陳 耀 葉王杰 史佳遙 馮 健

(東南大學(xué)混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,國(guó)家預(yù)應(yīng)力工程技術(shù)研究中心,南京 211189)

引言

近年來(lái),隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)、計(jì)算幾何學(xué)和數(shù)論等領(lǐng)域的發(fā)展[1],折紙折痕分析及設(shè)計(jì)技術(shù)快速發(fā)展[2-5],以折痕設(shè)計(jì)為核心研究?jī)?nèi)容的折紙結(jié)構(gòu)受到各領(lǐng)域研究人員的青睞.折紙結(jié)構(gòu)已應(yīng)用于土木建筑[2]、航空航天[6-7]、柔性電子[8]、生物醫(yī)學(xué)[9-11]、超材料[12-15]、機(jī)器人[16-18]、光學(xué)[19]等領(lǐng)域.

早期,折紙僅作為一項(xiàng)滿足人們審美需求的藝術(shù)形式,Yoshizawa 等創(chuàng)造了可供人們交流的折紙語(yǔ)言,并通過(guò)平面幾何、立體幾何、微分幾何、球面三角學(xué)理論等數(shù)學(xué)原理建立了折紙藝術(shù)與折紙科學(xué)之間的聯(lián)系[20].此后,折紙藝術(shù)不斷發(fā)展成為現(xiàn)代折紙科學(xué).Miura(三浦)[21]率先發(fā)明了三浦折紙構(gòu)型(又稱(chēng)三浦折疊),并將其應(yīng)用于可折展的太陽(yáng)能帆板.另一方面,超材料由于具有可調(diào)節(jié)的材料特性,近年來(lái)發(fā)展迅猛,Yu 等[22]綜述了各種力學(xué)超材料胞元結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的重要進(jìn)展,其中包括蜂窩結(jié)構(gòu)、晶格結(jié)構(gòu)和折紙超材料結(jié)構(gòu),分析了其彈性模量、泊松比、體積模量等與常規(guī)結(jié)構(gòu)不同的材料特性.Fang 等[23]深入研究了四折痕折紙基本單元組合的自鎖特性,為開(kāi)發(fā)擁有可編程性能的折紙超材料提供了有效途徑.Wang 等[24]研究了一種基于三浦折疊的折紙超材料,可通過(guò)幾何重構(gòu)和形態(tài)變化主動(dòng)調(diào)整材料的電磁和力學(xué)性能.

為了便于生成折紙結(jié)構(gòu)的復(fù)雜三維模型、推廣應(yīng)用于緩沖吸能結(jié)構(gòu)及可展結(jié)構(gòu),諸多學(xué)者對(duì)三浦折紙構(gòu)型開(kāi)展了深入研究與衍生拓展.Gattas 等[25]考慮了折痕方向、折痕形式、結(jié)構(gòu)的可展性與平面折疊性等因素,提出了廣義三浦折紙構(gòu)型的設(shè)計(jì)方法.文獻(xiàn)[26-28]建立了折紙折痕構(gòu)型的圖論表達(dá)方法,并結(jié)合優(yōu)化算法研發(fā)了多種新型折紙構(gòu)型.基于經(jīng)典三浦折紙模式,Gattas 和You[29]提出了一種曲線折痕折紙構(gòu)型的參數(shù)化設(shè)計(jì)方法.此外,為了將折紙構(gòu)型應(yīng)用于非零厚度的三維結(jié)構(gòu),Chen 等[30]引入三浦折紙的機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型,并推廣至厚板折紙結(jié)構(gòu).文獻(xiàn)[31-33]基于圖論方法,提出了一種利用無(wú)向和有向子圖生成二維折痕圖案的方法,為折紙結(jié)構(gòu)開(kāi)展幾何、力學(xué)性能分析等提供了便利.Li 等[34]綜述了近年來(lái)折紙超材料的幾何設(shè)計(jì)、力學(xué)分析、性能實(shí)現(xiàn)和制造技術(shù)之間協(xié)同等.Tachi[35]指出,將折紙應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活時(shí),控制其三維構(gòu)型極為重要,以便產(chǎn)生的折疊狀態(tài)與所需的功能、結(jié)構(gòu)和環(huán)境等協(xié)調(diào)統(tǒng)一.Mattoccia 等[36]利用Grasshopper/Rhino 軟件,對(duì)單層零厚度的三浦折疊結(jié)構(gòu)進(jìn)行了參數(shù)化建模,以便利用幾何參數(shù)控制最終的折紙構(gòu)型.Curlettod 和Gambarotta[37]考慮了相鄰模塊運(yùn)動(dòng)兼容性條件,建立了基于Waterbomb折痕圖案的參數(shù)化模型,通過(guò)給定角度來(lái)獲得不同折展?fàn)顟B(tài)下的折紙模型.Wonoto 等[38]綜合采用數(shù)字化設(shè)計(jì)和有限元分析工具,分析了可展開(kāi)折紙的幾何特性,探討了將微觀結(jié)構(gòu)的幾何和機(jī)械原理用于建筑元素的可能性.此外,部分學(xué)者提出了可用于折紙構(gòu)型初步設(shè)計(jì)的計(jì)算程序或插件[25-26,35,39].

