

一般情況下,當布朗粒子的坐標在鞍點位置之前,即q(t)

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其中:N(t)表示t時刻未熔合的粒子數(shù); dN(t)表示從t到t+dt內(nèi)發(fā)生熔合的粒子數(shù)。為統(tǒng)計方便,規(guī)定一個有限時間間隔ts,在t～t+ts內(nèi)平均通過幾率為

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未考慮角動量前,考慮一個正諧振子與一個倒諧振子光滑鏈接的復合核形變位勢[8],熔合勢壘可表示為

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鞍點位置qb=0.24 fm,勢壘高度Vb=4 MeV,基態(tài)位置q0=0 fm,其他參數(shù)m0=376.3?2MeV-1fm-2,時間步長τ=4/T?2/MeV,約化粘滯系數(shù)β=γ/m=464.4T2MeV/?[4]。

加入角動量后的熔合勢壘的形式如下:

其中公式(11)取自文獻[17-18]。為計算方便,將公式(11)的分子分母同時乘以c2, 已知?c=197.327 053[MeV·fm],μ=931.494 32[MeV/c2]。本文研究的是248Cf[10]復合核的熔合過程,所以令帶入計算的質(zhì)量μ=248μ。為了使基態(tài)位置勢阱更明顯,引入常量A=900,所以公式(11)分母中的μ值應(yīng)該為μ=248 Aμ。

2 結(jié)果和討論

為探究角動量與復合核位勢的關(guān)系,根據(jù)式(10)和(11)得到圖1。由圖1可知,加入角動量以后,基態(tài)位置不再是q0=0 fm,隨著角動量的增大,基態(tài)位置的坐標(橫坐標)在向右移動,基態(tài)位置與條件鞍點的距離變得越來越近,模擬粒子更容易到達基態(tài)位置。條件鞍點左側(cè)的勢阱也隨角動量的增大而變淺,大約在臨界值L=21附近勢阱消失了,沒有勢阱也就沒有了束縛態(tài),這說明此后的角動量對研究重核熔合的影響極小。然而角動量對于條件鞍點以外的勢壘形式(0.35 fm～0.45 fm)影響很小,只比沒有角動量的情況有輕微的提升。另外,條件鞍點所對應(yīng)的勢能高度也隨著角動量的增加而增加。而條件鞍點變高效應(yīng),使模擬粒子不易通過條件鞍點。由式(10)和(11)可知,隨著角動量的增加,體系的總能量變大,這有利于模擬粒子通過條件鞍點。這3種效應(yīng)的共同競爭作用決定最后重核熔合過程的通過幾率。

圖1 加入角動量復合核位勢隨相對位置的變化Fig.1 Variation of compound nuclear potential with relative positions by adding angular momentum

圖2是相同溫度(T=4 MeV)同一入射能量(Ec.m.=7.526 MeV)下,不同角動量(L=0,3,6,12)下通過幾率隨時間的演化。方塊曲線代表首次通過條件鞍點模型的結(jié)果,圓圈曲線代表反復多次通過條件鞍點模型的結(jié)果,上三角曲線代表定義在基態(tài)位置模擬模型的結(jié)果(模擬粒子為20 000個)。從圖2中可以觀察到,3種模擬方法在短時間內(nèi)均到達穩(wěn)態(tài)值,在不同角動量下,首次通過的結(jié)果均遠遠高于其他2種結(jié)果,首次通過模型的通過幾率也更早到達穩(wěn)態(tài)值。這是因為在首次通過條件鞍點模型中,在熱漲落的作用下,一部分試驗粒子掉落到斷點發(fā)生裂變,而其他試驗粒子一旦越過條件鞍點便認為熔合完成,形成復合核。而實際上首次通過模型中已經(jīng)通過條件鞍點的試驗粒子在熱漲落的作用下很可能又返回條件鞍點,并在條件鞍點形成反復多次運動,引起所謂的回流效應(yīng),遲滯了粒子到達基態(tài)的時間,從而可以減小最終的通過幾率。而記錄最后一次通過條件鞍點時間的反復多次通過條件鞍點模型充分考慮了這一現(xiàn)象,并且能夠發(fā)生最后一次通過條件鞍點的粒子事件就一定能夠到達基態(tài)位置,因此,把最后一次通過鞍點的時間用來定義、統(tǒng)計鞍點處的通過幾率顯然也比定義在基態(tài)位置的通過幾率更合理。從圖2中可以看到,反復多次通過方法大大降低了首次通過方法的穩(wěn)態(tài)值,而由于最后一次通過鞍點時間與到達基態(tài)位置的時間很短,所以反復多次通過方法和定義在基態(tài)位置的通過幾率的穩(wěn)態(tài)值很接近。而圖2中不同角動量的加入并沒有影響這3種不同模擬方法通過幾率的穩(wěn)態(tài)值的特點。但繼續(xù)觀察發(fā)現(xiàn):考慮角動量后對首次通過條件鞍點模型的通過幾率瞬態(tài)行為幾乎無影響,而明顯影響反復多次通過條件鞍點以及定義在基態(tài)位置的瞬態(tài)過程通過幾率的差值,隨著角動量的增加,瞬態(tài)差值明顯變小,它們的瞬態(tài)行為更為接近。

圖2 不同角動量下通過幾率隨時間的演化Fig.2 Evolution of passing probability with time under different angular momentum

圖3 不同入射能量下,通過幾率隨角動量的變化Fig.3 Variation of passing probability with angular momentum under different incident energy

