吳亦源 秦衛(wèi)陽(yáng) 徐佳文 吳沁娛 王平

(1.中國(guó)航發(fā)北京航空材料研究院，北京 100095)(2.西北工業(yè)大學(xué)，西安 710072)(3.東南大學(xué)，南京 211189)(4.中國(guó)航發(fā)湖南動(dòng)力機(jī)械研究所，株洲 412002)

引言

振動(dòng)對(duì)于機(jī)械的性能與安全影響很大.以旋轉(zhuǎn)機(jī)械為例，由于存在臨界轉(zhuǎn)速，很小的不平衡就會(huì)產(chǎn)生很大的振動(dòng)，其振動(dòng)控制十分必要.20世紀(jì)90年代初，一些學(xué)者發(fā)現(xiàn)并證明了晶體中彈性波帶隙的存在[1，2]，提出了聲子晶體概念[3]，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了彈性波帶隙的存在[4].超材料的性質(zhì)主要由其結(jié)構(gòu)決定，具有某些超常規(guī)的特性，例如：負(fù)等效質(zhì)量或密度[5]、負(fù)折射率[6,7]、完美吸收等[8,9].

Liu等[10]在2000年提出了局域共振型聲子晶體，將被硅橡膠包裹住的鉛球放入環(huán)氧樹脂中，實(shí)現(xiàn)了負(fù)的等效密度，最終形成帶隙.Yang等人[11]提出了薄膜型超材料，將嵌有質(zhì)量塊的薄膜固定在硬質(zhì)框架上，實(shí)現(xiàn)了200～300 Hz內(nèi)的負(fù)等效質(zhì)量.Mei等人[12]提出了一種由彈性薄膜和附在其上的對(duì)稱剛性薄板組成的超材料，實(shí)現(xiàn)了多個(gè)頻段對(duì)彈性波的吸收.除此以外，還有許多學(xué)者設(shè)計(jì)了諸如復(fù)合平板型超材料[13]、懸臂梁型超材料[14]、薄膜圓柱型超材料[15]等多種超材料模式，以滿足不同環(huán)境和不同行業(yè)的需要.

雖然薄膜-質(zhì)量塊型超材料有著實(shí)現(xiàn)方便的特點(diǎn)，但對(duì)于復(fù)雜、間隙很小的結(jié)構(gòu)，此類超材料的使用受到限制，而且薄膜存在老化問題，會(huì)影響超材料的可靠性，針對(duì)這種情況，出現(xiàn)了基于壓電原理和壓電分流阻尼的壓電超材料，利用電感-壓電換能器耦合所產(chǎn)生的LC局部共振現(xiàn)象來實(shí)現(xiàn)頻率帶隙.Chen等[16]通過在梁上附加壓電片，通過調(diào)節(jié)內(nèi)部參數(shù)，實(shí)現(xiàn)了超材料帶隙的可調(diào)性，并得出了初步結(jié)論；張浩等[17]通過引入負(fù)電容電路、多模態(tài)電路以及多種元胞的設(shè)計(jì)，提出了一種可以展寬超材料帶隙的方法；陳圣兵等[18,19]分析了桿局域共振帶隙的形成機(jī)理，并對(duì)分流電路中元件參數(shù)變化對(duì)帶隙的影響進(jìn)行了研究，為超材料帶隙的主動(dòng)調(diào)控提供了一種新方法.李夏臨等[20]提出了一種二維平面陀螺超材料結(jié)構(gòu)，建立了其動(dòng)力學(xué)方程，分析了其帶隙特性和色散關(guān)系，證明了二維平面陀螺超材料結(jié)構(gòu)對(duì)于扭轉(zhuǎn)振動(dòng)有很好的抑制作用.王偉能等[21]發(fā)現(xiàn)，對(duì)于三角陀螺超材料結(jié)構(gòu)，通過陀螺轉(zhuǎn)速的調(diào)節(jié)，可以控制結(jié)構(gòu)的帶隙.研究結(jié)果表明，波在帶隙頻段內(nèi)受到很好的抑制.劉杰等[22]提出了D型和I-WP型三重周期極小曲面夾芯結(jié)構(gòu)，并研究了其隔聲效果.由理論分析與實(shí)驗(yàn)結(jié)果，發(fā)現(xiàn)I-WP型極小曲面夾芯結(jié)構(gòu)在4400～5000 Hz頻段，隔聲量可達(dá)60 dB.