然而,已有方法往往更側(cè)重如何將二維紙張按特定折痕轉(zhuǎn)化為三維構(gòu)型,且已有的參數(shù)化模型大多為單層、零厚度折紙模型.如何依據(jù)特征幾何參數(shù)快速、準(zhǔn)確生成多層堆疊的復(fù)雜三維模型、尤其是非零厚度實(shí)體模型,如何根據(jù)結(jié)構(gòu)實(shí)際需求實(shí)現(xiàn)科學(xué)合理的結(jié)構(gòu)逆向設(shè)計(jì),仍是折紙結(jié)構(gòu)數(shù)字化設(shè)計(jì)亟待解決的難題.為此,本文擬基于三浦折紙胞元以及超材料的構(gòu)成規(guī)律,綜合利用Matlab 和Grasshopper 軟件,搭建折紙超材料結(jié)構(gòu)數(shù)字化設(shè)計(jì)平臺(tái),深入探索折痕總長(zhǎng)、相對(duì)密度、折疊率等指標(biāo)的演變規(guī)律,并輔以部分3D 打印物理模型及有限元分析模型進(jìn)行驗(yàn)證分析,以實(shí)現(xiàn)零厚度及非零厚度復(fù)雜折紙結(jié)構(gòu)模型的高效、一體化建模,同時(shí)可為該類(lèi)折紙結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能模擬、試驗(yàn)研究及工程應(yīng)用等奠定較好的基礎(chǔ).

1 幾何構(gòu)型

圖1(a)所示為三浦折紙基本胞元的半折疊構(gòu)型,單個(gè)胞元由四個(gè)平行四邊形組成.其實(shí),胞元的幾何構(gòu)型可通過(guò)多種方式參數(shù)化,這里采用的是兩個(gè)靜態(tài)折痕長(zhǎng)度a，b以及一個(gè)靜態(tài)內(nèi)角 γ 定義折疊模式,同時(shí)用四邊形平面與XY平面的二面角 θ 來(lái)量化折疊程度[30].令X和Y為結(jié)構(gòu)平面內(nèi)坐標(biāo),Z為面外坐標(biāo),則結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)型可由以下尺寸參數(shù)確定

圖1 折紙超材料結(jié)構(gòu)模型Fig.1 An origami metamaterial structural model

式中，H為結(jié)構(gòu)沿Z向高度,2S為結(jié)構(gòu)沿X向的長(zhǎng)度,2L+V為結(jié)構(gòu)沿Y向長(zhǎng)度.將上述胞元按照M×N(圖1(b)中M=N=5)的排列模式拼接成三浦折疊薄殼結(jié)構(gòu),其中M和N分別為X向和Y向胞元個(gè)數(shù).部分折疊的三浦折疊薄板可視為薄殼結(jié)構(gòu),值得指出的是,折疊模式可有效改變薄殼結(jié)構(gòu)的整體力學(xué)性質(zhì)(例如負(fù)泊松比).

