隨歲寒 李成

(1. 商丘工學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院， 商丘 476000)(2. 常州工學(xué)院 汽車工程學(xué)院，常州 213032)(3. 暨南大學(xué) “重大工程災(zāi)害與控制”教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 廣州 510632)

引言

輸流管道廣泛應(yīng)用于石油化工、航空航天和海洋工程等領(lǐng)域，對其彎曲和振動(dòng)特性進(jìn)行研究能夠?yàn)楣こ淘O(shè)計(jì)、結(jié)構(gòu)優(yōu)化和應(yīng)用提供重要參考.輸流管道力學(xué)問題的研究涉及流體力學(xué)、固體力學(xué)、動(dòng)力學(xué)與控制等多個(gè)學(xué)科，已有大量文獻(xiàn)研究輸流管道的流固耦合振動(dòng)特性[1-22]，這些工作主要聚焦在輸流管道的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)及穩(wěn)定性，大部分為宏觀輸流管道，也涉及微觀情形，如輸流碳納米管[5,7].然而，以往對輸流管道在外力作用下的彎曲變形問題研究不多.Dai和Wang[4]基于Euler梁模型給出了輸流管道的彎曲及振動(dòng)的控制方程，應(yīng)用有限元法對控制方程進(jìn)行求解，其中考慮管道受到集中磁鐵引力載荷.為分析管道彎曲問題，本文利用加速度合成定理推導(dǎo)了流體橫向加速度的表達(dá)式，具體包括三項(xiàng)，即牽連加速度、科氏加速度和向心加速度，具有明確的物理意義.這與2019年田耀宗和蹇開林根據(jù)速度場概念推得的形式一致[23]，但途徑不同.隨后本文基于Timoshenko梁模型推導(dǎo)了重力作用下水平布置輸流管道彎曲問題的有限元格式，分析了兩端簡支和懸臂兩種邊界條件下流體流速對管道撓度和轉(zhuǎn)角的影響.此外，在兩端簡支邊界條件下還考慮了預(yù)應(yīng)力的因素.

另外，以往應(yīng)用有限元法研究輸流管道流固耦合振動(dòng)問題的文獻(xiàn)相對較少[1-4].梁波等[2]基于Timoshenko梁模型，根據(jù)Hamilton原理推導(dǎo)出了輸流管道系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)有限元方程，分析了輸流管道的動(dòng)力特性與穩(wěn)態(tài)響應(yīng).王世忠等[3]基于Euler梁模型建立了輸流管道流固耦合振動(dòng)的有限元方程，分別討論了流速、壓強(qiáng)變化等因素對管道固有頻率的影響.與其不同的是，本文利用虛功原理推導(dǎo)了輸流管道系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的有限元方程，考慮到管道在熱脹冷縮以及安裝等外界條件下承受的軸向預(yù)應(yīng)力，因此動(dòng)力學(xué)方程中計(jì)入了預(yù)應(yīng)力因素.此外，與以往研究專門將預(yù)應(yīng)力單列，分析預(yù)應(yīng)力做功不同，本文將預(yù)應(yīng)力作用效應(yīng)直接體現(xiàn)在總的應(yīng)變能中.

本文主要框架如下：首先，基于虛功原理建立了輸流管道系統(tǒng)的有限元方程；其次，分析了兩端簡支和懸臂兩種邊界條件下管道受重力作用時(shí)的彎曲以及流速對結(jié)果的影響，研究了兩端簡支邊界條件下管道預(yù)應(yīng)力與撓度間的關(guān)系；最后，分析了兩端簡支和懸臂邊界條件下管道的自由振動(dòng)與流速的關(guān)系，討論了在兩端簡支邊界條件下管道預(yù)應(yīng)力與系統(tǒng)固有頻率間的關(guān)系.

1 物理模型

為建立輸流管道流固耦合振動(dòng)的有限元方程，對輸流管道建立如圖1所示的坐標(biāo)系，輸流管道在兩支撐間的距離為L，受到軸向預(yù)應(yīng)力σ0，管道內(nèi)徑r1，外徑r2.