本文提出了一種壓電超材料單元結(jié)構(gòu)，由基體與上下兩層壓電材料組成，并與外接電感相連接，構(gòu)成了厚度很小的超材料減振胞元.對(duì)于此模型，基于二維理論模型和三維有限元模型進(jìn)行了仿真，證明其可以產(chǎn)生低頻帶隙.針對(duì)壓電超材料梁進(jìn)行了模擬，分析了內(nèi)部元件電阻和諧振頻率的改變對(duì)壓電超材料梁減振能力的影響，獲得了更好的減振特性.

1 物理模型與建模

1.1 壓電超材料元胞及梁模型

壓電超材料由壓電材料元胞周期排列組成.壓電超材料基本單元元胞由基體及附在其上下表面的兩片壓電片組成，并與電感相連，如圖1(a)所示.圖1(b)為壓電超材料元胞的俯視圖，其中，A為壓電片，B為基體，壓電片邊長(zhǎng)為l，基體薄板邊長(zhǎng)為a，厚度為h.

(a)壓電超材料元胞示意圖

1.2 可調(diào)電感分流電路模型

考慮到傳統(tǒng)的繞線電感數(shù)值不可調(diào)，且繞線電感的電感值普遍較小(小型繞線電感普遍為μH量級(jí))，由于PZT的電容值只有nF量級(jí)，如產(chǎn)生300 Hz頻率段的帶隙，需連接數(shù)亨的感性分流電路，而此量級(jí)的電感電路一般具有極大的體積、電阻和磁遲滯.故此，難以利用繞線電感與PZT構(gòu)造低頻局部共振，即難以產(chǎn)生低頻禁帶.此處利用運(yùn)算放大器搭建了模擬電感電路，如圖2所示.特別值得注意的是，通過調(diào)節(jié)電路中的可調(diào)電阻R1和R2，可以改變模擬電感電路的等效電感的數(shù)值，而不必改變系統(tǒng)整體的機(jī)械和電路結(jié)構(gòu).

圖2 壓電超材料分流電路示意圖

1.3 壓電超材料帶隙特性分析

為了分析壓電超材料梁的減振特性，對(duì)超材料進(jìn)行有限元建模，對(duì)于超材料周期性特性，通過將彈性波方程重組為穩(wěn)態(tài)簡(jiǎn)諧場(chǎng)的本征值問題.求解本征值，可以清楚地看到超材料的帶隙現(xiàn)象[20-22].以如圖1(b)的壓電超材料元胞進(jìn)行相關(guān)理論的介紹.

根據(jù)彈性力學(xué)，元胞的彎曲波控制方程可以表示為

(1)

式中，w為彎曲波位移，D為薄板彎曲剛度，ρs為基體的密度，且

(2)

D?4W(x,y)-ω2ρsW(x,y)=0

(3)

元胞的邊界條件可以由Bloch定理給出

W(x+ma,y+na)=W(x,y)e-i(mcos θ+nsin θ)ka

(4)

式中，k為波矢k的大小，θ為波矢k的方向，m，n=0，1.

引入?yún)?shù)變換式：

W(x,y)=Φ(x,y)·e-ik(xcos θ+ysin θ)

將參數(shù)變化式帶入Bloch邊界條件(4)可得

Φ(x+ma,y+na)=Φ(x,y)

(5)

可見通過變換，可以將Bloch邊界條件轉(zhuǎn)化為連續(xù)型邊界條件.

利用有限元法對(duì)偏微分方程進(jìn)行求解后，可以得到其動(dòng)力學(xué)方程為

(K0+λK1+λ2K2+λ3K3+λ4K4-

w2M)d=F

(6)

式中，Kj(j=0,1,2,3,4)為剛度矩陣，M為質(zhì)量矩陣，d為節(jié)點(diǎn)位移向量，F(xiàn)為節(jié)點(diǎn)力向量.