根據(jù)三浦折紙基本單元的幾何構(gòu)型,可發(fā)現(xiàn)胞元在X和Y兩個(gè)方向膨脹的耦合僅取決于邊長(zhǎng)b與Y軸的夾角.因此,具有不同高度H的三浦折疊薄殼可以堆疊在一起,并沿著折疊線粘合起來(lái),同時(shí)保持自由折疊的特性,其結(jié)果即圖1(c)所示的三浦折疊超材料.假設(shè)三浦折疊殼在堆疊時(shí)按照ABABAB的模式,在Z向重復(fù)堆疊O組,為了確保A和B層薄殼在折展過(guò)程中的幾何協(xié)調(diào)性,兩層薄殼的幾何構(gòu)型需滿足:SA=SB,VA=VB,LA=LB,且HB≥HA(即γB≥γA).因此,B層薄殼相對(duì)應(yīng)的幾何參數(shù)需滿足

由上可知,三浦折疊超材料的主要幾何參數(shù)為面板厚度h,A層薄殼面板面內(nèi)角γA,B層薄殼面板面內(nèi)角γB,A層薄殼面板傾角θB∈[0,π/2],A層薄殼面板邊長(zhǎng)aA和A層薄殼面板邊長(zhǎng)bA.圖1(c)所示M×N×O=5×5×6 的超材料模型作為結(jié)構(gòu)標(biāo)準(zhǔn)模型.

2 結(jié)構(gòu)構(gòu)型的數(shù)字化設(shè)計(jì)

2.1 Rhinoceros 幾何參數(shù)建模

傳統(tǒng)建模或找形方法難以生成復(fù)雜的三維折紙結(jié)構(gòu)模型,且參數(shù)分析時(shí)往往需要大量、重復(fù)性的建模與調(diào)整,工作量巨大.另一方面,如何根據(jù)折紙結(jié)構(gòu)的實(shí)際需求合理完成結(jié)構(gòu)的逆向設(shè)計(jì),亟待解決.為此,本文利用犀牛及其可視化編程插件Grasshopper,實(shí)現(xiàn)了三浦折紙超材料結(jié)構(gòu)數(shù)字化快速建模,為復(fù)雜折紙結(jié)構(gòu)的正向與逆向設(shè)計(jì)搭建橋梁.結(jié)合軟件內(nèi)置電池實(shí)現(xiàn)特定的幾何建模,將建模過(guò)程轉(zhuǎn)化為有邏輯性的模塊連接,參數(shù)化面板的部分樹(shù)形結(jié)構(gòu)如圖2 所示.

圖2 Grasshopper 參數(shù)化面板Fig.2 Grasshopper parametric panel

需指出,三維實(shí)體模型便于結(jié)構(gòu)的3D 打印及精細(xì)化有限元分析等,往往可通過(guò)中間層的面偏移方式構(gòu)建.然而,三浦折紙超材料模型每個(gè)基本單元均是由不同角度的空間面板組成,面偏移的方式會(huì)使得不同角度的面板與相鄰面板發(fā)生交融或空缺,需進(jìn)行大量的修剪和填補(bǔ)工作.為避免該問(wèn)題,選用結(jié)構(gòu)側(cè)截面沿指定路徑擠出的方式建立三維實(shí)體.