在不同角動量下,各通過幾率的穩(wěn)態(tài)值變化不易看出(圖2)。為了更方便觀察在不同的角動量下各方法的通過幾率的穩(wěn)態(tài)值的變化規(guī)律,在圖3中分析了各通過幾率在不同條件下的穩(wěn)態(tài)值。圖3表示相同溫度(T=4 MeV)不同入射能量(Ec.m.=7.526,16.933 5,30.104 MeV)下,通過幾率隨角動量的變化。上三角折線表示入射能量為30.104 MeV時的結(jié)果,圓圈折線表示入射能量為16.933 5 MeV時的結(jié)果,方塊折線表示入射能量為7.526 MeV時的結(jié)果(模擬粒子數(shù)為20 000個)?？梢杂^察到,首次通過模型的通過幾率隨角動量的增加基本無變化。反復多次通過模型和定義在基態(tài)位置模擬模型的結(jié)果變化趨勢基本一致,通過幾率隨著角動量的增加而增大。這是因為隨著角動量的增加,基態(tài)位置與條件鞍點之間的距離變近效應(yīng)變大,使得模擬粒子更容易到達基態(tài)位置;而條件鞍點變高效應(yīng),使模擬粒子不易通過條件鞍點,這2種效應(yīng)的競爭,顯然距離變近效應(yīng)影響更大,通過幾率隨角動量顯著增加。同時,考慮角動量后粒子能量變高也是極有利于試驗粒子通過條件鞍點的。在相同的角動量下,3種模型的通過幾率都隨入射能量的增加而增大。這說明入射能量顯然也是影響通過幾率的一個重要因素,這在文獻[19]有所提及。另外,還計算了溫度分別為3 MeV和4.88 MeV時的情況,得到的結(jié)果與上述結(jié)果相一致。

圖4表示相同溫度(T=4.88 MeV)不同角動量(L=0,6,12)下,通過幾率隨入射能量的變化。 上三角折線表示角動量為12的結(jié)果, 圓圈折線表示角動量為6的結(jié)果,方塊折線表示角動量為0的結(jié)果(模擬粒子數(shù)為20 000個)。 分析圖4,可得到與圖3相似的結(jié)論:同一條件下, 角動量的變化對首次通過模型的通過幾率影響很小, 而反復多次通過模型和定義在基態(tài)位置通過模型的通過幾率, 會隨著角動量的增加而增大。 另外,還計算了溫度分別為3和4 MeV時的情況,得到的結(jié)果與上述結(jié)論一致。

圖5表示角動量分別為0和6(L=0時表示沒有角動量)時,不同溫度(T=3, 4, 4.88 MeV)下,通過幾率隨入射能量的變化。實線表示角動量為6的結(jié)果,虛線表示角動量為0的結(jié)果。上三角表示溫度為4.88 MeV的結(jié)果,圓圈表示溫度為4 MeV結(jié)果,方塊表示溫度為3 MeV的結(jié)果(模擬粒子數(shù)為20 000個)。分析圖5可知,顯然,隨著溫度的提高,粒子熱運動速度加快,所以無論是否考慮角動量,同一入射能量的各通過幾率都隨溫度的升高而升高。有趣的是,首次通過模型的通過幾率受溫度變化的影響更大,這點與前面提到的角動量對首次通過模型的通過幾率影響小不同,溫度對首次通過幾率的影響較其他2種方法更明顯。另外還發(fā)現(xiàn),溫度最高的線的斜率最大,溫度最低的線的斜率最小,這說明溫度越高對通過幾率增加的促進作用越強。

圖4 不同角動量下,通過幾率隨入射能量的變化

圖5 不同溫度下,通過幾率隨入射能量的變化

還觀察到在首次通過條件鞍點方法中,不同溫度下,考慮角動量后基本沒有影響通過幾率隨入射能量的變化結(jié)果,而在反復多次通過方法和定義在基態(tài)位置方法中,隨著溫度的升高,考慮角動量后的通過幾率明顯高于無角動量的情況,但是通過幾率隨入射能量升高的趨勢并沒有變化。在利用反復多次通過鞍點模型中,本工作希望對溫度、角動量、入射能量等因素對通過幾率的影響給出有意義的探討。

3 總 結(jié)

在原有的熔合位壘基礎(chǔ)上考慮了角動量的影響,利用試驗粒子反復多次通過條件鞍點模型數(shù)值模擬Langevin方程來計算核熔合過程的通過幾率,研究分析角動量對通過幾率的影響。利用定義在鞍點的首次通過條件鞍點方法、反復多次通過條件鞍點方法以及定義在基態(tài)位置的模擬方法,研究了角動量、溫度、入射能量等因素對核熔合過程通過幾率的影響。研究結(jié)果表明:隨著角動量的增加,基態(tài)位置右移,勢阱逐漸變淺直至消失;隨著角動量的增加,在基態(tài)位置與條件鞍點之間的距離變近效應(yīng)、條件鞍點變高效應(yīng)、總能量變大效應(yīng)的相互競爭下,試驗粒子的通過幾率變大;在相同條件下,角動量的增加會引起反復多次通過方法和定義在基態(tài)位置模擬方法中通過幾率的增大,但是對首次通過方法中的通過幾率基本無影響;加入角動量以后,溫度以及入射能量對通過幾率的影響發(fā)生不同變化。上述研究表明考慮角動量后反復多次通過條件鞍點模型能更好地描述重核的熔合過程的物理機制。