把節(jié)點(diǎn)位移向量d按照節(jié)點(diǎn)位置進(jìn)行分塊(其中F與d對(duì)應(yīng))，劃分為如圖3所示的子向量，則元胞邊界條件可表示為

圖3 節(jié)點(diǎn)分組

(7)

(8)

將式(7)和式(8)整理為矩陣形式，則有

(9)

式中，x=[dIdBdLdLB]T，且

(10)

將式(9)帶入式(6)，可得多項(xiàng)式特征值方程

(3)催化劑對(duì)纖維素轉(zhuǎn)化5-HMF的過程有著至關(guān)重要的作用，選擇合適的催化劑對(duì)5-HMF得率的提高尤為重要。選擇催化劑的過程主要是對(duì)催化機(jī)理的研究，也是本課題組下一步的工作重心。

(D0+λD0+λ2D0+λ3D0+λ4D0)x=0

(11)

式中

D0=TT(K0-w2M)T

Dj=TTKjT(j=1,2,3,4)

(12)

把方程(11)整理為標(biāo)準(zhǔn)的特征值方程可得

[Q(θ,w)-λI]y=0

(13)

式中，y=[xλxλ2xλ3x]T且

(14)

從式(13)可以看出，只要給定波矢方向θ和頻率ω，就可以求出特征值λ.本文中正方形基體為鋁，邊長(zhǎng)為40 mm，厚度為3.13 mm，彈性模量為69 GPa，泊松比為0.33，質(zhì)量密度為2730 kg/m3；壓電材料為壓電模塊中的PZT-5H壓電材料，為正方形，邊長(zhǎng)為20 mm，厚度為0.5 mm，可計(jì)算出元胞的色散曲線.實(shí)際中，采用多場(chǎng)耦合有限元進(jìn)行了仿真分析，結(jié)果如圖4所示.

圖4 壓電超材料帶隙分析

可以看出壓電超材料帶隙大約在262～280 Hz，理論計(jì)算與仿真結(jié)果是一致的.

2 計(jì)算結(jié)果與討論

2.1 電阻對(duì)壓電材料減振特性的影響

為了分析有壓電超材料的減振特性，在一根懸臂梁上，安裝了12個(gè)壓電超材料元胞，形成壓電超材料結(jié)構(gòu).此彈性梁在固支端受到基礎(chǔ)激勵(lì)，結(jié)構(gòu)模型如圖5(a)所示.胞單元幾何參數(shù)為：正方形基體為鋁，邊長(zhǎng)為25.38 mm，厚度為3.13 mm，彈性模量為69 GPa，泊松比為0.33，質(zhì)量密度為2730 kg/m3；壓電材料為壓電模塊中的PZT-5H壓電材料，為正方形，邊長(zhǎng)為21 mm，厚度為0.55 mm；梁的尺寸為：507.6 mm×25.38 mm×3.13 mm.

對(duì)壓電超材料來說，接入的電感與壓電片PZT的電容會(huì)組成LC電路，當(dāng)彈性波傳入時(shí)，會(huì)發(fā)生局域共振，達(dá)到減振效果.因?yàn)閴弘姵牧显诮Y(jié)構(gòu)和電路組成(包括電路元器件和連接導(dǎo)線)方面不可避免地存在電阻．此處，在其分流電路中引入不同的電阻，并讓其組成有限單元的壓電超材料梁，通過拾取自由端位移，分析傳輸曲線在有一定電阻情況下的變化情況，如圖5所示.

(a)壓電超材料梁模型

圖5(b)為在L=16 H，R=20 Ω，f=291.73 Hz條件下梁在基礎(chǔ)激勵(lì)下(左端)的強(qiáng)迫響應(yīng)，可以看出，梁左端的基礎(chǔ)激勵(lì)無法傳遞到右端，顯示了壓電超材料很好的減振效果.