盡管上文幾何構(gòu)型分析確定了結(jié)構(gòu)的五個(gè)主要參數(shù),但并不便于直接建模.如圖3 所示,結(jié)構(gòu)數(shù)字化建模需通過(guò)幾何推導(dǎo),求得XZ平面上基本單元的參數(shù)和XY平面上擠出路徑的參數(shù).隨后,通過(guò)已確定的M,N,O數(shù)值與實(shí)體模型厚度參數(shù)h生成XZ平面上的基準(zhǔn)面與XY平面上的路徑.最后,將基準(zhǔn)面沿著路徑擠出得到實(shí)體模型.幾何關(guān)系如下

圖3 數(shù)字化建模流程Fig.3 Digital modeling process

其中fA和fB分別為aA和aB的單側(cè)偏移長(zhǎng)度.

該過(guò)程實(shí)現(xiàn)了僅需輸入5 個(gè)獨(dú)立參數(shù)、3 個(gè)方向的堆疊個(gè)數(shù)和模型厚度共9 個(gè)參數(shù),便能便捷地實(shí)現(xiàn)折紙超材料結(jié)構(gòu)的數(shù)字化建模.值得注意的是,該方法實(shí)現(xiàn)了零厚度折紙超材料模型與非零厚度三維實(shí)體模型的統(tǒng)一建模,當(dāng)各層折紙面板厚度參數(shù)取為零值時(shí),實(shí)體結(jié)構(gòu)即降階為等效的三維薄殼模型.

2.2 物理模型驗(yàn)證

為驗(yàn)證參數(shù)化建模的可行性及精確性,對(duì)三浦折紙超材料結(jié)構(gòu)進(jìn)行了物理模型驗(yàn)證.3D 打印技術(shù)是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ),通過(guò)材料的空間堆疊而快速實(shí)現(xiàn)實(shí)體化的技術(shù),現(xiàn)廣泛應(yīng)用于汽車(chē)、航空航天、微機(jī)電系統(tǒng)、生物醫(yī)療等領(lǐng)域.熔融沉積法(FDM)是眾多3D 打印方法中使用最廣泛的,通過(guò)加熱噴嘴融化線材,沉積于工作區(qū)域并固化成型,由數(shù)字模型文件控制分層工作區(qū)域.FDM 型3D 打印機(jī)可打印熱塑型聚氨酯(TPU)、聚乳酸(PLA)、聚苯乙烯等材料.

本文采用熔融沉積法,選用PLA,Agilus30 樹(shù)脂以及TPU 材料,打印制作了6 個(gè)實(shí)物模型(圖4),對(duì)上述三浦折紙超材料結(jié)構(gòu)進(jìn)行物理模型驗(yàn)證(模型參數(shù)見(jiàn)表1),其中γA=60°,γB=75°.

表1 3D 打印實(shí)物模型參數(shù)Table 1 Parameters for physical models by 3D printing

由圖4 可知,盡管構(gòu)型復(fù)雜、單元厚度極薄,3D 實(shí)物模型可精確打印,結(jié)構(gòu)壁厚均勻、表面光滑,完成度極高.模型用料量、面板尺寸及壁厚均與數(shù)字化模型高度吻合(相對(duì)誤差小于0.5%),因此驗(yàn)證了折紙結(jié)構(gòu)數(shù)字化、參數(shù)化建模的準(zhǔn)確性.值得一提的是,與圖4(a)結(jié)構(gòu)相比,圖4(e)模型選用更柔的Agilus30 樹(shù)脂材料3D 打印而成、其他參數(shù)不變,由于Agilus30 樹(shù)脂具備較理想的變形能力,該結(jié)構(gòu)可反復(fù)、平順地從展開(kāi)狀態(tài)壓縮至緊湊的折疊狀態(tài),反之亦然.