圖1 輸流管道示意圖

根據(jù)Timoshenko梁理論，梁的位移場可表達(dá)為

u(x,z,t)=-zψ(x,t)

w(x,z,t)=w(x,t)

(1)

其中，u(x,z,t)和w(x,z,t)分別是軸向位移和橫向位移，ψ為轉(zhuǎn)角，t為時(shí)間.正應(yīng)變?chǔ)舩x及切應(yīng)力γxz可表達(dá)為[24]

(2)

對于各向同性彈性材料，應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做虛功為

(3)

如圖2所示建立管道微段動(dòng)坐標(biāo)系O′x′y′，流體橫向加速度可由點(diǎn)的加速度合成定理得到

圖2 流體加速度分析

aa=ae+ar+aC

(4)

牽連加速度大小為

(5)

微管段中性面斜率、中性面旋轉(zhuǎn)角速度分別為

(6)

(7)

從而科氏加速度大小為

(8)

管道曲率為

(9)

(10)

考慮流體向心加速度方向后得到

(11)

將式(5)、式(8)和式(11)代入式(4)，得到流體橫向加速度大小為

(12)

與按照場概念計(jì)算結(jié)果相同[23].

管道和流體的慣性力虛功為

(13)

其中，A1代表流體截面，A2代表管道截面.

外力虛功為

(14)

其中，g為重力加速度并假設(shè)其方向沿y軸正方向.

將式(3)、式(13)和式(14)代入如下虛功原理表達(dá)式

δU+δWin=δWE

(15)

并略去應(yīng)變能高階項(xiàng)得到

6）加強(qiáng)庫內(nèi)通風(fēng)換氣。經(jīng)常檢查，一旦發(fā)現(xiàn)虎皮病有發(fā)生苗頭，立即組織出庫銷售，杜絕病害蔓延，避免整庫果實(shí)染病，造成重大損失。

(16)

采用如下形函數(shù)

(17)

其中

將式(17)代入式(16)得到輸流管道系統(tǒng)有限元方程

(18)

其中，質(zhì)量矩陣M、陀螺矩陣C、剛度矩陣K和外力矩陣F分別為

(19)

2 數(shù)值算例

設(shè)管道長度L=8 m，彈性模量E=210 GPa，泊松比為0.3，密度7850 kg/m3；管外壁半徑r2=0.1885 m，內(nèi)壁半徑r1=0.1825 m；流體密度為800 kg/m3.

2.1 管道彎曲分析

在分析管道在自重下的彎曲時(shí)，將式(18)中與時(shí)間相關(guān)的項(xiàng)略去，對懸臂管道還須令預(yù)應(yīng)力σ0=0，得到如下靜力學(xué)方程

Ksyggg00=F

(20)

其中，剛度矩陣K與無流體管道對比，增加項(xiàng)代表的是管道受到的流體離心力，即式(11).求解式(20)可得管道橫向位移和轉(zhuǎn)角.

兩端簡支邊界條件下，管道受重力而產(chǎn)生y正方向的撓度，流體離心力總是垂直于管道且和重力方向相同，因此流體速度越大，管道的撓度和轉(zhuǎn)角越大.圖3和圖4分別為兩端簡支管道的撓度和轉(zhuǎn)角，其與流體速度的關(guān)系符合理論預(yù)測.圖5給出了流體速度v=80 m/s的條件下軸向預(yù)應(yīng)力的變化對兩端簡支管道的撓度的影響，可見預(yù)應(yīng)力越大則撓度越小，預(yù)應(yīng)力的存在有效增強(qiáng)了輸流管的抗彎剛度.

圖3 兩端簡支管道的撓度(σ0=0)

圖4 兩端簡支管道的轉(zhuǎn)角(σ0=0)

圖5 軸向預(yù)應(yīng)力對兩端簡支管道的撓度的影響

在懸臂條件下，流體離心力總是和重力方向相反，因此隨著流速的增大管道撓度和轉(zhuǎn)角逐漸減小，圖6和圖7分別為懸臂管道的撓度和轉(zhuǎn)角，其與流體速度的關(guān)系符合理論預(yù)測.