圖6所示是分流電路串聯(lián)電阻時(shí)梁末端位移變化，圖中藍(lán)色線表示在未接入電感與電阻時(shí)，有限長(zhǎng)度壓電超材料梁的頻響特性；其他曲線分別代表接入16 H電感后，外接不同電阻條件下，壓電超材料梁的頻響特性.此處分流電路中串聯(lián)的電感值保持16 H不變，且梁的結(jié)構(gòu)保持不變.可以看出，對(duì)于傳統(tǒng)壓電梁來說，其在300 Hz以下不能產(chǎn)生吸振的效果；對(duì)于在16 H下外接了電阻的壓電梁來說，在300 Hz附近產(chǎn)生了帶隙；由圖6和圖7可以看出，電阻的改變對(duì)帶隙寬度并沒有影響；此外，由圖6可知，壓電超材料梁分流電路串聯(lián)電阻較小時(shí)，位移變化較大，壓電超材料梁對(duì)波傳播的衰減性能較好；而分流電路中串聯(lián)電阻較大時(shí)，彈性梁末端線平均位移變化較小，即波衰減性能較弱.故此，減小系統(tǒng)的阻尼及分流電路的電阻，可以增強(qiáng)壓電超材料的波衰減性能.

圖6 壓電超材料梁在不同外接電阻下的頻率-響應(yīng)曲線

圖7 壓電超材料梁在不同外接電阻下的頻率-波數(shù)曲線

為了分析超材料梁在振動(dòng)過程中壓電片電壓的變化，在首個(gè)壓電片上表面取中點(diǎn)，通過分析其電場(chǎng)模隨振動(dòng)的變化.

圖8所示是壓電超材料梁在不同外接電阻下的電場(chǎng)模隨頻率變化的情況，圖中藍(lán)色線表示在不外加任何電阻與電感情況下，傳統(tǒng)有限長(zhǎng)度壓電超材料梁的電場(chǎng)模隨頻率的變化情況；其余曲線表示在不同電阻，相同電感(16 H)的情況下，壓電超材料梁的電場(chǎng)模隨頻率的變化情況.可以看出，壓電超材料梁在沒有電感與電阻耦合作用的情況下，無法產(chǎn)生低頻帶隙；若存在電感與電阻耦合現(xiàn)象，其帶隙與頻響曲線的位置和范圍是一致.由圖8可知，壓電超材料梁分流電路串聯(lián)電阻較小時(shí)，電場(chǎng)模變化較大，壓電超材料梁對(duì)波傳播的衰減性能較好；而分流電路中串聯(lián)電阻較大時(shí)，波衰減性能較弱.因此，有限長(zhǎng)度的壓電超材料梁對(duì)于振動(dòng)有很大的衰減和吸收作用；若想獲得更為理想的振動(dòng)衰減性能，需減小系統(tǒng)的阻尼及分流電路的電阻，以增強(qiáng)壓電超材料的波衰減性能.

圖8 壓電超材料梁在不同外接電阻下的頻率-電場(chǎng)模曲線

2.2 電感變化對(duì)壓電材料減振特性的影響

根據(jù)壓電超材料的減振機(jī)制可知，改變電感會(huì)改變LC電路的參數(shù)，進(jìn)而影響壓電梁的減振特性.而對(duì)于有限長(zhǎng)度的超材料梁來說，它既是一個(gè)整梁，也是有限個(gè)元胞的集合，所以在外加電感時(shí)，可以先把梁視為一個(gè)整體，統(tǒng)一加上相同的電感，以整體的形式改變諧振頻率，探究電感對(duì)壓電梁整體減振特性的影響；進(jìn)一步地，在每個(gè)元胞上，加上不同的電感，使每個(gè)元胞上的諧振頻率出現(xiàn)變化，探究梁上元胞電感不同時(shí)，有限長(zhǎng)度壓電梁的減振性能.

模型為2.1節(jié)所建立的壓電梁，利用有限元軟件分析壓電梁在結(jié)構(gòu)不變，外接電感變化的情況下減振特性的變化，結(jié)果如圖9所示.