圖4 三浦折疊超材料結(jié)構(gòu)模型驗(yàn)證Fig.4 3D printing and digital Miura-ori metamaterial structural models

3D 打印技術(shù)和FDM 操作方便,設(shè)備成熟度高,可選用的材料較為豐富,折紙超材料構(gòu)型復(fù)雜,相比傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)加工方法成本高且耗時(shí)長(zhǎng),更適合采用3D 打印技術(shù).此外,使用的多為塑料質(zhì)材料,模型的表面光滑,不需要后續(xù)處理,有利于折紙超材料結(jié)構(gòu)的后續(xù)研究.誠(chéng)然,3D 打印制作折紙超材料結(jié)構(gòu)仍存在一定的局限性,例如結(jié)構(gòu)力學(xué)性能有待進(jìn)一步研究、加工時(shí)長(zhǎng)及成本較高、材料選型有限等.

3 幾何特性與結(jié)構(gòu)選型

3.1 幾何特性

3.1.1 折痕長(zhǎng)度

不失一般性,令三浦折紙超材料結(jié)構(gòu)的三向胞元個(gè)數(shù)為M×N×O,共包含有4M×N×O個(gè)平行四邊形面板,面板之間通過(guò)公共邊(折痕)相連.近期研究已表明[5,40-41],多折痕折紙管在折展變形時(shí),折痕處應(yīng)變明顯高于面板且吸收了大部分能量.可知,折痕總長(zhǎng)度不僅影響結(jié)構(gòu)的吸能性能,而且影響實(shí)際構(gòu)件的制作難度與成本.因此,需對(duì)不同幾何參數(shù)下結(jié)構(gòu)折痕總長(zhǎng)進(jìn)行對(duì)比分析.

折痕總長(zhǎng)度由以下兩部分組成:兩個(gè)平行四邊形面板之間的連接處折痕長(zhǎng)度L1和四個(gè)平行四邊形面板之間的連接折痕長(zhǎng)度L2,其中L2存在于AB兩個(gè)單層薄殼的連接處.推導(dǎo)了折痕長(zhǎng)度的解析表達(dá)

由式(10)可見(jiàn),L1隨著平行四邊形面板邊長(zhǎng)aA和bA的增大而增大;由式(11)可見(jiàn),L1與bA線性相關(guān).針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)模型,取aA=10 mm,bA=10 mm代入式(10)和式(11)得

折痕長(zhǎng)度L1與γA及γB的關(guān)系如圖5 所示,可以發(fā)現(xiàn),在其他條件相同的情況下,L1隨著γA的增大而減小.對(duì)于不同的γB,L1的最小值均相等,數(shù)值為12.6 m,且只有在γA=γB時(shí)L1達(dá)到最小值,這一點(diǎn)在L1的表達(dá)式(10)中可得到驗(yàn)證.

圖5 不同γB 情況下L1 與γA 的關(guān)系曲線 (M=N=5)Fig.5 Change curve of L1 with γA under different γB conditions(M=N=5)

3.1.2 相對(duì)密度

三浦折紙超材料結(jié)構(gòu)應(yīng)用于緩沖吸能時(shí),不僅需要評(píng)估結(jié)構(gòu)吸能的能力,同時(shí)要考慮結(jié)構(gòu)的相對(duì)密度大小,相對(duì)密度較小卻擁有較好的吸能能力是性能優(yōu)異吸能材料的優(yōu)勢(shì),同時(shí)可以降低材料的制作成本[5,27].推導(dǎo)了X,Y,Z向堆疊數(shù)量為M,N,O的一般模型的相對(duì)密度,解析表達(dá)如下

式中，ρ0為材料密度,ρS和ρ0*分別是基材的密度和超材料的相對(duì)密度.

將式(1)～式(4)代入式(15)可得

當(dāng)O值較大時(shí),該式可簡(jiǎn)化為

根據(jù)式(14)可知,對(duì)于給定的銳角γA和γB、邊長(zhǎng)bA和四邊形平面與XY平面之間的二面角θA,相對(duì)密度h/a成正比,且不受邊長(zhǎng)bA的影響.針對(duì)γA,γB和θA對(duì)模型相對(duì)密度的影響,選取標(biāo)準(zhǔn)模型具體分析,其中aA=10 mm,bA=10 mm,θA=45°,h=0.3 mm.根據(jù)式(16)求得標(biāo)準(zhǔn)模型的相對(duì)密度