圖6 懸臂管道的撓度

圖7 懸臂管道的轉(zhuǎn)角

2.2 管道自由振動(dòng)分析

略去式(18)中外力矩陣，同樣對懸臂管道須令預(yù)應(yīng)力σ0=0，得到如下自由振動(dòng)方程

(21)

求解式(21)得到管道系統(tǒng)各階振動(dòng)頻率.文獻(xiàn)[11]基于Euler梁理論，利用直接解法得到前三階固有頻率的解析解為

(22)

(23)

(24)

表1給出了簡支管道流速為零時(shí)的前三階固有頻率與ANSYS所得結(jié)果的對比，誤差在4%以內(nèi)，證明本文分析方法有效.圖8給出了兩端簡支管道系統(tǒng)前三階固有頻率與流速的關(guān)系，其中虛部代表固有頻率，實(shí)部表征系統(tǒng)穩(wěn)定性.當(dāng)流體速度為220 m/s時(shí)，第一階固有頻率虛部為零，這一速度可稱為臨界速度，此時(shí)實(shí)部開始分岔提示系統(tǒng)失穩(wěn)，這一失穩(wěn)形式屬于動(dòng)態(tài)失穩(wěn)，因?yàn)橄到y(tǒng)第一階模態(tài)類似靜態(tài)彎曲撓度(圖3)，當(dāng)流體速度超過臨界速度時(shí)，過大的流體離心力將對管道造成破壞.本文得出的有限元結(jié)果與文獻(xiàn)[11]的結(jié)果在速度改變時(shí)規(guī)律相同，即流體速度越大，各階固有頻率越小，且數(shù)值結(jié)果一致.表2給出了前三階固有頻率隨管道預(yù)應(yīng)力的改變規(guī)律，可見隨著管道預(yù)應(yīng)力的增大，前三階固有頻率均表現(xiàn)出增大趨勢，在管道軸向預(yù)應(yīng)力從-100 MPa到100 MPa的增大過程中，前三階固有頻率的增加幅度分別為29.46%、5.17%和2.22%.

表1 簡支管道固有頻率對比(v=0 m/s)

表2 簡支管道預(yù)應(yīng)力與固有頻率的關(guān)系(v=100 m/s)

表3給出了懸臂管道流速為零時(shí)的前三階固有頻率與ANSYS所得結(jié)果的對比，誤差也在4%以內(nèi).圖9給出了懸臂管道系統(tǒng)前三階固有頻率與流速的關(guān)系，可見流體速度增大則各階頻率減小，這一規(guī)律與兩端簡支管道相同，不同在于懸臂支撐條件下各階固有頻率低于兩端簡支情況.值得一提的是，本文在彎曲部分只考慮重力和流體離心力，而在振動(dòng)部分還考慮了慣性離心力和科氏力，因此流速的增大使得懸臂輸流管道的變形和振動(dòng)頻率均降低.與圖8兩端簡支的邊界條件不同，即使流體速度大于臨界速度，圖9前三階固有頻率的實(shí)部都為負(fù)，這表示此時(shí)系統(tǒng)仍然穩(wěn)定.針對這一現(xiàn)象，以第一階模態(tài)為例說明如下：輸流管道偏離平衡位置振動(dòng)時(shí)，離心力和科氏力與恢復(fù)力方向相同，即阻止了振動(dòng)的發(fā)生.第一階固有頻率為零意味著在這些流速數(shù)值下不產(chǎn)生第一階模態(tài)振動(dòng)，因此懸臂管道第一階固有頻率為零的狀態(tài)可歸為靜態(tài)失穩(wěn).

(a)虛部

表3 懸臂管道固有頻率對比(v=0 m/s)

(a)虛部

3 結(jié)論

根據(jù)Timoshenko梁模型并利用虛功原理建立了輸流管道彎曲和振動(dòng)的有限元方程.考慮重力帶來的管道彎曲變形和管道預(yù)應(yīng)力效應(yīng)推導(dǎo)了應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做虛功，利用加速度合成定理分析了流體的加速度.隨后分別分析了兩端簡支和懸臂邊界條件下流速對管道彎曲和振動(dòng)的影響，在兩端簡支條件下可退化為基于Euler梁模型的前三階固有頻率的解析表達(dá)，并分析了預(yù)應(yīng)力效應(yīng).研究總結(jié)如下：

(1)兩端簡支條件下，流速越大，撓度和轉(zhuǎn)角越大，管道軸向預(yù)應(yīng)力增大撓度減小.流速提高，則前三階固有頻率減小，管道軸向預(yù)應(yīng)力增大使得前三階固有頻率增大.

(2)懸臂邊界條件下，流速越大，撓度和轉(zhuǎn)角越小；較高的流速使得前三階固有頻率降低.

(3)輸流管道作為典型的含有科氏力、離心力的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，求解得到系統(tǒng)復(fù)頻率，并從中揭示了系統(tǒng)的穩(wěn)定性.