圖9顯示了壓電梁外接電感變化時(shí)彈性梁末端線平均位移和首個(gè)壓電片電壓的變化，圖中紫色線表示在未接入電感時(shí)，壓電梁的頻率-響應(yīng)和頻率-電場(chǎng)模特性；其他曲線分別代表接入10 H、15 H、20 H、25 H電感，外接0.1 Ω電阻條件下，壓電超材料梁的頻率-響應(yīng)和頻率-電場(chǎng)模特性.可以看出，對(duì)于傳統(tǒng)壓電梁，其在300 Hz以下不能產(chǎn)生吸振的效果；而對(duì)于外接了電感的壓電梁，其在370 Hz、300 Hz、260 Hz、230 Hz附近壓電梁末端位移大幅降低，同時(shí)壓電片上電壓大幅提升，即產(chǎn)生了帶隙，阻隔了振動(dòng)波的傳遞，帶隙情況如表1所示.

由圖9及表1可得，壓電梁整體接入電感后，其具有阻隔低頻振動(dòng)的作用，隨著電感的增大，壓電梁可對(duì)更低頻的振動(dòng)產(chǎn)生阻隔作用，同時(shí)，帶隙寬度有輕微下降.因此，增大壓電梁的外接電感可以對(duì)更低頻率的振動(dòng)產(chǎn)生阻隔作用，且對(duì)帶隙寬度影響不大.因此，增加壓電胞元外接電感，可以增強(qiáng)壓電梁的減振性能.

表1 壓電梁(整體)不同電感條件下帶隙始末位置及寬度統(tǒng)計(jì)表

(a)頻率-響應(yīng)曲線

進(jìn)一步地，對(duì)有限長(zhǎng)度壓電梁上的每個(gè)元胞加上不同的電感，可以使其出現(xiàn)諧振頻率偏差，每個(gè)元胞分別相對(duì)上一個(gè)元胞電感以固定比率增加，本文所采取的增加比率為0%，1%、2%、3%，對(duì)應(yīng)的諧振頻率相差為0%，1%、2%、3%，分析壓電梁的減振能力變化，結(jié)果如圖10所示.

(a)頻率-響應(yīng)曲線

圖10為元胞諧振頻率按比率變化時(shí)壓電梁的頻率-響應(yīng)和頻率-電場(chǎng)模特性，表2則展示了諧振頻率增加比率和壓電梁減振特性的關(guān)系.由圖10可知，壓電梁上的元胞諧振頻率存在差別后，壓電梁具有阻隔低頻振動(dòng)的作用；對(duì)比與每個(gè)元胞電感固定的情況，元胞諧振頻率按固定比例增加可使壓電梁末端振幅減小的頻帶變寬，即帶隙變寬，表2則顯示了元胞諧振頻率不同時(shí)，帶隙的始末位置和寬度，隨著元胞外接電感增加比例的上升，壓電梁的帶隙變寬，起始頻率下降.因此，按固定比例依次增加元胞諧振頻率，可以增強(qiáng)壓電梁的波衰減性能，比例越大，波衰減性能越好.

表2 壓電梁(元胞)不同諧振頻率下帶隙始末位置及寬度統(tǒng)計(jì)表

3 結(jié)論

本文設(shè)計(jì)了一種壓電超材料元胞，研究了在不同內(nèi)部元件電阻下，壓電超材料梁的減振特性，通過理論與仿真分析，證明了此壓電超材料可以產(chǎn)生低頻帶隙，并可以通過調(diào)節(jié)電感與電阻改變帶隙位置；壓電超材料對(duì)于懸臂梁基礎(chǔ)激勵(lì)有很好的減振作用；提高振動(dòng)的減振效果，可以減小分流電路的電阻、增大梁整體的外接電感或按固定比例增加每個(gè)元胞的諧振頻率，增強(qiáng)壓電超材料的波衰減性能.

致謝：感謝中國(guó)航發(fā)振動(dòng)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室對(duì)外開放項(xiàng)目(KY-52-2018-0020)的資助.