圖6(a)描繪了標(biāo)準(zhǔn)模型的相對(duì)密度在不同γA和γB組合下的變化情況,可以發(fā)現(xiàn)γB保持不變時(shí),相對(duì)密度隨著γA的增大先減小后增大.每條密度曲線均存在有一個(gè)最小值,且隨著γB的減小,最小密度所對(duì)應(yīng)的γA相應(yīng)地減小.θA同樣會(huì)影響超材料的相對(duì)密度,由圖6(b)可知,ρ0*隨著θA的增大而增大,且增速逐漸變大.

圖6 相對(duì)密度理論曲線Fig.6 Theoretical curve for relative density

3.1.3 折疊率

折疊率是可展結(jié)構(gòu)、折紙結(jié)構(gòu)的重要指標(biāo)之一,可體現(xiàn)結(jié)構(gòu)的折展效率,一般采用結(jié)構(gòu)折疊前所占面積、體積與折疊后所占面積、體積的比例來(lái)具體描述.對(duì)于可展結(jié)構(gòu),折疊率越高則結(jié)構(gòu)的折展效果越好[2,27],便于存儲(chǔ)、運(yùn)輸;對(duì)于吸能耗能結(jié)構(gòu),高折疊率的結(jié)構(gòu)往往具有更優(yōu)異、充分的形變空間和塑性變形,因此往往能耗散更多的塑性應(yīng)變能[40,42-44].

令模型的折疊率ζV為結(jié)構(gòu)完全展開(kāi)至圖7(自鎖)時(shí)的體積與完全壓縮態(tài)下的體積比,三向堆疊數(shù)M×N×O的一般模型的折疊率計(jì)算如下

圖7 標(biāo)準(zhǔn)模型沿X 方向完全展開(kāi)構(gòu)型Fig.7 Fully deployed configuration of reference model along direction X

由式(19)可知,折疊率僅與aA,h,γA,γB相關(guān),與aA/h成正比例.例如,取aA=10 mm,h=0.3 mm,可獲得折疊率隨角度γA和γB的演變規(guī)律,如圖8所示.

圖8 折疊率ζV 與γA 及γB 的關(guān)系曲線Fig.8 Relation curve of maximum folding ratio ζV with γA and γB

可以發(fā)現(xiàn),γB保持不變時(shí),ζV隨著γA的增大先增大后減小.每條折疊率曲線存在一個(gè)最大值,γB越大的曲線對(duì)應(yīng)的折疊率最大值越大,且隨著γB的增大,最大值所對(duì)應(yīng)的γA相應(yīng)地增大.

3.2 數(shù)字化設(shè)計(jì)誤差分析

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文數(shù)字化設(shè)計(jì)方案的正確性,將其更準(zhǔn)確地應(yīng)用于三浦折紙超材料結(jié)構(gòu)的選型優(yōu)化,本節(jié)結(jié)合幾何特性的理論推導(dǎo)進(jìn)行驗(yàn)證.

為驗(yàn)證所推導(dǎo)折痕長(zhǎng)度的準(zhǔn)確性,分別選取圖5 中γA=30°,γB=50°;γA=40°,γB=60°;γA=45°,γB=65°;γA=55°,γB=70°;γA=60°,γB=75°五組模型數(shù)據(jù),利用數(shù)字化建模技術(shù)建立三維模型,并求得對(duì)應(yīng)實(shí)體模型的折痕長(zhǎng)度L1,如圖5 中的散點(diǎn)數(shù)據(jù)所示.對(duì)比可發(fā)現(xiàn),L1理論值與實(shí)體模型中的長(zhǎng)度吻合較好,相對(duì)誤差分別為1.64%,1.00%,0.82%,0.79%,0.64%.

為了驗(yàn)證所推導(dǎo)相對(duì)密度的準(zhǔn)確性,分別選取γB=35°,γB=45°,γB=60°,γB=75°,γB=85°五組相對(duì)密度曲線上的理論最低值點(diǎn),利用數(shù)字化建模技術(shù)建立一系列三維模型,并求取對(duì)應(yīng)實(shí)物模型的相對(duì)密度,即圖6(a)中的散點(diǎn).求得相對(duì)誤差分別為23.9%,16.01%,5.05%,-8.29%,2.76%,圖9 為其中部分三維數(shù)字化模型示意.由于γA,γB較小時(shí)相鄰面板間夾角較小,實(shí)體模型需要填補(bǔ)的空缺體積較大,因而相對(duì)誤差較大,其余幾組與理論值吻合較好.

圖9 不同γA 的部分三維模型示意Fig.9 3D models with different γA

此外,為進(jìn)一步驗(yàn)證推導(dǎo)所得相對(duì)密度與θA的變化關(guān)系,選取圖6(b)中θA=20°,θA=30°,θA=50°,θA=70°,θA=80°五組參數(shù)建立實(shí)體模型,見(jiàn)圖10,求得對(duì)應(yīng)的相對(duì)密度值,即圖6(b)中散點(diǎn).求得的相對(duì)誤差分別為3.15%,1.67%,-2.55%,-9.39%,-20.00%.

圖10 不同θA 的部分三維模型示意Fig.10 3D models with different θA

3.3 準(zhǔn)靜態(tài)壓縮過(guò)程分析

由于折紙結(jié)構(gòu)輕質(zhì)節(jié)材、耗能優(yōu)異等特點(diǎn),常作為薄壁吸能耗能結(jié)構(gòu)應(yīng)用于諸多領(lǐng)域[42-44].為揭示相對(duì)密度對(duì)三浦折紙超材料結(jié)構(gòu)吸能效率的影響規(guī)律,利用Abaqus/Explicit 對(duì)其進(jìn)行準(zhǔn)靜態(tài)壓縮過(guò)程分析與驗(yàn)證.將超材料結(jié)構(gòu)放置在一個(gè)固定的剛性平面和一個(gè)可在壓縮方向移動(dòng)的剛性平面之間.結(jié)構(gòu)自身選通用接觸,摩擦系數(shù)為0.3,與剛性面板之間設(shè)置點(diǎn)面耦合.設(shè)置位移荷載,其值為結(jié)構(gòu)壓縮方向長(zhǎng)度的70%,并設(shè)置平滑分析步以保證收斂性.超材料結(jié)構(gòu)網(wǎng)格類(lèi)型選用S4 R 積分四邊形單元,尺寸選為3,剛性面板選用R3D4 單元.令計(jì)算結(jié)果中動(dòng)能與內(nèi)能之比小于5%,以保證動(dòng)力效應(yīng)可忽略不計(jì);偽應(yīng)變能與內(nèi)能之比小于10%,以避免沙漏效應(yīng)對(duì)結(jié)果帶來(lái)的影響.

由式(12)、式(13)和式(17)可知,自變量θA的變化不引起折痕長(zhǎng)度的變化,但會(huì)使相對(duì)密度發(fā)生改變.選用標(biāo)準(zhǔn)模型,取γA=60°,γB=75°,aA=aB=10 mm,h=0.3 mm,模型參數(shù)如表2 所示.材料均選用6061-T6 鋁合金,密度2750 kg/m3,彈性模量70 GPa,泊松比0.3,屈服極限300 MPa.

例如,圖11(a)描述了其中模型Mi-3 的壓縮變形過(guò)程,當(dāng)該結(jié)構(gòu)模型受圖1(a)所示X軸方向的軸向壓縮作用時(shí),X向產(chǎn)生顯著的壓縮變形,同時(shí)沿Y和Z向收縮,結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出顯著的負(fù)泊松比效應(yīng).

五組模型的力位移曲線如圖11(b)所示,這里引進(jìn)一個(gè)能更好體現(xiàn)結(jié)構(gòu)輕量化的指標(biāo)SEA (specific energy absorption)[40,43-44],即單位質(zhì)量的吸能能力,其計(jì)算方法如下

圖11 三浦折紙超材料結(jié)構(gòu)壓縮性能分析Fig.11 FEM results for Miura-ori metamaterial structures under quasistatic compressions

其中，E為壓縮過(guò)程中吸收的總能量,m為模型質(zhì)量.計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2.

表2 模型參數(shù)與模擬結(jié)果Table 2 Parameters and FEM results for different models

由表中數(shù)據(jù)可知,A 層面板傾角θA的增大不改變模型的質(zhì)量,相對(duì)密度增大,SEA反而減小,即模型的吸能效率降低,同時(shí)由式(11)和式(12)可知此時(shí)模型的折痕長(zhǎng)度不發(fā)生變化.可知在A 和B 層胞元面板構(gòu)型、折痕總長(zhǎng)度及面板厚度不變的前提下,三浦折紙超材料結(jié)構(gòu)的相對(duì)密度與比吸能成反比關(guān)系.因此,結(jié)構(gòu)選型時(shí),可根據(jù)圖6 選取相對(duì)密度較小的變量組合.

4 結(jié)論

本文基于三浦折疊胞元以及三浦折紙超材料的幾何構(gòu)型,給出了決定構(gòu)型的幾何參數(shù),對(duì)工程應(yīng)用中較為關(guān)注的超材料結(jié)構(gòu)折痕總長(zhǎng)、相對(duì)密度及折疊率等指標(biāo),系統(tǒng)推導(dǎo)了一般模型的理論表達(dá)式,并揭示了以上特性與三浦折紙超材料結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)的演變規(guī)律.選定標(biāo)準(zhǔn)模型,探究得γA=γB時(shí)折痕總長(zhǎng)L1最短,折痕總長(zhǎng)L2的大小僅與B 層胞元邊長(zhǎng)bA有關(guān),可根據(jù)結(jié)構(gòu)需求取折痕長(zhǎng)度的參數(shù)組合;分析求得使三浦折紙超材料結(jié)構(gòu)折疊率達(dá)到峰值的面內(nèi)角γA和γB組合;由系列模型的準(zhǔn)靜態(tài)壓縮分析結(jié)果可知,當(dāng)結(jié)構(gòu)面板構(gòu)型及折痕總長(zhǎng)不變時(shí),較小的結(jié)構(gòu)相對(duì)密度可顯著提高吸能效率,構(gòu)型選擇時(shí)應(yīng)尋求相對(duì)密度較小的參數(shù)組合,從而降低質(zhì)量和成本、提高吸能效率.上述結(jié)論對(duì)不同性能需求下結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)選取具有指導(dǎo)意義,有利于折紙結(jié)構(gòu)的正向、逆向設(shè)計(jì).

利用Matlab 和Grasshopper 實(shí)現(xiàn)了零厚度及非零厚度折紙超材料模型的數(shù)字化設(shè)計(jì).對(duì)比折痕長(zhǎng)度、相對(duì)密度的理論值與實(shí)體模型計(jì)算值,驗(yàn)證了數(shù)字化建模的正確性,為部分超材料結(jié)構(gòu)的參數(shù)化建模提供了可行思路,也為三浦折紙超材料結(jié)構(gòu)的后續(xù)研究提供了極大便利.

此外,利用3D 打印技術(shù)開(kāi)展了物理模型驗(yàn)證,3D 打印折紙模型可實(shí)現(xiàn)模型流程化與標(biāo)準(zhǔn)化建造、降低制作工效與成本,再次驗(yàn)證了數(shù)字化建模的正確性,是將3D 打印技術(shù)應(yīng)用于折紙結(jié)構(gòu)智能建造的一項(xiàng)重要實(shí)踐,對(duì)后續(xù)折紙研究亦有參考價(jià)值.